Extensiones normales.

10. TEORÍA DE GALOIS Este capítulo, donde se establece el Teorema Principal de la Teoría de Galois, puede ser considerado como la culminación de la asignatura. Aquí se relacionarán las Teorías de Grupos y de Cuerpos y para ello utilizaremos todos los resultados vistos hasta ahora. Extensiones normales. En esta primera sección estamos interesados en extensiones finitas F K tales que cada monmorfismo de K que deje fijo F sea un automorfismo de K y tal que [K : F ] = {K : F }. Tengamos en cuenta los siguientes resultados, que han sido demostrados en temas anteriores: (1) Un cuerpo E, (con F E F ) es un cuerpo de descomposición sobre F si y sólo si todo monomorfismo de E en F que deje fijo F es un automorfismo de E. Además, si E es una extensión finita y un cuerpo de descomposición sobre F, entonces G(E/F ) = {E : F }. (2) Si E es una extensión finita de F, entonces {E : F } divide a [E : F ]. Si además E separable sobre F, entonces {E : F } = [E : F ]. También, E es separable sobre F si y sólo si para cada α E, el polinomioirr(α, F ) tiene todos los ceros de multiplicidad 1. Pues bien, en virtud, de los dos puntos anteriores, las extensiones que buscamos son extensiones finitas de F que son cuerpos de descomposición separables sobre F. Esto nos lleva a dar la siguiente definición: 10.1. Definición. Una extensión finita K de un cuerpo F se dice que es una extensión normal finita de F si K es un cuerpo de descomposición separable sobre F. 10.2. Ejemplos. 1.- Q Q( 2) es una extensión normal finita ya que Q( 2) es un cuerpo de descomposición sobre Q y además es separable sobre Q porque al ser Q perfecto toda extensión finita es separable. 2.- Z p (y p ) (Z p (y p ))(y) no es una extensión normal finita ya que aunque el cuerpo (Z p (y p ))(y) es de descomposición sobre Z p (y p ), la extensión no es separable. 10.3. Proposición. Consideremos las siguientes extensiones: F E K E. Si K es una extensión normal finita de F, entonces también lo es de E, y G(K/E) es el subgrupo de G(K/F ) formado por aquellos automorfismos de K que dejan E fijo. Además, 1

2 Álgebra Clásica. Curso 03/04 dos automorfismos σ y τ de G(K/F ) inducen el mismo monomorfismo de E en F si y sólo si están en la misma clase por la derecha módulo G(K/E), esto es, si y sólo si τ 1 σ G(K/E). Demostración: Si K es un cuerpo de descomposición sobre F, ciertamente también lo es sobre E porque todo polinomio con coeficientes en F puede verse como un polinomio con coeficientes en E. Además K es separable sobre E por serlo sobre F, según prueba la Proposición 8.12. Así queda demostrado que K es una extensión normal finita de E. Ver que G(K/E) es un subgrupo de G(K/F ) es inmediato pues todo automorfismo de K que deja fijo E, ciertamente deja fijo el subcuerpo F de E. Por último, veamos que σ, τ G(K/F ) inducen el mismo monomorfismo de E en F si y sólo si τ 1 σ G(K/E). Si τ 1 σ = µ G(K/E), entonces σ = τµ y, cualquiera que sea a E, σ(a) = (τµ)(a) = τ(µ(a)) = (µ deja fijos los elementos de E) τ(a), luego σ y τ inducen el mismo monomorfismo de E en F. Recíprocamente, supongamos que σ(a) = τ(a), cualquiera que sea el elemento a E. En este caso, (τ 1 σ)(a) = a, para cualquier a E, lo que significa que τ 1 σ es un automorfismo de K que deja fijos los elmentos de E, esto es, τ 1 σ G(K/E). El resultado que acabamos de demostrar prueba que existe una correspondencia biyectiva entre las clases por la derecha que el subgrupo G(K/E) determina en el grupo G(K/F ) y los monomorfismos de E en F que dejan fijo F. Observemos que no podemos asegurar que dichos monomorfismos sean automorfismos, ya que puede que E no sea un cuerpo de descomposición sobre F. Por supuesto que si la extensión F E fuera normal, entonces sí hablaríamos de automorfismos. Se intuye que esto ocurrirá si y sólo si G(K/E) es un subgrupo normal de G(K/F ) (toda clase por la izquierda es también clase por la derecha), en cuyo caso tiene sentido hablar del grupo cociente G(K/F )/G(K/E) que, veremos, es isomorfo al grupo G(E/F ). También decir que el término normal usado en teoría de cuerpos se corresponde, como hemos indicado, con la noción de normalidad que aparece en la Teoría de Grupos. El Teorema Principal. El Teorema Principal de la Teoría de Galois establece que para una extensión normal finita K de un cuerpo F existe una correspondencia biyectiva entre los subgrupos de G(K/F ) y los subcuerpos intermedios E, con F E K. Esta correspondencia asocia a cada cuerpo intermedio E el subgrupo G(K/E). También se tiene el recíproco, esto es, a cada subgrupo H de G(K/F ) podemos asociarle un cuerpo intermedio: K H, el subcuerpo de K que queda fijo por H.

