TEMA 1. Principios de Teoría de la Señal

Tecnología de Comunicaciones Inalámbrica (TCI) 2012-2013 TEMA 1. Principios de Teoría de la Señal Juan Carlos Crespo crespozj@dtf.fi.upm.es 1

INTRODUCCIÓN En este capítulo estudiaremos la naturaleza de las distintas señales, en cuanto son relevantes para transmitirlas (su información) Tipos de Señales: Analógicas, Muestreadas, Cuantizadas, Digitales Clasificación basada en su duración / existencia: Causal, Anticausal, No Causal, Continuas, Periódicas Ejemplos de señales Nosotros trabajamos con señales digitales, suponiendo que son periódicas y causales Las señales son relevantes en TCI en cuanto queremos enviar su información, para ello necesitamos saber: - La cantidad de información que debe transmitirse: distribución frecuencial (espectro) y ancho de banda (teorema de muestreo) - Cómo se modifica la señal al atravesar el medio de transmisión o un dispositivo físico. Sistemas como modificadores de las señales - filtro - Cómo se adapta la señal física al medio que queremos transmitir. Transposición de frecuencias 2

INDICE 1.1. Características fundamentales de las señales 1.2. Señales en el dominio del tiempo y en el dominio de la frecuencia 1.3. Transmisión y filtrado de señal 1.4. Transposición de frecuencias 1.5. Ejercicios y aplicaciones prácticas utilizando MATLAB 3

1.1. Características fundamentales de las señales Tipos de Señales, distinguiremos cuatro tipos en función de su continuidad y discretización: - Analógicas, x(t) : Amplitud y Tiempo continuos - Muestreadas, x s [n] : Tiempo Discreto, Amplitud continua - Cuantizada, x Q (t) : Tiempo Continuo, Amplitud discreta - Digital, x Q [n] : Tiempo y Amplitud discretos 4

1.1. Características fundamentales de las señales Tipos de Señales, distinguiremos 4 tipos en función de su duración / existencia: - Causales: Son 0 para t<0. Se definen sólo para el eje positivo de t - Anticausales: Son 0 para t>0. Se definen sólo para el eje negativo de t - No causales: Se definen para ambos ejes de t - Periódicas: x p (t) = x p (t±nt), donde T es el periodo y n es un entero De interés: señales digitales causales, suponiendo que son periódicas Ejemplo: señal periódicas y causal Ejemplo 2: señal NO periódicas y causal 5

1.1. Características fundamentales de las señales Algunas señales ejemplo - Escalón unidad : u(t) - Pulso : u(t+1/2) - u(t-1/2) - sinc(t) = sen (Πt) / (Πt) 6

1.1. Características fundamentales de las señales Algunas señales ejemplo - Delta -Triangular: tri(t)=r(t+1) - 2r(t)+r(t-1) - Rampa : r(t)= t u(t) 7

1.1. Características fundamentales de las señales EJEMPLOS MATLAB y = sinc (x) >> x=[-10:0.01:10]; >> y=sinc(x); >> figure (1) >> title ('sinc (t)') >> plot(x,y) >> title ('sinc (t)') >> xlabel ('time (t)') >> ylabel('amplitude') Amplitude 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0-0.2 sinc (t) -0.4-10 -8-6 -4-2 0 2 4 6 8 10 time (t) 8

1.1. Características fundamentales de las señales EJEMPLOS MATLAB y = square (x, duty) Onda cuadrada de periodo 2Π con un duty cicle dado (porcentaje del tiempo en la cual la señal es positiva) Ejercicio 1: represente empleando Matlab una onda cuadrada entre 0 y 10seg, donde el tiempo a nivel 1 debe ser el 25% y = sawtooth (x, width) Diente de sierra con periodo 2Π para los elementos del vector x. Width es un escalar entre 0 y 1, y describe la posición del máximo Ejercicio 2: realice con Matlab la gráfica de la figura Amplitude 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0-0.2-0.4-0.6-0.8 sawtooth (t) -1 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 time (t) 9

1.1. Características fundamentales de las señales Sistemas como modificadores de las señales a su paso x(t) h(t) y(t) - Invariantes en el Tiempo: los coeficientes no dependen del tiempo (aquellos en que la respuesta sólo depende de la entrada que se aplica y no de cuándo se aplica) -Lineales: si cumple el principio de superposición Todos los sistemas que vamos a ver son Lineales en Invariantes en el Tiempo: la respuesta al impulso de un sistema LI, h(t), permite conocer la respuesta del sistema ante cualquier entrada (se denomina función de transferencia) 10

1.2. Señales en el dominio del tiempo y frecuencia Desarrollo en serie de Fourier (desarrolla en serie una función periódica en senos y cosenos de la frecuencia fundamental y sus armónicos) Para una señal periódica, x p (t), de periodo T, frecuencia fundamental f o =1/T, w o =2Π f o - Los coeficientes X s [k] representan los coeficientes espectrales (por armónico) de la señal x p (t) - La gráfica de estos componentes espectrales en función de la Frecuencia se denomina espectro (se representa en módulo y fase) 11

1.2. Señales en el dominio del tiempo y frecuencia Ancho de banda de una señal - Indica la cantidad de información (variabilidad de la señal en el tiempo), cuanto más rápida es la variación mayor ancho de banda tendrá - Se suele definir, como aquel rango frecuencia (diferencia entra frecuencias) en donde la potencia de la señal (sus coeficientes) cae del máximo a la mitad. 12

