Grupos. Subgrupos. El Teorema de Lagrange. Grupo cociente. Teoremas de
|
|
- Eduardo Toro Botella
- hace 6 años
- Vistas:
Transcripción
1 TEMA 8 Grupos. Subgrupos. El Teorema de Lagrange. Grupo cociente. Teoremas de Isomorfía En la primera sección introducimos los conceptos de grupo y subgrupo y, además de presentar varios ejemplos, prestamos especial atención a los grupos cíclicos. El Teorema de Lagrange ocupa la segunda sección, mientras que en la tercera aparecen las nociones fundamentales de subgrupo normal, que permite construir cocientes, y homomorfismo de grupos, para terminar con los Teoremas de Isomorfía. 1. Grupos y Subgrupos Definiciones 1.1 Un conjunto G dotado de una operación G G G, (a, b) ab se dice grupo si se cumplen las siguientes condiciones: (1) (ab)c = a(bc) para cualesquiera a, b, c G. (Propiedad asociativa). (2) Existe un elemento 1 G G, denominado elemento neutro de G, tal que a1 G =1 G a = a para cada a G. (3) Para cada a G existe un elemento a 1 G tal que aa 1 = a 1 a =1 G.Sediceque a 1 es el inverso de a. (4) Se dice que los elementos a, b G conmutan si ab = ba. Si cada par de elementos de G conmutan se dice que el grupo G es abeliano. (5) Si G es finito se llama orden de G al número de elementos de G, al que se denota ord(g). Observaciones y Ejemplos 1.2 (1) El elemento neutro de un grupo es único; en efecto, si existieran dos, digamos e 1 y e 2, necesariamente e 1 = e 1 e 2 = e 2, donde hemos utilizado, en la primera igualdad, que e 2 es neutro, y en la segunda que lo es e 1. 71
2 72 TEMA 8. GRUPOS (2) El inverso de cada elemento es también único. En efecto, sean b y c inversos de a. Entonces b = b1 G = b(ac) =(ba)c =1 G c = c. (3) Cada elemento es el inverso de su inverso, o sea, (a 1 ) 1 = a. Esto es consecuencia inmediata de las igualdades aa 1 = a 1 a =1 G y la unicidad del inverso. (4) Dados a, b G se tiene (ab) 1 = b 1 a 1,yaque (ab)(b 1 a 1 )=a(bb 1 )a 1 = aa 1 =1 G. (5) Dados a, b, c G tales que ab = ac se tiene b = c pues, multiplicando por la izquierda ambos miembros de la igualdad inicial por a 1,resulta b =(a 1 a)b = a 1 (ab) =a 1 (ac) =(a 1 a)c = c. Análogamente, si ba = ca entonces b = c. Esta propiedad se denomina cancelativa. (6) El conjunto Z de los números enteros con la operación suma es un grupo abeliano, cuyo elemento neutro es 0 y en el que el inverso de cada a Z es a. Cuando en un grupo la operación es la suma decimos que empleamos notación aditiva, y al inverso de un elemento a lo llamamos opuesto de a y lo denotamos a. (7) Sea K un cuerpo. El conjunto K = K \{0} es un grupo abeliano con la operación multiplicación. Su neutro es 1 y el inverso de cada a K es 1/a. (8) Si X es un conjunto cualquiera, el conjunto Biy(X) de la biyecciones de X en sí mismo tiene estructura de grupo con la operación composición, debido a que cada aplicación biyectiva X X tiene inversa, que también es biyectiva. Dadas f,g Biy(X) sedefine fg : X X, x g(f(x)). Por supuesto, el elemento neutro de este grupo es la aplicación identidad id : X X, x x. Si X es finito, digamos con n elementos, el orden de Biy(X) eselnúmerodepermutaciones de n elementos, que por es n!, y se denota Biy(X) =S n. Definición 1.3 Un subconjunto H de un grupo G se dice subgrupo de G si, con la misma operación que G, es un grupo. Se comprueba inmediatamente que esto equivale a que 1 G H y ab 1 H para cada a, b H. Ejemplos 1.4 (1) Para cada grupo G,élmismoy{1 G } son subgrupos de G, denominados subgrupos triviales. (2) Es inmediato comprobar que si {H i : i I} es una familia de subgrupos de un grupo G, también H = i I H i es un subgrupo de G.
3 TEMA 8. GRUPOS 73 (3) Sea n un entero positivo. Se comprueba sin dificultad que el conjunto U n = {ζ k = e 2πki/n :0 k n 1} es un subgrupo con n elementos del grupo C de los números complejos no nulos. De hecho U n = {z C : z n =1}, en virtud de Se dice que U n es el grupo de las raíces n-ésimas de la unidad. Para terminar esta sección introducimos la clase de grupos más elemental, la de los grupos cíclicos, y presentamos una de sus propiedades fundamentales: todos sus subgrupos son también cíclicos. Definiciones y Observaciones 1.5 (Grupos cíclicos) (1) Dados un grupo G, un elemento a G y un entero positivo k, se define por recurrencia a k poniendo a 1 = a y a k = a k 1 a. Se comprueba directamente, por ejemplo por inducción, que a k = aa k 1. Además, definimos a 0 =1 G y a =(a 1 ) para cada entero negativo. Es inmediato comprobar ahora que a k a = a k+ para cada par de números enteros k, Z. (2) Se llama subgrupo cíclico generado por a al subgrupo a = {a k : k Z}. Por ejemplo, el grupo Z es cíclico, generado por 1. También U n es cíclico, generado por ζ = e 2πi/n. (3) Si el subgrupo a es finito se llama orden de a, y se denota o(a), al orden del grupo a. Setiene: o(a) =mín{k Z : k>0ya k =1 G }. En efecto, si denotamos r el mínimo de la derecha, los elementos 1 G,a,...,a r 1 a son distintos dos a dos, pues si a k = a con 0 k< r 1, entonces a k =1 G y 0 < k<r, contra la minimalidad de r. Estodemuestraqueo(a) r. Perodehechose da la igualdad, pues a = {1 G,a,...,a r 1 }. Para comprobar esto último, observamos que para cada k Z existe un entero m>0 tal que = k +mr > 0, y a k = a k (a r ) m = a.dividiendo entre r por defecto, existen enteros no negativos q, s tales que s<ry = qr + s. En consecuencia, a k = a = a qr+s = a s y 0 s r 1. (4) Sean G un grupo, a G y m un número entero tal que a m =1 G. Entonces m es múltiplo del orden de a. En efecto, denotamos n = o(a) y dividimos m = qn + r donde 0 r n 1. Entonces, 1 G = a m = a qn+r =(a n ) q a r = a r y por ser n mínimo entre los enteros positivos que cumplen a n =1 G deducimos que r = 0, esto es, m es múltiplo de n.
