MÉTODO DE DIFERENCIAS FINITAS (FDM)

MÉTODO DE DIFERENCIAS FINITAS (FDM) Cambia ecuaciones diferenciales ecuaciones en diferencias finitas a Relaciona el valor de la variable dependiente en un punto a valores de puntos vecinos

FDM: PASOS PARA UNA SOLUCIÓN Dividir la región de solución en una grilla de nodos Aproximar la Ec. Diferencial en una Ec. de Diferencias Finitas equivalente, que relacione la variable independiente en un punto dentro de la región de solución a sus valores en varios puntos cercanos Solucionar las Ec en Diferencias sujetas a las Condiciones de Frontera y/o a las Condiciones Iniciales

NO OLVIDEMOS QUE: FDM depende de: La naturaleza del problema La región de solución El tipo de CF

PATRONES DE GRILLA 2D

ESQUEMAS DE DIFERENCIAS FINITAS: Primera Derivada Diferencia Directa B P Diferencia Inversa P A Diferencia Central B A

ESQUEMAS: Segunda Derivada Cualquier aproximación de una derivada en términos de sus valores en un conjunto discreto de puntos es llamada: aproximación de Diferencias Finitas

ESQUEMAS: SERIE DE TAYLOR

Qué es O( h )? n Error introducido al truncar la serie Error del orden de ( x)4 Los términos que son más grandes que ( x)4

ESQUEMAS: SERIE DE TAYLOR

Qué error existe? Este error existe en todas las Diferencias Finitas O( x)2 O( x)

FDM: SOLUCIÓN Función a determinar

Aproximación de Diferencia central en el nodo (i, j)

FDM: PDE PARABÓLICAS Difusión de Calor 1D FD CD

FDM: PDE PARABÓLICAS Formula Explicita (x, t + t) (x, t) El valor de a lo largo de la 1º fila, t = t, puede ser calculado en términos de las CF y CI, entonces los valores de de la 2º fila, t = 2 t, son calculados en términos de la 1º fila y..

MOLÉCULA COMPUTACIONAL 0 r 1/2 El cuadrado se usa para representar el punto de la grilla donde se presume conocido y el circulo donde es desconocido

SOLUCIÓN ESTABLE (1 2r) > 0 Si r = 1/2 0 r 1/2

Crank y Nicholson: Formula impícita Puesto que la solución estable depende de r o del tamaño del paso t, la formula explícita es ineficiente CF( j ) CF( j +1)

Formula Implícita El lado derecho consiste de tres valores conocidos, mientras el lado izquierda tiene tres valores desconocidos de

Formula Implícita Si existen n nodos libres a lo largo de cada fila, entonces para j = 0, aplicando la ecuación implícita a los nodos i = 1, 2,..., n resulta en n ecuaciones simultáneas con n valores desconocidos y con CF y CI conocidos de. Similarmente, para j =1, se obtiene n ecuaciones simultaneas en términos de los valores conocidos de j = 0, y así sucesivamente. El paso puede ser escogido mucho mas grande que el de la formula implicita. Se pueden escoger muchos valores de r pero es conveniente escoger r = 1:

EJEMPLO

EJEMPLO: MÉTODO EXPLICITO MAL despeje

EJEMPLO: MÉTODO EXPLICITO

EJEMPLO: MÉTODO IMPLÍCITO

FDM: PDE HIPERBÓLICAS u: velocidad de onda Ec Onda FDM

Formula Explícita Molécula Estabilidad r 1

F. Explícita Molécula simple r = 1 r=1

Inicio del Algoritmo de Solución? Suponiendo... j = 0, t = 0

EJEMPLO: Hiperbólicas CF CI Solución Analítica

EJEMPLO: Hiperbólicas FDM Explicito: r=1

EJEMPLO: Hiperbólicas Puesto que u = 1 y r = 1, t = x. También, dado que el problema es simétrico con respecto a x = 0.5, se soluciona únicamente para 0 < x < 0.5, t 0.

EJEMPLO: Solución

FDM: PDE's ELIPTICAS Poisson

FDM: PDE's ELIPTICAS Para cada punto (i, j) en la grilla de la Ec. de Poisson h: Tamaño de la grilla Laplace PROMEDIO!

