Proyectividades, Involuciones y Afinidades.

Parte I Proyectividades, Involuciones y Afinidades. 1 Proyectividades entre espacios proyectivos Sea f una aplicación lineal entre dos espacios vectoriales V y V sobre K. Un punto P = <v> de P(V) no es más que un subespacio <v> unidimensional engendrado por un vector no nulo vεv. Cada transformación regular f : V V entre espacios vectoriales sobre K determina una aplicación P(F) : P(V) P(V ), que se denominará la inducida por f, mediante P(f)<v> = <f(v)>. Cuando f sea un isomorfismo de espacios vectoriales, se dirá de P(f) que es una proyectividad. Propiedades A continuación se incluye una lista de propiedades inmediatas: - La existencia de una aplicación P(f) entre dos espacios proyectivos inducida por una transformación regular conlleva que la dimensión del primero es menor o igual que la del segundo. Recuérdese que las trnasformaciones regulares conservan la independencia lineal de vectores. - Una condición necesaria para que haya una proyectividad entre dos espacios es que ambos tengan la misma dimensión. - Las proyectividades transforman subespacios en subespacios y conservan las dimensiones. - La inversa de una proyectividad es una proyectividad. 1

- Cada proyectividad P(f) : P(V) P(V ) induce un isomorfismo entre el retículo de los subespacios de P(V) y el retículo de los subespacios de P(V ), o sea, conserva inclusiones, las sumas y las intersecciones de subespacios. - Si σ :P P es una proyectividad, entonces σ es biyectiva y aplica puntos alineados en puntos alineados o, dicho de otra forma, cada vez que A εam para tres puntos A, B, C ε P, se tiene que σ(a)εσ(b)σ(c) Definición: si P(f) es una proyectividad entre los espacios proyectivos P(V) y P(V ) de dimensión n sobre K, en los que hay fijados sendos sistemas de coordenadas homogéneas B y B, entonces la relación entre las coordenadas homogéneas de un punto P de P(V) y las de su imagen P(f)(P) viene dada por la expresión λx = xa donde x es el vector fila de las coordenadas homogéneas de P respecto al sistema de coordenadas B, x las de su imagen respecto al sistema B, y A la matriz inversible de orden n+1 cuyas filas no son sino las coordenadas respecto al sistema B de las imágenes de los vectores del sistema B. 2 El teorema fundamental de la geometría proyectiva Sea P(V) un espacio proyectivo de dimensión n > 1sobre un cuerpo K. Tómense en él n + 1 puntos independientes P O =< u o >,..., P n =< u n >y otro punto más P =< u >con la propiedad de no pertenecer a ninguno de los hiperplanos engendrados por n de entre los primeros n + 1 puntos. Estos fabrica un sistema de coordenadas homogéneas de puntos base P 0,...,P n y un punto de unidad P.En general, a la configuración de los n + 2 puntos anteriores se le denomina símplex. Teorema: Teorema fundamental de la Geometría proyectiva. 2

Dados sendos símplex {P i },{Q i } en espacios proyectivos P y P de la misma dimensión n > 0 sobre un cuerpo K, existe una única proyectividad σ: P P que transforma uno en el otro, o sea, σ(p i ) = Q i para cada i. Demostración: Sean σ y ρ proyectividades de P y P que aplican el símplex {P i }en el símplex {Q i }.El resultado se obtiene teniendo en cuenta que σ 1 ρes una proyectividad que deja fijos a todos los puntos de {P i } y que σ 1 ρ = 1 P si y sólo si σ = ρ. Símplex configuración de n+2 puntos tales que n+1 son independientes, y el otro es un punto unidad, el cual no pertenece a ninguno de los hiperplanos engendrados por n de los n+1 puntos independientes. En geometria, un símplex o n-símplex es el análogo en n dimensiones de un triángulo. Más exactamente, un símplex es la envolutura convexa de n conjunto de (n+1) puntos independientes afines en un espacio euclídeo de dimensión n o mayor, es decir, el conjunto de puntos tal que ningún m-plano contiene más de m+1 de ellos. Se dice de estos puntos que están en posición general. Por ejemplo, un 0-símplex es un punto; un 1-símplex un segmento de una línea; un 2-símplex un triángulo; un 3-símplex es un tetraedro; y un 4-símplex es un pentácoron. Un n-símplex regular puede construirse a partir de un (n-1)-símplex regular conectando un nuevo vértice a todos los vértices originales por la longitud común del lado. 3 Proyectividades entre rectas de un plano Definición: sean r y s dos rectas de un plano proyectivo y O un punto del plano no inciden con ninguna de las dos rectas. La perspectividad de centro O de 3

