LECCIÓN 5: NÚMEROS PRIMOS Y COMPUESTOS 5.1.- NÚMEROS PRIMOS Y COMPUESTOS Un número se puede descomponer en un producto de dos factores buscando un divisor de dicho número y dividiéndolo entre el divisor buscado. Como la división es exacta, el número, que es el dividendo de la división se puede expresar como el producto del cociente por el divisor. 20 : 2 = 10 ; r = 0 {2 y 10 } = d(20) 20 = 2 10 10 : 2 = 5 ; r = 0 {2 y 5} = d(10) 10 = 2 5 20 = 2 2 5 - Los números que se pueden descomponer en un producto de varios factores distintos de 1 y del propio número se llaman números compuestos. 20 es un número compuesto 20 = 2 10 20 = 2 2 5 20 = 4 5 - Los números que no se pueden descomponer en un producto de dos o más factores distintos de 1 y del propio número se llaman números primos. 17 es un número primo 17 = 17 1 (Es la única forma de expresar el 17 como un producto de factores naturales) - Los números primos solo tienen dos divisores: el 1 y el propio número. En una serie de números se pueden encontrar los números primos aplicando la Criba de Eratóstenes. Se comienza por ir eliminado los múltiplos de 2, menos el 2, ya que al tener el 2 como divisor son compuestos. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Se eliminan los múltiplos de 3, menos el 3, ya que al tener el 3 como divisor también son compuestos. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Se eliminan los múltiplos de 5 (nos saltamos el 4 porque la ser múltiplo de 2 ya ha sido eliminado junto con sus múltiplos que también son múltiplos de 2). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Así se van eliminando los múltiplos de todos los números que no fueron eliminados anteriormente hasta llegar a uno cuyo primer múltiplo sea mayor que el límite superior de la serie. Por ejemplo, en este caso el primer múltiplo de 11 es 22 que es mayor que 20 que es el límite superior de la serie por lo que los demás múltiplos de 11 serán también mayores que 20 e incluso los múltiplos de los números que siguen al 11. Así que después del 11, ya no se sigue buscando más.
Los números que no fueron eliminados son primos. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 ======================================================================== ACTIVIDADES Lee detenidamente en las páginas 28 y 29 del libro, el epígrafe 3 Números primos y compuestos, reflexiona y estudia lo destacado. Completa el estudio con los apuntes anteriores y cuando creas que lo sabes, haz las siguientes actividades. Consulta tus dudas con el profesor. 1.- Descompón el número 60: a) En un producto de dos factores. b) En un producto de tres factores. c) En un producto con el máximo número de factores posible. 2.- Razona y justifica la respuesta: a) El número 111 es primo o compuesto? b) El número 127 es primo o compuesto? 3.- Busca y escribe a) Todos los números primos menores que 50. b) Los números primos comprendidos entre 50 y 100. 4.- Página 29, actividad 16. 5.- Página 29, actividad 17. 6.- Página 29, actividad 18. 7.- Página 29, actividad 19. 8.- Quién fue Eratóstenes? Busca información en libros, internet, etc, sobre este personaje y elabora una breve biografía de su vida. ======================================================================