Álgebra Clásica. Curso 03/04 3 El siguiente ejemplo ilustra claramente la situación. 10.4. Ejemplo. Consideremos el cuerpo K=Q( 5, 7), que es una extensión normal de Q. Sabemos (véase el Ejemplo 4.18) que G(K/Q) = {σ 0, σ 1, σ 2, σ 3 } = Z 2 Z 2. La correspondencia entre los subgrupos de G(K/Q) y los subcuerpos de K que quedan fijos por los subgrupos correspondientes es la siguiente: {σ 0, σ 1, σ 2, σ 3 } Q {σ 0, σ 1 } Q( 7) {σ 0, σ 2 } Q( 5) {σ 0, σ 3 } Q( 35) {σ 0 } Q( 5, 7) Como todos los subgrupos del grupo abeliano G(K/Q) son normales, los cuerpos intermedios son extensiones normales de Q. Podemos también representar los retículos de los subgrupos de G(K/Q) y de los subcuerpos de K, y comparar ambos: {σ 0, σ 1, σ 2, σ 3 } / \ {σ 0, σ 1 } {σ 0, σ 2 } {σ 0, σ 3 } \ / {σ 0 } Q {σ0 } = Q( 5, 7) / \ Q {σ0,σ 1 } Q {σ0,σ 2 } Q {σ0,σ 3 } \ / Q {σ0,σ 1,σ 2,σ 3 } = Q Observemos que la correspondencia subgrupo-subcuerpo que comentamos se establece entre los subgrupos de la parte alta del retículo de los subgrupos y los subcuerpos de la parte baja del retículo de los subcuerpos. En el tema siguiente veremos otros ejemplos que ilustran este principio de inversión reticular. 10.5. Definición. Si K es una extensión normal de un cuerpo F, al grupo G(K/F ) se le llama grupo de Galois de K sobre F. 10.6. Teorema Principal de la Teoría de Galois.

