PROBLEMA 1. Fórmulas para el calor específico Deduzca una expresión para el como función de y evalúela para: (a) Un gas ideal. (b) Un fluido incompresible. (c) Un gas que obedece la ecuación virial truncada en el segundo término. Virial truncada explícita en : Virial truncada explícita en : A partir de la definición de calor específico a presión constante y una de las relaciones obtenidas anteriormente para la entalpía se tiene que las derivadas parciales de la entalpía son: Luego calculando las derivadas parciales cruzadas en las ecuaciones anteriores se tiene que ( ) Igualando las dos ecuaciones anteriores ya que las derivadas parciales cruzadas de la entalpía son iguales: Integrando la ecuación anterior a T constante desde una estado de presión "cero" o de gas ideal y un estado arbitrario se tiene que (a) Para un gas ideal se tiene que
(b) Para una sustancia incompresible se tiene que Además se puede suponer constante: (c) Para la ecuación virial truncada en el segundo término Explícita en : Explícita en : Y con la relación entre y se encuentra la expresión para de la ecuación virial truncada en el segundo término explícita en el volumen.
PROBLEMA 2. Relación entre calores específicos Las capacidades caloríficas y se definen como derivadas de y respecto a la temperatura. Ya que estas propiedades están relacionadas, se espera que también lo estén las capacidades caloríficas. Demuestre que la expresión general que conecta y es: A que se reduce esta relación: (a) Si la sustancia es un gas ideal. (b) Si la sustancia tiene propiedades volumétricas y. Igualando los diferenciales de entropía en función de T y P y para T y v se tiene que Sacando factor común dt y despejando este Si se pone "v" constante y se divide todo entre dp (o también poniendo "P" constante y dividiendo todo entre dv): por lo tanto se obtiene que la relación entre calores específicos es (a) Si la sustancia es un gas ideal entonces: (b) Para una sustancia de parámetros volumétricos y : ( )
PROBLEMA 3. Cambio de entropía de mezclado de una sustancia incompresible Una masa de agua a temperatura se mezcla adiabática e isobáricamente con otra masa igual de agua a una temperatura. Demuestre que el cambio de entropía del universo es ( ) Donde es el calor específico a presión constante del agua. A partir de la primera ley de termodinámica en un sistema cerrado a presión constante, considerando que es adiabático Donde es la temperatura final de la mezcla. Simplificando con El cambio de entropía del universo viene dada por Se conoce que el cambio de entropía a partir de relaciones termodinámicas es Como la presión es constante, entonces Integrando la expresión anterior con constante Sustituyendo la expresión para ( ) ( ) ( ) Y esta cantidad siempre es positiva ya que el promedio aritmético es siempre mayor al promedio geométrico de y.
PROBLEMA 4. Proceso isotérmico-reversible para una sustancia incompresible Para una expansión isotérmica-reversible de un líquido desde un estado hasta un estado para el cual se conocen los valores de y pueden suponerse que son independientes de la presión, demuestre que: Expresión para el volumen: Para un líquido la relación termodinámica para el volumen específico es Para una expansión isotérmica, la temperatura es constante y por lo tanto anterior se reduce a y la expresión Trabajo: El trabajo viene dado por Como se tiene que y sustituyendo permite calcular el trabajo de forma más práctica Cambio de entropía: La relación termodinámica general para la entropía es Combinando las dos ecuaciones obtenidas anteriormente
E integrando la ecuación anterior entre los estados 1 y 2 y como y son independientes de la presión Cambio de entalpía: A partir de la relación termodinámica para la entalpía Integrando la expresión anterior ( ) Calor: El calor en un proceso isotérmico-reversible viene dado por
PROBLEMA 5. Aumento de presión en un fluido incompresible con una bomba Considere una bomba en el que entra un fluido a una temperatura y una presión y sale a una presión. La bomba trabaja adiabáticamente-reversible y por lo tanto isentrópico. Este fluido tiene propiedades constantes y y tiene calor específico constante. El volumen específico si y es. Encuentre una expresión que permita calcular la temperatura a la salida de la bomba (esta temperatura es llamada temperatura isentrópica). Integrando la expresión anterior entre Como el proceso es isentrópico entonces ( ) Integrando entre un proceso isotérmico y luego un proceso isobárico se tiene que ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Por lo que la temperatura isentrópica es ( ( ))
PROBLEMA 6. Trabajo en una turbina de un gas real Determine el trabajo realizado por un gas que se expande a través de una turbina adiabática desde 1 MPa y 200 K hasta 0,5 MPa. Este gas obedece la siguiente ecuación de estado Donde, y [ ] en. Suponiendo que el proceso se lleva a cabo reversiblemente, entonces adiabático-reversible es isentrópico (a entropía constante). La relación termodinámica de entropía es Falta calcular la expresión para el calor específico de gas real Sustituyendo Por lo que la expresión para la entropía sustituyendo las derivadas de la ecuación de estado se convierte en Donde es el calor específico a presión constante de gas ideal. En un proceso isentrópico del estado 1 al estado 2 viene dado por: Esta integral no es posible evaluarla directamente a menos que se empleen trayectorias sencillas. El valor de la integral no depende de la trayectoria. Para esto se emplea un camino isobárico y luego un camino isotérmico tal como se muestra en la siguiente figura
