M.C.D. - M.C.M. de polinomios

M.C.D. - M.C.M. de polinomios M.C.D. y M.C.M. de polinomios Máximo común divisor (M.C.D.) Mínimo común múltiplo (M.C.M.) Propiedades el el 1 M.C.D. de dos o más polinomios es otro polinomio que tiene la característica de estar contenido en cada uno de los polinomios. se Obtiene factorizando los polinomios viene expresado por la multiplicación de los factores primos comu nes a fe ctad os de su s menores exponentes. y M.C.M. de dos o más polinomios es otro polinomio que tiene la característica de contener a cada uno de los polinomios. se Obtiene factorizando los polinomios viene expresado por la multiplicación de los factores primos comunes y no comunes afectados de sus mayores exponentes. y Dos o más polinomios son primos entre sí, si su M.C.D. es ±1. Únicamente para dos polinomios A(x), B(x) se cumple: MCD(A;B). MCM(A;B) = A(x).B(x) A(x) y B(x) son polinomios no primos entre si. Entonces: 1 ra posibilidad: A(x) - B(x) = MCD da posibilidad: A(x) - B(x) = contiene al MCD 3 Problemas resueltos 1. Encontrar el MCD de: (x) = kx + (k + 1) x + k + P (x) = (x + k)(x - k) - 4(k + 1) Factorizando ambas expresiones: I. (x) = kx + (k + 1) x + k + kx 1 1x (k + ) (kx + 1)(x + k + ) II. P (x) = (x + k)(x - k) - 4(k + 1) Operando: x - k - 4k - 4 Agrupando un T.C.P. x - (k + 4k + 4) x - (k + ) Diferencia de cuadrados: [x + (k + )][x - (k + )] (x + k + )(x - k - ) luego: MCD = (x + k + ) Factorizando cada polinomio: I. E = m 3 - m - 4m + 4 Agrupando: E = (m 3 - m ) - (4m - 4) E = m (m - 1) - 4(m - 1) E = (m - 1)(m - 4) E = (m - 1)(m + )(m - ) II. F = m 5 - m 3 + m - m + 1 Por divisores binómicos: para: m = 1 F(1) = 1 - + - + 1 = 0 un factor es (m - 1) y el otro lo obtenemos dividiendo por Ruffini. Así: m-1=0 1 0 - - 1 m=1 1 1-1 1-1 1 1-1 1-1 0 F = (m - 1)(m 4 + m 3 - m + m - 1) El MCD(E; F) = (m - 1). El MCD de los siguientes polinomios: E = m 3 - n - 4m + 4 F = m 5 - m 3 + m - m + 1 3. Sea: (x) = Ax + x - B P (x) = Ax - 4x + B B Si (x - 1) es el MCD de P, hallar el cociente A.

(x - 1) deberá ser divisor de (x) y P (x), entonces: (1) = 0 P (1) = 0. Redundando en el Teorema del Resto: (1) = A + - B = 0... ( ) P (1) = A - 4 + B = 0... ( ) Resolviendo el sistema: A - B = - A + B = 4 B 3 Piden: A = 1 = 3 A = 1; B = 3 4. El MCD y MCM de dos polinomios son respectivamente: MCD(A; B) = (x + )(x + 1) MCM(A; B) = (x + 5)(x + 1)(x + )(x + 3) Si uno de los polinomios es: (x + 1)(x + )(x + 3) hallar el otro polinomio. Sean los polinomios A(x), B(x). Por propiedad: MCD(A; B).MCM(A; B) = A(x).B(x) Por el dato del problema y adecuando la igualdad tenemos: Reemplazando valores: B(x) = (MCD)(MCM) A(x) (x )(x 1)(x 5)(x 1)(x )(x 3) B(x) = (x 1)(x )(x 3) B(x) = (x + 1)(x + )(x + 5) 5. Hallar MCM/MCD de las siguientes expresiones: a - 1.x n - 1 ; b - 1.x n - ; c - 1.x n - 3 MCD = x n - 3 MCM = a - 1.b - 1.c - 1.x n - 1 piden: MCM MCD = a-1.b -1.c -1.x n-1 x n-3 a. H(a) (a - )(a - 3) 1 1 0-9 m n 5-6 5-6 5-30 50-60 1 5 10 0 0 q(a) Luego: H(a) = (a - )(a - 3)q(a) H(a) = (a - )(a - 3)(a + 5a + 10) b. G(a) (a - )(a - 3) 1 1-7 5 5-6 -6 35 1 7 q(a) Luego: G(a) = (a - )(a - 3)q(a) G(a) = (a - )(a - 3)(a + 7a + ) Finalmente, MCM(H; G): (a - )(a - 3)(a + 5a + 10)(a + 7a + ) 7. Hallar el MCM de: x - 4x + 3 x + 4x + 3 x 4-10x + 9 x 3-9x + x - 9 p -4 110 0 Factorizando: I. x - 4x + 3 = (x - 3)(x - 1)... ( ) II. x + 4x + 3 = (x + 3)(x + 1)... ( ) III. x 4-10x + 9 = (x - 9)(x - 1) = (x + 3)(x - 3)(x + 1)(x - 1)... ( ) IV. x 3-9x + x - 9 = x(x - 9) + (x - 9) = (x - 9)(x + 1) = (x + 3)(x - 3)(x + 1)... ( ) q -13 0 De ( ), ( ), ( ) y ( ) se tiene: x MCM = (x + 3)(x - 3)(x + 1)(x - 1) = abc = (x - 9)(x - 1) 6. Si el MCD de los polinomios: H(a) = a 4-9a + ma + n G(a) = a 4 +a 3-7a + pa + q es: (a - )(a - 3). Calcular el MCM de dichos polinomios. Dividiendo por el método de Horner en ambos polinomios, así: 8. Si el MCD de: x(x + 1)(x - )(x - 1) - 4 y: x 3-3x + se iguala a cero, entonces x es igual a: Factorizando cada expresión: I. x(x + 1)(x - )(x - 1) - 4 multiplicando en la forma indicada: (x - x)(x - x - ) - 4

Efectuando: (x - x) - (x - x) - 4 x - x -6 x - x 4 (x - x - 6)(x - x + 4) (x - 3)(x + )(x - x + 4) II. x 3-3x + 1 0 1 1 1 1-3 1 - - 0 (x - 1)(x + x - ) x x -1 (x - 1) (x + ) MCD = x + x + = 0 x = - 5. Dados los polinomios: A(x; y; z) = x 4 y 3 z 6 B(x; y; z) = x 5 y 4 z 10 C(x; y; z) = x 6 y z 5 Indicar: MCM(A;B; C) S = MCD(A;B; C) a) x y 4 z 6 b) x y 4 z 3 c) x y z 5 d) xyz 4 e) xyz 6. Señale el MCD de los polinomios: A(x) = x 4-1 B(x) = x - 3x + a) x - b) x - 1 c) x + 1 d) x - 5 e) 1 Problemas para la clase 1. Hallar el MCD de los polinomios: A(x) = (x + 6) (x - 7) 3 (x + 9) 4 B(x) = (x + 10) 3 (x - 7) (x + 6) 3 a) x + 9 b) x + 10 c) (x - 7)(x + 6) d) (x - 7) (x + 6) e) (x - 7) 3 (x + 6) 3 8. Dados los polinomios: A(x) = x 3 + 3x + 3x + 1 B(x) = x 3 + x - x - 1 Indicar el MCM. a) (x + 1) b) (x + 1) 3 c) (x + 1) (x - 1) d) (x + 1) 3 (x - 1) e) (x - 1) 9. Hallar el MCM de: P(x; y) = x - y F(x; y) = x. Hallar el MCM de los polinomios: - xy + y F(x) = (x + 5) 4 (x - 6) (x + 9) 3 (x - 1) 4 S(x; y) = x + xy + y S(x) = (x + 5) (x - 6) 4 (x + 7) (x - 1) 3 a) x - y b) (x + y) 3 c) (x a) (x +5)(x - 6)(x - 1) - y ) d) (x - y ) 3 3 b) (x + 5) (x - 6) (x - 1) 3 e) (x - y) c) (x + 5) 4 (x - 6) 4 (x - 1) 4 (x + 