4 Álgebra Clásica. Curso 03/04 Supongamos que F K es una extensión normal finita con grupo de Galois G(K/F ). Denotemos por L(G(K/F )) el retículo de los subgrupos de G(K/F ), y por L(K) F el de los subcuerpos de K que contienen a F, y definamos λ : L(K) F L(G(K/F )) E λ(e) donde λ(e) es el subgrupo de G(K/F ) que deja E fijo. Entonces λ es una aplicación biyectiva y, cualquiera que sea el subcuerpo E de K que contenga a F, se satisfacen las siguientes propiedades: (i) λ(e) = G(K/E). (ii) E = K G(K/E) = K λ(e). (iii) Si H G(K/F ), λ(k H ) = H. (iv) [K : E] = λ(e) y [E : F ] = {G(K/F ) : λ(e)}, donde {G(K/F ) : λ(e)} denota el número de clases que λ(e) determina en G(K/F ). (v) E es una extensión normal de F si y sólo si λ(e) es un subgrupo normal de G(K/F ), y si λ(e) es un subgrupo normal de G(K/F ), entonces G(E/F ) = G(K/F )/G(K/E). (vi) El retículo de los subgrupos de G(K/F ) es el retículo invertido de los subcuerpos intermedios de K sobre F. Demostración: (i) es la definición de λ. (ii) Que E es un subcuerpo de K G(K/E) se sigue de manera inmediata. Para el recíproco, consideremos α K \ E y el polinomio irr(α, E). Como α / E, irr(α, E) tiene al menos otra raíz, aparte de α. Elijamos β α raíz de dicho polinomio. Ψ α,β : E(α) F es un monomorfismo de cuerpos que deja fijo F. Por el Teorema de extensión de isomorfismos, existe un monomorfismo de cuerpos σ : K E que extiende a Ψ α,β. Como K es cuerpo de descomposición sobre E (Proposición 10.3), σ es un automorfismo de K y lleva α a β. Esto significa que K G(K/E) E puesto que para cada elemento α que no está en E encontramos un automorfismo de G(K/E) que lo lleva en otro elemento distinto, por lo que α / K G(K/E). Queda así probado que E = K G(K/E). Además, (ii) prueba que λ es una aplicación inyectiva: Sean E, E L(K) F tales que λ(e) = λ(e ), esto es, G(K/E) = G(K/E ). Entonces E = K G(K/E) = K G(K/E ) = E. (iii) Sea H un subgrupo de G(K/F ). Por la propia definición tenemos que H λ(k H ) := G(K/K H ) G(K/E). Probemos que H no puede ser un subgrupo

Álgebra Clásica. Curso 03/04 5 propio de G(K/K H ). Supongamos lo contrario. En primer lugar, afirmamos que K H K es una extensión simple: si K H es infinito, el resultado se sigue por el Teorema del elemento primitivo, y si K H es finito, se tiene por el Corolario 9.10, luego existe α K tal que K = K H (α). Sea m = [K : K H ] = {K : K H } = G(K/K H ). Como H es un subgrupo propio, H < m. Llamemos H = {σ 1,..., σ H }, y consideremos el polinomio f(x) = Π H i=1 (x σ i(α)), que tiene grado < m. Observemos que los coeficientes de las potencias de x en f(x) son expresiones simétricas en los elementos de H (si llamamos a i = σ i (α) y suponemos H = 3 tenemos que f(x) = x 3 (a 1 + a 2 + a 3 )x 2 + (a 1 a 2 + a 1 a 3 + a 2 a 3 )x a 1 a 2 a 3 por ejemplo); por otro lado, como H es un grupo finito, cualquiera que sea el elemento σ H, {σσ 1,..., σσ H } = H, por lo que los coeficientes de f(x) permanecen invariables por cualquier automorfismo σ H. Esto significa que dichos coeficientes están en K H, y como alguno de los σ i es la aplicación identidad (H es un subgrupo y contiene al neutro del grupo), σ i (α) = α para algún i, lo que implica que f(α) = 0. En consecuencia, deg(α, K H ) H < m = [K : K H ] = [K H (α) : K H ], lo que es una contradicción y prueba este apartado, es decir, la sobreyectividad de λ. (iv) De ser [K : E] = {K : E} = λ(e) se sigue la primera parte. Por otro lado, [E : F ] = {E : F } y la última afirmación de la Proposición 10.3, implican [E : F ] = {G(K/F ) : λ(e)}. (v) Como F E K y F K es separable, F E es separable, así que F E es normal si y sólo si E es un cuerpo de descomposición sobre F. Por el resultado (x.x) del Tema 6, E es un cuerpo de descomposición sobre F si y sólo si todo automorfismo de F que deja fijo F induce un automorfismo de E que deja fijo F. Como K es un cuerpo de descomposición sobre F, todo automorfismo de F que deja fijo F induce un automorfismo de K que deja fijo F. Por otro lado, por el Teorema de extensión de isomorfismos, todo monomorfismo de E en F que deje fijo F puede extenderse a un monomorfismo de K que, por ser normal (separable) K sobre F es, de hecho, un automorfismo, luego los automorfismos de G(K/F ) inducen los posibles automorfismos de G(F/E). Así, E es un cuerpo de descomposición sobre F (es decir, es normal sobre F ) si y sólo si para cualesquier σ G(K/F ) y α E,