4 74 TEMA 8. GRUPOS Proposición 1.6 Todo subgrupo de un grupo cíclico es también cíclico. Demostración. Sean G un grupo cíclico, a G tal que G = a y H un subgrupo no trivial de G. Seak el menor entero positivo tal que a k H. Vamos a demostrar que H = a k, lo que prueba que H es cíclico. El contenido a k H es evidente. Recíprocamente, sea x H G. Existe por tanto un entero tal que x = a y, dividiendo entre k, deducimos que existen números enteros q, r tales que = qk + r y0 r<k. Entonces, x = a = a qk+r =(a k ) q a r, es decir, a r = x(a k ) q H, lo que contradice la elección de k, a menos que r = 0. Éste es pues el caso, y por tanto x =(a k ) q a k, como queríamos. Ejemplo 1.7 Se deduce de la proposición anterior que los subgupos del grupo Z de los números enteros son los subconjuntos de la forma nz, donde n es un entero positivo. 2. El Teorema de Lagrange El objetivo de esta sección es enunciar y demostrar el Teorema de Lagrange, que proporciona una fuerte obstrucción aritmética para que un entero positivo sea el orden de algún subgrupo de un grupo finito de orden dado. Definiciones y Observaciones 2.1 (Clases laterales) Sean G un grupo y H un subgrupo de G. (1) Se define en G la relación de equivalencia R H mediante: dados a, b G, decimos que a y b son congruentes por la derecha respecto de H, y escribimos ar H b, si y sólo si ab 1 H. Es inmediato comprobar que se trata de una relación de equivalencia. Además, la clase de un elemento a G está formada por aquellos b G congruentes por la derecha con a, esto es, los que cumplen ab 1 H o, equivalentemente, ba 1 =(ab 1 ) 1 = h H, es decir, b Ha = {ha : h H}. (2) Se define en G otra relación de equivalencia R H mediante: dados a, b G, decimos que a y b son congruentes por la izquierda respecto de H, y escribimos ar H b, si y sólo si a 1 b H. La clase de un elemento a G está formada por aquellos b G congruentes por la izquierda con a, esto es, los que cumplen a 1 b = h H, o sea, b ah = {ah : h H}. Se dice que {Ha : a G} y {ah : a G} son los conjuntos de clases laterales por derecha e izquierda, respectivamente, respecto de H.
5 TEMA 8. GRUPOS 75 (3) En general estas dos relaciones de equivalencia son distintas. En efecto, consideremos el grupo S 3 =Biy(X) de permutaciones de los tres elementos del conjunto X = {1, 2, 3}. Dos de dichas permutaciones son τ : X X, 1 2, 2 1, 3 3 y σ : X X, 1 2, 2 3, 3 1, cuyos órdenes son o(τ) =2yo(σ) = 3. Más aún, στ : X X, 1 1, 2 3, 3 2tiene orden 2, es decir, στστ = id, por lo que στσ = τ. Ahora consideramos el subgrupo H = {id,τ} de S 3. Las clases σh y Hσ son distintas pues, como στ = τσ 1 = τσ 2,setiene Hσ = {σ, τσ} mientras que σh = {σ, στ = τσ 2 }. (4) Supongamos que H es un subgrupo finito de un grupo G. Entonces todas las clases de equivalencia de G respecto de las relaciones R H y R H tienen el mismo número de elementos, que es el de H ya que, por la propiedad cancelativa, (5), las aplicaciones H Ha, h ha y H ah, h ah son biyecciones. Por ello ambos conjuntos cociente G/R H y G/R H tienen igual cardinal, que se denota [G : H] y se denomina í n d i c e de H en G. Teorema 2.2 (Teorema de Lagrange) Sean G un grupo finito y H un subgrupo de G. Entonces, ord(g) = ord(h)[g : H]. En particular el orden de H es un divisor del orden de G. Demostración. El grupo G es unión disjunta de las clases de equivalencia respecto de la relación de equivalencia R H, luego su orden es la suma de los cardinales de cada clase. Así, la igualdad del enunciado se deduce de que [G : H] es el número de tales clases y cada una de ellas tiene ord(h) elementos. Del Teorema de Lagrange se deducen innumerables consecuencias. Destacamos las dos siguientes: Corolario 2.3 (1) Sean H y K subgrupos de un grupo finito G cuyos órdenes son primos entre sí. Entonces H K = {1 G }. (2) Todo grupo de orden primo es cíclico, y está generado por cualquiera de sus elementos distintos del neutro.
6 76 TEMA 8. GRUPOS Demostración. (1) Como H K es subgrupo de H ydek, su orden ha de dividir tanto al de H como al de K, esto es, ord(h K) = 1, luego H K = {1 G }. (2) Sean G un grupo de orden primo p y a G un elemento distinto del neutro. Así, el orden del subgrupo a divide a p y es distinto de 1, luego vale p y por ello G = a. 3. Grupos cociente y teoremas de isomorfía Definiciones y Observaciones 3.1 (Subgrupos normales) (1) Dados un subgrupo H de un grupo G y a G se llama conjugado de H vía a al subgrupo H a = a 1 Ha = {a 1 ha : h H}. Se dice en este caso que los subgrupos H y H a son conjugados. Para comprobar que H a es subgrupo de G basta observar que 1 G = a 1 1 G a y que dados b, c H a también bc 1 H a. Ahora bien, existen h 1,h 2 H tales que b = a 1 h 1 a y c = a 1 h 2 a, y como h 3 = h 1 h 1 2 H, resulta bc 1 =(a 1 h 1 a)(a 1 h 1 2 a)=a 1 (h 1 h 1 2 )a = a 1 h 3 a H a. Nótese que si H es finito también lo es H a y de hecho ambos tienen el mismo orden ya que la aplicación H H a,h a 1 ha es, por la propiedad cancelativa, (5), biyectiva. Es útil observar que dados a, b G se tiene (H a ) b = H ab. En efecto, (H a ) b = b 1 H a b = b 1 (a 1 Ha)b =(ab) 1 Hab = H ab. (2) Se dice que H es subgrupo normal de G si Ha = ah para cada a G. Equivalentemente, H a = a 1 Ha = H para cada a G. Por tanto, H es subgrupo normal de G si al conjugar H por cualquier elemento de G volvemos a obtener el subgrupo H. Si H es subgrupo normal de G escribiremos H G. (3) Sean H y N dos subgrupos de un grupo G tales que N G. Entonces el conjunto HN = {hn : h H, n N} es subgrupo de G. En efecto, dados x, y HN existen h 1,h 2 H y n 1,n 2 N tales que x = h 1 n 1 e y = h 2 n 2. Entonces, xy 1 = h 1 n 1 n 1 2 h 1 2 = h 1 nh 1 2, donde n = n 1n 1 2 N, y como N es subgrupo normal de G, setienenh 1 2 Nh 1 2 = h 1 2 N. Por tanto, existe n 3 N tal que nh 1 2 = h 1 2 n 3, luego xy 1 = h 1 nh 1 2 = h 1 h 1 2 n 3 HN.
7 TEMA 8. GRUPOS 77 Ejemplos 3.2 (1) Los subgrupos triviales de un grupo G son subgrupos normales de G. Un grupo cuyos únicos subgrupos normales son los triviales se denomina simple. (2) Todos los subgrupos de un grupo abeliano son normales. (3) Sea H un subgrupo de índice 2 de un grupo G. Entonces H es subgrupo normal de G. En efecto, los conjuntos cociente G/R H y G/R H constan de dos clases, y una de ellas es H, luego la otra es G \ H, esdecirg/r H = {H, G \ H} = G/R H. Por tanto, dado a H se tiene ah = H = Ha, mientras que si a G \ H se tiene ah = G \ H = Ha. (4) La propiedad vista en (3) no es cierta en general si H y N son subgrupos no normales. Consideremos en el grupo S 3 de permutaciones de tres elementos, con las notaciones de 8.2.1, los subgrupos H = {id,τ} y N = {id,τσ}. Entonces, HN = {id,τσ,τ,σ}, que no es subgrupo de S 3, pues card(hn) = 4 no divide a 6 = ord(s 3 ). Definiciones y Observaciones 3.3 (Grupo cociente) Sea H un subgrupo normal de un grupo G. En tal caso las dos relaciones R H y R H coinciden, y al conjunto cociente (común) lo denotamos G/H. Se le dota de estructura de grupo de modo natural mediante la operación G/H G/H G/H, (Ha,Hb) HaHb = Hab. La normalidad de H es esencial para que la operación esté bien definida. En efecto, sean a, a 1,b,b 1 G tales que Ha = Ha 1 y Hb = Hb 1. Hemos de comprobar que Hab = Ha 1 b 1, o lo que es igual, ab(a 1 b 1 ) 1 H. Ahora bien, bb 1 1 = h 1 H y también aa 1 1 = h 2 H luego, como ah = Ha, ab(a 1 b 1 ) 1 = a(bb 1 1 )a 1 1 = ah 1 a 1 1 aha 1 1 = Haa 1 1 = Hh 2 = H. Una vez visto que la operación en G/H está bien definida comprobamos que G/H es un grupo. Se cumple la propiedad asociativa, ya que dados a, b, c H, (HaHb)Hc = HabHc = H(ab)c = Ha(bc) =HaHbc = Ha(HbHc). Además, H = H1 G es el elemento neutro, pues para cada a G se tiene (H1 G )Ha = H1 G a = Ha = Ha1 G = Ha(H1 G ), mientras que el inverso de Ha es Ha 1, porque (Ha)(Ha 1 )=H(aa 1 )=H1 G = H(a 1 a)=(ha 1 )(Ha). Obsérvese que si H es subgrupo normal de G el orden del cociente G/H es el índice [G : H]. Ejemplos 3.4 (1) Como Z es abeliano, su subgrupo nz es normal. Además, aunque tanto Z como nz son grupos infinitos, el cociente Z n = Z/nZ es finito, y de hecho tiene n
8 78 TEMA 8. GRUPOS elementos. En efecto, como la notación en Z es aditiva los elementos del cociente son las clases k + nz con k Z, y es inmediato comprobar que Z n = {k + nz :0 k n 1}. (2) Como C es un grupo abeliano, su subgrupo U n de raíces n-ésimas de la unidad es subgrupo normal. Puesto que C es infinito y U n es finito, también C /U n es infinito. (3) Si G es un grupo cíclico generado por a G y H es un subgrupo normal de G, el grupo cociente G/H es también cíclico, generado por la clase Ha. (4) Si H es un subgrupo (necesariamente normal) de un grupo abeliano G, elcocienteg/h es también abeliano, pues dados a, b G, setiene(ha)(hb)=hab = Hba =(Hb)(Ha). La siguiente proposición, cuya demostración omitimos pues es inmediata, describe cuáles son los subgrupos del grupo cociente G/H y cuáles de ellos son normales. Proposición 3.5 (Teorema de la correspondencia) Sean H un subgrupo normal del grupo G yseanσ H (G) y Σ(G/H) las familias formadas, respectivamente, por los subgrupos de G que contienen a H y los subgrupos del grupo cociente G/H. Entonces, la aplicación Σ H (G) Σ(G/H), K K/H es una biyección que envía los subgrupos normales de G que contienen a H sobre los subgrupos normales de G/H. Definiciones y Observaciones 3.6 (Homomorfismos de grupos) Sean G 1 y G 2 dos grupos. Una aplicación f : G 1 G 2 se denomina homomorfismo de grupos si f(ab) = f(a)f(b) para cada a, b G 1. (1) Se cumple que f(1 G1 )=1 G2. En efecto, basta simplificar en la igualdad 1 G2 f(1 G1 )=f(1 G1 )=f(1 G1 1 G1 )=f(1 G1 )f(1 G1 ). (2) Dado a G 1 se tiene f(a 1 )=f(a) 1,puesf(a)f(a 1 )=f(aa 1 )=f(1 G1 )=1 G2. (3) Sea a 1 G 1 un elemento de orden finito n. Entonces, el orden m de a 2 = f(a 1 ) también es finito y, en virtud de 8.1.5(4), m divide n, yaquea n 2 = f(a 1) n = f(a n 1 )=f(1 G 1 )=1 G2. (4) Para cada subgrupo H 1 de G 1 su imagen H 2 = f(h 1 ) es un subgrupo de G 2. En efecto, por un lado 1 G2 = f(1 G1 ) H 2. Por otro, dados a 2,b 2 H 2 existen a 1,b 1 H 1 tales que f(a 1 )=a 2 y f(b 1 )=b 2,ypuestoquea 1 b 1 1 H 1, tenemos a 2 b 1 2 = f(a 1 )f(b 1 ) 1 = f(a 1 )f(b 1 1 )=f(a 1b 1 1 ) f(h 1)=H 2. En particular, im f = f(g 1 ) es subgrupo de G 2.
9 TEMA 8. GRUPOS 79 (5) Para cada subgrupo H 2 de G 2 su preimagen H 1 = f 1 (H 2 ) es un subgrupo de G 1. En efecto, como f(1 G1 )=1 G2 H 2 deducimos que 1 G1 H 1. Además, si a 1,b 1 H 1 sus imágenes f(a 1 ),f(b 1 ) H 2,ypuestoqueH 2 es un subgrupo, f(a 1 )f(b 1 ) 1 H 2,esdecir f(a 1 b 1 1 ) H 2, o lo que es igual, a 1 b 1 1 H 1. Además, si H 2 G 2, entonces H 1 G 1. En efecto, hemos de probar que a 1 1 H 1a 1 = H 1 para cada a 1 G 1. Dado h 1 H 1, su imagen h 2 = f(h 1 ) H 2, y por ser H 2 normal, f(a 1 ) 1 h 2 f(a 1 ) H 2, o sea, f(a 1 1 h 1a 1 ) H 2, luego a 1 1 h 1a 1 H 1.Estopruebaque a 1 1 H 1a 1 H 1. Para probar el contenido recíproco aplicamos lo ya probado al elemento a 1 1 en vez de a 1, lo que nos proporciona a 1 H 1 a 1 1 H 1. Así H 1 = a 1 1 (a 1H 1 a 1 1 )a 1 está contenido en a 1 1 H 1a 1, y de este modo queda probada la igualdad a 1 1 H 1a 1 = H 1. En particular, ker f = {a G 1 : f(a) =1 G2 } = f 1 ({1 G2 }) es un subgrupo normal de G 1, llamado núcleo de f. (6) El homomorfismo f es inyectivo si y sólo si ker f = {1 G1 }. En efecto, si f es inyectiva y a 1 ker f entonces f(a 1 )=f(1 G1 ), luego a 1 =1 G1. Recíprocamente, suponemos que ker f = {1 G1 }. Dados a 1,b 1 G 1 tales que f(a 1 )=f(b 1 )setiene f(a 1 b 1 1 )=f(a 1)f(b 1 1 )=f(b 1)f(b 1 1 )=f(b 1b 1 1 )=f(1 G 1 )=1 G2, por lo que a 1 b 1 1 ker f, o sea, a 1 b 1 1 =1 G1,estoes,a 1 = b 1. (7) Si el homomorfismo f es biyectivo la aplicación inversa f 1 : G 2 G 1 es también homomorfismo, y se dice que f es un isomorfismo. En tal caso decimos que los grupos G 1 y G 2 son isomorfos, lo que se denota G 1 = G2. En efecto, dados dos elementos a 2,b 2 G 2 denotamos a 1 = f 1 (a 2 )yb 1 = f 1 (b 2 ). Entonces f(a 1 )=a 2 y f(b 1 )=b 2, y como f es homomorfismo, a 2 b 2 = f(a 1 )f(b 1 )= f(a 1 b 1 ), o sea f 1 (a 2 b 2 )=a 1 b 1 = f 1 (a 2 )f 1 (b 2 ). Ejemplos 3.7 (1) Todo grupo cíclico infinito es isomorfo a Z. En efecto, sea G = a un grupo cíclico infinito. Es inmediato que la aplicación f : Z G, n a n es un homomorfismo sobreyectivo. De hecho es también inyectivo, luego isomorfismo. En caso contrario existiría un entero no nulo n ker f. Entonces a n =1 G, luego o(a) = ord(g) sería finito, contra la hipótesis. (2) Dados grupos cíclicos G 1 = a y G 2 = b del mismo orden n, la aplicación f : G 1 G 2,a i b i es un isomorfismo. En efecto, está bien definida, pues si a i = a j entonces a j i =1 G1, es decir, j i es múltiplo de n. Por tanto, b j i = 1 G2, o sea, b i = b j. Además f es homomorfismo, ya que f(a i a j )=f(a i+j )=b i+j = b i b j = f(a i )f(a j ).
10 80 TEMA 8. GRUPOS Por último, para demostrar que f es biyectiva, y puesto que G 1 y G 2 tienen el mismo orden, es suficiente observar que es sobreyectiva, lo cual es evidente. Al igual que en el Álgebra Lineal, , también en la Teoría de Grupos disponemos de los llamados Teoremas de Isomorfía, con los que concluimos el tema. Proposición 3.8 (Primer Teorema de isomorfía) Para cada homomorfismo de grupos f : G 1 G 2, la aplicación f : G 1 / ker f im f, aker f f(a) es un isomorfismo de grupos. Demostración. La aplicación f está bien definida, pues si a 1 ker f = b 1 ker f entonces a 1 1 b 1 ker f, esdecir,1 G2 = f(a 1 1 b 1)=f(a 1 ) 1 f(b 1 ), o sea, f(a 1 )=f(b 1 ). Además f es homomorfismo, ya que f(a 1 ker f b 1 ker f) =f(a 1 b 1 ker f) =f(a 1 b 1 )=f(a 1 )f(b 1 )=f(a 1 ker f) f(b 1 ker f). Cada elemento a 2 im f es de la forma a 2 = f(a 1 )=f(a 1 ker f) para cierto a 1 G 1, luego f es sobreyectiva. Por último, si a 1 ker f ker f entonces 1 G2 = f(a 1 ker f) =f(a 1 ), esto es, a 1 ker f, o lo que es igual a 1 ker f =1 G1 ker f =1 G1 / ker f. Por tanto f es también inyectiva, luego isomorfismo. Proposición 3.9 (Segundo Teorema de isomorfía) Sean H y K subgrupos normales de un grupo G tales que H K. Entonces los grupos G/H K/H y G/K son isomorfos. Demostración. Basta aplicar el Primer Teorema de isomorfía al homomorfismo sobreyectivo G/H G/K, Ha Ka,cuyonúcleoesK/H. Proposición 3.10 (Tercer Teorema de isomorfía) Sean H y N subgrupos de un grupo G, de modo que N es subgrupo normal de G. Entonces los grupos H/(H N) y HN/N son isomorfos. Demostración. Sabemos por que HN es subgrupo de G, yn es subgrupo normal de HN, yaquen G. Tiene pues sentido considerar el grupo cociente HN/N yel homomorfismo φ : H HN/N, h hn cuyo núcleo es H N. Aplicando el Primer Teorema de isomorfía todo se reduce a probar la sobreyectividad de φ. Pero dado a HN existen h H y n N tales que a = hn, por lo que an = hnn = h(nn) =hn = φ(h), luego φ es sobreyectiva.
Estructuras algebraicas. Departamento de Álgebra. Apuntes de teoría
ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS GRADO EN MATEMÁTICAS. CURSO 2015/2016 Apuntes de teoría Tema 1: Grupos y subgrupos. 1.1. Introducción Definición 1.1. Un grupo es un par (G, ), donde G es un conjunto no vacío,
Más detallesGrupos libres. Presentaciones.
S _ Tema 12.- Grupos libres. Presentaciones. 12.1 Grupos libres. En el grupo Z de los enteros vimos una propiedad (cf. ejemplos.5), que lo caracteriza como grupo libre. Lo enunciamos al modo de una Propiedad
Más detallesÁlgebra Básica C Grado en Matemáticas Examen 1
Álgebra Básica C Grado en Matemáticas Examen 1 Lee detenidamente las preguntas antes de contestarlas. Justifica todas tus respuestas. Evita los cálculos innecesarios y las repeticiones. Nombre y apellido(s):
Más detallesLEYES DE COMPOSICIÓN INTERNA Y ELEMENTOS DISTINGUIDOS
LEYES DE COMPOSICIÓN INTERNA Y ELEMENTOS DISTINGUIDOS Sea una estructura formada por un conjunto A, sobre cuyos elementos se ha definido una operación o ley interna, comúnmente denotada por " * ", que
Más detallesb) Sea una relación de equivalencia en A y una operación en A. Decimos que y son compatibles si a b a c b c y c a c b para todo a, b, c A
APENDICE Relaciones y Operaciones Compatibles 1 Definición: a) Sea A un conjunto y una relación entre elementos de A. Decimos que es una relación de equivalencia si es: i Reflexiva: a A, a a. ii Simétrica:
Más detallesTema 2: Teorema de estructura de los grupos abelianos finitamente generados.
ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS GRADO EN MATEMÁTICAS. CURSO 215/216 Tema 2: Teorema de estructura de los grupos abelianos finitamente generados. 1.1. Grupo abeliano libre. Bases. Definición 1.1. El grupo Z n con
Más detallesDefinición 1 Un semigrupo es un conjunto E provisto de una operación binaria asociativa sobre E, se denota por (E, ).
ALGEBRA La primera parte del presente libro está dedicada a las estructuras algebraicas. En esta parte vamos a iniciar agregándole a los conjuntos operaciones. Cuando las operaciones tienen determinadas
Más detallesEjercicios de Álgebra Básica. Curso 2015/16
Ejercicios de Álgebra Básica Curso 2015/16 Tema 2: Introducción a la teoría de grupos Propiedades El grupo de las permutaciones Ejercicio 1 Probar que Z con la operación a b = a+b+1 es un grupo Ejercicio
Más detallesAnillos. a + (b + c) = (a + b) + c. 3) Existe un elemento 0 en R, el cual llamaremos cero, tal que. a + 0 = 0 + a = a para todo a en R.
Capítulo 7 Anillos 7.1 Definiciones Básicas El concepto de Anillo se obtiene como una generalización de los números enteros, en donde están definidas un par de operaciones, la suma y el producto, relacionadas
Más detallesTerminaremos el capítulo con una breve referencia a la teoría de cardinales.
TEMA 5. CARDINALES 241 Tema 5. Cardinales Terminaremos el capítulo con una breve referencia a la teoría de cardinales. Definición A.5.1. Diremos que el conjunto X tiene el mismo cardinal que el conjunto
Más detallesTema 2: El grupo de las permutaciones
Tema 2: El grupo de las permutaciones Miguel Ángel Olalla Acosta miguelolalla@us.es Departamento de Álgebra Universidad de Sevilla Octubre de 2014 Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 2: El grupo de las
Más detallesExtensiones normales.
10. TEORÍA DE GALOIS Este capítulo, donde se establece el Teorema Principal de la Teoría de Galois, puede ser considerado como la culminación de la asignatura. Aquí se relacionarán las Teorías de Grupos
Más detalles0.1. Homomorfismos de Grupos
0.1. HOMOMORFISMOS DE GRUPOS 1 0.1. Homomorfismos de Grupos Definición 1 Sean (G, ) y (H, ) dos grupos. Una función f de G a H f : G H se dice ser a) Un homomorfismo si f(x y) = f(x) f(y), x, y (G, ),
Más detalles58 7. ESPACIOS COCIENTE
CAPíULO 7 Espacios cociente En esta sección estudiamos el cociente de un espacio vectorial por un subespacio W. Este cociente se define como el conjunto cociente de por una relación de equivalencia conveniente.
Más detallesEstructuras algebraicas
Estructuras algebraicas Natalia Boal María Luisa Sein-Echaluce Universidad de Zaragoza 1 Relaciones binarias 11 Recordatorio Definición Dados dos conjuntos A y B se llama producto cartesiano de A por B
Más detallesTema 2. Grupos. 3. El conjunto de matrices de orden 2 con coeficientes enteros (o reales) con la suma es un grupo conmutativo.
Tema 2. Grupos. 1 Grupos Definición 1 Un grupo es una estructura algebraica (G, ) tal que la operación binaria verifica: 1. * es asociativa 2. * tiene elemento neutro 3. todo elemento de G tiene simétrico.
Más detallesEstructuras Algebraicas
Tema 1 Estructuras Algebraicas Definición 1 Sea A un conjunto no vacío Una operación binaria (u operación interna) en A es una aplicación : A A A Es decir, tenemos una regla que a cada par de elementos
Más detallesTema 1.- Nociones preliminares: grupos, anillos, cuerpos. Divisibilidad
Tema 1.- Nociones preliminares: grupos, anillos, cuerpos. Divisibilidad 1.1 Grupos Al haber alterado el orden de los temas, este apartado ya se ha visto en el tema 9 1.2 Anillos y cuerpos Definición 1.2.1.
Más detallesCOMPLEMENTO DEL TEÓRICO
ÁLGEBRA I PRIMER CUATRIMESTRE - AÑO 2016 COMPLEMENTO DEL TEÓRICO El material de estas notas fue dictado en las clases teóricas pero no se encuentra en el texto que seguimos en las mismas ( Álgebra I -
Más detallesTeoría de anillos. Dominios, cuerpos y cuerpos de fracciones. Característica de un cuerpo.
1 Tema 5.-. Teoría de anillos. Dominios, cuerpos y cuerpos de fracciones. Característica de un cuerpo. 5.1. Anillos y cuerpos Definición 5.1.1. Un anillo es una terna (A, +, ) formada por un conjunto A
Más detallesELEMENTOS DE TEORÍA DE GRUPOS
ELEMENTOS DE TEORÍA DE GRUPOS CÉSAR ROSALES. TOPOLOGÍA II El objetivo de estas notas es recoger una serie de herramientas algebraicas que se utilizarán a lo largo de la asignatura. Expondremos las diferentes
Más detallesP(f) : P(B) P(A) (A.2)
TEMA 2. APLICACIONES 227 Tema 2. Aplicaciones Definición A.2.1. Una correspondencia entre dos conjuntos A y B es un subconjunto del producto cartesiano A B. Una aplicación f entre dos conjuntos A y B es
Más detallesEstructura de los Grupos
Capítulo 6 Estructura de los Grupos 6.1 Introducción En nuestro viaje dentro de la teoría de grupos, hemos estudiado muchos ejemplos de grupos interesantes, como los grupos de simetría, los enteros módulo
Más detallesCon esta definición de grupo, es directo que el neutro es único, al igual que el inverso de. , donde es conmutativo, se denomina Abeliano.
Teoría de Grupos Definiciones Básicas Definición 5 (Grupo) Sea una estructura algebraica con una ley de composición interna. Decimos que es un grupo si: 1. es asociativa. 2. tiene neutro. 3. toda tiene
Más detallesAlgebra Abstracta. 28 de diciembre de 2007
Álgebra Abstracta. 28 de diciembre de 2007 2 Índice general 1. Grupos. 5 1.1. Semigrupos, monoides y grupos.......................... 5 1.1.1. Ejemplos de grupos............................. 7 1.2. Subgrupos......................................
Más detallesLa estructura de un cuerpo finito.
9. CUERPOS FINITOS El objetivo de este capítulo es determinar la estructura de todos los cuerpos finitos. Probaremos en primer lugar que todo cuerpo finito tiene p n elementos, donde p es la característica
Más detallesCapítulo 4: Conjuntos
Capítulo 4: Conjuntos Miguel Ángel Olalla Acosta miguelolalla@us.es Departamento de Álgebra Universidad de Sevilla Septiembre de 2014 Olalla (Universidad de Sevilla) Capítulo 4: Conjuntos Septiembre de
Más detallesAMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS
AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS GRUPOS CÍCLICOS. Los grupos que pueden ser generados por un único elemento se llaman Grupos Cíclicos. Un único elemento como generador hace que sea fácil trabajar con ellos. Además,
Más detallesConjuntos relaciones y grupos
Matemáticas NS Conjuntos relaciones y grupos Tema opcional 2 Índice 1. Conjuntos y relaciones 5 1.1. Introducción.......................................... 5 1.2. Operaciones con conjuntos..................................
Más detallesPolinomios (lista de problemas para examen)
Polinomios (lista de problemas para examen) En esta lista de problemas el conjunto de los polinomios de una variable con coeficientes complejos se denota por P(C). También se usa la notación C[x], si la
Más detallesÁlgebra Básica. Eugenio Miranda Palacios Leyes de composición. Estructuras algebraicas.
Álgebra Básica Eugenio Miranda Palacios 3. Anillos conmutativos 3.1. Leyes de composición. Estructuras algebraicas. Sean A, M conjuntos. Definición 3.1. Una operación binaria o ley de composición interna
Más detallesConjuntos. Relaciones. Aplicaciones
Conjuntos. Relaciones. Aplicaciones Conjuntos 1. Considera el subconjunto A de números naturales formado por los múltiplos de 4 y el conjunto B N de los números que terminan en 4. Comprueba que A B y B
Más detallesAMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS
AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS GRUPOS PRODUCTO Y COCIENTE. El producto cartesiano de dos grupos y el conjunto cociente de un grupo respecto de ciertas relaciones, son dos formas de construir nuevos grupos.
Más detalles2 Grupos simétricos y alternados
4 TEORIA DE GRUPOS A continuación vamos a estudiar los grupos que históricamente dieron origen a su concepto. 2 Grupos simétricos y alternados Dado un número natural n el conjunto de permutaciones 1 de
Más detallesTransformaciones lineales y matrices
CAPíTULO 5 Transformaciones lineales y matrices 1 Matriz asociada a una transformación lineal Supongamos que V y W son espacios vectoriales de dimensión finita y que T : V W es una transformación lineal
Más detallesConjuntos, relaciones y funciones Susana Puddu
Susana Puddu 1. Repaso sobre la teoría de conjuntos. Denotaremos por IN al conjunto de los números naturales y por ZZ al de los enteros. Dados dos conjuntos A y B decimos que A está contenido en B o también
Más detallesÁlgebra Moderna (Teoría de Grupos) por María Luisa Pérez Seguí
Álgebra Moderna (Teoría de Grupos) por María Luisa Pérez Seguí Introducción Se presenta aquí el material correspondiente a un curso de Teoría de Grupos introductorio. El material del libro constituye el
Más detallesÁLGEBRA LINEAL I Algunas soluciones a la Práctica 3
ÁLGEBRA LINEAL I Algunas soluciones a la Práctica 3 Matrices y determinantes (Curso 2011 2012) 2. Sea A una matriz diagonal n n y supongamos que todos los elementos de su diagonal son distintos entre sí.
Más detallesContinuidad y monotonía
Tema 14 Continuidad y monotonía Generalizando lo que se hizo en su momento para sucesiones, definiremos la monotonía de una función, en forma bien fácil de adivinar. Probaremos entonces dos resultados
Más detallesDefinición 1.1 Sea G un conjunto. Una operación binaria en G es una aplicación m: G G G.
1 Definición y propiedades Definición 1.1 Sea G un conjunto. Una operación binaria en G es una aplicación m: G G G. Definición 1.2 Sea G un conjunto i) Si G tiene una operación binaria definida en G, se
Más detallesInducción Matemática Conjuntos Funciones. Matemática Discreta. Agustín G. Bonifacio UNSL. Repaso de Inducción, Conjuntos y Funciones
UNSL Repaso de Inducción, y Inducción Matemática (Sección 1.7 del libro) Supongamos que queremos demostrar enunciados del siguiente tipo: P(n) : La suma de los primeros n números naturales es n(n+1)
Más detallesEjercicios de Estructuras Algebraicas 1
Ejercicios de Estructuras Algebraicas 1 Números enteros y polinomios 1. Para cada una de las siguientes parejas de números enteros, hallar el máximo común divisor, el mínimo común múltiplo y una identidad
Más detallesConjuntos finitos y conjuntos numerables
Tema 3 Conjuntos finitos y conjuntos numerables En este tema vamos a usar los números naturales para contar los elementos de un conjunto, o dicho con mayor precisión, para definir los conjuntos finitos
Más detallesTEMA 4. APLICACIONES LINEALES
TEMA 4. APLICACIONES LINEALES 1.- Definición y propiedades. 2.- Aplicaciones lineales inyectivas y Suprayectivas. 3.- Núcleo, imagen, matriz asociada y rango de una aplicación lineal. 4.- Operaciones con
Más detalles(n, a)(m, b) = (nm, ma + nb) (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) y (a, b)(c, d) = (ac, bd)
TEMA 3 Anillos. Dominios euclídeos. Ejercicio 3.1. Sea X un conjunto no vacío y R = P(X), el conjunto de partes de X. Si se consideran en R las operaciones: A + B = (A B) (A B) A B = A B demostrar que
Más detallesDualidad. 1. Dual de una transformación lineal
CAPíTULO 8 Dualidad 1. Dual de una transformación lineal En este capítulo volveremos a considerar el tema de la dualidad de espacios vectoriales. Se recuerda que si V es un espacio vectorial, definimos
Más detalles1. Funciones Medibles
1. Medibles Medibles simples... Hasta ahora hemos estudiado la medida de Lebesgue definida sobre los conjuntos de R n y sus propiedades. Vamos a aplicar ahora esta teoría al estudio de las funciones escalares
Más detallesAmpliación Matemática Discreta. Justo Peralta López
Justo Peralta López UNIVERSIDAD DE ALMERíA DEPARTAMENTO DE ÁLGEBRA Y ANÁLISIS MATEMÁTICO 1 2 cíclicos 3 Subgrupos 4 Algoritmos 5 ElGamal Definición Un grupo es un conjunto de elementos sobre los cuales
Más detallesa, b G a b G a (b c) = (a b) c a, b, c G (g4) Todo elemento de G tiene elemento simétrico para la operación : a G a G tal que a a = a a = e
Grupos Este segundo cuatrimestre lo dedicaremos al estudio de estructuras algebraicas. Primero, las estructuras de grupo, anillo y cuerpo, y más adelante, la estructura de espacio vectorial y todo lo que
Más detallesFunciones y Cardinalidad
Funciones y Cardinalidad Definición 1 Llamaremos función f entre dos conjuntos A y B a una relación que verifica las siguientes propiedades: i) Dom(f) = A ii) Si (a, b), (a, c) f entonces b = c Dicho de
Más detallesPara mensajes:
INTRODUCCION AL ALGEBRA. 4- ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS. Apuntes de la Cátedra. Alberto Serritella. Colaboraron: Silvia Capalbo Cristian Mascetti. Vanesa Bergonzi Edición Previa CECANA CECEJS CET Junín 010.
Más detallesEL CUERPO ORDENADO REALES
CAPÍTULO I. EL CUERPO ORDENADO DE LOS NÚMEROS REALES SECCIONES A. Elementos notables en R. B. Congruencias. Conjuntos numerables. C. Método de inducción completa. D. Desigualdades y valor absoluto. E.
Más detallesTEMA 1: NÚMEROS NATURALES. SISTEMA DE NUMERACIÓN
1 TEMA 1: NÚMEROS NATURALES. SISTEMA DE NUMERACIÓN 1. INTRODUCCIÓN Los números naturales aparecen debido a la necesidad que tiene el hombre para contar. Para poder construir este conjunto N, podemos seguir
Más detallesEstructuras algebraicas
Semana 11[1/22] 4 de mayo de 2007 Anillos y cuerpos Semana 11[2/22] Anillos Comenzamos ahora el estudio de estructuras algebraicas que tengan definidas dos operaciones, y las clasificaremos en anillos
Más detallesNOTAS DE TRABAJO, 6 ÁLGEBRA CONMUTATIVA:
NOTAS DE TRABAJO, 6 ÁLGEBRA CONMUTATIVA: Álgebra conmutativa computacional Pascual Jara Martínez Departamento de Álgebra. Universidad de Granada Granada, 2013 2014 Primera redacción: Octubre 2013. Introducción
Más detallesDefinición 1.2. Sea (K, +, ) un dominio de integridad. Un polinomio de grado n sobre K es una expresión de la forma
Polinomios Definición 1.1. Un conjunto K junto con dos operaciones definidas en él que denotaremos por + : K K K : K K K para las cuales se cumplen las siguientes propiedades: Asociatividad Conmutatividad
Más detallesALGEBRA 1- GRUPO CIENCIAS- TURNO TARDE- Enteros
Resumen teoría Prof. Alcón ALGEBRA 1- GRUPO CIENCIAS- TURNO TARDE- Z = N {0} N Enteros Las operaciones + y. son cerradas en Z, es decir la suma de dos números enteros es un número entero y el producto
Más detallesEspacios vectoriales
CAPíTULO 2 Espacios vectoriales 1. Definiciones básicas En lo que sigue k denotará un cuerpo arbitrario: e.g. el cuerpo de los números reales R, el cuerpo de los números racionales Q, el cuerpo de los
Más detalles1. Conjuntos y funciones
Centro de Matemática Facultad de Ciencias Universidad de la República Introducción a la Topología Curso 2016 PRACTICO 1: CONJUNTOS. 1 1. Conjuntos y funciones Ejercicio 1. Si I es un conjunto y A α es
Más detallesGrupos y Subgrupos El concepto de grupo Sea G un conjunto no vacío y sea G G G
Capítulo 1 Grupos y Subgrupos 001. El concepto de grupo Sea G un conjunto no vacío y sea G G G una operación interna en G para la cual denotaremos a la imagen de un par (x, y) mediante xy. Supongamos que
Más detallesAnillo de polinomios con coeficientes en un cuerpo
Capítulo 2 Anillo de polinomios con coeficientes en un cuerpo En el conjunto Z se ha visto cómo la relación ser congruente módulo m para un entero m > 1, es compatible con las operaciones suma y producto.
Más detallesEs claro que es una relación de equivalencia. Para ver que tener la misma cardinalidad y la cardinalidad están bien definidas queremos ver que
Capítulo II Cardinalidad Finita II.1. Cardinalidad Definimos I n para n N como I n = {k N : 1 k n}. En particular I 0 =, puesto que 0 < 1. Esto es equivalente a la definición recursiva { si n = 0 I n =
Más detallesDescomposición de dos Anillos de Funciones Continuas
Miscelánea Matemática 38 (2003) 65 75 SMM Descomposición de dos Anillos de Funciones Continuas Rogelio Fernández-Alonso Departamento de Matemáticas Universidad Autónoma Metropolitana-I 09340 México, D.F.
Más detallesFunciones de Variable Real
Tema 1 Funciones de Variable Real 1.1. La Recta Real Los números reales se pueden ordenar como los puntos de una recta. Los enteros positivos {1, 2, 3, 4,...} que surgen al contar, se llaman números naturales
Más detallesEspacios Vectoriales. Tema Introducción. 1.2 Repaso de Estructuras Algebraicas
Tema 1 Espacios Vectoriales 1.1 Introducción Estas notas se han escrito con el ánimo de facilitar al estudiante una guía para el estudio de la asignatura, y no como un libro de texto o manual de Álgebra
Más detallesEspacios topológicos. 3.1 Espacio topológico
Capítulo 3 Espacios topológicos 3.1 Espacio topológico Definición 3.1.1. Un espacio topológico es un par (X, τ), donde X es un conjunto, y τ es una familia de subconjuntos de X que verifica las siguientes
Más detallesÁLGEBRA I. Curso Grado en Matemáticas
ÁLGEBRA I. Curso 2012-13 Grado en Matemáticas Relación 1: Lógica Proposicional y Teoría de Conjuntos 1. Establecer las siguientes tautologías: (a) A A A (b) A A A (c) A B B A (d) A B B A (e) (A B) C A
Más detallesGrupos. Subgrupos. Teorema de Lagrange. Operaciones.
1 Tema 1.-. Grupos. Subgrupos. Teorema de Lagrange. Operaciones. 1.1. Primeras definiciones Definición 1.1.1. Una operación binaria en un conjunto A es una aplicación α : A A A. En un lenguaje más coloquial
Más detallesCuerpo de Fracciones de un Anillo Íntegro
Cuerpo de Fracciones de un Anillo Íntegro René A Hernández Toledo 1997 * Cuando se desarrollan los sistemas numéricos a partir los conjuntos, primeramente se construyen los números naturales. A partir
Más detallesEs trivial generalizar la definición al caso de varios conjuntos: A B C, etc.
Tema 1 Espacios Vectoriales 1.1 Introducción Estas notas están elaboradas pensando simplemente en facilitar al estudiante una guía para el estudio de la asignatura, y en consecuencia se caracterizan por
Más detallesUNIDAD 5 : ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS
UNIVERSIDAD DON BOSCO - DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS UNIDAD 5 : ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS ÁLGEBRA LINEAL - GUIÓN DE CLASE - SEMANA 10 - CICLO 01-2015 Estudiante: Grupo: 1. Aplicaciones 1.1. Aplicaciones.
