3. Calcular una base normalizada asociada a esa referencia y las coordenadas en ella del punto [1, 2, 5, 3]

Transcripción

1 Ejercicio 0.1 Sea K un cuerpo con q elementos y sea V un espacio vectorial de dimensión n + 1 sobre K. Calcular cuantas bases distintas (como subconjuntos) tiene V, cuantas referencias distintas hay en P(V ) y cuantos subespacios de dimensión d hay en P(V ) Ejercicio 0.2 Averiguar si es cierto que si una familia de rectas {r 1 } 1 i n de un espacio de dimensión tres se cortan dos a dos, todas ellas están contenidas en un plano. Resultado dual Ejercicio 0.3 Comprobar que si r 1, s 1la correspondencia: V rs : P r K P s K P rs+r+s V rs ([x 0,..., x r ], [y 0,..., y s ]) = [x 0 y 0,..., x 0 y s, x 1 y 0,..., x r y s ] Es una aplicación inyectiva, pero no sobre. Para r = s = 1 dar la ecuación de la imagen de la aplicación. Ejercicio 0.4 Se consideran en el espacio P(R 4 ) los puntos: A 0 = [2, 1, 1, 0], A 1 = [2, 1, 3, 1], A 2 = [ 1, 0, 1, 2], A 3 = [1, 0, 1, 1] y se llama L al subespacio que generan. 1. Probar que L tiene dimensión 2 2. Probar que R = {A 0, A 1, A 2 ; A 3 } es una referencia de L 3. Calcular una base normalizada asociada a esa referencia y las coordenadas en ella del punto [1, 2, 5, 3] 4. Averiguar si existe un punto B L tal que el punto [1, 2, 5, 3] tenga en la referencia {A 0, A 1, A 2 ; B} las coordenadas [1, 2, 1] Ejercicio 0.5 Sean A 0 = [1, 1, 2], A 1 = [2, 1, 3], A 2 = [2, 2, 6], U = [1, 0, 2] puntos de P(R 3 ). Comprobar que forman una referencia, escribir una base normalizada asociada a la referencia y escribir las coordenadas en la referencia del punto [1, 1, 1] y las ecuaciones de la recta x 0 x 1 + 2x 2 = 0 Ejercicio 0.6 Sean π 1, π 2, π 3, tres planos distintos de un espacio proyectivo P 3 de dimensión tres, tales que π 1 π 2 π 3 es una recta r y sea s una recta que se cruza con r. Probar que existe una referencia de P 3 tal que en ella se verifican simultáneamente las siguientes condiciones: 1. π 1, π 2 tienen respectivamente las ecuaciones:x 1 = 0, x 2 = 0 2. r π 1, r π 2, r π 3 tienen las coordenadas [0, 0, 1, 0], [0, 1, 0, 0], [0, 1, 1, 0] respectivamente Ejercicio 0.7 Señalar los signos de las coordenadas proyectivas en cada una de las siete regiones en que dividen al plano las tres rectas x i = 0 de una referencia del plano proyectivo real. 1

2 Ejercicio 0.8 Hallar una referencia del subespacio S de P(R 4 ) de ecuaciones: x 0 x 1 + x 2 6x 3 = 0 x 1 + x 2 2x 3 = 0 En la cual el punto [2, 1, 1, 0] tenga las coordenadas [ 1, 0, 1] Ejercicio 0.9 Sean A, B, C, D los vértices de un cuadrilátero en un plano proyectivo sobre un cuerpo K,y sean P = (A + B) (C + D), Q = (A + C) (B + D), R = (A + D) (C + B). Probar que P, Q, R están alineados si y solo si la característica de K es 2. Ejercicio 0.10 Sea R = {A 0, A 1, A 2 ; U} una referencia en el plano proyectivo sobre un cuerpo K, se consideran tres puntos C k (A i +A j ) {A i, A j }, {i, j, k} = {0, 1, 2} y sean [0, 1, β 0 ], [β 1, 0, 1], [1, β 2, 0] respectivamente las coordenadas de C 0, C 1, C 2 en la referencia R 1. Obtener en términos de los β i la condición necesaria y suficiente para que los puntos C i estén alineados. 2. Obtener en términos de los β i la condición necesaria y suficiente para que las rectas A i + C i sean concurrentes. 3. Deducir los teoremas de Ceva y Menelao. Nota Los teoremas de Ceva y Menelao son los siguientes: Dado un triángulo en el plano real y puntos sobre sus lados como en el enunciado anterior: TeoremadeCeva,- Los puntos C i están alineados si y solo si: A 0 C 2 A 1 C 2. A 1C 0 A 2 C 0. A 2C 1 A 0 C 1 = 1 TeoremadeMenelao.- Las rectas A i + C i son concurrentes si y solo si: A 0 C 2 A 1 C 2. A 1C 0 A 2 C 0. A 2C 1 A 0 C 1 = 1 Donde si X, Y, Z son puntos alineados decimos que XY ZY XY = a ZY = a si y solo si Ejercicio 0.11 Un cuadrilátero del espacio de dimensión tres se dice alabeado si no esta contenido en un plano. Dados un cuadrilátero alabeado [ABCD] y un plano π que no contiene a ninguno de sus vértices se toman los planos π 1 = (A + B) + (C + D) π y π 2 = (B + C) + (A + D) π y las rectas r 1 = π π 1, r 2 = π π 2 y dos planos β 1, β 2 que contengan a r 1 y r 2 respectivamente. Probar que los puntos β 1 (B + C), β 1 (A + D), β 2 (A + B), β 2 (C + D) son coplanarios. 2