r sobre s es la aplicación π O : r s que transforma cada punto A de r en la intersección A de s con la recta OA. En definitiva, π O (A) = A = s OA Nota: es evidente que toda perspectividad π O : r s es biyectiva así como que el punto de intersección M de r constituye un punto doble (punto que se aplica en sí mismo). Una propiedad elemental afirma que r = s implica π O = 1 r, luego la identidad constituye una perspectividad de centro cualquier punto del plano que no se sitúe en la recta dominio. Otra obviedad proviene del hecho de que la inversa de una perspectividad es otra perspectividad del mismo centro. Definición: los puntos límites son las imágenes de los puntos impropios, (puntos del infinito). Definición: sean A, B, C, y D cuatro puntos sobre una recta proyectiva con los tres primeros distintos entre sí y D distinto de A. Por razón doble de los cuatro puntos se entenderá al valor que toma la abscisa λdel punto D en el sistema de coordenadas {A,B,C} con A en el infinito, en cuyo caso se escribirá (ABCD) = λ. Observación: siempre ocurre que (ABCB) = 0 y (ABCC) = 1 Definición: dos rectas L y L contenidas en un plano proyectivo se dice que son perspectivas, cuando existe una aplicación biyectiva σ : L L tal que las rectas que unen cada punto con su imagen, concurren en un mismo punto llamado centro de perspectividad. A la aplicación σ : L L se le llama perspectividad. Definición*: dos haces de rectas son perspectivos cuando existe una biyección entre ambos de tal forma que los puntos de intersección de cada recta con su imagen estan sobre una recta, llamada eje de perspectividad. Proposición: la condición necesaria y suficiente para que una proyectividad entre rectas del plano sea una perspectividad, es que el punto de intersección de 4

ambas rectas se corresponda en la proyectividad. Proposición*: toda proyectividad entre rectas de un mismo plano es el producto de, a lo sumo, tres perspectividades. Propopiedades: Vamos a dar algunas propiedades de perspectividad: - Toda perspectividad es biyectiva. - M = r s es un punto doble (de aplica en sí mismo). - r = s π O = 1 r la identidad es una perspectividad de centro cualquier punto del plano que no esté sobre la recta dominio (r). - La inversa de una perspectividad es otra perspectividad del mismo centro. Definición: {A,B;C} un sistema de coordenadas homogéneas. A = < a >, B = < b >, C = < a + b >, D = <λa + b >, λ es la abscisa del sistema en el que A esta en el infinito, B es el origen y C actúa como punto unidad. Definición: A, B, C y D sobre una recggta proyectiva (A,B,C,D) es la razón doble de los cuatro puntos. Razón Doble: Al espacio proyectvo unidimensional lo hemos denominado recta proyectiva, y a sus elementos puntos. Dicho espacio proyectivo puede ser considerado por sí mismo, o bien como subespacios proyectivos de un espacio proyectivo de dimensión n 2. Como ejemplos tenemos, en el plano proyectivo, el conjunto de puntos de una recta o su concepto dual, haz de rectas, conjunto de rectas que pasan por un punto 5

