1.4. Tracción 1.4.1. Postulados de Cauchy Consideremos un medio continuo sobre el que actúan las correspondientes fuerzas de cuerpo ysuperficiales (ver Fig. 1.14). Consideremos también una partícula P del interior del medio continuo y una superficie arbitraria, que pasa por el punto P y de normal unitaria n en dicho punto, que divide al medio continuo en dos partes (volúmenes materiales). En la superficie de corte, considerada ahora como parte del contorno de cada uno de estos volúmenes materiales, actuarán las fuerzas superficiales debidas al contacto entre ambos. Sea t el vector de tracción que actúa en el punto P considerado como parte del contorno del primero de estos volúmenes materiales. En principio este vector de tracción (definido ahora en un punto material del interior del medio continuo original) dependerá: 1) De cuál sea la partícula considerada, 2) de la orientación de la superficie (definida a través de la normal n) y )decuálsealapropiasuperficie de corte. Figura 1.14: Postulado de Cauchy. 1er Postulado de Cauchy: El vector de tracción t que actúa en un punto material P de un medio continuo según un plano de normal unitaria n, depende únicamente del punto P y de la normal n. t = t( n) 2 Postulado de Cauchy - Principio de acción y reacción: El vector de tracciones en un punto P de un medio continuo, según un plano de normal unitaria n, es igual y de sentido contrario al vector de tracciones en el mismo punto P según un plano de normal unitaria n en el mismo punto (Fig, 1.14): c Gelacio Juárez, UAM 21
Figura 1.15: t( n) = ( n) El vector de tracciones actúa sobre un área infinitesimal en un plano inclinado cortado, que se caracteriza por un vector normal unitario n definido como, Fig. 1.16: y el vector de tracciones t como: n = t = 1 2 1 2 Figura 1.16: Vector de tracciones en un tetraedro. Las superficies resultantes del tetraedro proyectadas de puedes escribirse: 1 = cos = 1 2 = cos = 2 = cos = c Gelacio Juárez, UAM 22
Por lo que las componentes del vector de tracciones, dependientes del estado de esfuerzos se calcula como: t = σ n (1.9) 1 = 11 1 + 12 2 + 1 2 = 21 1 + 22 2 + 2 = 1 1 + 2 2 + 1.4.2. Ejemplo El tensor de esfuerzos en un punto de un sólido es: 1000 500 0 σ = 500 1000 0 (1.10) 0 0 400 Determinar el vector de tracciones t, esfuerzonormalσ, y esfuerzo cortante τ asociado a la normal,fig.(1.17): 1 n = 1 1 Figura 1.17: a) Esfuerzo notación científica, b) esfuerzo notación ingenieril y c) plano asociado a la normal n. El vector te tensión asociado es (Fig. 1.18a): c Gelacio Juárez, UAM 2
t= σ n t = 500 500 400 = 866 025 866 025 20 94 La magnitud del vector de tracción se calcula como: t = t t = 100 466 = 1246 28 La magnitud del esfuerzo normal al plano es: σ = t n = 2600 = 866 67 El vector de esfuerzo normal al plano (Fig. 1.18b) se determina con el vector unitario n: El vector de esfuerzo cortante (Fig. 1.18b) es: σ = 2600 n 2600 σ 9 = 2600 9 2600 9 con magnitud τ = t σ 1900 τ 9 = 1900 9 800 9 = 65 655 65 655 71 1 τ = τ τ = 1900 2 = 895 67 Todos estos vectores de esfuerzo, asociados al plano n, se representan en la Fig. 1.18c. 1.4.. Tarea Determine del estado de esfuerzos definido en la ec. (1.10): el vector de tracciones t, esfuerzo normal σ, y esfuerzo cortante τ asociado a la normal al plano Fig. (1.19). c Gelacio Juárez, UAM 24
1.5 Equilibrio Figura 1.18: Vectores de: a) tracción t, b)normalσ ycortanteτ,c)t, σ,yτ. 1.5. Equilibrio Figura 1.19: a) Estado de esfuerzos y b) plano asociado a la normal n. Considere un elemento diferencial de masa en un sólido. Por Newton se requiere que: f = ü (1.11) donde f es la suma de las fuerzas superficiales f y de las fuerzas de cuerpo f. Sustituyendo las ec. (1.5) y (1.6) en la ec. (1.11) e integrando sobre el dominio ysuperficie Γ se tiene: t(x) Γ + b(x) = ü(x) (1.12) Γ siendo =. Sustituyendo las tracciones t(x) por σ(x) n en la ec. (1.12)se tiene: σ n Γ + Γ sustituyendo la ec. (1.) en la ec (1.1) b = ü (1.1) c Gelacio Juárez, UAM 25
1.5 Equilibrio rescribiendo la ec. (1.14) se tiene: σ + b = ü (1.14) [ σ + b ü ] =0 (1.15) Puesto que el dominio es arbitrario se tiene la siguiente ecuación de equilibrio dinámico: σ + b ü =0 (1.16) Para el caso cuasiestático, ignorando los efectos inerciales, se tiene la siguiente ecuación de equilibrio: La cual en un sistema de coordenadas cartesianas se escribe: σ + b =0 (1.17) + + + = 0 + + + = 0 (1.18) + + + = 0 La ecuación de equilibrio dada en la ec. (1.17) se escribe en coordenadas cilíndricas: y en coordenadas esféricas: + 1 + + 1 ( )+ = 0 + 1 + + 2 + = 0 (1.19) + 1 + + 1 + = 0 + 1 + 1 sin + 1 (2 + cot )+ = 0 + 1 + 1 sin + 1 [( ) cot + ]+ = 0 (1.20) + 1 + 1 sin + 1 (2 cot + )+ = 0 c Gelacio Juárez, UAM 26