1.2. Señales en el dominio del tiempo y frecuencia Transformada de Fourier - Si se quiere aplicar el concepto de serie de fourier a señales no periódicas, podríamos pensar en que una señal no periódica, es periódica con periodo infinito, por tanto la frecuencia fundamental, f o =1/T,=0, w o =2Π f o =0, es decir el espacio entre armónicos es 0 (es una función continua) - Los coeficientes X s [k]=0, y por tanto, a no se pueden emplear para obtener el contenido espectral, pero si definimos una función: resulta que: - X (w) es la función envolvente de X s [k] - Si muestreamos X(w) a intervalos f o la función resultante es el espectro de una señal periódica de periodo T o =1/f o (es decir si muestreo en el dominio frecuencial, tendría la transformada de señales periódicas ) 13

1.2. Señales en el dominio del tiempo y frecuencia Ejemplos transformada señal con y sin ruido >> Fs = 1000; % Sampling frequency >> T = 1/Fs; % Sample time >> L = 1000; % Length of signal >> t = (0:L-1)*T; % Time vector >> x = 0.7*sin(2*pi*50*t) + sin(2*pi*120*t); % Sum of a 50 Hz sinusoid and a 120 Hz sinusoid >> y = x + 2*randn(size(t)); % Sinusoids plus noise >> plot(fs*t(1:50),y(1:50)) >> title( Señal de 50 y 120 Hz con ruido') >> xlabel('time (milliseconds)') 2 Señal de 50 y 120 Hz SIN ruido 8 Señal de 50 y 120 Hz con ruido 1.5 6 1 4 0.5 2 0 0-0.5-2 -1-4 -1.5-6 -2 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 time (milliseconds) -8 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 time (milliseconds) 14

1.2. Señales en el dominio del tiempo y frecuencia Ejemplos transformada señal con y sin ruido 1.4 MODULO ESPECTRO CON RUIDO 1 MODULO ESPECTRO SIN RUIDO Y(f) 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 Frequency (Hz) X(f) 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 Frequency (Hz) Ejercicio 3: realice un script en Matlab para obtener los espectros de las figuras 15

1.3. Transmisión y filtrado de señal Toda señal se transforma al atravesar un medio. Si el medio se puede modelar como un SLI, entonces la función de respuesta (función de transferencia) permite el cálculo de la salida en función de la entrada) x(t) h (t) y(t) y (t) = x(t) * h (t) ; donde * representa el operador convolución. Aprovechando propiedades de la transformada de Fourier y(t) = TF -1 [ X(f). Y(f)] 16

1.3. Transmisión y filtrado de señal Filtrado. Ejemplos simples x(t) h (t) y(t) 17

1.3. Transmisión y filtrado de señal Ver ejemplos de efectos de filtrado / distorsión con Matlab: 1 Click and drag waveform to change fundamental frequency and amplitude 1 Click and drag waveform to change fundamental frequency and amplitude Waveform 0.5 0-0.5 Waveform 0.5 0-0.5 Magnitude (db) -1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Time (Seconds) 40 20 0-20 -40 0 20 40 60 80 100 Frequency (Hertz) Magnitude (db) -1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Time (Seconds) 40 20 0-20 -40 0 20 40 60 80 100 Frequency (Hertz) 18

Diseño de Filtros con Matlab - Filtros FIR: filtros de fase lineal Finite Impulse Response, e.g.: FIRPM, FIRLS, KAISER, - Filtros IIR: filtros BUTTER, CHEBY1, CHEBY2, ELLIP, permiten diseñar filtros Infinite Impulse Response. FIR requieren más coeficientes (complejidad) que los IIR Ejemplos con Matlab: % diseña filtros IIR y FIR gráficamente filtcoefevaljc % permite obtener los coeficientes [b,a] = filtevalcoef('getfilt'); 1.3. Transmisión y filtrado de señal Magnitude (db) Order 27 FIR Filter designed with FIRPM 0-10 -20-30 -40-50 -60-70 0 200 400 600 800 1000 Frequency (Hz) 19

1.3. Señales en el dominio del tiempo y frecuencia Reconstrucción de una señal filtrada 20

1.4. Transposición en frecuencia Toda energía se transmitida se puede estudiar como una onda f ( GHz ) 0,3 1 2 4 8 12 18 27 40 60 90 140 U H F L S C X Ku K Ka U E F Microondas Radiación Óptica λ 1Mm 1km 1m 1mm 1 µ m 1nm 1pm VLF LF MF HF VHF UHF SHF Ondas Milimétricas Infrarrojo Ultravioleta Rayos X Rayos γ f ( Hz ) 10 3 10 6 10 9 10 12 10 15 10 18 10 21 Visible λ ( nm ) 800 700 600 500 400 Infrarrojo Rojo Naranja Amarillo Verde Azul Violeta Ultravioleta 760 622 577 597 492 455 390 21

1.4. Transposición en frecuencia A veces es conveniente transponer en frecuencia (de su frecuencia o banda base) una señal, a otra frecuencia donde: - se transmite mejor (menor dispersión, atenuación y distorsión) o, - donde los medios físicos de transmisión son más sencillos de realizar (baratos), o - donde tenemos atribución para el uso de la frecuencia ω s ω s ω c cos cos 1 a cosb = [ ( ) ( ) 2 cos a + b + cos a b ] 1 ( ω t) cos( ω t) = { cos[ ( ω + ω ) t] + cos[ ( ω ω ) t] } s c 2 c s c s ω c ω 22