(denominado punto base o vértice del haz). En el espacio proyectivo tridimensional, tenemos como concepto dual de puntos de una recta el haz de planos, conjunto de planos que pasan por una recta (denominada base del haz de planos). Cualquiera que sea el modelo que tomemos de espacio proyectivo unidimensional, nos referiremos a él, al menos cuando hagamos desarrollos teóricos, con el nombre de recta proyectiva y a sus elementos los llamaremos puntos. Sean en la recta proyectiva cuatro puntos P 1,P 2,P 3,P 4,interesa obtener un escalar asociado a estos cuatro puntos, que no dependa de la constante de proporcionalidad arbitraria de sus coordenadas homogéneas y que sea invariante respecto a un cambio de coordenadas sobre la recta. Definición: se llama razon doble de cuatro puntos P 1,P 2,P 3,P 4 alineados a la ex- X 3 0 X 0 1 X presión (P 1 P 2 P 3 P 4 ) = X0 3 X1 1 X1 3 X0 1 : X0 X3 0 4 X1 1 X1 4 X0 X 1 3 1 X 1 4 0 X 0 1 1 X = X1 2 X1 3 X0 2 X4 0 4 1 X 1 1 X1 2 X1 4 X0 2 X 0 3 X2 0 : X X3 1 X2 1 4 0 X 0 2 X4 1 X2 1 siendo (xi 0,x1 i ) (i = 1,2,3,4), las coordenadas homogéneas de P i respecto a una referencia proyectiva dada. Corolario: Seam A, B, C y D cuatro puntos distintos dos a dos de una recta proyectiva con(abcd) = ρ, se tiene entonces: 1. (ABCD) = (BADC) = (CDAB) = (DCBA) = ρ 2. (BACD) = (ABDC) = (DCAB) = (CDBA) = 1 ρ 3. (ACBD) = (BDAC) = (CADB) = (BDCA) = 1 ρ 4. (CABD) = (DBAC) = (ACDB) = (BDCA) = 1 1 ρ 5. (BCAD) = (ADBC) = (DACB) = (CBDA) = 1 1 ρ 6. (CBAD) = (DABC) = (ADCB) = (BCDA) = ρ ρ 1 6

Teorema: Sean σ : r s una biyección entre rectas de un mismo plano proyectivo. Entonces, son equivalentes: i) σ conserva razones dobles ii) σ es una proyectividad iii) σ se descompone en producto de perspectividades. Teorema: Una condición necesaria y suficiente para que una proyectividad σ entre dos rectas r y s del mismo plano sea una perspectividad es que el punto de intersección de r con s constituya un punto doble. Cálcullo de puntos dobles λxx + µx + δx + γ = 0 λx 2 + (µ + δ)x + γ = 0-2 raíces : proyectividad hiperbólica. - 1 raíz: proyectividad parabólica. - 0 raíces: proyectividad elíptica. 4 Involuciones Dada una proyectividad σ entre rectas r y s sobre el mismo cuerpo K, y fijados en ellas sendos sitemas de coordenadas, existen escalares λ 0,λ 1, µ 0, µ 1 donde λ 0 µ 1 λ 1 µ 0 0 que proporcionan la ecuación explícita de σ: x = λ 0+λ 1 x µ 0 +µ 1 x Definición: de una proyectividad σ de una recta r en sí misma se dice que es una involución si σ 2 = 1 r, es decir, una involución es una función matemática que es su propia inversa, f ( f (x)) = x. Toda involución es biyectiva. La función identidad es un ejemplo trivial de involución. 7

Definición: Otra definición de involución seria la siguiente: Una involución de un espacio proyectivo unidimensional en sí mismo es una proyectividad, tal que su cuadrado es la identidad. En una involución, a los elementos homólogos se les suele denominar conjugados. Proposición: una condición suficiente para que una proyectividad σ : r s sea una involución distinta de 1 r es que exista Aεr/σ 2 (A) = Ay σ(a) A. Proposición: una involución esta determinada por dos pares de elementos homólogos. Proposición: toda proyectividad es el producto de dos involuciones. Proposición: una involución en la recta proyectiva P(K) o bien tiene dos puntos dobles, o carece de ellos. No existen involuciones con un sólo punto doble. Lema: una condición suficiente para que una proyectividad σ de una recta r en sí misma sea una involución distinta de la identidad, es que exista un punto Aεr tal que σ(a) A y σ 2 (A) = a. Definición: a un símplex de un plano proyectivo P también se le denomina un cuadrivértice, esto es, un conjunto de cuatro puntos {A,B,C,D} llamados vértices, tales que no hay tres de ellos alineados. Definición: por cuadrilátero se entenderá al concepto dual de cuadrivértice. Así un cuadrilátero estará constituido por cuadro rectas {a,b,c,d} tales que no haya tres de ellas concurrentes. A tales rectas se les conoce como los lados del cuadrilátero. Los cuatro lados se intersecan en seis puntos que determinan siete rectas, tres de las cuales, las diagonales, se diferencian de las cuatro de partida. 8