3 Ejercicio 0.12 Dados dos cuadrivértices inscritos uno en otro y con los puntos diagonales situados sobre la misma recta, probar que los puntos de corte de sus diagonales coinciden Ejercicio 0.13 Sean A 1, A 2, A 3, tres puntos no alineados del plano proyectivo sobre un cuerpo K, tomamos subconjuntos no vacíos Γ k (A i + A j ) {A i, A j }, {i, j, k} = {1, 2, 3} tales que {i, j, k} = {1, 2, 3} y para cada par de elementos X i Γ i, X j Γ j exista X k Γ k de modo que X i, X j, X k estén alineados, y una terna de puntos U 1, U 2, U 3, que verifiquen estas condiciones. 1. Comprobar que se puede definir el punto unidad U para que en la referencia R = {A 1, A 2, A 3 ; U} los puntos U 1, U 2, U 3 tengan respectivamente coordenadas [0, 1, 1], [ 1, 0, 1], [1, 1, 0] 2. Sean [0, 1, α X1 ], [ α X2, 0, 1], [1, α X3, 0], respectivamente, las coordenadas en R de una terna de puntos genérica X 1, X 2, X 3 verificando las condiciones del enunciado, y sea G i = {α Xi, X i Γ i }. Probar que los G i son subgrupos del grupo multiplicativo de K y son iguales. 3. Si (G i ) = n 3 probar que G i es cíclico de orden n Ejercicio 0.14 Se llama configuración de Sylvester a un par P, Q donde, con las notaciones del ejercicio anterior P = Γ 1 Γ 2 Γ 3, Q = {r, recta con (r P) 2} 1. Probar que (P) = 3n, (Q) = n Probar que todas las rectas de Q excepto 3 contienen exactamente 3 puntos de P. Ejercicio 0.15 Sean A, B, C tres puntos no alineados de un plano proyectivo sobre un cuerpo K de característica distinta de 2 y sea P (B + C) {B, C} un punto fijo. Se toma una recta variable r por P y se llama: Q r = r (A + C), R r = r (A + B), M r = (A + P ) (B + Q r ) Probar que todas las rectas R r +M r son concurrentes. Comprobar si el resultado sigue siendo cierto cuando K tiene característica 2. Ejercicio 0.16 Dadas en el plano proyectivo dos rectas distintas r, s, un punto O / r s y dos puntos A, B alineados con O y no contenidos en r s, se considera una recta variable m por O que corta a r y s en puntos P m y Q m respectivamente. Estudiar el lugar geométrico descrito por el punto (A + P m ) (B + Q m ) 3

4 Ejercicio 0.17 En el plano proyectivo real se toman dos rectas d 1, d 2 con d 1 d 2 = O, otras dos r 1, r 2 con r 1 r 2 = L / d 1 d 2 y un punto I / r 1 r 2 d 1 d 2. Sea s una recta variable por O y sean: s r i = R i s, (I + R i s ) d j = A i,j s, i = 1, 2; j = 1, 2 Probar que todas las rectas A 1,1 s +A 2,2 s pasan por un punto fijo J, que todas las rectas A 1,2 s + A 2,1 s pasan por otro C y que los puntos I, L, J, C están alineados Ejercicio 0.18 Dados en un plano proyectivo un triángulo [A 1 A 2 A 3 ] y una recta r que no pasa por ninguno de sus vértices, llamamos {i, j, k} = {1, 2, 3}, B i = r (A j + A k ), B i,j = (A i + B i ) (A j + B j ). Probar que las rectas A k + B i,j, {i, j, k} = {1, 2, 3} son concurrentes. Enunciado dual. Ejercicio 0.19 Sean {A 1, A 2, A 3, A 4 } cuatro puntos de un plano proyectivo tales que tres cualesquiera de ellos no están alineados, y sean P 1 (A 1 + A 2 ) {A 1, A 2 }, P 2 (A 2 + A 3 ) {A 2, A 3 }, P 3 (A 3 + A 4 ) {A 3, A 4 }, P 4 (A 1 + A 4 ) {A 1, A 4 }. Si (P 1 + P 2 ) (P 3 + P 4 ) (A 1 + A 3 ), probar que (P 1 + P 4 ) (P 3 + P 2 ) (A 2 + A 4 ). Enunciado dual. Ejercicio 0.20 Sean A, B, C, D los vértices de un cuadrilátero en un plano proyectivo sobre un cuerpo de característica distinta de dos, y sean P, Q, R, S puntos situados respectivamente sobre los lados AB, BC, CD, DA del cuadrilátero no coincidentes con ninguno de los vértices. Probar que si P +Q R+S está sobre la diagonal A + C, entonces P + S R + Q está sobre la diagonal B + D. Enunciado dual Ejercicio 0.21 Se considera en P(R 4 ) el plano π que en la referencia canónica tiene la ecuación x 0 x 1 + 2x 2 x 3 = 0 y en dicho plano se consideran los puntos: A 0 = [1, 1, 2, 4], A 1 = [2, 1, 3, 8], A 2 = [2, 2, 6, 12], U = [1, 0, 2, 5]. 1. Probar que forman una referencia de π 2. Escribir una base normalizada asociada a la referencia 3. Escribir las coordenadas en la referencia del punto [1, 1, 1, 2] y las ecuaciones de la recta intersecada en π por el plano x 0 x 1 + 2x 2 = 0 Ejercicio 0.22 Se consideran en P(R 4 ) las rectas cuyas ecuaciones en la referencia canónica son:{r 0 : x 0 x 1 = x 1 + x 2 = 0}, {r 1 : x 3 = x 0 + x 2 = 0}, {r 2 : 2x 0 x 1 +x 2 +x 3 = x 1 +x 2 2x 3 = 0}, {r 3 : x 0 +x 1 +2x 2 x 3 = x 1 +x 2 +x 3 = 0} 1. Comprobar que todas pasan por un punto P y definen una referencia en P(R 4 )/P 2. Escribir las coordenadas de la recta : {s : x 0 + 2x 1 + 3x 2 4x 3 = x 0 + x 2 x 3 = 0} en esa referencia. 3. Escribir las ecuaciones de la recta cuyas coordenadas en la referencia anterior son : [1, 1, 2] 4