FDM ELIPTICAS MOLECULAS 2 Orden

FDM ELIPTICAS MOLECULAS 4 Orden

QUIZ DIBUJE UN DIAGRAMA DE FLUJO PARA DETERMINAR LA SOLUCION CON LA FORMULA EXPLICITA DIBUJE UN DIAGRAMA DE FLUJO PARA DETERMINAR LA SOLUCION CON LA FORMULA IMPLICITA

FDM: PDE's ELIPTICAS SOLUCION GRAN NUMERO DE ECUACIONES ALGEBRAICAS

Método Matricial [A]: Matriz Sparse (muchos ceros) [X]: Matriz columna de todos los valores desconocidos en los nodos libres. [B]: Matriz columna de todos los valores conocidos en los nodos fijos.

Método Matricial Para determinar los valores de X desconocidos: La matriz A también se caracteriza por tener los términos no nulos, agrupados cerca a la diagonal.

Métodos Iterativos Los métodos iterativos son generalmente usados para solucionar grandes sistemas de ecuaciones simultaneas. Un método iterativo para solucionar ecuaciones es aquel que utiliza una primera aproximación para calcular la segunda aproximación, luego esta es usada para calcular la tercera aproximación y así sucesivamente. Jacobi Gauss Seidel Successive over relaxation SOR

SOR Residuo: cantidad en que el valor (i, j) no satisface la ecuación anterior Para mejorar la convergencia: +

SOR El parámetro se denomina el factor de relajación mientras la técnica es conocida como el método de Sobre Relajación Sucesiva (SOR). El valor de se encuentra entre 1 y 2. ( Cuando = 1, el método simplemente se llama relajación sucesiva). Su valor óptimo opt debe hallarse con prueba y error. Para iniciar el Algoritmo, se comienza con un valor inicial 0(i, j) para cada nodo libre. Típicamente se elige 0(i, j) = 0 o con el promedio de en los nodos fijos.

EJEMPLO Solucione la ecuación de Laplace: con Paso:

EJEMPLO: Elípticas

EJEMPLO: Elípticas Solucione la ecuación de Poisson (usando SOR): Banda Aislante

EJEMPLO: Elípticas Sol. Analítica CF Heterogéneas CF Homogéneas

EJEMPLO: Elípticas Sol. Analítica

EJEMPLO: Elípticas SOR Factor de sobre relajación Con Nx Ny: Numero de divisiones a lo largo del eje x y y Nx = Ny = 4, 12, 20 x = y = 1/4, 1/12, 1/20

Recordando el problema Banda Aislante

EJEMPLO: Elípticas SOR

Precisión y Estabilidad de las soluciones del FDM La estabilidad y la precisión son extremadamente importantes, si la solución se desea confiable y útil La precisión es una medida de la cercanía de la solución aproximada a la solución exacta (si existe). La estabilidad es el requerimiento de que esquema no incrementa la magnitud de solución al incrementar el tiempo (paso). el la

Fuentes de Error Existen tres fuentes de error, casi inevitables en la solución numérica de problemas físicos: Error de Modelado Error de Truncamiento (Discretizar) PRECISION Error de Redondeo

Error de Modelado Sistema No Lineal Sistema Lineal Los errores de Modelado son causados por ciertas suposiciones hechas en el modelamiento matemático. Por ejemplo, un Sistema No Lineal que puede representarse por medio de una PDE lineal.

Error de Truncamiento (Discretización) En análisis numérico se trata con un numero finito de términos cuando el proceso es descrito por una serie infinita. Por ejm, en varios esquemas de derivación de FD, algunos términos de orden mayor en la serie de Taylor fueron despreciados.

Error de Truncamiento Se pueden reducir usando grillas mas finas, decrementando el tamaño de la grilla h y el incremento temporal (paso) t. También se pueden disminuir usando aproximaciones de ordenes mas grandes. Al utilizar aproximaciones de orden mayor pueden producirse soluciones falsas o inestabilidad.

Error de Redondeo Los cálculos se pueden realizar solo con una precisión finita en un computador. Esta fuente de error inevitable se debe al tamaño limitado de los registros en la unidad aritmética del computador Los errores de redondeo pueden ser minimizados usando la aritmética de doble precisión

Redondeo Discretización

Y la solución puede crecer sin limites? Un algoritmo numérico es estable si un pequeño error en cualquier ciclo produce un error acumulativo pequeño. La consecuencia de la inestabilidad es desastrosa. En el paso n ocurre un error n, asumiendo una variable independiente. En el paso n+1, la amplificación de este error es: n+1=g n

Estabilidad g: factor de amplificación Para dos o mas variables: Matriz n+1=g n Estabilidad

Método de Von Neumann PDE Parabólica: Serie de Fourier: k: numero de onda PDE aprox. Lineal

Método de Von Neumann