Teorema Segundo teorema de DESARGUES Sea {A,B,C,D} un cuadrivértice de un plano proyectivo y r una recta del plano que no contiene a ninguno de los vértices y que corta a BC en P, a AD en P, a ABen Q, a CD en Q. a BDen R y a ACen R. Entonces, la única proyectividad σ : r r que aplica P en P, Q en Q y R en R es una involución. Teorema El teorema de FANO Los tres puntos diagonales de un cuadrivértice sobre un plano proyectivo están alineados si y solamente si la característica del cuerpo base es 2. Definición: en un plano afin, se define un trapecio como un cuadrivértice con un punto diagonal en el infinito (de su envolvente proyectiva), traducido, con un par de lados opuesto paralelos. Definición: por paralelogramo se entenderá a un cuadrilátero con dos de sus puntos diagonales en el infinito (las dos parejas de lados paralelas). Los paralelogramos solo constan de dos diagonales ya que la tercera la constituye la recta impropia. Proposición dual Teorema de FANO Las tres rectas diagonales de un cuadrilátero sobre un plano proyectivo concurren en un punto si y solamente si la característica del cuerpo es 2. 5 Cuaterna armónica Definición: de los elementos de una cuaterna (A,B,C,D) de puntos de una recta proyectiva, se dice que están en cuaterna armónica si su razón doble 9

(ABCD) vale -1, en cuyo caso, a D se le llama el cuarto armónico de la terna (A,B,C) y a los puntos C y D se les denomina los conjugados armónicos de A y B. Lema: cuatro puntos A, B, C y D de una recta proyectiva se encuentran en cuaterna armónica si y solo si B se localiza, cuando A está en el infinito, en el punto medio del segmento determinado por C y D. Proposición: si el cuerpo es de característica distinta de 2, los cuatros elementos de una cuaterna armónica son siempre diferentes. Si la característica es 2, el cuarto armónico de tres puntos diferentes coincice siempre con el tercero de ellos. Observación: en un espacio afín, en el cual los puntos no son sino vectores, tiene sentido la expresión A+B 2 que se refiere al punto (vector) obtenido mediante el producto escalar 2 1 de la suma de los vectores (puntos) A y B. Por el contrario, en un proyectivo la suma de puntos distintos se interpreta como una recta ym además, carece de significado la multiplicación de una recta por un escalar. Mientras las proyectividades conservan cuaternas armónicas, las afinidades conservan también puntos medios. Lema: las dos diagonales de un paralelogramo se cortan en su punto medio. 6 Transformaciones entre haces de rectas En varias ocasiones se ha razonado sobre la configuración geométrica integrada por cuatro puntos alineados A, B, C, y D con los tres primeros distintos entres sí y D A. A la configugración dual de esta en un plano proyectivo se la denominará un lápiz. En concreto, un lápiz (a,b,c,d) constará de cuatro rectas concurrentes a, b, c y d de un plano proyectivos con a b c d. A un lápiz (a,b,c,d) se le adjudicará el adjetivo armónico, si existe un cuadrilátero que integre a a y a b 10

como dos de sus lados, a c como una de sus diagonales y, d pase por el punto de corte de las otras dos diagonales. Nota: las proyectividades entre haces de rectas del mismo plano se introducen como composición de un número finito de perspectividades. Nota2: para que el concepto de razón doble de un lápiz sea compatible con el principio de dualidad, se requiere que * conserve razones dobles. Así, se define la razón doble del lápiz (a,b,c,d) mediante (abcd) = (a*b*c*d*). Teorema: Sea (a,b,c,d) un lápiz de un plano P y r una recta arbitraria de P que no pase por a b. Entonces (abcd) = (ABCD), donde A = a r, B = b r, C = c r y D = d r. Teorema: propiedades proyectividades. i) Toda proyectividad entre haces del mismo plano factoriza en producto de, a lo sumo, tres perspectividades. ii) Las proyectividades entre haces de rectas del mismo plano conservan razones dobles de lápices. iii) Toda biyección entre haces de rectas de un mismo plano que conserve razones dobles de lápices es una proyectividad. iv) Una proyectividad entre haces de rectas A* y B* de un plano es una perspectividad si y solamente si la recta AB es doble. v) El lápiz (a,b,c,d) es armónico si y solamente si (abcd) = -1. vi) Una proyectividad σ de un haz en sí mismo es una involución distinta de la identidad si y solo si existe una recta a del haz tal que σ(a) a y σ 2 (a) = a. vii) Una involución en un haz distinta de la identidad tiene, a lo sumo, 2 rectas dobles. 11