5 Ejercicio 0.23 Se consideran en P(R 4 ) el plano x 0 x 1 + 2x 2 x 3 = 0 (ver problema??) y la radiación del problema??, y se considera la correspondencia: φ : π P(R 4 )/P, φ(x) = X + P Escribir las coordenadas en la referencia del problema??, de la imagen de un punto de π conocidas sus coordenadas en la referencia del problema??, y recíprocamente, dadas las coordenadas de una recta en la referencia de la radiación, escribir sus coordenadas en la referencia del plano. Ejercicio 0.24 Se llaman casos reducidos de un enunciado proyectivo a los enunciados afines que se obtiene cuando alguno de los puntos o rectas del enunciado se lleva al infinito. Escribir casos reducidos del teoremas de Desargues. Ejercicio 0.25 Utilizar el teorema de Desargues para dibujar lo siguiente: 1. La recta que pasa por un punto del papel y por el punto de corte de dos rectas que se cortan fuera de él 2. La recta que pasa por el punto de corte de dos rectas que se cortan fuera del papel y es paralela a una recta dada Ejercicio 0.26 Dado en el plano real un paralelogramo, diseñar un método para construir con solo una regla una recta que pase por un punto dado y sea paralela a una recta dada Ejercicio 0.27 Se consideran el plano afín real, tres puntos no alineados A, B, C, y dos rectas concurrentes r, s no paralelas a los lados del triángulo ABC. Se construyen los paralelogramos con diagonales AB, AC, BC y lados paralelos a las rectas r, s. Probar que las segundas diagonales de los tres paralelogramos concurren en un punto. Considerando el plano afín sumergido en el proyectivo y tomando como recta del infinito una recta arbitraria, dibujar la figura correspondiente al problema. Ejercicio 0.28 Dado un triángulo T = [A 1, A 2, A 3 ] del plano afín y una recta r que no pase por ninguno de sus vértices, probar que las rectas que unen cada vértice con el punto medio del segmento determinado por los lados adyacentes a dicho vértice, cortan a los lados opuestos al vértice en puntos alineados. Ejercicio 0.29 Sean a, b, c, tres rectas en el plano afín A 2 y tomemos paralelas a cada una de ellas, a, b, c. Demostrar que a b + a b, a c + a c y c b + c b, son tres rectas concurrentes. Ejercicio 0.30 Se consideran el plano afín real R 2 y su compleción proyectiva sumergidos en el plano afín complejo C 2 y su compleción proyectiva. Probar que una cónica afín real no degenerada es una circunferencia si y solo si pasa por los puntos cíclicos del plano [0, 1, ±i] Ejercicio

6 1. Se consideran las curvas del plano afín dadas en una referencia afín por las ecuaciones : C 1 : x 2 + y 2 = 1, C 2 : xy = 1, C 3 : x 2 y = 0 Se sumerge el plano afín en el proyectivo y se pide encontrar cambios proyectivos de coordenadas que transformen la ecuación de C i en la de C j para 1 i j 3 2. Escribir las ecuaciones de las asíntotas de la curva real planas, de ecuación: x 4 4x 2 y 2 + 2x 3 3y 2 = 0, Ejercicio 0.32 En el espacio afín real de dimensión tres, R 3, sean π, π, dos planos distintos. Consideramos R 3 P 3 R, Q complementario de π y de π y ϕ, la proyección de π en π desde Q. 1. Sea P π un paralelogramo. À Qué condiciones deben satisfacer π, π y Q para que la imagen de P por ϕ sea también un paralelogramo?. 2. Si π y π tienen ecuaciones respectivamente: x y = 0, x+z = 0 y Q tiene coordenadas (1, 2, 0) en una referencia afín de R 3, buscar las ecuaciones de las recta de π que se transforma por ϕ en la recta del infinito de π y de la recta transformada de la recta del infinito de π 3. Buscar las coordenadas de un punto T tal que la proyección del paralelogramo de π de vértices : (1, 1, 0)(0, 0, 2)(3, 3, 0)(5, 5, 4) sobre π desde T sea un paralelogramo Ejercicio 0.33 Sean a, b, c, tres rectas en el plano afín A 2 y tomemos paralelas a cada una de ellas, a, b, c. Demostrar que a b + a b, a c + a c y c b + c b, son tres rectas concurrentes. Ejercicio 0.34 Dado un cuadrilátero en un plano π del espacio euclídeo real: 1. Buscar todos los pares (Q, α) tales que la proyección del cuadrilátero desde Q sobre α sea un paralelogramo 2. Id. sea un rectángulo 3. Id. sea un cuadrado Ejercicio 0.35 Dados dos cuadrivértices inscritos uno en otro y con los puntos diagonales situados sobre la misma recta, probar que los puntos de corte de sus diagonales coinciden Ejercicio 0.36 Discutir y probar en los casos en que sea cierto el siguiente enunciado (Teorema de Desargues): 6