I 1 2 En este sentido se separa la integral de la entropía en dos integrales con caminos isobáricos e isotérmicos respectivamente: Proceso del estado 1 a un estado intermedio Proceso del estado intermedio al estado 2 Proceso del estado 1 al estado 2 Donde Sustituyendo expresiones ( ) Arreglando y simplificando la expresión para integrar Integrando Sustituyendo valores
Se resuelve para Con un balance de energía (primera ley de termodinámica) en la turbina, se calcula el trabajo El cálculo del trabajo se reduce a calcular la diferencia de entalpía ( ) Proceso del estado 1 a un estado intermedio Proceso del estado intermedio al estado 2 Proceso del estado 1 al estado 2 Sustituyendo expresiones ( ) Simplificando para integrar
PROBLEMA 7. Se tiene un cilindro pistón que contiene 0,1 m 3 de un gas a 2 MPa y 30 C se le transfiere calor desde un reservorio a 700 C, hasta alcanzar una presión interna de 2,5 MPa. El balance de fuerzas indica que la presión interna en todo momento viene dada por donde. El gas tiene peso molecular 29 kg/kmol y su comportamiento volumétrico se rige por la siguiente ecuación de estado: Donde, [ ] en. (a) Determine los estados inicial y final ( (b) Calcule el trabajo producido. (c) Halle el calor consumido. (d) Encuentre la entropía generada. ). Calcule la masa de gas contenida. (a) Con la ecuación de estado se halla los volúmenes específicos y la temperatura del estado 2: Con esto se tiene definido el estado 1. Ahora para calcular el volumen ocupado por el gas en el estado 2: } La constante es
Con esto se tiene el estado 2 faltaría calcular la temperatura Sustituyendo valores Resolviendo para se tiene que (b) Calculando el trabajo sustituyendo (c) El calor se halla a partir del balance de energía en un sistema cerrado: Primero se halla el cambio en la energía interna por relaciones termodinámicas ( ) Falta calcular la expresión para el calor específico de gas real Sustituyendo
( ) 2 1 I En este sentido se separa la integral de la entropía en dos integrales con caminos isobáricos e isotérmicos respectivamente: Proceso del estado 1 a un estado intermedio Proceso del estado intermedio al estado 2 Proceso del estado 1 al estado 2 Donde Sustituyendo expresiones ( ) Simplificando para integrar
Sustituyendo valores se obtiene que la diferencia de entalpías es } (d) La entropía generada se halla a partir de la segunda ley de la termodinámica La diferencia de entropía entre los estados 2 y 1 se encuentra a partir de relaciones termodinámicas Integrando por el mismo camino isobárico-isotérmico que se usó para calcular la diferencia de entalpías se tiene que Sustituyendo valores se obtiene que la diferencia de entropías es La entropía generada es
PROBLEMA 8. Expansión isobárica de una sustancia incompresible Un kilogramo de aluminio se calienta a presión atmosférica desde 22 hasta 44 C. Determine el: (a) Cambio de volumen experimentado. (b) Trabajo producido. (c) Calor intercambiado. (d) Cambio en su energía interna y cambio de entropía. Datos adicionales:,. Densidad del aluminio = 2700 kg/m 3 a 22 C y 1 atm Calor específico: [ ] Para un líquido la relación termodinámica para el volumen específico es Para una expansión isobárica, la presión es constante y por lo tanto anterior se reduce a y la expresión ( ) Sustituyendo valores Trabajo: El trabajo viene dado por Cambio de entalpía: A partir de la relación termodinámica para la entalpía
( ) Integrando la expresión anterior Sustituyendo valores Calor: Cambio de entropía: La relación termodinámica general para la entropía es Combinando las dos ecuaciones obtenidas anteriormente
PROBLEMA 9. Proceso isocórico en una sustancia incompresible Se tiene aluminio a 20 C y 1 atm, experimentando un proceso isocórico hasta alcanzar 20 atm. Calcule: (a) Los estados inicial y final. (b) El calor transferido. Datos adicionales:,. Densidad del aluminio = 2700 kg/m 3 a 22 C y 1 atm Calor específico: En un proceso isocórico el cambio en el volumen es cero, se tiene que Con esto se despeja el incremento de temperatura en el proceso (a) Y se tiene la temperatura del estado final (b) Para calcular el calor transferido, primero se calcula la diferencia de energía interna ( ) En un proceso isocórico y la expresión anterior se reduce a De la diferencia de calores específicos en un fluido incompresible Por lo que y el calor transferido por kmol de aluminio es
PROBLEMA 10 Si la energía interna es considerada como función de T y P, la capacidad calorífica natural sería Desarrolle las siguientes expresiones que relacionan dicha capacidad con y Poniendo el volumen específico como función de : Expresando la energía interna como función de ( anterior ) y luego sustituyendo la expresión ( ) Agrupando términos en factores comunes de y ( ) Luego, por otro lado, expresando la energía interna como función de : Igualando las dos últimas expresiones ( ) Igualando término a término Como Por lo que se tiene que
( ) ( ) ( ) Además considerando la relación de calores específicos (deducida en el PROBLEMA 2) Así se tiene que