5.2.- DESCOMPOSICIÓN FACTORIAL DE UN NÚMERO Para descomponer factorialmente un número se buscan sus divisores primos, empezando por los más pequeños. Se divide el número por su divisor primo más pequeño, distinto de 1, y el cociente se coloca debajo de dicho número y el divisor a su derecha separados por una línea vertical. A continuación se busca el divisor primo más pequeño, también distinto de 1, del cociente y se coloca a su derecha. Tras la vertical y se divide colocando su cociente debajo del cociente anterior. Así sucesivamente hasta obtener de cociente 1. El producto de los divisores obtenidos a la derecha de la vertical es igual al número que se quiere descomponer. Los productos de varios factores iguales se expresan en forma de potencia. EJEMPLO: 504 : 2 504 2 252 : 2 252 2 126 : 2 126 2 63 : 3 63 3 21 : 3 21 3 7 : 7 7 7 1 Hay que expresar siempre el resultado en forma de igualdad. 504 = 2 3 3 2 7 =========================================================================== ACTIVIDADES Lee detenidamente en las páginas 30 y 31 del libro, el epígrafe 4 Descomposición en factores primos, reflexiona y estudia lo destacado. Completa el estudio con los apuntes anteriores y cuando creas que lo sabes, haz las siguientes actividades. Consulta tus dudas con el profesor. 9.- Descompón y expresa como producto de factores primos los siguientes números: a) 48 b) 72 c) 90 d) 126 e) 396 f) 675 g) 910 h) 2.520 10.- Calcula el valor de los números A, B y C que tienen las siguientes descomposiciones factoriales: A = 2 4 3 5 B = 2 2 5 7 C = 3 2 5 11 11.- Página 31, actividad 24. 12.- Página 31, actividad 25. ======================================================================
5.3.- MÚLTPLOS Y DIVISORES FACTORIZADOS MÚLTIPLOS DE UN NÚMERO FACTORIZADO Los múltiplos de un número contienen al menos, aunque pueden tener más, los mismos factores primos que dicho número, elevados a un exponente mayor o igual, pero nunca menor. EJEMPLOS: 12 = 2 2 3 72 = 2 3 3 2 60 = 2 2 3 5 42 = 2 3 7 40 = 2 2 5 72 = m(12) Porque 72 y 60 contienen al menos los mismos factores primos que 12 (2 y 3) 60 = m(12) elevados a un exponente igual o mayor. 42 m(12) Porque 42 tiene el factor 2 con un exponente menor que en el 12. 40 m(12) Porque a 40 le falta el factor 3 que tiene el 12. DIVISORES DE UN NÚMERO FACTORIZADO Los divisores de un número pueden tener todos o alguno de sus factores, pero ningún otro más, elevados a un exponente menor o igual, pero nunca mayor. EJEMPLOS: 12 = 2 2 3 72 = 2 3 3 2 60 = 2 2 3 5 42 = 2 3 7 40 = 2 2 5 12 = d(72) Porque 12 tiene los mismos factores primos que 72 (2 y 3) elevados a un exponente menor o igual. 12 = d(60) Porque tiene algunos de los factores primos de 60, elevados a un exponente igual. 12 d(42) Porque 12 tiene el factor 2 con un exponente mayor que en el 42. 12 d(40) Porque a 12 tiene el factor 3 que no tiene el 40. CÁLCULO DE LOS DIVISORES FACTORIZADOS DE UN NÚMERO 60 = 2 2 3 5 1º Se escriben los divisores de un solo factor primo. D(60) = {1, 2, 3, 5, } 2º Se escriben los de dos factores. D(60) = {1, 2, 3, 5, 2 2, 2 3, 2 5, 3 5, } 3º Se escriben los divisores de tres factores primos. D(60) = {1, 2, 3, 5, 2 2, 2 3, 2 5, 3 5, 2 3 5, 2 2 3, 2 2 5, } 4º, 5º, 6º, Se escriben los de cuatro, cinco, seis, D(60) = {1, 2, 3, 5, 2 2, 2 3, 2 5, 3 5, 2 3 5, 2 2 3, 2 2 5, 2 2 3 5, } El último será el número factorizado. D(60) = {1, 2, 3, 5, 2 2, 2 3, 2 5, 3 5, 2 3 5, 2 2 3, 2 2 5, 2 2 3 5}