7 Sean A, B, C, A, B, C dos triángulos del plano proyectivo. Se verifica que: A + A, B + B, C + C son rectas concurrentes si y solo si (A + B) (A + B ), (A + C) (A + C ), (C + B) (C + B ) son puntos alineados Ejercicio 0.37 Utilizar el teorema de Desargues para dibujar la recta que pasa por un punto del papel y por el punto de corte de dos rectas que se cortan fuera de él Ejercicio 0.38 Discutir y probar en los casos en que sea cierto el siguiente enunciado (Teorema de Pappus): Sean A, B, C tres puntos distintos dos a dos de una recta r, y A, B, C tres puntos distintos dos a dos de otra recta s del plano proyectivo. Se verifica que: (A+A ) (C +B ), (A +B) (C +C ), (C +A) (B +B ) son puntos alineados. Enunciado dual. Ejercicio 0.39 Un triángulo A, B, C se dice inscrito en otro A, B, C si: A (B + C ) \ {B, C }, B (A + C ) \ {A, C }, C (A + B ) \ {A, B }, Y si se cumple esta condición se dice también que A, B, C esta circunscrito a A, B, C. Probar que si un triángulo T esta inscrito en otro T hay tantos triángulos inscritos en T y circunscritos a T como puntos tiene una recta menos dos. Ejercicio 0.40 Dados en un plano proyectivo un triángulo A 1 A 2 A 3 y una recta r que no pasa por ninguno de sus vértices, llamamos {i, j, k} = {1, 2, 3}, B i = r (A j + A k ), B i,j = (A i + B i ) (A j + B j ). Probar que las rectas A k + B i,j, {i, j, k} = {1, 2, 3} son concurrentes. Enunciado dual. Ejercicio 0.41 Dado un triángulo T 1 = A 1, B 1, C 1 del plano proyectivo y un punto U no situado sobre ninguno de los lados del triángulo, se construye un nuevo triángulo,t 2 = A 2, B 2, C 2 por: A 2 = (B 1 +C 1 ) (U +A 1 ), B 2 = (A 1 +C 1 ) (U +B 1 ), C 2 = (B 1 +A 1 ) (U +C 1 ) e iterando el proceso se construyen triángulos T 3,..., T n. Probar que todas las rectas A i + B i son concurrentes, lo mismo sucede con las B i + C i y las C i + A i, y que los tres puntos de corte de las tres familias de rectas están alineados. Ejercicio 0.42 Se consideran en el espacio proyectivo de dimensión tres cuatro rectas distintas dos a dos, concurrentes en un punto O y no coplanarias, r 1, r 2, r 3, r 4. Se considera una recta s que se cruza con todas ellas y dos planos π 1, π 2 que no pasan por O y se cortan exactamente en s. Si π 1 r i = A i, π 2 r i = B i, 1 i 4 y además Probar que : P = (A 1 + A 2 ) (A 3 + A 4 ) s.q = (A 3 + A 2 ) (A 1 + A 4 ) s 7

8 1. Probar que P = (B 1 + B 2 ) (B 3 + B 4 ).Q = (B 3 + B 2 ) (B 1 + B 4 ) 2. Probar que A 1 + B 3, A 2 + B 4, A 3 + B 1, A 4 + B 2 son concurrentes. Ejercicio 0.43 Sean {A 1, A 2, A 3, A 4 } cuatro puntos de un plano proyectivo tales que tres cualesquiera de ellos no están alineados, y sean P 1 (A 1 + A 2 ) {A 1, A 2 }, P 2 (A 2 + A 3 ) {A 2, A 3 }, P 3 (A 3 + A 4 ) {A 3, A 4 }, P 4 (A 1 + A 4 ) {A 1, A 4 }. Si (P 1 + P 2 ) (P 3 + P 4 ) (A 1 + A 3 ), probar que (P 1 + P 4 ) (P 3 + P 2 ) (A 2 + A 4 ). Enunciado dual. Ejercicio 0.44 Se consideran en el espacio proyectivo real de dimension 3 los puntos y rectas dados en términos de una cierta referencia por las coordenadas y ecuaciones que se indican: A : [1, 1, 0, 0], B : [0, 1, 1, 0], C : [1, 0, 0, 1], r : {x 0 + x 2 + x 3 = 0, x 1 x 3 = 0} 1. Probar que las rectas B + C y r se cruzan 2. Ecuaciones de la recta que pasa por A y corta a B + C y r Ejercicio 0.45 Dadas dos rectas que se cruzan r y s en un espacio proyectivo tridimensional y un punto P no situado en ninguna de ellas. 1. Probar que existe una única recta que pasa por P y corta a r y s 2. Elegir una referencia en el espacio y calcular en ella las ecuaciones de r y s, las coordenadas de P y las ecuaciones la recta del apartado primero de este problema. Ejercicio 0.46 Sean r, s dos rectas distintas de un plano proyectivo, con r s = {P }, sean {A, B, C} r, {A, B, C } s dos ternas de puntos distintos dos a dos y distintos de P. 1. Probar que (A + B ) (B + A ), (A + C ) (C + A ), (B + C ) (C + B ), están alineados. 2. Probar que existe una única proyectividad de r en s que transforma A, B, C en A, B, C Ejercicio 0.47 Probar que la proyectividad del problema anterior es una perspectividad si y solo si transforma P en P Ejercicio 0.48 Un triángulo [A, B, C] se dice inscrito en otro [A, B, C ] si: A (B + C ) \ {B, C }, B (A + C ) \ {A, C }, C (A + B ) \ {A, B }, Y si se cumple esta condición se dice también que [A, B, C ] esta circunscrito a [A, B, C]. Probar que el axioma de Pappus implica que si un triángulo T esta 8

