POLIEDROS, PRISMAS Y PIRÁMIDES

POLIEDROS, PRISMAS Y PIRÁMIDES 1. Completa la siguiente tabla. 2. Indica si son verdaderas o falsas (V o F) las siguientes afirmaciones. a) La suma de las caras y los vértices del cubo es 12. b) El menor número de caras de un poliedro es 4. c) El dodecaedro tiene 12 caras, que son triángulos equiláteros. d) En un poliedro regular, todas las caras son iguales. e) El número de aristas del cubo y del octaedro es el mismo. 1

Prismas regulares. Un prisma recto es regular si sus bases son polígonos regulares. Paralelepípedos. Los paralelepípedos son prismas en los que todas sus caras son paralelogramos. Son prismas cuadrangulares. Es recto si la altura coincide con las aristas, en caso contrario son oblicuos. Cuando todas las caras de un paralelepípedo son rectángulos se denomina ortoedro 3. Dibuja y nombra, en estos prismas, sus elementos: bases, vértices, caras y aristas. a. Prisma triangular b. Prisma hexagonal 4. En los prismas inclinados: a. Todas las caras son rectangulares. b. Alguna cara puede ser un rectángulo. c. Ninguna cara puede ser rectangular. 5. Un ortoedro tiene: a. Todas sus caras pentagonales. b. Todas sus caras iguales. c. Todas sus caras perpendiculares entre sí. 6. Un cubo es: a. Un pentaedro. b. Un tetraedro. c. Un exaedro. 7. Todos los prismas tienen: a. El doble de vértices que lados tiene una base b. El mismo número de vértices que lados tiene una base c. Tantos vértices como números de lados de una base más dos. 8. Si las caras laterales de un prisma son rectángulos: a. Es recto. b. Es oblicuo. c. Es un ortoedro 9. Los paralelepípedos: a. Pueden ser prismas triangulares. b. Han de ser prismas cuadrangulares. c. No tienen por qué ser prismas cuadrangulares. 10. Si las bases un prisma son rectángulos: a. Puede ser un romboedro. b. Es recto. c. Puede ser oblicuo. 11. Un prisma pentagonal tiene: a. Quince caras, diez aristas y siete vértices. b. Diez caras, siete aristas y quince vértices c. Siete caras, quince aristas y diez vértices. 12. En el octaedro inciden en cada vértice: a. Tres caras. b. Cuatro caras. c. Cinco caras. 13. Poliedros regulares con caras triangulares hay: a. Tres. b. Uno. c. Dos. d. Se llaman 14. Dibuja el desarrollo plano de un cubo de lado 4 cm. 15. El número de vértices de un prisma es 20 Cuántas caras tiene? 16. Un prisma tiene 18 aristas. Qué polígono tiene por bases? 17. Un prisma tiene 9 caras. Por tanto es un prisma 18. Un prisma tiene 15 vértices, por lo tanto las bases son 19. Comprueba que se cumple la relación de Euler en el icosaedro. 2

20. Comprueba que se cumple la relación de Euler en el dodecaedro. 21. Un poliedro euleriano tiene 20 caras y 36 vértices. Cuántas aristas tiene? 22. Un poliedro euleriano tiene 21 caras y 40 aristas. Cuántos vértices tiene? 23. Indica con qué desarrollo plano se podría construir un... 24. Escribe el nombre de cada uno de los elementos de este poliedro: 25. Cuáles de las siguientes figuras son poliedros? Por qué? 26. Indica qué tipo de poliedro es cada uno de estos: 27. Completa el desarrollo plano de los siguientes poliedros. 28. Dibuja el desarrollo plano de estas figuras geométricas. 3

Recuerda el área de las figuras planas 29. Deduce el área lateral y total de un cubo 30. Calcula el área de un cubo que tiene 7 cm de lado. 31. Calcula el área total de un prisma de base pentagonal, sabiendo que su altura es 7 dm, el lado de la base mide 3 dm y la apotema del polígono de las bases mide 2 dm. 32. Obtén el área total de un prisma cuadrangular cuya altura es de 8 dm y el lado del cuadrado de la base mide 4 dm. Realiza el dibujo del prisma y su desarrollo. 4

33. Calcula la superficie lateral de un prisma de base rectangular de 2 x 8 cm de base y 7 cm de altura. 34. Halla el área total de un prisma hexagonal, sabiendo que: Su altura es 10 dm. El lado de la base hexagonal mide 4 dm. La apotema del polígono de la base mide 3,5 dm. Realiza el dibujo del prisma y su desarrollo 35. Una caja tiene forma de prisma con base un trapecio recto de base mayor 30 cm, base menor 10 cm y altura de la base 11 cm. Para que tenga apertura se le quita la cara del prisma correspondiente al lado oblicuo del trapecio. Si la altura del prisma es de 40 cm, calcula su superficie total. 36. Deseamos construir una caja de madera sin tapa que tenga por base un rectángulo de 12 x 15 cm y altura 9 cm. Calcula la superficie de madera que necesitas para su construcción. 37. Esta es una celda de una colmena de abejas. Como sabes, las celdas no tienen tapas hasta que no se encuentra dentro una larva. Calcula cuál será la cantidad total de cera necesaria para construirla sabiendo que 1 g de cera cubre 4 cm 2 de superficie lateral y 1 cm 2 de superficie en las bases. 38. Cuántas losetas cuadradas de 20 cm de lado se necesitan para recubrir las caras de una piscina de 10 m de largo por 6 m de ancho y de 3 m de profundidad? 39. Halla el área de la base, el área lateral y el área total de un cubo de 10 cm de lado. 40. El área total de un cubo es de 216 cm 2 cuánto mide su arista? 5

