MÉTODOS NUMÉRICOS DE LA

SEMINARIOS DE MODELACIÓN COMPUTACIONAL MÉTODOS NUMÉRICOS DE LA MODELACIÓN COMPUTACIONAL MARTÍN N DÍAZD, IGEOF-UNAM, MEXICO 1

Contenido Etapas de la Modelación Computacional Métodos Numéricos Método de Trefftz-Herrera 2

Etapas de la Modelación Matemática y Computacional Modelación Matemática Modelación Numérica Modelación Computacional 3

Modelación Matemática Problema (Ciencia o Ingeniería) Ejemplos: Acuífero, Yacimiento Petrolero, Atmósfera Mecánica los Sistemas Continuos (Ecuaciones de Balance + Leyes Constitutivas) Modelo Matemático (Sistema de Ecuaciones Diferenciales) 4

Modelación Numérica Modelo Matemático (Sistema de Ecuaciones Diferenciales) Métodos Numéricos (Discretización de las Ecuaciones Diferenciales) Modelo Numérico (Sistema de Ecuaciones Algebricas) 5

Modelación Computacional Modelo Numérico (Sistema de Ecuaciones Algebraicas) Implementación Computacional (Programación en un Lenguaje de Cómputo) Modelo Computacional (Paquete de Programas) 6

Modelación Matemática y Computacional Problema Ciencia, Ingeniería Modelación Matemática Modelación Matemática Enfoque macroscópico determinista Ecuaciones Diferenciales (ED s), Solución Numérica Implementación del Modelo Numérico Modelación Computacional Método Numérico SW disponible Discretización de las ED s 7

Métodos Numéricos Interpolación y Aproximación Integración y diferenciación numérica Álgebra Numérica Métodos Numéricos para Ecuaciones Diferenciales 8

Métodos Numéricos de Ecuaciones Diferenciales Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (ODE) Euler, Runge-Kutta Milne (Predictor-Corrector) Ecuaciones Diferenciales Parciales (PDE) Métodos de Diferencias Finitas Métodos de Elementos Finitos Métodos de Colocación Métodos de Descomposición de Dominio 9

Métodos de Diferencias Finitas Dada una malla, las derivadas parciales de una PDE son aproximadas localmente en puntos discretos (nodos de la malla) a partir de la interpolación polinomial de los valores de la solución en los nodos vecinos. Simple y fácil de implementar Matrices ralas y bien estructuradas Solución sólo en los nodos Dominios y Mallas regulares 10

Métodos de Elementos Finitos La solución aproximada se obtiene como una proyección en cierto espacio de funciones (bases) cuyo error se hace mínimo en el sentido de los residuos pesados. Solución en todo el dominio Se adapta a Dominios y Mallas irregulares Mas sofisticado: integración numérica Matrices ralas pero no necesariamente bien estructuradas 11

Métodos de Colocación Consiste en buscar una solución aproximada que satisfaga a la ecuación diferencial en ciertos puntos, los cuales se eligen de manera que hagan mínimo el error de la aproximación. Mas simple que el Método de Elementos Finitos Solución en todo el dominio Matrices ralas pero no bien estructuradas No se adapta a Dominios y Mallas irregulares 12

Métodos de Descomposición de Dominio Métodos FETI Métodos Mortar Métodos de Schwarz Método de Substructuring Método de Trefftz-Herrera 13

Métodos de Descomposición de Dominio Estrategia: Divide y vencerás Problema Global Problemas Locales

MÉTODO DE TREFFTZ-HERRERA 15

ANTECEDENTES MÉTODO DE TREFFTZ-HERRERA Introducido por Herrera en 1985 como LAM (Localized Adjoint Methods) Teoría Algebraica para Problemas de Valores de Frontera del mismo autor. