Matemáticas para ingeniería I Ingeniería en Mecatrónica Lilia Meza Montes IFUP Otoño 2016
Concepto de campo vectorial. Producto por escalar, producto interior y vectorial de campos vectoriales. Ejemplos Repaso lgebra vectorial Campos vectoriales
Escalares y Vectores Escalar: definido solo por magnitud Notación: letras comunes Ejemplo: masa (m), temperatura (T), longitud (l) Vector: magnitud y dirección Notación: negritas, letras con flecha encima Ejemplo: velocidad (v, v), fuerza (F, F)
Representación gráfica Una flecha Vector PQ También Q Punto final P Punto inicial Magnitud: tamaño del vector Notación:,,
Reglas del álgebra de vectores Igualdad de vectores y son iguales ( = ) si tienen la misma dirección y magnitud sin importar sus puntos iniciales
Reglas del álgebra de vectores 2 - - tiene la misma magnitud de pero dirección opuesta -
Suma geométrica de dos vectores C= + Regla del paralelogramo
Diferencia de dos vectores - es el vector C tal que la suma de C y da como resultado C= - à C+= C = - = C +
Diferencia de dos vectores Equivalentemente, - = + (-) C = +(- ) - C = -
Vector Nulo Si =, - es el vector nulo Magnitud cero Dirección indefinida
Multiplicación por un escalar Vector y escalar mà m tiene magnitud: m veces la magnitud de Dirección: misma si m>0 opuesta si m<0 Si m=0, tenemos el vector nulo 2 m=2 m=-2-2
Leyes del álgebra de vectores Si, y C son vectores y m y n son escalares, entonces: 1. Ley conmutativa de la adición de vectores: + = +. 2. Ley asociativa de la adición de vectores: + ( + C) = ( + ) + C. 3. Ley asociativa de la multiplicación de vectores: m(n) = (mn) = n(m). 4. Ley distributiva de vectores: (m + n) = m + n y m( + ) = m + m.
Vectores Unitarios magnitud es la unidad Vectores unitarios rectangulares: tienen la dirección positiva de los ejes de un sistema cartesiano de coordenadas x k i z j y i = j = k =1
Componentes de un vector z Punto final de ( 1, 2, 3 ) 1 i+ 2 j 3 k y x 2 j 1 i 1 componente x 2 componente y 3 componente z = 1 i+ 2 j+ 3 k
Álgebra de vectores. Componentes = 1 i+ 2 j+ 3 k magnitud = + 2 2 2 1 + 2 3 Ejemplo: Vector de posición, va del origen a (x,y,z) r = xi+ yj+zk 2 2 r = x + y + z 2
Leyes del álgebra de vectores = 1 i + 2 j + 3 k, = 1 i + 2 j + 3 k, Suma + = 1 i + 2 j + 3 k + 1 i + 2 j + 3 k = 1 i + 1 i + 2 j + 2 j + 3 k + 3 k = ( 1 + 1 )i + ( 2 + 2 )j + ( 3 + 3 )k Producto por escalar n = n( 1 i + 2 j + 3 k) = n 1 i + n 2 j + n 3 k
Producto escalar o producto punto θ = cos θ 0 θ π Cantidad escalar Si θ =π/2 à cos θ=0 Los vectores son perpendiculares entre sí si su producto punto es cero Si queremos saber si dos vectores son perpendiculares, calculamos su producto punto
Leyes del producto punto 1. =, conmutativa. 2. ( + C) = + C, distributiva. 3. m( ) = (m) = (m) = ( )m, donde m es un escalar. 4. i i = j j = k k = 1, paralelos. 5. i j = j k = k i = 0 perpendiculares (ortogonales) entre sí. 6. Si = 1 i + 2 j + 3 k y = 1 i + 2 j + 3 k, entonces = 1 1 + 2 2 + 3 3 = 2 2 2 2 = 1 + 2 + 3 magnitud al cuadrado 7. Si = 0, y/o no son el vector nulo, entonces y son perpendiculares.
Producto Vectorial o Producto Cruz u θ = sen θ u u es un vector unitario perpendicular a y Dirección: Regla de la mano derecha o del tornillo Si θ =0 à sen θ=0 Si = o si es paralelo a, entonces = 0. Si queremos saber si dos vectores son paralelos, calculamos su producto cruz
Leyes del producto cruz 1. = -. No es conmutativo 2. ( + C) = + C, distributiva. 3. m( ) = (m) = (m) = ( )m, donde m es un escalar. 4. i i = j j = k k = 0. 5. i j = k j k = i k i = j
Leyes del producto cruz 6. Si = 1 i + 2 j + 3 k y = 1 i + 2 j + 3 k, entonces k j i k j i 2 1 2 1 3 1 3 1 3 2 3 2 3 2 1 3 2 1 + = =
Leyes del producto cruz 7. = área del paralelogramo con lados y θ h h= ltura del paralelogramo h=sen θ rea=base altura =senθ 8. Si = 0 y y/o no son el vector nulo, entonces y son paralelos (θ=0).
Leyes de productos triples 1. En general ( ) C ( C). 2. ( C) = C ( ) = (C ) Permutación cíclica x α C θ Volumen=Área de base altura = (senθ) C cosα = x C cos α = (x) C Triple producto escalar = volumen del paralelepípedo con, y C como ejes.
Leyes de productos triples 3. Si = 1 i + 2 j + 3 k, = 1 i + 2 j + 3 k y C = C 1 i + C 2 j + C 3 k, entonces ( C) = C 1 1 1 C 2 2 2 C 3 3 3 Triple producto escalar Permutación cíclica de renglones no modifica el determinante
leyes de productos triples 4. ( C) ( ) C. No es asociativo 5. ( C) = ( C) - ( )C y ( ) C = ( C) - ( C). 6. ( C) = ( ) C. Observar siempre que ambos miembros sean del mismo tipo (escalares o vectores)
CMPO VECTORIL
Campo vectorial Vector: Una magnitud física que requiere, además de magnitud, la dirección para su caracterización Campo vectorial: asocia un vector a un punto en el espacio Sean f,g, h funciones reales definidas en R 3, la función vectorial depende de x,y,z R (x,y,z) = f(x,y,z) i + g(x,y,z) j + h(x,y,z) k
Ejemplos
Campo vectorial: velocidades en fluidos Este campo depende también del tiempo t
Flujo en fluido: diferente viscosidad à campos de velocidades distintos
Velocidad del viento
Campo eléctrico Fuerza ejercida por la atracción o repulsión sobre una carga unitaria positiva Ley de Coulomb: r rˆ Fuerza sobre q=1, carga unitaria situada (x,y,z), debida a carga Q en el origen! F! Q F( x, y, z) = k r 2 rˆ Distancia entre cargas Vector unitario a lo largo de línea que une las cargas k constante que depende del sistema de unidades Q rˆ q =1 r
Ejemplo: cargas puntuales La dirección es radial Carga Positiva: Fuerza es repulsiva Líneas de fuerza Líneas paralelas al campo Carga negativa: Fuerza atractiva
Campo de un dipolo eléctrico Un dipolo es un par de cargas de igual magnitud pero de signo diferente, separados por una distancia d Flechas indican dirección del campo Curva: potencial toma un valor constante
Campos eléctricos http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/elecmagnet/electrico/ celectrico.html#campo%20el%c3%9ctrico%20y%20potencial %20de%20una%20carga%20puntual