Figures planes. Àrees

830885 _ 060-091.qxd 4/11/08 15:56 Página 68 Figures planes. Àrees ACTIVIDADES 04 Calcula la hipotenusa dels triangles rectangles amb aquests catets: a) 10 cm i 8 cm c) 4 cm i 9 cm b) 7, cm i 11,6 cm d) 5 cm i 8 cm a) h = 1,81 cm c) h = 9,85 cm b) h = 13,65 cm d) h = 13 = 3,61 cm 043 Troba la longitud de BC, BD i BE. E 1 cm D 1 cm C 1 cm BC = BD = BE = 5 cm 6 cm 7cm A cm B 044 Contesta aquestes qüestions i, en cas que siguin certes, posa n un exemple: a) Hi pot haver un triangle rectangle equilàter? b) I un triangle rectangle isòsceles? a) No és possible, perquè els angles dels triangles equilàters són de 60º. b) Sí, per exemple, un triangle que tingui els catets d 1 cm i la hipotenusa de cm. 045 FES-HO AIXÍ COM CALCULEM LA MIDA DELS CATETS D UN TRIANGLE RECTANGLE ISÒSCELES? Calcula la mida dels catets d un triangle rectangle isòsceles de 8 cm d hipotenusa. PRIMER. Hi apliquem el teorema de Pitàgores, ja que la mida dels catets és la mateixa, x. 8 = x + x 8 = x SEGON. Trobem el valor de x. 8 8 = x x = = 3 x = 3 = 5, 66 cm Els catets fan 5,66 cm. x x 8 cm 046 Troba la mida dels catets en un triangle rectangle isòsceles de 9 cm d hipotenusa. 81 81 = c + c c = = 6,36 cm 68

830885 _ 060-091.qxd 4/11/08 15:56 Página 69 SOLUCIONARI 9 047 Els costats del triangle rectangle ABC són AB = 8 cm i AC = 13 cm. Calcula BC si: a) L angle recte és al vèrtex A. b) L angle recte és al vèrtex B. c) L angle recte és al vèrtex C. a) BC és la hipotenusa, BC = 169 + 64 = 15,6 cm. b) BC és un catet, BC = 169 64 = 10,5 cm. c) BC és un catet, BC = 169 64 = 10,5 cm. 048 049 Determina si els triangles següents són rectangles. En cas afirmatiu, indica la mida de la hipotenusa i dels catets. a) Triangle de costats 5 cm, 1 cm i 13 cm. b) Triangle de costats 6 cm, 8 cm i 1 cm. c) Triangle de costats 5 cm, 6 cm i 61 cm. d) Triangle de costats 7 cm, 4 cm i 5 cm. a) 13 = 1 + 5 És un triangle rectangle, la hipotenusa fa 13 cm i els catets fan 5 cm i 1 cm. b) 1 8 + 6 No és un triangle rectangle. c) 61 = 5 + 6 És un triangle rectangle, la hipotenusa fa 61 cm i els catets fan 5 cm i 6 cm d) 5 = 4 + 7 És un triangle rectangle, la hipotenusa fa 5 cm i els catets fan 4 cm i 7 cm. Classifica en acutangles o obtusangles els triangles de costats: AB BC CA BC = AB < CA Tipus 4 8 6 64 > 16 + 36 Obtusangle 3 8 7 64 > 9 + 49 Obtusangle 5 10 8 100 > 5 + 64 Obtusangle 5 10 9 100 < 5 + 81 Acutangle 050 Calcula la longitud de x en aquestes figures. a) c) x 4 cm x 5 cm b) d) 10 cm x 8 cm 117 cm 9 cm x a) x = 16 = 5,66cm c) x = 5 + 64 = 9,43 cm 100 b) x = = 7,07 cm d) x = 117 81 = 6 cm 69

830885 _ 060-091.qxd 4/11/08 15:56 Página 70 Figures planes. Àrees 051 Determina la longitud de x en aquests triangles: b) d) a) c) 10 cm x 10 cm x 48 cm x 1 cm x 1 cm x 7 cm x 10 cm x 7 cm 6 cm a) x = 100 5 = 8,66 cm c) x = 144 1,5 = 11,48 cm 4 b) x = 48 = 8 cm d) 3 x = 7 + 9 = 9 cm 05 Troba l altura d un triangle equilàter de 48 cm de perímetre. El costat del triangle és de 16 cm. 3 L altura fa: h = 56 = 13,86 cm. 4 053 Calcula el perímetre de les figures següents: a) 5 cm b) 1 cm 8 cm 18 cm x 14 cm z 8 cm x 7 cm y 16 cm 5 cm a) x = ( 8 18) + 5 = 75 = 6,93 cm P = 5 + 8 + 18 + 6,93 = 97,93 cm b) x = 56 + 49 = 17,46 cm y = 5 + 49 = 8,6 cm z = 144 + 196 = 18,44 cm P = 16 + 8 + 5 + 8,6 + 18,44 + 1 + 8 + 14 + 17,46 = 147,5 cm 054 Troba l apotema d un hexàgon regular de costat: a) 10 cm b) 16 cm c) 7 cm a) b) a = 100 5 = 8,66 cm a = 56 64 = 13,86 cm c) a = 49 1,5 = 6,06 cm 70

830885 _ 060-091.qxd 4/11/08 15:56 Página 71 SOLUCIONARI 9 055 FES-HO AIXÍ COM CALCULEM L ALTURA D UN TRIANGLE QUALSEVOL SI EN CONEIXEM ELS COSTATS? Calcula l altura d un triangle de costats 5 cm, 8 cm C i 10 cm. 5 cm 8 cm PRIMER. Dibuixem el triangle i n anomenem tots els h elements. x 10 x L altura divideix la base del triangle en dues parts: AH, de longitud x. A G H 10 cm B F HB, de longitud 10 x. SEGON. Apliquem el teorema de Pitàgores als dos triangles rectangles que en resulten. En AHC: 5 = x + h h = 5 x En HBC: 8 = (10 x) + h h = 8 (10 x) TERCER. Igualem totes dues expressions. h = 5 x x x 5 = 8 ( 10 ) h = 8 ( 10 x) 5 x = 64 (100 + x 0x) 5 x = 64 100 x + 0x 0x = 61 x = 3,05 cm QUART. Calculem el valor de h. h = 5 x h = 5 3, 05 = 3, 96 cm 056 Calcula l altura d un triangle de costats: a) AB = 4 cm, BC = 7 cm i CA = 9 cm b) AB = 6 cm, BC = 10 cm i CA = 14 cm c) AB = 5 cm, BC = 11 cm i CA = 15 cm Considerem la base com el costat més gran: a) h = 4 x 4 x = 7 (9 x ) h = 7 ( 9 x) 16 49 + 81 = 18x x =,67 h = 4 x x =,67 h = 16 7,11 h =,98 cm b) h = 6 x 6 x = 10 (14 x ) h = 10 ( 14 x) 36 100 + 196 = 8x x = 4,71 h = 6 x x = 4,71 h = 36,18 h = 3,71 cm c) h = 5 x 5 x = 11 (15 x ) h = 11 ( 15 x) 5 11 + 5 = 30x x = 4,3 h = 5 x x = 4,3 h = 5 18,49 h =,55 cm 71

830885 _ 060-091.qxd 4/11/08 15:56 Página 7 Figures planes. Àrees 057 Troba la distància del punt P al punt A, perquè es verifiqui que CP = DP. a) C b) 4 cm a) CP CP b) CP CP = 16 + AP 16 + AP = 9 + (7 AP) = 9+ ( 7 AP) 14AP = 4 AP = 3 cm = 4 + AP 4 + AP = 9 + (6 AP) = 9+ ( 6 AP) 1AP = 41 AP = 3,4 cm D P 3 cm cm D C P A 7 cm B A 6 cm B 3 cm 058 Calcula l àrea d un rectangle de 10 cm base i de 116 L altura del rectangle és: h = 116 100 = 4 cm. L àrea és: A = 10 4 = 40 cm. cm de diagonal. 059 060 061 Determina l àrea d un rectangle de 7 cm de base i de 4 cm de perímetre. L altura fa: h = 4 14 = 5cm. L àrea és: A = 7 5 = 35 cm. Troba l àrea d un quadrat que fa,4 cm de perímetre. El costat del quadrat mesura: c =,4 4 = 5,6 cm. L àrea és de 31,36 cm. Calcula l àrea de la zona acolorida: 4 cm 6 cm 9 cm 11 cm 4 cm 8 cm A = 6 8 + 9 4 + 11 8 + 9 4 = = 48 + 36 + 88 + 36 = 08 cm 06 063 Troba el costat d un quadrat si saps que l àrea és de 84,64 cm. c = 84,64 = 9, cm Determina l àrea d un quadrat inscrit en una circumferència de 3 cm de radi. 3 cm La diagonal del quadrat coincideix amb el diàmetre; per tant, fa 6 cm. El costat és: c = 36 = 4,4 cm. L àrea fa 18 cm. 7

830885 _ 060-091.qxd 4/11/08 15:56 Página 73 5,6 cm5 cm SOLUCIONARI 9 064 Si a és el costat d un quadrat, indica si les afirmacions següents són verdaderes o falses, i raona les respostes. a) La diagonal fa a. c) L àrea és a 4. b) El perímetre és 4a. d) El quadrat de la diagonal és a. a) Falsa, la diagonal és d = a. c) Falsa, l àrea és A = a. b) Falsa, el perímetre és P = 4a. d) Verdadera. 065 Determina la mida de la diagonal d un quadrat de 1,5 cm d àrea. A = 1,5 cm a = 3,5 cm d = 1,5 = 4,95 cm 066 Troba un rectangle que tingui la mateixa àrea que un quadrat de 4 cm de costat. Raona quants rectangles compleixen aquesta condició. Aquesta condició la compleixen tots els rectangles en què el producte dels seus costats sigui 16, és a dir, a b = 16. Per tant, hi ha infinites solucions, per exemple a = cm, b = 8 cm. 067 Calcula l àrea d un rombe que té aquestes diagonals: a) 4 cm i 1 cm b) 3 cm i 9 cm 4 a) A = 1 = 4 cm b) 3 A = 9 = 13,5 cm 068 Calcula la mida d una de les diagonals d un rombe de 30,1 cm d àrea, si saps que l altra diagonal fa 7 cm. D d A A = D = 60, D = = 8,6 cm d 7 069 Troba el perímetre i l àrea d aquests rombes: a) b) 8 cm 6 cm a) A = 8 6 c = 4 + 3 = 5 cm = 4 cm P = 5 4 = 0 cm b) D = 10 cm 10 5,04 A = = 5, cm d = 5,6 5 = 5,04 cm P = 5,6 4 =,4 cm 73

830885 _ 060-091.qxd 4/11/08 15:56 Página 74 Figures planes. Àrees 070 Calcula l àrea i el perímetre d aquestes figures: a) 6 cm 7 cm b) 5 cm 3 cm 4 cm 1 cm a) c = 7 + 4 = 8,06 cm A = 7 6 = 4 cm P = 6 + 8,06 = 8,1 cm b) h = 5 3 = 4 cm A = 1 4 = 48 cm P = 5 + 1 = 70 cm 071 Troba l àrea dels triangles següents: a) b) a) 4 cm 6 cm 6 A = 4 = 1 cm 6 cm 3,6 cm 4, cm b) h = 6 3, 6 = 4,8cm 4,8 ( 3,6 + 4,) A = = 18,7 cm 07 Determina l àrea d un triangle equilàter amb aquest perímetre: a) 36 cm b) 6 dm c) 0,153 m a) c = 1 cm 3 h = c = 10,39 cm 4 A = 1 10,39 = 6,34 cm b) c = dm 3 h = c = 1,73 dm 4 A = 1,73 = 1,73 dm 3 c) c = 51 cm h = c = 44,17 cm A = 4 51 44,17 = 1.16,33 cm 74

830885 _ 060-091.qxd 4/11/08 15:56 Página 75 SOLUCIONARI 9 073 Troba l àrea d un triangle isòsceles de 7 cm els costats iguals i 9 cm el costat desigual. h = 9 7 = 5,36 cm 9 A = 5,36 = 4,1 cm 074 Calcula l àrea d un triangle isòsceles que té els costats iguals de 10 cm i el costat desigual fa quatre unitats més que els costats iguals. h = 14 10 = 7,14 cm A = 14 7, 14 = 50 cm 075 Calcula l altura i la base d un triangle rectangle isòsceles si l àrea fa: a) 00 cm c) 450 dm b) 10,15 m d) 317,5 mm Considerem un catet com a base i l altre catet com a altura: c a) 00 = c c = 0 cm Hipotenusa = 400 + 400 = 800 = 8,8 cm Altura c b) 10,15 = c c = 15,5 m Hipotenusa = 40,5 + 40,5 = 480,5 = 1,9 m Altura = 40,5 10,15 = 10,15 = 10,96 m c c) 450 = c c = 30 dm Hipotenusa Altura = 400 00 = 00 = = 900 + 900 = 1. 800 = = 900 450 = 450 = c d) 317,5 = c c = 5, mm 14,14 cm 1,1 dm 4,4 dm Hipotenusa = 635,04 + 635,04 = 1.70,08 = 35,64 mm Altura = 635,04 317,5 = 317,5 = 17,8 mm 75

830885 _ 060-091.qxd 4/11/08 15:56 Página 76 Figures planes. Àrees 076 Troba l àrea dels trapezis següents: a) 1 m d) 17 m 8 m 0 m b) 0 m e) 7 m 10 m 14 m 5 m 5 m 4 m 0 m c) f) 1 m 9 m 15 m 1,93 m a) A = b) A = c) b = 15 9 = 1 m B = 6 + 1+ 1 9 = 5,94 m A = 6 m 0 + 1 8 = 18 m 0 + 10 7 = 105 m 1 + 5,94 = 170,73 m 9 7 m 1 m 4 m d) A = e) f) A = A = 17 + 4 = 5,5 m 5 h = 0 11 = 9 m 14 + 5 = 175,5 m 9 h = 1, 93 1 = 4,81m 3 + 1 4,81 = 84,17 m 077 FES-HO AIXÍ COM CALCULEM L ÀREA D UN TRAPEZI ISÒSCELES SI EN DESCONEIXEM L ALTURA? Calcula l àrea d aquest trapezi isòsceles: 8 cm PRIMER. Calculem la base del triangle rectangle que determina l altura. D 5 cm C Com que és un trapezi isòsceles, les altures configuren h h dos triangles rectangles iguals, les bases dels quals 1,5 1,5 fan la meitat de la diferència de les bases del trapezi. A E F B AE = FB = AB CD 8 = 5 = 1,5 cm SEGON. Apliquem el teorema de Pitàgores al triangle rectangle que determina l altura. 1,5 + h =,5 h =,5 1,5 = 6,5,5 = 4 D h 1,5 h = 4 = cm A E TERCER. Calculem l àrea del trapezi. A = ( B + b) h ( 8 + 5) = = 13 cm,5 cm,5 cm,5 cm 5 cm,5 cm,5 cm 76

830885 _ 060-091.qxd 4/11/08 15:56 Página 77 SOLUCIONARI 9 078 Troba l àrea d aquests trapezis isòsceles: a) 6 m b) 3 m 10 m 3 m 5 m 4 m 14 m 5 m a) h = 3 =, 4 m A = 10 + 6,4 = 17,89 m b) d = 14 4 4 = 6 m h = 5 16 = 3 m A = 14 + 6 = 3 30 m 079 Calcula l àrea de les figures següents: a) c) 7 cm 5 cm 7 cm 1 cm 10 cm 6 cm 8 m b) d) 13,61 m 4 m 18 cm 14 m 16 m 9 m 14 m 5 7 7 10 18 1 a) A = A1 + A + A3 = + + + 6 = = 17,5 + 35 + 84 = 16,5 cm b) Apotema 3 = = 4 14 1,1 cm 1,1 84 A h = = 509,04 cm 1,1 1 A t = = 84,84 cm A = A h + 6 A t = 509,04 + 509,04 = 1.018,08 cm c) Apotema = 13,61 8 = 11,01 cm 11,01 80 A p = = 440,4 cm A r = 16 8 = 18 cm A = A p + 5 A r = 440,4 + 640 = 1.080,4 cm d) A = ( 14 + 4) 9 = 81 cm 77

830885 _ 060-091.qxd 4/11/08 15:56 Página 78 Figures planes. Àrees 080 Completa la taula següent amb les dades que hi falten: Radi Diàmetre Longitud de la circumferència cm 4 cm 1,57 cm 3,5 cm 7 cm 1,99 cm 4,7 cm 9,4 cm 9,516 cm 5 cm 10 cm 31,41 cm 6,3 cm 1,6 cm 39,58 cm 7,8 cm 15,6 cm 48,984 cm 081 Calcula la longitud de l arc marcat en vermell: B a) B A b) c) d) 100 5 3 cm 130 A 4,5 m B A 3,8 m B 75 5,6 m A π 3 100 a) L = = 5,3 cm c) L = 360 π 4,5 5 b) L = = 17,66 cm d) L = 360 π 3,8 130 = 8,6 cm 360 π 5,6 75 = 7,33 cm 360 08 Quin és el diàmetre d una circumferència de 50,4 cm de longitud? 50,4 d = = π 16 cm 083 084 085 Troba el diàmetre d una circumferència si saps que la longitud d un arc de 50 o és de 5,3 cm. d 5,3 = π 50 d = 1 cm 360 Quina és la longitud d una circumferència amb un arc de 110 o que té 57,57 cm de longitud? 57,57 360 L = = 188,41 cm 110 Completa la taula. Longitud d arc de 60 Longitud d arc de 85 Longitud d arc de 190 Longitud de la circumferència 9,4 cm 13,34 cm 9,83 cm 56,5 cm 1,13 cm 17,79 cm 38,4 cm 7,8 cm 4,18 cm 5,93 cm 13,6 cm 5,1 cm 78