9 inscrito en otro T hay tantos triángulos inscritos en T y circunscritos a T como puntos tiene una recta menos dos. Ejercicio 0.49 Sea K un cuerpo con q elementos y sea V un espacio vectorial de dimensión n + 1 sobre K. Calcular cuantas bases distintas (como subconjuntos) tiene V, cuantas referencias distintas hay en P(V ) y cuantos subespacios de dimensión d hay en P(V ) Ejercicio 0.50 Probar que si una familia de rectas {r 1 } 1 i n de un espacio de dimensión tres se cortan dos a dos, todas ellas están contenidas en un plano. Resultado dual Ejercicio 0.51 implica su dual Probar que en un plano proyectivo el axioma de Desargues Ejercicio 0.52 Comprobar que si r 1, s 1la correspondencia: V rs : P r K P s K P rs+r+s V rs ([x 0,..., x r ], [y 0,..., y s ]) = [x 0 y 0,..., x 0 y s, x 1 y 0,..., x r y s ] Es una aplicación inyectiva, pero no sobre. Para r = s = 1 dar la ecuación de la imagen de la aplicación. Ejercicio 0.53 Se consideran en el espacio P(R 4 ) los puntos: A 0 = [2, 1, 1, 0], A 1 = [2, 1, 3, 1], A 2 = [ 1, 0, 1, 2], A 3 = [1, 0, 1, 1] y se llama L al subespacio que generan. 1. Probar que L tiene dimensión 2 2. Probar que R = {A 0, A 1, A 2 ; A 3 } es una referencia de L 3. Calcular una base normalizada asociada a esa referencia y las coordenadas en ella del punto [1, 2, 5, 3] 4. Averiguar si existe un punto B L tal que el punto [1, 2, 5, 3] tenga en la referencia {A 0, A 1, A 2 ; B} las coordenadas [1, 2, 1] Ejercicio 0.54 Hallar una referencia del subespacio S de P(R 4 ) de ecuaciones: x 0 x 1 + x 2 6x 3 = 0 x 1 + x 2 2x 3 = 0 En la cual el punto [2, 1, 1, 0] tenga las coordenadas [ 1, 0, 1] Ejercicio 0.55 Se considera en P(R 4 ) el plano π que en la referencia canónica tiene la ecuación x 0 x 1 + 2x 2 x 3 = 0 y en dicho plano se consideran los puntos: A 0 = [1, 1, 2, 4], A 1 = [2, 1, 3, 8], A 2 = [2, 2, 6, 12], U = [1, 0, 2, 5]. 1. Probar que forman una referencia de π 9

10 2. Escribir una base normalizada asociada a la referencia 3. Escribir las coordenadas en la referencia del punto [1, 1, 1, 2] y las ecuaciones de la recta intersecada en π por el plano x 0 x 1 + 2x 2 = 0 Ejercicio 0.56 ( ) Se consideran en P(R 4 ) las rectas cuyas ecuaciones en la referencia canónica son:{r 0 : x 0 x 1 = x 1 +x 2 = 0}, {r 1 : x 3 = x 0 +x 2 = 0}, {r 2 : 2x 0 x 1 +x 2 +x 3 = x 1 +x 2 2x 3 = 0}, {r 3 : x 0 +x 1 +2x 2 x 3 = x 1 +x 2 +x 3 = 0} 1. Comprobar que todas pasan por un punto P y definen una referencia en P(R 4 )/P 2. Escribir las coordenadas de la recta : {s : x 0 + 2x 1 + 3x 2 4x 3 = x 0 + x 2 x 3 = 0} en esa referencia. 3. Escribir las ecuaciones de la recta cuyas coordenadas en la referencia anterior son : [1, 1, 2] Ejercicio 0.57 Se consideran en P(R 4 ) el plano x 0 x 1 + 2x 2 x 3 = 0 (ver problema??) y la radiación del problema??, y se considera la correspondencia: φ : π P(R 4 )/P, φ(x) = X + P Escribir las coordenadas en la referencia del problema??, de la imagen de un punto de π conocidas sus coordenadas en la referencia del problema??, y recíprocamente, dadas las coordenadas de una recta en la referencia de la radiación, escribir sus coordenadas en la referencia del plano. Ejercicio 0.58 Se consideran el plano afín real, tres puntos no alineados A, B, C, y dos rectas concurrentes r, s no paralelas a los lados del triángulo ABC. Se construyen los paralelogramos con diagonales AB, AC, BC y lados paralelos a las rectas r, s. Probar que las segundas diagonales de los tres paralelogramos concurren en un punto. Considerando el plano afín sumergido en el proyectivo y tomando como recta del infinito una recta arbitraria, dibujar la figura correspondiente al problema. Ejercicio Se consideran las curvas del plano afín dadas en una referencia afín por las ecuaciones : C 1 : x 2 + y 2 = 1, C 2 : xy = 1, C 3 : x 2 y = 0 Se sumerge el plano afín en el proyectivo y se pide encontrar cambios proyectivos de coordenadas que transformen la ecuación de C i en la de C j para 1 i j 3 2. Escribir las ecuaciones de las asíntotas de la curva real planas, de ecuación: x 4 4x 2 y 2 + 2x 3 3y 2 = 0, 10