ACTIVIDADES Lee detenidamente en la página 32 del libro, el epígrafe 5 Cáculo de los divisores de un número, reflexiona y estudia lo destacado. Completa el estudio con los apuntes anteriores y cuando creas que lo sabes, haz las siguientes actividades. Consulta tus dudas con el profesor. 13.- Sabiendo que A = 2 2 3 5 Escribe factorizados: a) Los divisores de A que faltan. D(A) = {1 ; 2 ; 3 ; 2 2 ; ; 2 3 ; ; 3 5 ; ; 2 2 5 ; ; 2 2 3 5} b) Tres múltiplos más de A. M(A) = { 2 2 3 5 ; ; ; } 14.- Sabiendo que: A = 2 3 3 2 B = 2 4 C = 2 2 3 2 5 D = 2 3 3 2 5 E = 2 2 3 F = 2 2 5 G = 3 2 Sin hacer ninguna operación, di cuales de estas afirmaciones son verdaderas, con V, o falsas, con F. El número B es múltiplo de A. El número C es divisor de A. El número D es múltiplo de A. El número E es divisor de A. El número F es divisor de A. El número G es múltiplo de A 15.- Calcula factorizados todos los divisores de los siguientes números: a) 220 b) 284 c) 1.184 d) 1.210 e) 2.260 ====================================================================== 5.4.-MÁXIMO COMÚN DIVISOR El máximo común divisor (m.c.d.) de dos o más números es el mayor de sus divisores comunes. CÁLCULO DEL m.c.d. POR DESCOMPOSICIÓN FACTORIAL 1º Se descomponen factorialmente cada uno de los números. 2º Se multiplican sólo los factores primos comunes elevados al menor exponente. Ejemplos:
m.c.d (40 y 48) = 2 3 = 8 m.c.d (120 y 144) = 2 3 3 = 8 3 = 24 40 = 2 3 5 48 = 2 4 3 120 = 2 3 3 5 144 = 2 4 3 2 40 2 48 2 120 2 144 2 20 2 24 2 60 2 72 2 10 2 12 2 30 2 36 2 5 5 6 2 15 3 18 2 1 3 3 5 5 9 3 1 1 3 3 1 CRITERIOS PARA EL CÁCULO RÁPIDO DEL M.C.D. El m.c.d. de dos o más números cuando uno de ellos es divisor de todos los demás, es ese mismo número, divisor común de todos ellos. m.c.d.(a, b) = a si a = d(b) m.c.d. (4, 12) = 4 Porque 4 es divisor común de 4 y 12. m.c.d. (3, 15 y 30) = 3 Porque 3 es divisor común de 3, 15 y 30. El m.c.d. de dos o más números primos entre sí es 1. m.c.d. (3, 5) = 1 m.c.d. (7, 9) = 1 m.c.d. (8, 15) = 1 NÚMEROS PRIMOS ENTRE SÍ son aquellos que solo tienen un divisor común que es el 1. Algunos se pueden reconocer aplicando los siguientes criterios: - Si todos o algunos de ellos son primos y no son divisores de alguno de los otros. 3 y 5 son primos entre sí por que los dos son números primos. 7 y 9 son primos entre sí porque 7 es un número primo y no es divisor de 9. 3 y 6 no son primos entre sí porque aunque 3 es primo también es divisor 6. 5, 8 y 12 son primos entre sí porque 5 es primo y no es divisor ni de 8 ni de 12. - Si todos o algunos son consecutivos siempre son primos entre sí. 8 y 9 son primos entre sí porque son consecutivos. 14, 15 y 16 son primos entre sí porque son consecutivos. 26, 24 y 25 son primos entre sí porque son consecutivos. - Hay casos en que ninguno de los números es primo ni son consecutivos y sin embargo son primos entre sí. 8 y 15 son primos entre sí y ni es primo ninguno de ellos ni son consecutivos. 8 = 2 3 15 = 3 5 C.D. (8, 15) = 1 ========================================================================
ACTIVIDADES Lee detenidamente en la página 33 del libro, el epígrafe 6 Divisores comunes, reflexiona y estudia lo destacado. Completa el estudio con los apuntes anteriores y cuando creas que lo sabes, haz las siguientes actividades. Consulta tus dudas con el profesor. 16.- Calcula. a) m.c.d. (18 y 24) b) m.c.d. (36 y 40) c) m.c.d. (60 y 90) d) m.c.d.(80 y 100) e) m.c.d. (21, 28 y 35) f) m.c.d(120, 180 y 210) 17.- Calcula de la manera más rápida posible y sin descomponer factorialmente. a) m.c.d. (8 y 32) b) m.c.d. (7 y 12) c) m.c.d. (10 y 30) d) m.c.d.(80 y 81) e) m.c.d. (6, 18 y 24) g) m.c.d.(14, 15 y 16) 18.- Página 33, actividad 34. 19.- Página 33, actividad 37. 20.- Página 38, actividad 38. ===================================================================== 5.5.- MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO El mínimo común múltiplo (m.c.m.) de dos o más números es el menor de sus múltiplos comunes. CÁLCULO DEL m.c.m. POR DESCOMPOSICIÓN FACTORIAL 1º Se descomponen factorialmente cada uno de los números. 2º Se multiplican todos los factores primos, tanto los comunes como los no comunes, elevados al mayor exponente. Ejemplo: m.c.m (40 y 48) = 2 4 3 5 = 16 3 5 = 240 40 = 2 3 5 48 = 2 4 3 40 2 48 2 20 2 24 2 10 2 12 2 5 5 6 2 1 3 3 1