9) 3 (x + 7) 10.El producto de dos polinomios es (x - 1) y el cociente d) (x + 1)(x - )(x + 9) e) (x - 1) 3 (x - 6) 4 de su MCM y MCD es (x - 1). Calcular el MCD. a) x + 1 b) x 3. Hallar el MCD de los polinomios: + 1 c) (x + 1) A(x) = (x + ) 6 (x - 1) 4 (x - ) 6 (x + 3) 4 d) (x - 1) e) x - 1 B(x) = (x + 3) 6 (x - 1) (x + ) (x + 7) C(x) = (x - 3) 4 (x + 7) (x - 1) 3 (x + ) Comparación cuantitativa a) (x - 1)(x + ) b) (x + 1)(x + 3) c) (x - 1) (x + ) d) (x + ) e) (x - 1) 4. Hallar el MCM de los polinomios: P(x) = (x + 4) 3 (x - 7) (x + 6) 8 (x + 7) 3 F(x) = (x + 6) (x - 7) 3 (x + 7) 4 (x - 6) S(x) = (x + ) 3 (x + 6) 4 (x + 4) 8 (x + 7) a) (x + 7) 4 (x + 6) 8 (x + 4) 8 b) (x + 7) 4 (x + 6) 8 c) (x + 7) 4 (x + 6) 8 (x + 4) 8 (x - 7) 3 (x - 6) (x + ) 3 d) (x + 7) 4 (x + 6) 8 (x + 4) 8 (x - 7) 3 (x - 6) e) (x + 7) 4 (x + 4) 8 (x - 7) 3 (x - 6) (x + ) 3 A continuación se propone en cada pregunta, dos expresiones o enunciados matemáticos y se pide determinar la relación entre ambos, considerando las siguientes alternativas : A. La cantidad en A es mayor que en B. B. La cantidad en B es mayor que en A. C. La cantidad en A es igual a B. D. No se puede determinar. E. NO DEBE USAR ESTA OPCIÓN!

Preg. Información Columna A Columna B 11. A(x) = (x + 7) 3 (x + 8) 5 (x - 9) B(x) = (x + 7) 4 (x + 8) 6 (x + 1) Grado del MCD Grado del MCM 1. A(x; y) = x 3 - xy + x y - y 3 B(x; y) = x 3 - xy - x y + y 3 MCD(A; B) MCM(A; B) 13. A = 3.3.(x - 1) 3 (x + ) B =.3 3.(x - 1) (x + ) 3 C = 0.3.(x - 1) (x + ) Término independiente del MCD Suma de coeficientes del MCM 14. A(x) = x + 4x + 3 B(x) = x 4-10x + 9 C(x) = x 3-9x + x - 9 Residuo que se obtiene al dividir MCD entre (x - 3) Residuo que se obtiene al dividir MCM entre (x - 4) 15.Hallar el MCD de los polinomios: P(x; y) = x 3 - xy + x y - y 3 F(x; y) = x 3 - xy - x y + y 3 C(x; y) = x 4 - x y + y 4 0.El cociente de dos polinomios es (x - 1) y el producto de su MCM por su MCD es: x 6 - x 4 + x Hallar la suma de factores primos del MCM. a) x + y b) x - y a) x b) 4x - 1 c) 3x c) x - y d) (x + y)(x - 3y) d) x + x e) 3x + 1 e) x - y 4 16.Se tienen dos polinomios cuyo MCD es: x + x - 3 si uno de los polinomios es: P(x) = x 4 + 3x 3 - x + Ax + B entonces A + B es: a) 33 b) - 3 c) 1 d) - 6 e) 1 17. Si el MCD de: P(x) = x 3-6x + 11x - m Q(x) = x 3 + x - x - n es (x - 1). Hallar m + n. a) - 8 b) 8 c) 4 d) 6 e) 18.El cociente de los polinomios es x y el producto de su MCM por su MCD es: x 3 (x + y) entonces uno de los polinomios es: a) x + xy b) xy + y c) (x + y) d) x + y e) x + y 19.Señale el MCD de los polinomios siguientes: A(x; y) = x 3 + 6x y + 11xy + 6y 3 B(x; y) = 3x 3 + 10x