11 Ejercicio 0.60 Sean a, b, c, tres rectas en el plano afín A 2 y tomemos paralelas a cada una de ellas, a, b, c. Demostrar que a b + a b, a c + a c y c b + c b, son tres rectas concurrentes. Ejercicio 0.61 Dados cuatro puntos A, B, C, D situados en una recta proyectiva, si [A, B, C, D] = α calcular las razones dobles de todas las cuaternas de puntos resultantes de permutar estos cuatro. En particular si forman una cuaterna armónica, escritos en el orden dado, averiguar que permutaciones de ellos siguen siendo cuaternas armónicas. Ejercicio 0.62 Dado un triángulo T = [A 1, A 2, A 3 ] del plano afín y una recta r que no pase por ninguno de sus vértices, probar que las rectas que unen cada vértice con el punto medio del segmento determinado por los lados adyacentes a dicho vértice, cortan a los lados opuestos al vértice en puntos alineados. Ejercicio 0.63 ( )Dado un triángulo T = [A 1, A 2, A 3 ] del plano proyectivo, un punto P se dice polo de una recta r respecto de T, y r se llama polar de P respecto de T, si [A i, A j, (A k + P ) (A i + A j ), r (A i + A j )] = 1, {i, j, k} = {1, 2, 3} 1. Probar que todo punto no contenido en un lado de T tiene polar y que toda recta que no pase por un vértice de T tiene polo. 2. Si se toma una referencia R = {A 1, A 2, A 3 ; U} escribir en coordenadas la correspondencia polo polar. 3. Es posible en algún caso que un punto pertenezca a su polar?. 4. Ecuación en el plano de rectas de las rectas polares de los puntos de una recta que no pasa por ninguno de los vértices del triángulo. Ejercicio 0.64 Probar que si dos triángulos T 1, T 2 de lados a 1, a 2, a 3 y b 1, b 2, b 3 respectivamente, verifican que los puntos a i b i, i = 1, 2, 3, están contenidos en una recta r todas las polares de los puntos de r respecto de ambos triángulos son concurrentes Ejercicio 0.65 Dado un cuadrivértice del plano y un punto no situado sobre ninguno de los lados del cuadrivértice, probar que las cuatro polares del punto respecto de los cuatro triángulos que se forman tomando tres a tres los vértices del cuadrivértice, forman un nuevo cuadrivértice homológico al anterior en una homología de centro el punto. El eje de la homología se llama polar del punto respecto al cuadrivértice. Describir en coordenadas esta construcción. Ejercicio 0.66 Se considera el plano euclídeo real sumergido en el plano proyectivo y se toman en el plano euclídeo real dos circunferencias de radios diferentes. Comprobar que hay dos homotecias que transforman una de las circunferencias en la otra y que los centros de las circunferencias y los centros de las dos homotecias forman una cuaterna armónica 11

12 Ejercicio 0.67 Dados en el plano proyectivo real un punto A y tres rectas no concurrentes a, b, c tales que ninguna de ellas pase por A, trazar una recta que pase por A y corte a las rectas dadas en puntos que formen con A una cuaterna armónica Ejercicio 0.68 Dadas en el plano euclídeo dos rectas a, b y un punto C no contenido en ellas trazar por C una recta que corte a las rectas a, b en puntos A, B de modo que de entre los tres puntos A, B, C uno sea el punto medio del segmento definido por los otros dos. Ejercicio 0.69 Dadas en el plano real dos rectas paralelas dividir en n partes iguales un segmento situado sobre una de ella usando solamente una regla no graduada. Ejercicio 0.70 Dadas las rectas del espacio proyectivo real de dimension 3: {r : x 0 x 2 + x 3 = x 1 x 2 + x 3 = 0}, {s : x 0 x 1 + x 2 = x 2 = 0} {t : x 0 2x 1 +x 2 x 3 = x 1 x 2 +x 3 = 0}, {u : 2x 0 +x 1 x 2 x 3 = x 0 +2x 1 x 2 x 3 = 0} 1. Comprobar que están en una recta de una radiación y calcular [r, s, t, u] 2. Calcular el cuarto armónico de r, s, t Ejercicio 0.71 Dados cuatro puntos distintos dos a dos de una recta proyectiva sobre un cuerpo K. Averiguar para que valores de la razón doble de estos cuatro puntos hay mas de cuatro permutaciones de ellos con la misma razón doble. Ejercicio 0.72 Si el cuerpo del problema anterior es el complejo, comprobar que cuatro puntos, A, B, C, D distintos dos a dos y que no forman una cuaterna armónica verifican la condición del problema si y solo si existe una proyectividad π tal que : π(a) = B, π(b) = C, π(c) = D, π(d) = D Ejercicio 0.73 Se consideran en el espacio proyectivo real tres rectas r 0, r 1, r 2 que se cruzan dos a dos y cuatro rectas s 0, s 1, s 2, r 3 tales que cada una de ellas corta a las tres primeras. Comprobar si es cierto que [r j s 0, r j s 1, r j s 2, r j s 3 ] es independiente de j Ejercicio 0.74 Se considera el cuerpo: K = Z/(2)[α], α 3 + aα 2 + bα + c = 0 con x 3 + ax 2 + bx + c polinomio irreducible. 1. Calcular a, b, c para que la ecuación x 3 + ax 2 + bx + c = 0 tenga todas sus soluciones en K 2. Para valores distintos de los del apartado anterior construir el mínimo cuerpo L que contenga a todas las soluciones de la ecuación 12