41. Dibuja el desarrollo de las siguientes pirámides y completa la tabla. 42. Calcula el área total de una pirámide de base pentagonal, si la apotema de la base mide 4,13 cm, el lado de la base es 6 cm y la altura de cada uno de los triángulos de las caras es 9 cm. 43. Halla el área total de una pirámide de base cuadrangular, si el lado de la base mide 3 dm y la apotema de la pirámide (altura del triángulo) mide 6 dm. 44. Obtén el área total de una pirámide de base hexagonal, si la apotema de la base mide 5,2 dm, el lado de la base es 6 dm y la altura de cada uno de los triángulos de las caras es 10 dm. 45. Halla el área total de una pirámide de base pentagonal cuya apotema de la base mide 4 dm, la altura de cada triángulo mide 9 dm y el área de cada uno de los triángulos es 26,1 dm 2. 46. La base de una pirámide es un cuadrado de 6 cm de lado. Si la altura de cada triángulo mide 1 dm, calcula el área total de la pirámide. 47. Una piscina mide 20 m de largo, 5 m de ancho y 2,5 m de alto. a) Calcula la capacidad de la piscina en litros b) Si pintamos las paredes y el suelo de la piscina y nos cuesta 0,5 euros el m 2 Cuánto nos cuesta pintar la piscina? 48. En un prisma regular de base cuadrada de 8 cm de lado de la base y 10 cm de altura, calcula: a) Diagonal de la base. d) Superficie total. 6

49. Calcula los cubos que caben en cada una de las siguientes figuras. El volumen de cualquier prisma es igual al área del polígono de la base multiplicado por la altura ( h ) del prisma. V = Ab h 50. Halla el volumen de los siguientes ortoedros. 51. Calcula el volumen de una piscina de dimensiones: Largo: 15 m Ancho: 7 m Profundidad: 1,5 m 52. Halla el volumen de un aula cuya área de la base es 40 m2 y su altura es 2,5 m. Realiza un dibujo representativo. 53. La señora García quiere cambiar las puertas de su casa. Las nuevas puertas miden 2 m de alto, 80 cm. de ancho y 4 cm. de espesor. Necesita cambiar 8 puertas. El carpintero le cobra 200 euros por instalar cada puerta, más el coste de la madera, que es de 300 euros el m 3. Calcule el coste de la madera de cada puerta más su instalación. 7

54. Calcula el volumen de un prisma de base cuadrada de 5 cm de lado y 12 cm de altura. 55. Calcula el volumen del sólido de la figura: 56. Calcula el volumen de un prisma con altura 30 cm y base triangular de las siguientes dimensiones: 10 cm de base y 20 cm de altura. 57. Calcula la capacidad de un prisma de base rectangular de 2 x 8 cm de base y 7 cm de altura. 58. Calcula el volumen de la siguiente figura: 59. Calcula cuánto pesa una lápida de granito fabricada con la forma de paralelepípedo de la figura si un decímetro cúbico de granito pesa 2 kg. 60. Calcula el volumen de los siguientes cubos según su arista. Realiza un dibujo representativo y expresa el resultado en dm 3 y m 3. a) Arista = 5 cm b) Arista = 70 dm 61. El volumen de un cubo es de 27 cm 3. Calcula su arista y su área total 8

62. Calcula el volumen de una pirámide de 12 cm de altura, si la base es un cuadrado de 4 cm de lado. 63. Obtén el volumen de una pirámide de 9 cm de altura cuya base es un rectángulo de 4 cm de largo y 2,5 cm de ancho. 64. La pirámide de Keops, en Egipto, es de base cuadrangular. El lado de la base mide 230 m y su altura 160 m. Calcula su volumen total. 65. Calcula el volumen de la figura siguiente sabiendo que la base es un pentágono regular de 20 cm 2 de superficie y la altura de la pirámide es de 50 cm. 66. Calcula la altura de una pirámide, sabiendo que la base es un cuadrado de lado 15 cm y su volumen es 975 cm 3. 67. Me han traído como recuerdo de Egipto un pisapapeles con forma de Mastaba. Sus bases son dos cuadrados de 12 y 18 cm de lado. Su altura es de 7 cm y la pirámide que falta tendría una altura de 12 cm. Calcula su peso si un centímetro cúbico del material del que está fabricada pesa 2 g. 68. Calcula cuál será la cantidad total de polen que cabe sabiendo que 1 g de polen ocupa 1 centímetro cúbico. 69. Un recipiente tiene forma de pirámide rectangular. Calcula cuántos litros de agua se pueden introducir en él, si las dimensiones del rectángulo son 6 dm de largo y 4 dm de ancho, y la altura de la pirámide es 10 dm 70. Calcula el volumen del sólido de la figura: 71. Halla el volumen de un prisma cuya altura mide 5 metros y la base es un rombo cuyas diagonales miden 6 metros y 8 metros respectivamente. 72. Calcula el volumen de un prisma pentagonal de 27 metros cuadrados de área de la base y 72 metros de altura. 73. Se ha construido un recipiente con forma de ortoedro, para envasar leche, cuyas dimensiones son 8 cm, 5 cm y 25 cm. Dibuja el recipiente, calcula su volumen y exprésalo en litros. 74. Calcula el volumen de la figura siguiente: 9

CILINDRO, CONO Y ESFERA 1. Dibuja la figura que se origina al girar sobre el eje. 2. Asocia cada figura de giro con el objeto que se origina. 10

3. Calcula el área total del siguiente cilindro. 4. Halla el área total de un cilindro que tiene un radio de la base de 4 cm y una altura de 7 cm. Realiza un dibujo del cilindro y su desarrollo. 5. Una bobina de papel de forma cilíndrica tiene una altura de 1,5 m y un radio en la base circular de 0,4 m. Obtén el área total de la bobina. 6. Calcula el área lateral y el área total de un cilindro de 6 cm de diámetro y 8 cm de altura. 7. Una apisonadora tiene por rueda un rodillo con forma de cilindro de 1 m de radio y 4 m de largo. a) Calcula la superficie de carretera que pisa en cada vuelta. b) Calcula el peso del rodillo si cada dm 3 de rodillo pesa 2 kg. 8. Calcula el área lateral y total del cono de la figura es: 9. Halla el área total de un cono con r = 5 cm y h = 12 cm. 10. Calcula el área lateral y el área total de un cono de radio 7 cm y 24 cm de altura. 11. El tejado de la torre de un castillo tiene forma de cono de 4,5 m de generatriz. El resto de la torre es cilíndrica y tiene 24,5 m de altura y 3,5 m de diámetro. Calcula el área que ocupan la fachada de la torre y el tejado 12. Para una fiesta, Luís ha hecho 10 gorros de forma cónica con cartón. Cuánto cartón habrá utilizado si las dimensiones del gorro son 15 cm de radio y 25 cm de generatriz? 11

13. Calcula el área de una esfera de radio 15 cm. 14. Cuánto costará el material empleado para la fabricación de un balón de 20 cm de diámetro, si un m 2 cuesta 25 euros? 15. La cúpula de una catedral tiene forma semiesférica, de radio 50m. Si restaurarla tiene un coste de 300 el m 2, A cuánto ascenderá el presupuesto de la restauración? 16. Se construye una tienda de campaña con forma de semiesfera. Si el diámetro de la esfera es 3 m y el precio de la lona es 7,50 euros /m 2, cuánto cuesta la lona? 17. Calcula la superficie total del sólido de la figura: 12

18. Una empresa de señales marítimas ha fabricado estas boyas de polietileno. Calcula la cantidad de film transparente necesario para recubrir mil boyas. 19. Calcula el volumen de un cilindro que tiene de radio de la base 5 cm y una altura de 8 cm. 20. Obtén el volumen de un cilindro, si la base tiene un área de 30 cm 2 y mide 12 cm de altura. 21. Determina el volumen de un cilindro cuya base es un círculo de 8 cm de diámetro y tiene una altura de 15 cm. 22. En una probeta de 6 cm de radio se echan cuatro cubitos de hielo de 4 cm de arista. A qué altura llegará el agua cuando se derritan? 23. Un depósito de agua tiene forma cilíndrica. El diámetro de la base es 1,8 m y su altura 4,5 m. Calcula el volumen total del depósito y la cantidad de litros que caben en él. 24. Cuál es la altura de un cilindro de 314 m 3 de volumen y cuya base tiene un radio de 10 m. 25. Calcula el radio de un cilindro que tiene por volumen 628 cm 3 y altura 10 cm. 26. Calcula el volumen del siguiente sólido (las medidas están en centímetros): 13

27. Calcula el volumen de un cono de altura 10 cm y radio de la base 2 cm. 28. Calcula el volumen de un cono de diámetro de la base 2 m y altura 4 m. 29. Calcula el volumen de un cono de radio 4 m y generatriz 5 m. Para las fiestas de mi pueblo han montado una carpa como la de la imagen. Calcula la superficie de tela necesaria para su fabricación si las medidas están en metros. 30. Calcula el volumen de una esfera de radio 3 cm. 31. Calcula volumen de una esfera de área 2.826 cm 2 32. Cuántos litros de capacidad tiene un depósito esférico de 8m de radio? 33. Un cubo de 20 cm de arista está lleno de agua. Cabría esta agua en una esfera de 20 cm de radio? 34. Construimos un florero de cristal uniendo una semiesfera y un cilindro como se ve en la figura. Calcula su volumen. 35. Calcula el volumen del sólido que aparece a continuación: 14