830885 _ 060-091.qxd 4/11/08 15:56 Página 79 SOLUCIONARI 9 086 Determina el perímetre d aquestes figures: a) b) 8 m m 4 m 5 m a) r = 8 m R = 8 5 = 40 m L = 40π +5 8π =51, m 4 b) R = + 8 + 10 = 11 m L = 11π +π +4π +5π =69,08 m 087 Calcula l àrea d un cercle de: a) 6 cm de radi. b) 6 cm de diàmetre. c) 7, cm de radi. a) A = 36π =113,04 cm b) A = 9π =8,6 cm c) A = 51,84π =16,78 cm 088 Troba l àrea d un cercle delimitat per una circumferència de 31,4 cm. 31,4 r = = π 51,18 cm A = π 51,18 = 8.4,35 cm 089 Calcula l àrea dels cercles amb aquestes longituds d arc: 3,6 cm A 4,39 cm 39,5 cm a) B B b) c) d) 45 A 135 150 A B 86,5 cm πr 45 a) 3,6 = r = 4,58 cm 360 A = π 1 = 65,94 cm πr 135 b) 4,39 = r = 18 cm 360 A = π 34 = 1.017,36 cm πr 150 c) 39,5 = r = 15 cm 360 A = π 5 = 706,5 cm πr 310 d) 86,5 = r = 16 cm 360 A = π 56 = 803,84 cm B 50 A 79

830885 _ 060-091.qxd 4/11/08 15:56 Página 80 Figures planes. Àrees 090 Troba l àrea d aquests sectors circulars: a) b) 85 10 13 cm 6,8 m a) b) A = π 6,8 40 A = π 13 85 = 15,9 cm = 96,8 m 360 360 091 Determina l àrea dels sectors acolorits: A a) b) B 45 6,8 m B 115 4 m πr 45 πr 115 a) 6,8 = r = 8 m b) 4 = 360 360 π A = 64 45 = 360 5,1 m A π A = 4 130 = 360 r = m 4,54 m 09 Troba l àrea de la zona ombrejada si: a) R = 10 m i r = 6 m b) R = 1,6 cm i r = 5 cm c) R = 3r i r =,4 cm d) R + r = 31 m i R r = 5 m r R a) A = π (100 36) = 00,96 m b) A = π (158,76 5) = 40 cm c) A = π (51,84 5,76) = 164,69 cm d) R + r = 31 m R = 18 m r = 13 m R r = 5 m A = π (34 169) = 486,7 m 093 Calcula l àrea acolorida d aquestes figures: a) 78 15 m A Corona =π (5 64) = 504,54 m 505,54 78 A Sector = = 109,53 m 360 8 m F G 80

830885 _ 060-091.qxd 4/11/08 15:56 Página 81 SOLUCIONARI 9 b) L àrea acolorida és la meitat de la corona 0 m exterior més la meitat del cercle interior; per tant, en total és la meitat del cercle més gran. 16 m F 90 G A = π 36 =.034,7 m 094 Determina l àrea de la zona acolorida: a) c) 4 m 5 m b) d) 10 m m 1m 3 m a) a = 4 = 3,46 m 4 3,46 A Hexàgon = = 41,5 m A Cercle =π 3,46 = 37,59 m A = A Hexàgon A Cercle = 41,5 37,59 = 3,93 m b) A = A Rectangle A Cercle = 0 10 π 5 = 400 157 = 43 m ACercle c) A = Aquadrat 4 = 10 π 5 = 100 78,5 = 1, 5m 4 d) A = A 3 A + A 1 =π 9 π 4 +π 1 = 18,84 m 095 Considera que els polígons són regulars i completa la taula: Nre. de costats 3 4 5 6 7 Suma d angles 180 360 540 70 900 Angle interior 60 360 4 = 90 118 10 18,6 a) Quin és el polígon amb l angle més petit? b) I el que té l angle més gran? a) El polígon amb l angle més petit és el triangle. b) El polígon amb l angle més gran és el que té més costats, i quan té infinits costats és la circumferència. 81

830885 _ 060-091.qxd 4/11/08 15:56 Página 8 Figures planes. Àrees 096 Calcula la suma dels angles d un polígon de 3, 4, 5 i 6 costats. a) Quina diferència hi ha entre la suma de cada polígon i la del polígon amb un costat menys? b) Si la suma dels angles d un polígon de 15 costats és de.340, quina serà la suma d un de 16 costats? a) La diferència sempre és de 180. b) La suma és:.340 + 180 =.50. 097 Calcula el valor dels angles marcats: a) A c) A e) O A O O B B B b) O A O d) A f) O B B B A a) Inscrit: 180 : = 90. b) Semiinscrit: 300 : = 150. c) Interior: (180 + 90 ) : = 135. d) Circumscrit: (70 90 ) : = 90. e) Exterior: (135 45 ) : = 45. f) Semiinscrit: 10 : = 60. 098 Si l arc AB = 15 0', calcula el valor dels arcs BC, CD, AD i BE. E O B A C D BC = 90 15 0' = 74 40' CD = AB = 15 0' AD = 90 + 15 0' = 105 0' BE = 180 + 15 0' = 195 0' 8

830885 _ 060-091.qxd 4/11/08 15:56 Página 83 SOLUCIONARI 9 099 Calcula el valor de l angle X $. a) X $ 18 8 b) 10 X $ 40 a) Exterior: (8 18 ) : = 3. b) Interior: (10 + 40 ) : = 80. 100 L ombra que produeix una barreta vertical en un instant determinat és igual a la seva longitud. Quin triangle determinen la barreta i la seva ombra? Quina és la inclinació dels raigs solars? x La barreta i la seva ombra determinen un triangle rectangle isòsceles. Els raigs del sol tenen una inclinació de 45º. x 101 Calcula la longitud del cable de l estel. 7 m 4 m l = 4 + 7 = 5 m 83

830885 _ 060-091.qxd 4/11/08 15:56 Página 84 Figures planes. Àrees 10 Quina és la longitud màxima que en Joan pot nedar en una piscina que fa 17 m de llargada i 10 m d amplada si tan sols ho pot fer en línia recta? La longitud màxima és la diagonal: d = 17 + 10 = 19,7 m. 103 Sobre una paret vertical de 16 m d altura col loquen inclinada una escala de 0 m de longitud. A quina distància de la paret es troba la base de l escala? 0 m 16 m d = 0 16 = 1 m 104 Una escala fa,5 m de longitud i, si la recolzem a la paret, la base queda a 0,7 m de l escala. A quina altura de la paret arriba l escala? h =,5 0,7 =,4 m 105 Una antena està agafada al terra per dos cables de,7 m i 3,6 m que formen un angle recte. Quina és la distància que separa els dos punts d unió dels cables amb el terra?,7 m 3,6 m La distància és la hipotenusa del triangle que formen els cables: d =,7 + 3,6 = 4,5 m 106 L Anna té un jardí rectangular, de 500 m de llargada i 300 m d amplada, i hi vol fer una piscina de forma circular de 100 m de radi. Quant terreny li queda per plantar-hi gespa? El terreny per plantar gespa és l àrea de la parcel la menys l àrea de la piscina: A = 500 300 π 100 = 150.000 31.400 = 118.600 m 84

830885 _ 060-091.qxd 4/11/08 15:56 Página 85 SOLUCIONARI 9 107 Dos cotxes surten d una ciutat alhora i en direccions perpendiculars. El primer va a 60 km/h, i el segon a 89 km/h. Quina distància els separa després d 1 hora i quart? F 60 km/h x 89 km/h F La distància és la hipotenusa del triangle que formen les carreteres. Així, la distància recorreguda pel primer cotxe és de 75 km, i la del segon és de 111,5 km. La distància que els separa és: x = 75 + 111,5 = 134,17 km. 108 Dos avions s enlairen d un aeroport al mateix temps i amb direccions perpendiculars. El primer va a una velocitat de 600 km/h, i el segon, de 800 km/h. a) Quina distància els separa al cap de hores? b) Si l abast de la seva ràdio és de 500 km, es podran posar en contacte després de mitja hora? a) Després de hores, el primer avió ha recorregut 1.00 km, i el segon 1.600 km. Per tant, la distància que els separa és: d = 1. 00 + 1. 600 =. 000 km b) Després de mitja hora, el primer avió ha recorregut 300 km, i el segon 400 km. Per tant, la distància que els separa és: d = 900 + 1. 600 = 500 km i estan al límit de l abast de la ràdio. 109 Un dels guarniments de metall d una reixa té aquesta forma. Calcula la longitud del guarniment si saps que l àrea del quadrat és de 56 cm. 56 cm El costat del quadrat és: c = 56 = 16 cm. π 16 La longitud del primer tros del guarniment és: L 1 = = 5,1 cm. 4 π 8 La longitud del segon tros és: L = = 5,1 cm. La longitud del guarniment és: 5,1 = 50,4 cm. 85

830885 _ 060-091.qxd 14/11/08 10:57 Página 86 Figures planes. Àrees 110 Si saps que s han fet servir 400 cm de cristall verd, calcula quants cm de cristall blau calen per construir aquest vitrall. Àrea del cercle més gran: π r π Àrea dels cercles petits: π r = r 4 Àrea dels pètals: Blau G Verd r r r r π r r APètal = = π = 4 8 8 A Verd = A Cercle 4 A Menors + 4 A Pètal ( π 1) π r ( π 1) r ( π 1) r 400 = π r 4 + 4 = 4 8 800 r = π 1 = A Blau =π r 400 = 773,83 cm 8 r 19,33 cm 111 Si dos polígons tenen la mateixa àrea, poden tenir perímetres diferents? Sí, poden tenir perímetres diferents, perquè no hi ha cap correspondència entre perímetre i àrea, excepte en el cas que siguin polígons semblants. 11 Perímetre Apotema La fórmula per calcular l àrea d un polígon regular és: A =. Comprova que, aplicant aquesta fórmula al triangle equilàter i al quadrat, b h obtenim les fórmules de l àrea d un triangle: A = i d un quadrat: A = c. Quadrat: a c = a Perímetre = 4c c 4c A = = c 86

830885 _ 060-091.qxd 4/11/08 15:56 Página 87 SOLUCIONARI 9 Triangle equilàter: a Com que és un triangle equilàter, l apotema és la meitat del radi: a r = Altura = r + a = A = 3r b r 3r 3 c b = = altura 113 Pitàgores i els babilonis. Pitàgores va viatjar probablement a Egipte i a Babilònia, i se suposa que allí ja coneixien la relació entre els costats dels triangles rectangles. L any 190, a la ciutat de Larsa, es va trobar una tauleta que va anar a parar a les mans de l editor americà George Arthur Plimpton. Quan va morir, es va donar a la Universitat de Columbia, on se li va atorgar el número 3 del catàleg, per això rep el nom de Plimpton 3. En aquesta tauleta i en nombres en base 60 (no decimal) apareixen diferents columnes amb els nombres p i q que generen les ternes pitagòriques. Donats dos nombres enters qualssevol p i q, la terna formada pels nombres a = p q, b = pq i c = p + q ens donen una terna pitagòrica. Per exemple, si p = 1 i q =, llavors obtenim la terna a = 3, b = 4 i c = 5, que és la primera terna pitagòrica: 3 + 4 = 5. Esbrina els valors de les ternes formades per altres nombres trobats a la tauleta: a) p = 1 i q = 5 b) p = 9 i q = 5 c) p = 15 i q = 8 Comprova que són ternes pitagòriques. a) a = 119, b = 10 i c = 169 b) a = 56, b = 90 i c = 106 c) a = 161, b = 40 i c = 89 114 En un quadrilàter qualsevol, assenyala els punts mitjans dels costats i uneix-los de dos en dos. Quina figura es forma? Investiga si es compleix sempre. G D H A E C B F Considerem el quadrilàter i les seves diagonals: El triangle EFG està en posició de Tales amb BFC, per tant, CB és paral lel a EG. El triangle HEG està en posició de Tales amb HAD, per tant, AD és paral lel a EG. Tenim que AD és paral lel a CB i AB és paral lel a CD. Per tant, sempre es forma un paral lelogram. 87

830885 _ 060-091.qxd 4/11/08 15:56 Página 88 Figures planes. Àrees 115 La recta DE és paral lela al costat BC. C b D x 1 cm E A 10 cm B a) Troba les mides dels segments BE i DE en funció de b i x. CD b) Determina b i x perquè DE = BE + CD y. AC = 5 11 a) Els triangles ABC i AED són semblants. BE 1 b 1 ( b x) = DE = DE b x b b) La primera igualtat significa que: DE = BE + CD I la segona: CD 5 x 5 = = AC 11 b 11 Resolem el sistema d equacions que resulta: 1 ( b x) 10x = + x b b x 5 5 = b 11 x = b 11 6 50 1 b b b x = 5 1 ( b x) 10x 11 11 11 5b = + x = + b b b b 11 7 50 5b = + = 5b b = = 4,4 cm 11 11 11 5 x x 10 10x = BE = b b b = 5 11 b = 5 x = És a dir, b = 4,4 cm i x = cm. 1 ( b x ) 10x = + x b b 88

830885 _ 060-091.qxd 4/11/08 15:56 Página 89 SOLUCIONARI 9 A LA VIDA QUOTIDIANA 116 Estan dissenyant un nou traçat per a la carretera que uneix Cases Verdes amb Cases Roges, però aquest traçat passarà pels oliverars, amb la qual cosa moltes famílies quedaran afectades. La família de la Sara, igual que altres famílies del poble, ja han rebut la notificació. Expedient 1456 Departament de Política Territorial i Obres Públiques Benvolguda senyora, Ens dirigim a vostè per informar-la de les obres que es duran a terme per a la realització del nou traçat que unirà Cases Verdes amb Cases Roges. Amb motiu d aquestes obres, es procedirà a l expropiació forçosa d una franja de terreny, tal com mostra el plànol adjunt, per la qual vostè serà indemnitzada amb la quantitat de 6.000. Atentament, 90 m 15 m 195 m Segons les escriptures, el terreny té una superfície de 6 hectàrees, i l advocat que han consultat els ha dit que mitjançant una reclamació poden rebre fins a 0 per cada metre quadrat expropiat. Quant els en paguen per cada metre quadrat expropiat? Quant en podrien obtenir si reclamessin judicialment? L àrea del terreny és 6 ha = 60.000 m = (90 + 15 + 195) amplada. 60.000 = 300 amplada Amplada = 00 m L àrea de la carretera és de: 15 00 = 3.000 m. 6. 000 Per cada metre quadrat expropiat els paguen: =. 3. 000 Si reclamen judicialment, els podrien pagar: 0 3.000 = 60.000. 89

830885 _ 060-091.qxd 4/11/08 15:56 Página 90 Figures planes. Àrees 117 L Antoni és un artesà especialitzat en la fabricació de vitralls. La feina que fa és complicada perquè els vitralls solen tenir formes geomètriques, i cal prendre les mides amb precisió perquè no hi hagi errors a l hora d unir les peces. En l últim encàrrec que ha rebut, li han demanat un pressupost per a 5 vitralls d aquesta forma: h 1 m d c h 1 m Si el cristall de colors costa 5,5 /m i el blanc 3,0 /m, quin serà el pressupost per fabricar 5 vitralls? Primer, calculem l àrea de les figures ombrejades. Després, calculem l àrea dels segments circulars semblants al que hi ha ratllat en el dibuix: Àrea del quadrat: h + d = 1 h + d = 1 3 1 d + h = 1 h = = 3 1 = 014, m 3 d + h = d = 1 h = 1 0, 14 = 0, 7 m d = c + c c = 0,7 c = 0,5 c = 0,6 c = 0,51 m Àrea del quadrat = 0,51 0,51 = 0,6 m Àrea dels triangles: c = l ht 051 06 ht ht 0 +, =, + =,51 0, 6 = 0, 44 m 051, 044, A t = = 011, m Àrea dels triangles = 4 0,11 = 0,44 m Àrea del segment circular: ht Sector= 1 l ht Sector= 1 017, = 091, m 051, 091, Àrea del triangle sector = = 03, m 30 Àrea del segment = A Sector A T Sector = π 03, = 06, 03, = 003, m 360 Conclusió: Àrea ombrejada = Àrea quadrat + Àrea 4 triangles + Àrea 4 segments = = 0,6 + 0,44 + 0,1 = 0,8 m Àrea blanca = 1 0,8 = 0,18 m Pressupost: Preu d 1 vitrall = 0,8 5,5 + 0,18 3,0 = 4,3 + 0,58 = 4,88 Preu de 5 vitralls = 5 4,88 = 1 90

830885 _ 060-091.qxd 4/11/08 15:56 Página 91 SOLUCIONARI 9 118 L ajuntament ha declarat urbanitzable un dels terrenys en què en Josep ha sembrat cereals. Abans d assabentar-se de la notícia, ja havia rebut una oferta d una empresa constructora. Ens interessa la terra que teniu al costat de la carretera... Estem disposats a donar-vos 35.000. És a dir, us pagaríem gairebé 100 /m. 54 m 65 m 7 m 11 m 93 m En Josep ha buscat els plànols del terreny per comprovar si és veritat el que li diuen. És veritat el que afirma el constructor? Li pagarien 100 /m? Considerem els dos triangles que es formen amb la diagonal: 65 m x h 11 m 93 m h h = 65 x = 93 ( 11 x) 65 x = 93 (11 x) 4.5 8.649 + 14.641 = 4x x = 4, m h = 65 x x = 4, 11 49,4 A 1 = =.989,91 m h = 4.5 1.78,53 h = 49,4 m h h = 54 x h = 7 ( 11 x) x 11 m 54 x = 7 (11 x).916 5.184 + 14.641 = 4x x = 51,13 m h = 54 x x = 51,13 h =.916.614,8 h = 17,37 m 11 17,37 A = = 1.050,88 m L àrea total és:.989,91 + 1.050,88 = 4.040,79 m. 35. 000 Per tant, li paguen 4.040,79 = 80,43 /m. 54 m 7 m 91

830885 _ 09-033.qxd 4/11/08 15:55 Página 9 10 Cossos geomètrics POLIEDRES POLIEDRES REGULARS PRISMES PIRÀMIDES ÀREA TOTAL A T = P B h + A B A T ÀREA TOTAL PB a PB a' = + COSSOS DE REVOLUCIÓ CILINDRE CON ESFERA ÀREA TOTAL A T = πrh + πr ÀREA TOTAL A T =πrg +πr ÀREA TOTAL A T = 4πr 9