y + 9xy + y 3 C(x; y) = x 4-5x y + 4y 4 a) x + xy + 4y b) x - xy - y c) x + 5xy + 6y d) x + 3xy + y e) x - 5xy + 4y 1.Indique el MCD de: P(x; y) = x 3 + x y + xy + y 3 Q(x; y) = x 3 - x y + xy - y 3 R(x; y) = x 4 - y 4 a) x + y b) x - y c) x + 1 d) y + 1 e) x + y.indique el MCD de: P(x) = 3x 3 + x - 8x + 4 Q(x) = 3x 3 + 7x - 4 a) 3x + 4x - 4 b) 3x - 4x + 4 c) 3x + x - 4 d) x - 4x + 4 e) x + 3.Si el MCD de: P(x) = x 3-7x + 16x - m F(x) = x 3-8x + 1x - n es (x - 5x + 6). Hallar m + n. a) 30 b) 0 c) - 30 d) 40 e) - 40 4.Si el MCM de A y B es x a y 4 y el MCD de los mismos es x 5 y b. Calcular: Siendo: E = a b - m - m b n A = 1x n - 1.y m + 1 B = 16x n + 1.y m - 1

30.Hallar el MCD de los polinomios: 17 11 16 a) b) c) F(x; y) = (x + y)(x + 4xy) + 4y (x + y) 15 17 15 Q(x; y) = x 3 + x y - 4xy - 8y 3 1 18 d) e) 17 15 5.Si el MCM de los polinomios: x + x - x 4 + 5x + 4 x - x - es equivalente a: x 8 + Ax 6 + Bx 4 + Cx + D Determinar A + B + C + D a) x + 8y b) x + y c) (x + y) 3 d) (x + y) e) x - 3y Autoevaluación 1. El MCD de un cierto número de polinomios es (x + x - 1). Si uno de esos polinomios es: P(x) = 4x 3 + mx + n Calcule m + n. a) 0 b) 1 c) - 1 d) e) - a) - 1 b) - c) - 3 d) - 4 e) - 5 6. Cuál es el grado del MCM de los siguientes polinomios? P = 1 + x + x +... + x 5 Q = 1 + x + x +... + x 7 R = 1 + x + x +... + x 11. Hallar el MCD de los polinomios: P(x) = (x + 1) 4 (x + ) 3 (x - 3) 5 (x - 1) Q(x) = (x + 8) 4 (x + )(x - 3) 5 (x - ) R(x) = (x - ) (x + ) (x - 3)(x + 7) 6 a) 3 b) 5 c) 15 d) 18 e) 1 a) x + b) x - x - 6 c) x + x - 6 d) x - 3 e) x + 8 7. Proporcionar el MCD de: P(x) = x 5 + x 4 + 1 Q(x) = (x + 1)[x 4-1] + x (x -1) a) x + x + 1 b) x - x + 1 c) x 3 - x + 1 d) x 3 + x + 1 e) x 3 - x + 1 8.Si el MCM de dos polinomios A(x) y B(x) es: x 40 + x 0 + 1 y su MCD es: x 30 + x 0 - x 10 + Hallar el número de factores del producto de dichos polinomios. a) 4 b) 3 c) 5 d) 6 e) N.A. 9.El producto de dos polinomios es: (x 6 + 1) - 4x 6 y el cociente del MCM entre el MCD de ambos es: (x + 1) - 4x luego el MCD es: a) (x + 1)(x 3-1) b) (x - 1)(x 3 + 1) c) (x + x + 1)(x + 1) d) (x - x + 1)(x + x + 1) e) (x + x + 1)(x - 1) 3. Hallar el MCM de los polinomios: A(x) = x 4 (x + 1) B(x) = x (x + 1) 5 (x + 6) C(x) = x 3 (x + 1) 7 (x - 7) a) x 4 (x + 1) 7 (x + 6)(x - 7) b) x 4 (x + 1) 7 c) x 4 (x + 1) 7 (x + 6) d) x 4 (x + 1) (x + 6)(x - 7) e) x (x + 1) (x + 6)(x - 7) 4. Hallar MCM MCD de: P(x; y; z) = x.y 7.z 8 Q(x; y; z) = x 4.y 3.z 9 R(x; y; z) = x 5.y.z 10 a) x 3 yz b) x 3 y 5 z c) xyz d) x 3 y 5 z e) x 4 y 5 z 9 5. Señale el MCD de: P(x) = x 3 + x - x - 1 Q(x) = x 4-1 a) x - 1 b) x + 1 c) x - 1 d) x + 1 e) x