CRITERIOS PARA EL CÁCULO RÁPIDO DEL M.C.M. El m.c.m. de dos o más números cuando uno de ellos es múltiplo de todos los demás, es ese mismo número múltiplo común de todos ellos. m.c.m.(a, b) = a si a = m(b) m.c.m. (4, 12) = 12 Porque 12 es múltiplo común de 4 y 12. m.c.m. (3, 15 y 30) = 30 Porque 30 es múltiplo común de 3, 15 y 30. Se aplica en ciertos casos de números primos entre sí. El m.c.m. de dos números primos entre sí es su producto. m.c.m. (3, 5) = 3 5 = 15 m.c.m. (7, 9) = 7 9 = 63 m.c.m. (8, 15) = 8 15 = 120 ======================================================================== ACTIVIDADES Lee detenidamente en la página 34 del libro, el epígrafe 7 Múltiplo comunes, reflexiona y estudia lo destacado. Completa el estudio con los apuntes anteriores y cuando creas que lo sabes, haz las siguientes actividades. Consulta tus dudas con el profesor. 21.- Calcula. a) m.c.m. (18 y 24) b) m.c.m. (36 y 40) c) m.c.m. (60 y 90) d) m.c.m.(80 y 100) e) m.c.m. (10, 21 y 35) f) m.c.m(12, 25 y 40) 22.- Calcula de la manera más rápida posible y sin descomponer factorialmente. a) m.c.m. (6 y 24) b) m.c.m. (5 y 6) c) m.c.m. (30 y 90) d) m.c.m.(80 y 81) e) m.c.m. (4, 8 y 40) f) m.c.m(8 y 11) 23.- Página 34, actividad 40. 24.- Página 34, actividad 41. 25.- Página 34, actividad 42. =====================================================================
5.6.- RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS PROBLEMA RESUELTO 1 Se construyeron dos torres amontonando cubos de 30 cm de arista en una y cubos de 40 cm en la otra. Ambas torres son de la misma altura, entre 2 y 3 metros. Calcula la altura de las dos torres y el número de cubos que forman cada una de ellas. Se siguen los siguientes pasos: I.- Leer detenidamente el enunciado del problema tratando de comprenderlo. II.- Anotar de manera abreviada los datos y preguntas. Torre 1 con cubos de 30 cm de arista. Torre 2 con cubos de 40 cm de arista. Torres de la misma altura, entre 2 y 3 m. 1m = 100 cm Altura de cada torre? Cubos/torre? III.- Razonar y planificar el problema: La altura de la torre 1 se obtiene multiplicando la altura de cada cubo que la forma, que es su arista (30 cm) por el número de cubos que la forman. Por lo tanto tiene que ser un múltiplo de 30 cm. La altura de la torre 2 se obtiene multiplicando la altura de cada cubo que la forma, su arista (40 cm) por el número de cubos que se apilan para formarla. Por lo tanto, tiene que ser un múltiplo de 40. Dado que ambas torres tienen la misma altura comprendida entre 2 y 3 metros, ésta tiene que ser un múltiplo común de 30 y de 40 cm comprendido entre 2 m (200 cm) y 3 m (300 cm), es decir el múltiplo de su mínimo común múltiplo mayor que 200 y menor que 300. Para obtenerlo hay que multiplicar el m.c.m. (30 y 40) por el número siguiente a aquel que multiplicado por dicho m.c.m. da 200 y que se hallará dividiendo 200 entre el m.c.m. de 30 y de 40 que hay que calcular primero. Cantidad de cubos/torre = (Altura de las torres) : (Altura, arista, de cada cubo) IV.- Justificar los resultados indicando todas las operaciones también en forma de igualdad con sus resultados: 30 2 40 2 15 3 20 2 5 5 10 2 1 5 5 1 30 = 2 3 5 40 = 2 3 5 m.c.m (30 y 40) = 2 3 3 5 = 8 3 5 = 120 200 : 120 = 1 120 2 = 240 cm < 300 120 3 = 360 cm > 300 240 : 30 = 8 cubos en la torre 1. 240 : 40 = 6 cubos en la torre 2.