830885 _ 09-033.qxd 4/11/08 15:55 Página 93 El centre de l univers Com a altres els havia passat abans i a molts altres després, Aristarc de Samos es va veure irremeiablement atret per Alexandria: una ciutat tranquil la, pàtria adoptiva de savis i protectora del coneixement. La magnífica biblioteca de la ciutat li va obrir les portes i Aristarc es va amarar dels coneixements dels savis d altres temps. Més tard, després d anys de estudi silenciós es va decidir per fi a fer públiques les seves teories i, davant d un auditori ple de gom a gom de savis, va començar així: Amics, després d exhaustius estudis puc afirmar que la Terra no està immòbil: es mou en cercle al voltant del Sol i completa un cercle cada any; a més, gira sobre si mateixa, una volta cada dia. Un murmuri de protestes es va aixecar a la sala, entre insults i mofes que li deien: Sobre la base que la Terra és rodona, cosa que Aristòtil ha provat, si girés una volta cada dia, la velocitat a la superfície seria tan elevada que no podríem avançar mai cap a l est, perquè la Terra ens avançaria. Aristarc, endebades, intentava explicar que ells també giraven a la mateixa velocitat. Incapaç de convèncer l auditori, va recollir els escrits en què explicava la seva teoria i va abandonar la sala, amb aquestes paraules: De vegades allò més neci és un home savi. Assenyala l eix de gir i el radi de l esfera. Eix Radi

830885 _ 09-033.qxd 13/11/08 13:9 Página 94 Cossos geomètrics EXERCICIS 001 Determina el nom dels poliedres següents. Quantes cares tenen? I quantes arestes? a) b) a) Piràmide quadrangular: 5 cares i 8 arestes. b) Prisma triangular: 5 cares i 9 arestes. 00 Efectua el desenvolupament pla dels poliedres de l exercici anterior i indica els passos que segueixes per fer-ho. 003 Justifica si és verdader o fals: a) En un poliedre, totes les cares són iguals. b) El nombre de cares més petit d un poliedre és 4. c) En cada vèrtex d un poliedre concorren sempre el mateix nombre d arestes. a) Fals, perquè les cares poden ser diferents, i només són iguals en els poliedres regulars. b) Verdader, perquè el polígon amb menys arestes en té 3, i com que cada aresta és la intersecció amb una altra cara, són 4 cares. c) Fals. Per exemple, en els vèrtexs de la base de les piràmides concorren 3 arestes i en el vèrtex superior concorren tantes arestes com costats té la base. 004 Prova que tots els poliedres regulars compleixen la fórmula d Euler. Tetraedre Cares: 4, vèrtexs: 4, arestes: 6 4 + 4 = 6 + Cub Cares: 6, vèrtexs: 8, arestes: 1 6 + 8 = 1 + Octaedre Cares: 8, vèrtexs: 6, arestes: 1 8 + 6 = 1 + Dodecaedre Cares: 1, vèrtexs: 0, arestes: 30 1 + 0 = 30 + Icosaedre Cares: 0, vèrtexs: 1, arestes: 30 0 + 1 = 30 + 94

830885 _ 09-033.qxd 4/11/08 15:55 Página 95 SOLUCIONARI 10 005 Determina el nombre de cares que concorren en els vèrtexs de cadascun dels poliedres regulars. Tetraedre: 3 cares. Cub: 3 cares. Octaedre: 4 cares. Dodecaedre: 3 cares. Icosaedre: 5 cares. 006 Dibuixa un poliedre que tingui 7 vèrtexs. Compleix la fórmula d Euler? Cares: 7. Arestes: 1. Vèrtexs: 7. C + V = A + 7 + 7 = 1 + 007 Hi pot haver un poliedre regular de 3 cares? No és possible, perquè el polígon amb menys arestes en té 3, i com que cada aresta és la intersecció amb una altra cara, almenys tindrà 4 cares. 008 Dibuixa un prisma recte de base triangular i un altre de base pentagonal. a) Calcula n el nombre de cares, d arestes i de vèrtexs. b) Compleixen la fórmula d Euler? c) Dibuixa n els desenvolupaments plans. a) Prisma triangular Cares: 5, arestes: 9, vèrtexs: 6 Prisma pentagonal Cares: 7, arestes: 15, vèrtexs: 10 b) Prisma triangular 5 + 6 = 9 + Prisma pentagonal 7 + 10 = 15 + c) F F 95

830885 _ 09-033.qxd 4/11/08 15:55 Página 96 Cossos geomètrics 009 Dibuixa el desenvolupament pla d un prisma oblic de base quadrangular. 010 Quin polígon forma la base d un prisma que té 18 arestes? La base del prisma és un hexàgon. 011 Calcula l àrea d un cub de cm d aresta. A = 6 A B = 6 = 4 cm 01 Determina l àrea d un prisma: a) Pentagonal regular de 10 cm d altura, 4 cm de costat de la base i,75 cm d apotema. b) Triangular regular de 8 cm d altura, 4 cm de costat de la base i 3,46 cm d altura de la base. P a a) A = P h + P a b) A = P h + = 0 10 + 0,75 = 455 cm = 1 8 + 1 3,46 = 140,98 cm 013 Un prisma quadrangular recte, de 3 cm d aresta de la base, té una àrea total de 78 cm. Calcula n l altura. 60 A = AB + P h 78 = 3 + 3 4 h h = = 5 cm 1 014 Troba la longitud de l aresta d un cub perquè la seva àrea sigui igual que la d un ortoedre de 6 cm d amplada, 3 cm d altura i cm de profunditat. A Ortoedre = 6 3 + 6 + 3 = 7 cm A Cub = 6c 6c = 7 c = 1 = 3,46 cm L aresta fa 3,46 cm. 96

830885 _ 09-033.qxd 4/11/08 15:55 Página 97 SOLUCIONARI 10 015 Dibuixa una piràmide recta de base triangular i una altra de base pentagonal. a) Calcula n el nombre de cares, d arestes i de vèrtexs. b) Comprova que tots dos poliedres compleixen la fórmula d Euler. c) Dibuixa n els desenvolupaments plans. a) Piràmide triangular Cares: 4, arestes: 6, vèrtexs: 4 Piràmide pentagonal Cares: 6, arestes: 10, vèrtexs: 6 b) Piràmide triangular 4 + 4 = 6 + Piràmide pentagonal 6 + 6 = 10 + c) 016 Dibuixa el desenvolupament pla d una piràmide obliqua de base quadrangular. 017 Quin polígon forma la base d una piràmide que té 18 arestes? I d una piràmide que té 9 vèrtexs? La base d una piràmide amb 18 arestes és un enneàgon. La base d una piràmide amb 9 vèrtexs és un octàgon. 97

830885 _ 09-033.qxd 4/11/08 15:55 Página 98 Cossos geomètrics 018 Calcula l àrea d una piràmide regular de base quadrangular, si l aresta bàsica fa 7 cm i l altura de les cares laterals és de 4 cm. b a A L = 4 = 4 7 4 = 56 cm A B = c = 7 = 49 cm A T = A L + A B = 56 + 49 = 105 cm 019 Troba l àrea total d una piràmide quadrangular de 4 cm d altura i 4 cm d aresta de la base. L altura dels triangles laterals és: a = 16 + 4 = 4,47 cm AT = AB + 4 At = 4 4 + 4 4 4,47 = 51,76 cm 00 Determina l àrea total d aquesta piràmide regular: L apotema de l hexàgon és: 4 cm 3 7 a = c = =,6 cm 4 4 L altura dels triangles laterals és: 3 cm a' = a + h =,75 = 4,77 cm A T P a = AB + ' = 18,6 18 4,77 + = 66,33 cm 01 Dibuixa el desenvolupament pla d un cilindre de 3 cm de radi i 7 cm d altura. 3 cm 9,4 cm 7 cm 98

830885 _ 09-033.qxd 4/11/08 15:55 Página 99 SOLUCIONARI 10 0 Dibuixa el desenvolupament pla d un cilindre de 1 cm de circumferència de la base i que té una altura de 6 cm. 1,91 cm 1 cm 6 cm 03 Determina els cossos de revolució que generen aquestes figures planes quan giren: 04 Calcula l àrea total d un cilindre de 10 cm d altura i de 7 cm de radi de la base. A L = πrh = π 7 10 = 439,6 cm A B =πr =π 7 = 153,86 cm A T = A L + A B = 747,3 cm 05 En Lluís i l Anna han de folrar un tub cilíndric de 1 m d altura i m de diàmetre. Si el paper els costa 1?/m, quant els costarà folrar la superfície lateral del tub? A L = πrh = π 1 1 = 75,36 m Folrar-lo els costarà: 75,36 1 = 904,3. 06 Troba la superfície total d un tronc de fusta cilíndric recte, de 3 m d altura i 30 cm de diàmetre de la base. A L = πrh = π 0,15 3 =,83 m A B =πr =π 0,15 = 0,07 m A T = A L + A B =,97 m 99

830885 _ 09-033.qxd 4/11/08 15:55 Página 300 Cossos geomètrics 07 Un botó de forma cilíndrica té una altura d 1 mm. Si la seva àrea total és de 188,4 mm, passa per un trau que té una altura de 8 mm? Calculem el diàmetre del botó: A = πr + πrh 188,4 = π (r + r) 30 = r + r r + r 30 = 0 1 1 10 r + r 30 = 0 r = ± + 1 r = + 11 = 6 mm 1 r = 11 = 5 (solució no vàlida) Per tant, el diàmetre és de 1 mm, i no passa pel trau de 8 mm.. 08 Dibuixa el desenvolupament pla d un con de 4 cm de radi de la base i 8 cm de generatriu. F F 4 cm 8 cm 09 Calcula la generatriu d aquest con: 4 cm 5 cm g = 5 + 4 = 6,4 cm 300