13 3. Escribir todos los automorfismos de K y de L Ejercicio 0.75 ( ) Se considera el cuerpo: K = Z/(2)[α], α 2 + α + 1 = 0 1. Comprobar que existe un único automorfismo de K distinto de la identidad, al que llamaremos σ 2. Comprobar que los puntos: P 0 : [1, α, 0], P 1 : [α, 1, α + 1], P 2 : [1, 0, α], U : [1, α, 1] forman una referencia de P(K 3 ) y buscar una proyectividad de automorfismo σ que la deje invariante 3. Buscar todas las proyectividades de P(K 2 ) de cuadrado identidad Ejercicio 0.76 Se considera en R 3 y en una referencia métrica el cuadrilátero de vértices (1, 1, 0), (4, 2, 0), (1, 3, 0), (10, 12, 0), y el plano π de ecuación x+y = Buscar todos los puntos P del plano x + y = 2 tal que el cuadrilátero se proyecte desde P en un rectángulo de π 2. Buscar un punto Q y un plano β tal que el cuadrilátero se proyecte desde Q en un cuadrado en β Ejercicio 0.77 Se considera la recta de automorfismos del plano proyectivo real, dada respecto a una referencia fija {A 0, A 1, A 2 ; U}, por la matriz: Se sumerge el plano en el espacio P 5 R con la referencia : {P 0, P 1, P 2, P 3, P 4, P 5 ; T }, de modo que A i vaya a P i, i = 0, 1, 2 y U a [1, 1, 1, 0, 0, 0]. Factorizar la recta de automorfismos en producto de perspectividades para esta inmersión. Ejercicio 0.78 Se llama involución de la recta proyectiva a una proyectividad de automorfismo identidad tal que su cuadrado sea la identidad. 1. Probar que una proyectividad π 1 de P 1 K es una involución si y solo si existe un punto A tal que π(a) A, π 2 (A) = A 2. Probar que si una involución propia (es decir distinta de la identidad) π tiene dos puntos invariantes A, B, entonces X / {A, B}[A, B, X, π(x)] = 1 13

14 Ejercicio 0.79 Se consideran en el espacio proyectivo real tridimensional, los planos y puntos, dados respecto a una referencia fija: π 1 : x 0 x 1 x 2 + x 3 = O, π 2 : x 0 + x 1 + x 3 = O, π 3 : x 0 x 2 = O P 0 : [1, 1, 0, 0], P 1 : [2, 1, 1, 0], P 2 : [1, 1, 1, 1], U : [1, 2, 0, 1] T 1 : [1, 0, 0, 0], T 2 : [0, 1, 1, 0], T 3 : [0, 1, 0, 0] Escribir en la referencia de π 1, R = {P 0, P 1, P 2 ; U} las ecuaciones de la proyectividad resultante de componer: Proyección desde T 1, sección por π 2, proyección desde T 2, sección por π 3,proyección desde T 3, sección por π 1 Ejercicio 0.80 Se consideran en el espacio proyectivo real tridimensional, las rectas y puntos, dados respecto a una referencia fija: r : {x 0 x 1 = x 2 x 3 = 0}, s : {x 0 + x 2 = x 1 + x 3 = 0} t 1 : {x 0 = x 2 + x 3 = 0}, t 2 : {x 3 = x 0 + x 1 = 0} P 0 : [1, 1, 0, 0], P 1 : [0, 0, 1, 1], U : [1, 1, 1, 1] Escribir en la referencia de r, R = {P 0, P 1 ; U} las ecuaciones de la proyectividad resultante de componer: Proyección desde t 1, sección por s, proyección desde t 2, sección por r Ejercicio 0.81 ( ) Se consideran tres puntos alineados, A, B, C,del plano euclídeo real, sumergido en su completado proyectivo. Comprobar si las siguientes construcciones dan como resultado el cuarto armónico X de estos puntos: 1. Se toman por A y B dos rectas paralelas (diferentes de AB) y por C una recta arbitraria que las corta en puntos M y N respectivamente. Se construyen los simétricos M y N de M y N respecto de A y B las rectas MN y M N se cortan en X 2. Se traza por A una recta r (distinta de AB) y en ella se toman dos segmentos consecutivos iguales AL, LM, por la intersección de BL y CM se traza una paralela a r que corta a AB en X 3. Se toma una circunferencia que pasa por A y B y el punto medio M de uno de los arcos en que la cuerda AB divide a la circunferencia, si C está entre A y B, se toma la recta MC que cortará a la circunferencia en un segundo punto N, la perpendicular por N a MN corta a AB en X. Si C no está entre A y B se toma la circunferencia de diámetro MC que cortará a la circunferencia inicial en otro punto N y la recta MN cortará a la AB en X 14