V.- Expresar las soluciónes con frases completas e independientes. La altura de las torres tiene que ser 120 centímetros. Una torre está formada por 8 cubos y la otra por 6 cubos. PROBLEMA RESUELTO 2.- Tenemos dos cintas, una de 160 cm y la otra de 180 cm de longitud, y la queremos cortar en trozos iguales, lo más grandes que sea posible, sin que sobre cinta. Cuánto debe medir cada trozo? Se siguen los siguientes pasos: I.- Leer detenidamente el enunciado del problema tratando de comprenderlo. II.- Anotar de manera abreviada los datos y preguntas. Cinta 1 de 160 cm. Cinta 2 de 180 cm de longitud. Cortada en trozos iguales, lo más grandes posible, sin que sobre cinta. Longitud de cada trozo? III.- Razonar y planificar el problema: Para cortar toda la cinta 1en trozos iguales, la longitud de cada trozo tiene que ser un divisor de la longitud de la cinta 1 (160 cm) y para cortar toda la cinta 2 también en trozos iguales, la longitud de cada trozo también debe ser un divisor de la longitud de la cinta 2 (180 cm). Por lo tanto, la longitud de cada trozo tiene que ser un divisor común de las longitudes de ambas cintas. Como además se quiere que sean lo más grandes posible, la longitud de cada trozo tiene que ser el mayor de los divisores comunes (m.c.d.) de 160 y 180 y que habrá que hallar. IV.- Justificar los resultados indicando todas las operaciones también en forma de igualdad con sus resultados: 160 2 180 2 80 2 90 2 40 2 45 3 20 2 15 3 10 2 5 5 5 5 1 1 160 = 2 5 5 180 = 2 2 3 2 5 m.c.d. (160 y 180) = 2 2 5 = 4 5 = 20 cm/trozo V.- Expresar las soluciones con frases completas e independientes. Cada trozo debe medir 20 centímetros de longitud. =====================================================================
ACTIVIDADES Resuelve los siguientes problemas: 26.- En cierta parada de autobús coinciden en este momento dos líneas diferentes. El autobús de la línea A pasa cada 18 minutos por esta parada y el de la línea B lo hace cada 24 minutos. Cuánto tardarán en volver a coincidir ambos autobuses en la misma parada? 27.- Se quieren transportar 30 perros y 24 gatos en jaulas, de forma que todas lleven el mismo número de animales (los perros y gatos no deben ir juntos en la misma jaula porque se pelearían). Para utilizar el menor número de jaulas posible, cuántos animales se deberán meter en cada jaula? Cuántas jaulas se necesitan? 28.- Página 35, actividad 43. 29.- Página 35, actividad 44. ====================================================================== ACTIVIDADES FINALES DE REFUERZO Y AMPLIACIÓN 30.- Página 37, actividad 83. 31.- Página 37, actividad 84. 32.- Página 37, actividad 85. 33.- Página 37, actividad 86. 34.- Página 37, actividad 89. 35.- Página 37, actividad 90. 36.- Página 37, actividad 91. 37.- Página 37, actividad 91. 38.- Página 37, actividad 92. 39.- Página 37, actividad 95. 40.- Página 37, actividad 96. 41.- Página 37, actividad 97. 42.- Página 38, actividad 102. 43.- Página 38, actividad 103. 44.- Página 38, actividad 104. 45.- Página 38, actividad 125. 46.- Página 38, actividad 126. 47.- Página 38, actividad 128. 48.- Página 38, actividad 129. 49.- Página 38, actividad 130. 50.- Página 38, actividad 133. 51.- Página 38, actividad 134. 52.- Página 38, actividad 135. 53.- Página 38, actividad 138. 54.- Página 39, actividad 141. 55.- Página 39, actividad 143.