830885 _ 09-033.qxd 4/11/08 15:55 Página 301 SOLUCIONARI 10 030 Determina l altura d aquest con: h 13 cm G 9 cm 13 = h + 9 h = 13 9 h = 13 9 = 9,38 cm 031 Un triangle equilàter, quan gira sobre qualsevol dels seus costats, genera un con? I un d obtusangle? Només generen cons els triangles rectangles quan giren sobre un dels seus catets. 03 Un con té 1 cm de generatriu i 8 cm de diàmetre de la base. Calcula n l àrea total. A L =πrg =π 4 1 = 150,7 cm A B =πr =π 4 = 50,4 cm A T = A L + A B = 150,7 + 50,4 = 00,96 cm 033 Quina és l àrea d aquesta esfera? G 5 cm A = 4π 5 = 314 cm 034 Volem cobrir amb lona una torre de forma cònica de 15 m d altura i 8 m de diàmetre. Quina quantitat de lona necessitem? 15 m g En trobem la generatriu: g = 15 + 4 = 5 + 16 = 41 = 15,5 m A L =πrg =π 4 15,5 = 194,98 m 4 m 035 Raona si un cercle pot generar una esfera. Quants eixos de gir pot tenir? Un cercle genera una esfera quan gira sobre algun dels seus diàmetres i, per tant, té infinits eixos de gir. 301

830885 _ 09-033.qxd 4/11/08 15:55 Página 30 Cossos geomètrics ACTIVITATS 036 FES-HO AIXÍ COM CALCULEM LES DIAGONALS D UN ORTOEDRE SI EN CONEIXEM LES ARESTES? cm Calcula la longitud de les diagonals d aquest ortoedre: cm 4 cm PRIMER. Identifiquem els tipus de diagonals que hi ha al poliedre. En un ortoedre hi ha tres tipus de diagonals: les de les cares laterals, les de les bases i les situades entre vèrtexs de cares oposades. SEGON. Determinem les diagonals de les cares, que són la hipotenusa del triangle rectangle que té com a catets els costats de la cara. Hi apliquem el teorema de Pitàgores. cm d 4 cm d = + 4 d = + 4 = 4, 47 cm cm d cm d = + d = + =, 83 cm TERCER. Determinem les diagonals que hi ha situades entre vèrtexs de cares oposades. Aquestes diagonals són la hipotenusa del triangle rectangle que té com a catets les diagonals de les cares laterals i les arestes de la base. Hi apliquem el teorema de Pitàgores. d 4,47 cm cm d = + 4,47 d = + 4,47 = 4,9 cm 037 Un cub té una aresta de 5 cm. Calcula la longitud de la diagonal de la cara i de la diagonal del cub. D d Diagonal de la cara: 5 cm d 5 cm Apliquem el teorema de Pitàgores: d = 5 + 5 d = 50 d = 7,07 cm 30

830885 _ 09-033.qxd 4/11/08 15:55 Página 303 SOLUCIONARI 10 Diagonal del cub: Tornem a trobar un triangle rectangle: D 5 cm D D = 5 + 7,07 7,07 cm D = 74,98 D = 8,66 cm 038 Un ortoedre té arestes de 5 cm, 7 cm i 9 cm. Troba la longitud de les diagonals de les cares i de la diagonal de l ortoedre. Diagonal de la cara rectangular més gran: 5 cm Apliquem el teorema de Pitàgores: d d = 5 + 9 d = 106 d = 10,3 cm 9 cm Diagonal de la cara rectangular més petita: 5 cm d' Apliquem el teorema de Pitàgores: d' = 7 + 5 d' = 74 d' = 8,6 cm 7 cm Diagonal de l ortoedre: Apareix un altre triangle rectangle: 7 cm D 7 cm D 10,3 cm 9 cm 5 cm D = 7 + 10,3 D = 155,09 D = 1,45 cm 039 Un cub té una diagonal de cara de 4 cm. Determina la longitud de l aresta i de la diagonal del cub. d = c + c = c d 4 d = c c = = = cm D = c + d D = 4 + ( ) = 16 + 8 = 4 D = 4,9 cm 040 Completa la taula si saps que les dades pertanyen a poliedres en els quals es compleix la fórmula d Euler: Nre. de cares Nre. de vèrtexs Nre. d arestes 9 14 1 6 8 1 11 18 7 1 0 30 10 16 4 303

830885 _ 09-033.qxd 4/11/08 15:55 Página 304 Cossos geomètrics 041 Classifica els poliedres següents en còncaus i convexos. Avalua si compleixen la fórmula d Euler: a) c) e) g) b) d) f) h) a) Convex. Cares: 4, vèrtexs: 14, arestes: 36 4 + 14 = 36 + Sí que compleix la fórmula d Euler. b) Còncau. La compleix perquè és còncau. c) Còncau. La compleix perquè és còncau. d) Còncau. Cares: 10, vèrtexs: 16, arestes: 4 10 + 16 = 4 + Sí que compleix la fórmula d Euler. e) Còncau. La compleix perquè és còncau. f) Còncau. La compleix perquè és còncau. g) Còncau. Cares: 10, vèrtexs: 16, arestes: 4 10 + 16 = 4 + Sí que compleix la fórmula d Euler. h) Còncau. Cares: 9, vèrtexs: 13, arestes: 1 9 + 13 1 + No compleix la fórmula d Euler. 04 Comprova si es compleix la fórmula d Euler: Poliedre Nre. de cares Nre. de vèrtexs Nre. d arestes C + V A + Tetraedre 4 4 6 8 8 Cub 6 8 1 14 14 Octaedre 8 6 1 14 14 Dodecaedre 1 0 30 3 3 Icosaedre 0 1 30 3 3 043 Quin poliedres o poliedres regulars podem obtenir si fem servir com a cares triangles equilàters? I amb pentàgons regulars? I amb hexàgons regulars? Triangles equilàters: tetraedre, octaedre i icosaedre. Pentàgons regulars: dodecaedre. Hexàgons regulars: no podem obtenir-ne cap poliedre regular. 304

830885 _ 09-033.qxd 4/11/08 15:55 Página 305 SOLUCIONARI 10 044 Dibuixa aquests prismes i indica n tots els elements. Dibuixa n també els desenvolupaments plans: a) Prisma triangular. b) Prisma quadrangular. c) Prisma pentagonal. d) Prisma hexagonal. a) F b) F c) F d) F 045 Dibuixa un prisma regular i un altre d irregular. Regular Irregular 305

830885 _ 09-033.qxd 4/11/08 15:55 Página 306 Cossos geomètrics 046 Dibuixa un prisma recte i un altre d oblic que tinguin la mateixa base. Recte Oblic 047 Dibuixa un prisma pentagonal regular i el seu desenvolupament. Acoloreix de blau l àrea lateral i, de vermell, l àrea de les bases. Com es calcula l àrea total? F A T = A L + A B 048 Digues quines afirmacions són verdaderes i corregeix les falses. Justifica la teva decisió. a) Un cub és un ortoedre. b) L altura d un prisma oblic és l aresta lateral. c) Els prismes oblics es classifiquen en regulars i irregulars. a) Verdadera. b) Falsa. h c) Falsa, perquè tots els prismes oblics són irregulars. 306

830885 _ 09-033.qxd 4/11/08 15:55 Página 307 SOLUCIONARI 10 049 Calcula l àrea total d aquests prismes: a) d) g) i) 7 cm 7,4 cm 4,5 cm 8 cm 5 cm b) e) h) j) c) f) 8 cm 5 cm G 4 cm 1 cm 1 cm 9 cm 8 cm 5 cm cm 5, cm 6 cm 5 cm G 5 cm 11 cm 5 cm G 4,5 cm 8 cm G 6 cm 15 cm 3 cm 6 cm 6 cm 7 cm a) A = 7 + 4 + 4 7 = 100 cm b) c) A = 6 6 5, + 6 6 8 = 475, cm d) A = 5 5 3,44 + 5 5 1 = 386 cm e) f) A = 6 7 = 94 cm g) h) h = 5,5 = 4,33 cm A = 5 4,33 + 3 5 9 = 156,65 cm h = 5 3 = 4 cm A = 6 4 + 8 5 3 = 144 cm a = 8 4 = 6,93 cm A = 6 8 6,93 + 6 8 1 = 74,3 cm h = 4,5,5 = 3,44 cm A = 5 5 3,44 + 5 5 11 = 361 cm i) A = 8 6 7,4 + 48 15 = 1.067,5 cm j) h Triangle h Cara Lateral = 8 4 = = 6 3 = 6,93 cm 5, cm A = 8 6,93 + 3 8 5, = 180,4 cm 307

830885 _ 09-033.qxd 4/11/08 15:55 Página 308 Cossos geomètrics 050 FES-HO AIXÍ COM CALCULEM L ARESTA D UN CUB SI EN CONEIXEM L AREA? Calcula l aresta d un cub si saps que la seva àrea és 54 cm. c PRIMER. Hi apliquem la fórmula de l àrea total. c A T = 6 A Quadrat = 6 c c = 6c SEGON. Ho igualem amb l àrea coneguda. 54 6c = 54 c = = 9 c = 9 = 3 cm 6 051 L àrea total d un cub fa 4 cm. Calcula l aresta del cub, la diagonal de la cara i la diagonal del cub. A = 6c 4 = 6c c = cm d = c + c D = 3c d = c = cm D = c 3 = 3 cm 05 Troba la diagonal d un cub de 150 m d àrea total. A = 6c 150 = 6c c = 5 m D d Diagonal de la cara: 5 m d Apliquem el teorema de Pitàgores: d = 5 + 5 d = 50 d = 7,07 m 5 m Diagonal del cub: Apareix un altre triangle rectangle: D 5 m D D = 5 + 7,07 7,07 m D = 74,98 D = 8,66 m 308