Más detallesFundamentos algebraicos
Fundamentos algebraicos 1. Grupos Sea S un conjunto. Se denota con S S el conjunto de los pares ordenados (s, t) con s, t en S. Un mapeo de S S en S se llama operación binaria en S. Esta definición requiere
Más detallesÁLGEBRA MODERNA. Índice 1. Los grupos A n y S n Cíclos. 3
ÁLGEBRA MODERNA DANIEL LABARDINI FRAGOSO TOMÓ ESTAS NOTAS: JAIME ALEJANDRO GARCÍA VILLEDA. FECHA: 8 DE MARZO DEL 2016. Índice 1. Los grupos A n y S n. 1 1.1. Cíclos. 3 1. Los grupos A n y S n. Fijemos
Más detallesÁlgebra Lineal y Estructuras Matemáticas. J. C. Rosales y P. A. García Sánchez. Departamento de Álgebra, Universidad de Granada
Álgebra Lineal y Estructuras Matemáticas J. C. Rosales y P. A. García Sánchez Departamento de Álgebra, Universidad de Granada Capítulo 2 Aritmética entera y modular 1. Los números enteros Dado un entero
Más detallesConjuntos, relaciones de equivalencia y aplicaciones
CAPíTULO 1 Conjuntos, relaciones de equivalencia y aplicaciones 1. Conjuntos La idea de conjunto es una de las más significativas en Matemáticas. La mayor parte de los conceptos matemáticos están construidos
Más detallesÁLGEBRA LINEAL I Algunas soluciones a la Práctica 3
ÁLGEBRA LINEAL I Algunas soluciones a la Práctica 3 Matrices y determinantes (Curso 010 011). Sea A una matriz diagonal n n y supongamos que todos los elementos de su diagonal son distintos entre sí. Demostrar
Más detallesGrupos y Anillos - 3006993 Escuela de Matemáticas Universidad Nacional de Colombia, Sede Medellín. Problemas # 1
Grupos y Anillos - 3006993 Escuela de Matemáticas Universidad Nacional de Colombia, Sede Medellín Problemas # 1 1. Dé dos razones por las cuales el conjunto de los enteros impares no es un grupo con la
Más detallesIntroducción a la Matemática Discreta
Introducción a la Matemática Discreta Aritmética Entera Luisa María Camacho Camacho Introd. a la Matemática Discreta 1 / 36 Introducción a la Matemática Discreta Temario Tema 1. Teoría de Conjuntos. Tema
Más detallesÁlgebra Lineal y Estructuras Matemáticas. J. C. Rosales y P. A. García Sánchez. Departamento de Álgebra, Universidad de Granada
Álgebra Lineal y Estructuras Matemáticas J. C. Rosales y P. A. García Sánchez Departamento de Álgebra, Universidad de Granada Capítulo 1 Conjuntos, relaciones y aplicaciones 1. Conjuntos La idea de conjunto
Más detalles9.1 Primeras definiciones
Tema 9- Grupos Subgrupos Teorema de Lagrange Operaciones 91 Primeras definiciones Definición 911 Una operación binaria en un conjunto A es una aplicación α : A A A En un lenguaje más coloquial una operación
Más detallesSemana03[1/17] Funciones. 16 de marzo de Funciones
Semana03[1/17] 16 de marzo de 2007 Introducción Semana03[2/17] Ya que conocemos el producto cartesiano A B entre dos conjuntos A y B, podemos definir entre ellos algún tipo de correspondencia. Es decir,
Más detallesFunciones elementales
Tema Funciones elementales.1. Función real de variable real Una función real de variable real es cualquier aplicación f : D R! R. Se dice que el conjunto D es el dominio de f. El rango de f es el conjunto
Más detallesTriangularización Simultanea
Triangularización Simultanea Antonio M. Oller 21 de Noviembre de 2005 1. Introducción Sabemos que toda matriz sobre C (y en general sobre un cuerpo algebráicamente cerrado) es semejante a una matriz triangular
Más detallesTeorema del Valor Medio
Tema 6 Teorema del Valor Medio Abordamos en este tema el estudio del resultado más importante del cálculo diferencial en una variable, el Teorema del Valor Medio, debido al matemático italo-francés Joseph
Más detallesDefinición de la matriz inversa
Definición de la matriz inversa Objetivos Aprender la definición de la matriz inversa Requisitos Multiplicación de matrices, habilidades básicas de resolver sistemas de ecuaciones Ejemplo El número real
Más detallesIIC2213. IIC2213 Teorías 1 / 42
Teorías IIC2213 IIC2213 Teorías 1 / 42 Qué es una teoría? Una teoría es un cúmulo de información. Debe estar libre de contradicciones. Debe ser cerrada con respecto a lo que se puede deducir de ella. Inicialmente
Más detallesCardinalidad. Teorema 0.3 Todo conjunto infinito contiene un subconjunto infinito numerable.
Cardinalidad Dados dos conjuntos A y B, decimos que A es equivalente a B, o que A y B tienen la misma potencia, y lo notamos A B, si existe una biyección de A en B Es fácil probar que es una relación de
Más detallesEmpalme-factorización de sucesiones y exactitud de functores
Empalme-factorización de sucesiones y exactitud de functores Bruno Stonek bruno@stonek.com 23 de febrero de 212 Resumen En este articulín veremos cómo empalmar y cómo factorizar sucesiones exactas. Deduciremos
Más detalles1. Conjuntos y aplicaciones.
CONCEPTOS BÁSICOS DE LA TEORÍA DE CONJUNTOS. ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS. ÍNDICE 1. Conjuntos y aplicaciones. 2. Producto cartesiano. 3. Correspondencias. 4. Relaciones binarias. 5. Aplicaciones. 6. Números
Más detallesDefinición 11.1 Sea f : A E F una aplicación r-veces diferenciable en un punto a A. o
Capítulo 11 Teoremas de Taylor Una vez más nos disponemos a extender a las funciones de varias variables resultados ya conocidos para funciones de una variable, los teoremas de aproximación de Taylor.
Más detallesAnillos. 3.1 Anillos. a b c d e a a a a a a b a b c d e c a c e b d d a d b e c e a e d c b
Capítulo 3 Anillos Hemos utilizado estructuras en las que hay dos operaciones, como la suma y el producto en Z. El objeto más básico de este tipo es un anillo, cuyos axiomas son bastante parecidos a los
Más detallesAMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS. a = qm + r
AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS CONGRUENCIAS DE ENTEROS. Dado un número natural m N\{0} sabemos (por el Teorema del Resto) que para cualquier entero a Z existe un único resto r de modo que con a = qm + r r {0,
Más detalles1. Conjuntos y funciones
PRACTICO 1: CONJUNTOS. 1. Conjuntos y funciones Es útil saber de memoria las siguientes propiedades de conjuntos y funciones. Tanto como saber las tablas. Ejercicio 1. Si I es un conjunto y A α es un conjunto
Más detallesPermutaciones. (Ejercicios)
Permutaciones (Ejercicios Objetivos Conocer la definición de permutación y revisar algunos ejemplos Calcular el número de las permutaciones del conjunto { n} Conocer los conceptos de transposición y ciclo;
Más detallesPráctica 2 -Cardinalidad- A. Propiedades básicas de los Conjuntos
Cálculo Avanzado Segundo Cuatrimestre de 2012 Práctica 2 -Cardinalidad- A. Propiedades básicas de los Conjuntos Ejercicio 1. Demostrar las siguientes igualdades de conjuntos: i) B i I A i = i I(B A i ).
Más detallesContinuidad y monotonía
Tema 14 Continuidad y monotonía Generalizando lo que se hizo en su momento para sucesiones, definiremos la monotonía de una función, en forma bien fácil de adivinar. Probaremos entonces dos resultados
Más detallesMATEMÁTICA LIC. Y PROF. EN CS. BIOLÓGICAS
Definición: se llama matriz de m filas y n columnas sobre un cuerpo K (R ó C), a una ordenación rectangular de la forma Notación: a11 a...... a1n a21 a...... a2n A = M M M donde cada elemento a ij Є K
Más detallesALGEBRA 1- GRUPO CIENCIAS- TURNO TARDE- Polinomios
Resumen teoría Prof. Alcón ALGEBRA 1- GRUPO CIENCIAS- TURNO TARDE- Polinomios Sea (A, +,.) un anillo conmutativo. Indicamos con A[x] al conjunto de polinomios en una indeterminada x con coeficientes en
Más detallesIntroducción a la teoría de anillos
Introducción a la teoría de anillos José Luis Tábara Versión 0.4, 18 de Noviembre del 2001 Índice general 1. Definiciones básicas 1 2. Ideales 17 3. Ideales maximales y primos 26 4. Polinomios 32 5. Divisibilidad
Más detallesNúmeros reales Suma y producto de números reales. Tema 1
Tema 1 Números reales Comprender el conjunto de los números reales, su estructura y sus principales propiedades, es el primer paso imprescindible en el estudio del Análisis Matemático. Presentaremos dicho
Más detalles