15 Ejercicio 0.82 Se consideran tres puntos alineados, A, B, C de un espacio proyectivo y se construyen tres puntos X, Y, Z por: [B, C, A, X] = [C, A, B, Y ] = [A, B, C, Z] = 1 Probar que: [Y, Z, X, A] = [Z, X, Y, B] = [X, Y, Z, C] = 1 Ejercicio 0.83 Sean r, s dos rectas distintas del plano proyectivo real, con r s = {P }, sean {A, B, C} r, {A, B, C } s dos ternas de puntos distintos dos a dos. Construir gráficamente la imagen de un punto X r en la única proyectividad π : r s que lleva A a A, B a B y C a C, en los casos siguientes: 1. A = A = P 2. P / {A, B, C} {A, B, C } 3. P = A / {A, B, C} 4. P = A / {A, B, C } Ejercicio 0.84 Sea r una recta del plano proyectivo real y sean {A, B, C}, {A, B, C } dos ternas de puntos de r distintos dos a dos. Construir gráficamente la imagen de un punto X r en la única proyectividad π : r r que lleva A a A, B a B y C a C, en los casos siguientes: 1. Si A = A, {B, C} {B, C } = 2. Si A = A, B = B, C C 3. Si {A, B, C} {A, B, C } = Ejercicio 0.85 Repetir los problemas anteriores con alguno o algunos de los puntos en el infinito, y hacer las construcciones duales Ejercicio 0.86 Llamaremos Homología de P a toda proyectividad de P en si mismo distinta de la identidad y con un hiperplano e de puntos invariantes al que se llama eje de la homología. Si π es una homología de eje e: 1. Escribir la matriz de π en una referencia en la que los n primeros puntos estén en e y buscar los hiperplanos invariantes por π. 2. Comprobar que existe un punto C tal que todo hiperplano que pasa por C es invariante; el punto C se llama centro de π. Poner un ejemplo de una homología en la que C e y otra en la que no pertenezca. 3. Probar que una proyectividad α : P P es una homología si y solo si tiene: 15

16 O bien un valor propio con multiplicidad n y otro con multiplicidad 1 y α es diagonalizable (y esto equivale a C / e) O bien α tiene un valor propio con multiplicidad n + 1, una caja de tamaño 2 y el resto de tamaño 1 (y esto equivale a C e) 4. Una homología se llama no degenerada si su centro no pertenece a su eje y degenerada en caso contrario.probar que: Hay tantas clases de conjugación de homologías no degeneradas como elementos de K {1} Todas las homologías degeneradas son conjugadas Ejercicio 0.87 Ecuaciones de la homología de centro [1, 0, 2] y eje x 0 x 1 = 0 que verifica además la condición siguiente (cada condición determina una homología distinta) 1. Transforma [1, 2, 2] en [2, 1, 2] 2. Transforma [1, 2, 1] en un punto de la recta x 0 x 2 = 0 3. Tiene razón 2 Ejercicio 0.88 ( ) Ecuaciones de la homología de centro [1, 0, 2] y eje 2x 0 x 1 x 2 = 0 que verifica además la condición siguiente (cada condición determina una homología distinta) 1. Transforma [1, 2, 2] en [2, 1, 2] 2. Transforma [1, 2, 2] en un punto de la recta x 0 x 2 = 0 3. Transforma la recta 2x 0 x 1 = 0 en la recta x 2 = 0 Ejercicio 0.89 Consideraremos la recta afín real sumergida por una parte en la recta afín compleja y por otra en la recta proyectiva real, de modo que podamos usar indistintamente los lenguajes proyectivo y afín, y al mismo tiempo hablar de puntos imaginarios en la recta real. Sea π una involución de la recta proyectiva real, π tiene necesariamente dos puntos invariantes, reales o imaginarios. Supuesto que ninguno de ellos está en el infinito, su punto medio se llama centro de la involución. Probar que el centro de la involución es siempre real, que su imagen es el punto del infinito y que el producto de las distancias del centro a dos puntos conjugados ( imagen uno del 16

17 otro por la involución) es constante (positivo si los puntos dobles son reales y negativo si son imaginarios. Ejercicio 0.90 Probar que una correspondencia de la recta real en si misma tal que existe un punto con la propiedad del problema anterior se extiende a una involución. Probar que si tomamos el haz de todas las circunferencias del plano que pasan por dos puntos fijos A y B y las cortamos por una recta r no paralela ni coincidente con la recta A + B la correspondencia que lleva cada uno de los puntos en que cada circunferencia del haz corta a r al otro punto de corte es una involución. Ejercicio 0.91 Sea φ una proyectividad del plano real, tal que existen tres puntos no alineados A, B, C con: φ(a) = B, φ(b) = C, φ(c) = A. Probar que φ 3 = 1 Ejercicio 0.92 Sean A y B dos puntos de R 2 P 2 R. Para cada punto P / A+B se construye un punto P con la condición de que A + P sea paralela a B + P y A + P lo sea a B + P. Comprobar que existe una proyectividad de P 2 R que transforma cada P en P, y buscar sus puntos y rectas invariantes Ejercicio 0.93 Sean S 1 y S 2 subespacios de un espacio P, y sea π : S 1 S 2 una proyectividad de Staudt. Comprobar si es cierto que si existe una recta de puntos invariantes por π, π es una proyectividad de Poncelet Ejercicio 0.94 Calcular los subespacios invariantes por una proyectividad π de P 3 R de factores invariantes: Φ 1 = Φ 2 = x 2 + x + 1. Ecuación del lugar geométrico de las rectas invariantes por π que cortan a x 1 = x 2 = 0 Ejercicio 0.95 Calcular los subespacios invariantes de la proyectividad de P 3 R que transforma la referencia canónica en la {[1, 0, 0, 0], [0, 0, 1, 0], [0, 1, 2, 0], [0, 0, 0, 1]; [1, 1, 3, 1]} Ejercicio 0.96 Sean r, s dos rectas distintas del plano proyectivo real, con r s = {P }, sean {A, B, C} r, {A, B, C } s dos ternas de puntos distintos dos a dos. Construir gráficamente la imagen de un punto X r en la única proyectividad π : r s que lleva A a A, B a B y C a C, en los casos siguientes: 1. A = A = P 2. P / {A, B, C} {A, B, C } 3. P = A / {A, B, C} 4. P = A / {A, B, C } 17