6 Álgebra Clásica. Curso 03/04 σ(α) E. Por (ii), E es el cuerpo fijo de G(K/E), luego σ(α) E si y sólo si para todo τ G(K/E), τ(σ(α)) = σ(α), equivalentemente, (σ 1 τσ)(α) = α. Esto significa que σ 1 τσ G(K/E), o dicho con otras palabras, G(K/E) es un subgrupo normal de G(K/F ). Finalmente, supongamos que λ(e) es un subgrupo normal de G(K/F ). Consideremos la aplicación Φ : G(K/F ) G(E/F ) σ σ E donde σ E es el automorfismo inducido por σ. La aplicación está bien definida porque E es una extensión normal de F. Además es un homomorfismo de grupos. Es sobreyectiva por el Teorema de extensión de isomorfismos, y su núcleo es G(K/E). Por el Primer Teorema de Isomorfía para grupos, G(E/F ) = G(K/F )/G(K/E). (vi) se sigue porque si H y H son subgrupos de G(K/F ) tales que H H, entonces K H K H, con lo que el orden del primer retíulo se invierte cuando pasamos al segundo. El Teorema Principal de la Teoría de Galois es una herramienta bastante fuerte en el estudio de los ceros de un polinomio. Si f(x) F [x] es tal que todo factor irreducible de f(x) es separable sobre F, entonces el cuerpo de descomposición K de f(x) sobre F es una extensión normal finita de F. En este caso el grupo de Galois G(K/F ) será llamado el grupo del polinomio f(x) sobre F. La estructura de este grupo puede dar información considerable en cuanto a los ceros de f(x), como será puesto de manifiesto en el último de los temas. Los grupos de Galois sobre cuerpos finitos. En esta sección estudiaremos cómo es el grupo de Galois de una extensión finita de un cuerpo finito. 10.7. Teorema. Sea K una extensión finita de grado n de un cuerpo F de p r elementos. Entonces: (i) F K es una extensión normal finita. (ii) El grupo de Galois G(K, F ) es cíclico de orden n y está generado por el automorfismo σ p r Aut(K) dado por σ p r(α) = α pr, cualquiera que sea α K. Demostración: (i) Como todo cuerpo finito es perfecto, la extensión es separable. Además, si F tiene p r elementos y [K : F ] = n, entonces K tiene p rn elementos y, según vimos en el tema de cuerpos finitos, K es el cuerpo de descomposición de x prn x sobre F, luego la extensión F K es separable y nuestra afirmación queda probada.

Álgebra Clásica. Curso 03/04 7 (ii) Es fácil ver que σ p r Aut(K) ya que K es un cuerpo finito y σ p r un monomorfismo. Además, F queda fijo por σ p r porque el grupo (F, ) tiene p r 1 elementos. Demostremos ahora que σ p r genera Aut(K). Observemos que (σ p r) s (α) = α prs. Como un polinomio de grado p rs puede tener, a lo sumo, p rs raíces en un cuerpo, la menor potencia de σ p r que puede dejar fijos los p rn elementos de K es la n. Esto significa que el orden de σ p r en G(K/F ) es al menos n. Como G(K/F ) = [K : F ] = n, necesariamente es n este orden, lo que prueba que G(K/F ) es cíclico y está generado por σ p r. Utilizaremos el resultado que acabamos de probar para dar un nuevo ejemplo de la correspondencia subgrupo subcuerpo que establece el Teorema Principal de la Teoría de Galois. 10.8. Ejemplo. Sea F =Z p y sea K = GF (p 12 ). Entonces G(K/F ), que es un grupo cíclico con 12 elementos, es isomorfo a (Z 12, +). Expresemos los diagramas del retículo de los subgrupos de G(K/F ) =< σ p > y el de los subcuerpos de K. < σ p > /\ < σp 2 > < σp 3 > /\ / < σp 2 > < σp 3 > \/ {ı} GF (p 12 ) /\ GF (p 4 ) GF (p 6 ) \ /\ GF (p 2 ) GF (p 3 ) \/ GF (p)