830885 _ 09-033.qxd 4/11/08 15:55 Página 309 SOLUCIONARI 10 053 Calcula l àrea dels triangles acolorits: a) c) b) d) 0 cm 4 cm 14 cm 5 cm 1 cm 8 cm 10 cm 6 cm a) La diagonal de cada cara és: d = 14 + 14 = 19,8 cm. Es forma un triangle equilàter, de costat 19,8 cm. h = 39 98 = 17,15 cm 19,8 17,15 A = = 169, 78 cm b) La diagonal de cada cara és: d = 0 + 0 = 8,8 cm. Es forma un triangle rectangle, de catets 8,8 cm i 0 cm. 0 8,8 A = = 8,8 cm c) Les diagonals de cada cara són: d 1 = 1 + 8 = 14,4 cm d = 1 + 5 = 13 cm d 3 = 8 + 5 = 9,43 cm Es forma un triangle, de costats 14,4 cm, 13 cm i 9,43 cm. h = 13 x x 13 = 9,43 ( 14,4 x) h = 9,43 ( 14,4 x) 169 89 + 08 = 8,84x x = 9,67 cm h = 13 x 14,4 8,68 A = = 6,58 cm h = 169 93,58 h = 8,68 cm d) La diagonal del lateral és: d = 16 + 36 = 7,1 cm. Es forma un triangle rectangle, de catets 7,1 i 10 cm. A = x = 9,67 10 7,1 = 36,05 cm 309

830885 _ 09-033.qxd 4/11/08 15:55 Página 310 Cossos geomètrics 054 Dibuixa aquestes piràmides i el seu desenvolupament pla, i indica n tots els elements: a) Piràmide triangular c) Piràmide pentagonal b) Piràmide quadrangular d) Piràmide hexagonal a) F b) F c) F d) F 055 Dibuixa una piràmide regular i una altra d irregular. Regular Irregular 310

830885 _ 09-033.qxd 4/11/08 15:55 Página 311 SOLUCIONARI 10 056 Dibuixa una piràmide recta i una altra d obliqua que tinguin la mateixa base. Recta Obliqua 057 Dibuixa el desenvolupament pla d una piràmide triangular regular amb arestes laterals de 6 cm i de base un triangle equilàter de 4 cm de costat. 6 cm F 4 cm 058 Identifica similituds i diferències entre una piràmide triangular regular i un tetraedre. El tetraedre és una piràmide triangular amb la característica que les arestes laterals mesuren el mateix que les arestes de la base i, per tant, és una piràmide triangular regular. 059 Digues quines afirmacions són verdaderes i corregeix les falses. Justifica la teva decisió. a) En una piràmide regular, les cares laterals són triangles equilàters. b) Una piràmide és un prisma triangular. c) L altura d una piràmide és qualsevol de les arestes laterals. d) Una piràmide regular és un tetraedre. a) Falsa, perquè els triangles són isòsceles. b) Falsa, perquè la piràmide té cares laterals que són triangles, i els prismes, paral lelograms. c) Falsa, perquè l altura és la perpendicular que passa pel vèrtex superior. d) Falsa, perquè el tetraedre és una piràmide regular en què les arestes laterals mesuren el mateix que les arestes de la base. 311

830885 _ 09-033.qxd 4/11/08 15:55 Página 31 Cossos geomètrics 060 FES-HO AIXÍ COM CALCULEM L ÀREA D UNA PIRÀMIDE SI EN CONEIXEM LES ARESTES? Calcula l àrea total d aquesta piràmide: PRIMER. Calculem l apotema de la piràmide. a 5 cm 10 cm a 5 cm Apliquem el teorema de Pitàgores al triangle rectangle que formen l apotema de la piràmide, la meitat del costat de la base i l aresta lateral. 5 cm 5 = a + 5 a = 5 5 = 4, 49 cm SEGON. Calculem l apotema de la base. Apliquem el teorema de Pitàgores al triangle rectangle que formen l apotema de la base, la meitat del costat de la base i el radi de la base. r r 10 cm F a' 5 cm r = 10 cm 10 = ( a' ) + 5 a' = 10 5 = 8,66 cm TERCER. Determinem l àrea A T PB a PB a' ( 6 10) 4, 49 ( 6 10) 8, 66 = + = + = 994,5 cm 061 Calcula l àrea total d aquestes piràmides: 34 m 9 m 5 m Piràmide quadrangular: a = 34 1, 5 = 31,6 m A T = A B + A L = 5 + 100 31,6 = 3.787 m Piràmide pentagonal: a = 9 3 = 8,49 m a' = 5,1 3 = 4,1 m AT = AB + AL = 5,1 m F 6 m 30 4,1 30 8,49 + = 189,15 m 31

830885 _ 09-033.qxd 4/11/08 15:55 Página 313 SOLUCIONARI 10 06 Troba l àrea total d un tetraedre d aresta: a) 3 cm b) 5 cm c) 9 cm d) 6, cm a) a = 3 1,5 =,6 cm A T = 4 AB = 4 3,6 = 15,6 cm b) a = 5,5 = 4,33 cm A T = 4 AB = 4 5 4,33 = 34,3 cm c) a = 9 4,5 = 7,79 cm A T = 4 AB = 4 9 7,79 = 140, cm d) a = 6, 3,1 = 5,37 cm A T = 4 A = 4 B 6, 5,37 = 66,59 cm 063 Calcula l àrea total d aquestes piràmides: a) b) 10 m 8 m 8 m 6 m a) b) a = 10 + 4 = 10,77 m AT = AB + AL = 64 + a = 6 3 = 5, m AT = AB + AL = 3 10,77 = 36,3 m a' = 8 + 7 = 9,54 m 36 5, 3 9,54 + = 65,5 m 064 Determina l àrea total d una piràmide hexagonal regular que té una àrea de la base de 100 cm i una altura de 0 cm. 3 c c 3 3 Com que la base és un hexàgon: AB = 6 = c. 3 3 c 100 = 100 c = = 38,5 3 3 3 c = 38,5 = 6, cm c = 5,36 cm Calculem l apotema de la piràmide: a = 5,36 + 0 = 0,7 cm 6, 0,7 L àrea lateral és: A L = 6 = 385,0 cm. A T = 100 + 385,0 = 485, cm G c c 3 c 313

830885 _ 09-033.qxd 4/11/08 15:55 Página 314 Cossos geomètrics 065 L àrea total d una piràmide quadrangular regular és de 4 cm i l altura és de 6 cm. Calcula l aresta d un cub que té com a àrea total la mateixa que la de la piràmide. A T = 6 A B 4 = 6c c = 0,81 cm 066 Troba la longitud de l aresta d un tetraedre perquè la seva àrea sigui igual que la d una piràmide hexagonal regular, amb aresta bàsica de 3 cm i apotema de les cares laterals de 10 cm. Piràmide hexagonal: a = 3 1,5 =,6 cm AT = AB + AL = Tetraedre: 18,6 18 10 + = 113,4 cm c a = c A T 3 = c 3 c c = 4 AB 113,4 = 4 113,4 = 3c c = 8,1 cm L aresta del tetraedre és de 8,1 cm. 067 L altura d un cilindre és de 9 cm i el diàmetre de la base fa 6 cm. Dibuixa n el desenvolupament. πr 9 cm 3 cm 068 Calcula l àrea total d aquests cilindres: a) b) 7 m 10 m 1 m 5 m a) A = π 7 + π 7 10 = 747,3 m b) A = π 1 + π 1 5 = 1.81,1 m 314

830885 _ 09-033.qxd 4/11/08 15:55 Página 315 SOLUCIONARI 10 069 Troba l altura d un cilindre d àrea lateral 756,6 cm i radi de la base 10 cm. A L = πrg 756,6 = π 10 g 756,6 g = = 6,8 1 cm 070 L àrea total d un cilindre és de 471 m i l altura és el doble del radi. Calcula n l altura i el radi. h = r 471 = πr + πrh h = r r = 5 cm h = 10 cm 471 = πr + πr r 471 = 6πr r = 5 cm 071 Dibuixa el desenvolupament d un con i calcula el valor de la longitud de l arc del sector corresponent, si el radi de la base del con és de 4 cm, i la generatriu, de 15 cm. 4 cm 15 cm La longitud de l arc és igual a la longitud de la circumferència de la base: L = π 4 = 5,1 cm. 07 Un con té 1 cm de generatriu i 8 cm de diàmetre de la base. Calcula n l àrea total. A = π 4 + π 4 1 = 401,9 cm 073 Troba l altura d un con de generatriu 13 cm i radi de la base 5 cm. 5 h = 13 5 = 1 cm 074 Calcula el radi d una esfera si saps que l àrea de la seva superfície és de 803,84 cm. A = 4πr 803,84 = 4πr r = 8 cm 315

830885 _ 09-033.qxd 4/11/08 15:55 Página 316 Cossos geomètrics 075 Troba l àrea total d aquestes figures: a) b) 10 cm G 10 cm 10 cm a) A = πrg +πr +πrg' A = π 5 10 +π 5 +π 5 10 A = 314 + 78,5 + 157 = 549,5 cm π 5 + π 5 5 b) A = 10 5 + ( 10 + 10 + 5 + 5) 5 + = = 50 + 150 + 157 = 357 cm 5 cm 10 cm 5 cm 076 Esbrina quina ha de ser la generatriu del con perquè tots dos tinguin: 10 cm a) La mateixa àrea lateral. b) La mateixa àrea total. 10 cm 10 cm a) A L = π 10 1.000 = 6.800 cm 6.800 = π 10 g g =.000 cm b) A T = π 10 10 + π 10 1.000 = 63.48 cm 63.48 = π 10 10 + π 10 g g =.010 cm 077 Les parets i el sostre d una habitació tenen una àrea de 94 m. Si el terra és un rectangle de 7 m de llargada i 4 m d amplada, quina altura té l habitació? A Sostre = A Terra = 7 4 = 8 m Les quatre parets ocuparan una àrea de: 94 8 = 66 m. Hi ha dues parets de 7 m de llargada i altura h, i dues parets més de 4 m de llargada i altura h. 7 h + 4 h = 66 14h + 8h = 66 h = 66 h = 3 m 078 Un edifici té forma de prisma recte de 30 m d altura i la base és un triangle equilàter de 5 m de costat. Quines àrees lateral i total té l edifici? a = 5,5 = 4,33 m A L = 15 30 = 450 m A T = 5 4,33 + 540 = 561,65 m 316

830885 _ 09-033.qxd 4/11/08 15:55 Página 317 G SOLUCIONARI 10 079 Calcula l àrea lateral i la total d un monòlit en forma de piràmide hexagonal que té el costat de l hexàgon de 10 cm i el costat dels triangles laterals de 5 cm. a = 10 5 = 8,66 cm a' = 5 5 = 4,49 cm A L = 60 4,49 = 1.469,4 cm A T = 60 8,66 + 1.469,4 = 1.79, cm 080 Determina quant costarà construir aquest edifici si saps que el metre quadrat de totxos costa 4,35, i el de teules, 9,65. G F 10 m 5 m 15 m G F 30 m 30 m 10 m 15 m Terrat de la torre: 40 11,18 A = = 3,6 m Terrat de l església: a = 10 + 5 = 11,18 m l = 15 + 5 = 15,81 m A = 15,81 30 = 948,6 m Façanes laterals: (30 15 + 10 30) = 1.500 m Façanes frontals i del darrere: 15 30 + 15 15 + 15 15 = 900 m Cost de les teules: (3,6 + 948,6) 9,65 = 11.311,73 Cost dels totxos: (1.500 + 900) 4,35 = 10.440 Cost total: 11.311,73 + 10.440 = 1.751,73 081 Una tenda de campanya de forma cònica té una altura de m i un diàmetre d 1 m. Quants metres quadrats calen per folrar-la, inclosa la base? L àrea total de la tenda és la superfície que s ha de folrar: A =π 0,5 + π 0,5 = 7,065 m 317

830885 _ 09-033.qxd 4/11/08 15:55 Página 318 Cossos geomètrics 08 Una bobina de paper de forma cilíndrica té una altura d 1,75 m i un diàmetre de la base circular de 80 cm. Calcula n l àrea total. A = π 40 + π 40 175 = 54.008 cm 083 Determina la superfície esfèrica d una pilota que té 30 cm de diàmetre. A = 4π 15 =.86 cm 084 Calcula l àrea total d aquestes figures: m 3,5 m 7 cm 3 cm 5 m,5 m 10 m 3 m Àrea de la casa: Àrea del gelat: Àrea de la cúpula: g Teulada = + 3,5 = 4,03 m π 3,5 4,03 A = π 3 + π 3,5 + 4π 3 π 3 7 A = + = 94, cm A = 4π 5 + π 5 = 35,5 m = 119,65 m 085 Si considerem C = 11, V = 11 i A = 0 es compleix la fórmula d Euler. Hi ha cap poliedre les cares del qual coincideixin amb aquestes quantitats? En cas afirmatiu, dibuixa l. Sí, per exemple un prisma coronat per una piràmide. 318

830885 _ 09-033.qxd 4/11/08 15:55 Página 319 SOLUCIONARI 10 086 Amb 1.000 cubs petits construïm un cub gran que té 10 cubs per aresta. Tot seguit, pintem les 6 cares del cub. Quants cubs petits tenen 3 cares pintades? Quants cubs petits tenen cares pintades? I quants en tenen 1? Quants cubs petits no tenen cap cara pintada? Tenen 3 cares pintades els que formen les cantonades: 8 cubs petits.. Tenen cares pintades els que formen les arestes menys els que estan a les cantonades: 1 8 = 96 cubs petits. Tenen una cara pintada els que formen les cares exteriors menys les arestes: 81 6 = 486 cubs petits. No tenen cap cara pintada: 1.000 486 96 8 = 810 cubs petits. 087 L Enric té 36 cubs de fusta per fer construccions. Quants prismes diferents pot formar si utilitza tots els cubs? Si considerem que són iguals els prismes que tenen les mateixes dimensions, encara que estiguin en posicions diferents, tenim aquests prismes amb les dimensions següents: 1 1 36 1 6 6 1 18 9 1 3 1 3 6 1 4 9 3 3 4 En total, pot formar 8 prismes diferents. 088 Una formiga es desplaça des del punt X fins al punt Y sobre la superfície d un cilindre. Quina és la distància mínima que ha recorregut la formiga? Y La distància mínima recorreguda és fer menys d una volta. Si desenvolupem l àrea lateral, la distància és la diagonal d un rectangle amb base la meitat de la circumferència i amb altura l altura del cilindre. X h L π r L = h + ( π r) 319

830885 _ 09-033.qxd 4/11/08 15:55 Página 30 Cossos geomètrics A LA VIDA QUOTIDIANA 089 L empresa FAÇANES NETES es dedica a la restauració i la neteja de façanes d edificis. L última feina que els han encarregat consisteix a netejar les finestres i les portes, i també a polir el marbre, de la façana d un edifici. Per elaborar el pressupost, un tècnic s ha acostat fins a l edifici per prendre mides. 1m 1 m 1 m 3 m m m 5 m 17 m 9 m Aquestes mides les lliura al Departament de Facturació i Pressupostos, on calculen els costos de la neteja. 30

830885 _ 09-033.qxd 13/11/08 13:9 Página 31 SOLUCIONARI 10 COSTOS DE NETEJA A la planta baixa A la planta alta Vidre 8,50 /m 14,30 /m Marbre 19,80 /m 6,10 /m Quin és el cost de la neteja total de l edifici? Suposem que l edifici ocupa tota l illa de cases i que les finestres es reparteixen de manera semblant per tot l edifici. El nombre de finestres és: 9 4 + 9 = 108 finestres, que tenen una àrea de 108 1 = 16 m, que és la superfície de vidre de les plantes altes. El marbre que cobreix cada finestra té una superfície de: 3 4 1 = 10 m, en què 1.080 m és la superfície de marbre en les plantes altes. A la planta baixa hi ha una porta amb 8 vidres de: 3 = 6 m, que fan un total de 48 m de vidre a la planta baixa. La superfície del marbre de la planta baixa és la superfície del sòcol menys la de l espai de la porta: (17 + 9 ) 5 4 3 = 48 m. El cost de la neteja de l edifici serà: 48 8,50 + 16 14,30 + 48 19,80 + 1.080 6,10 = 36.595,0 090 L escultora Mara Cisell ha rebut un encàrrec de l ajuntament de Burí. Volem una escultura que simbolitzi la relació entre l ésser humà i la natura... La simbiosi entre la nostra gent i l entorn que els envolta. 31

830885 _ 09-033.qxd 4/11/08 15:55 Página 3 Cossos geomètrics L escultora ha pensat fer una escultura de granit, que és la pedra predominant de la comarca, amb una estructura similar a aquesta. Quan ha trucat a una pedrera on li poden proporcionar el granit, l han informat que tenen aquestes peces: Un con de,4 m d altura i un diàmetre d 1,4 m. Un cilindre de 0,4 m de radi i 0,6 m d altura. Una esfera de 0,5 m de radi. Per aconseguir l estructura que vol haurà de fer un tall al con i un altre a l esfera. A quina altura els ha de fer?,4 m F 0,8 m G h 1,4 m 1,4 Com que són triangles semblants:,4 0,8 = h = 1,37 m h Ha de tallar el con a 1,37 m de la base. h 0,5 m 0,8 m h = 0,5 0,4 = 0,3 m Ha de tallar l esfera a una distància de 30 cm del centre, és dir, a 0 cm de la superfície. 3

830885 _ 09-033.qxd 4/11/08 15:55 Página 33 SOLUCIONARI 10 091 Tenim un tros de suro d aquesta forma: 4 cm 5 cm Si la boca de l ampolla és un cercle de 314 mm d àrea, a partir de quin punt podem tallar el suro perquè serveixi per tapar l ampolla? 314 mm El radi de la boca de l ampolla és: A =πr 314 = πr r = 10 mm = 1 cm El diàmetre és de cm. H 5 cm cm h 4 cm L altura del con és: H = 5 = 4,58 cm. 4 L altura del tronc de con mesurarà:. = 4,58 h =,9 cm h S ha de tallar el suro a partir de,9 cm de la base. 33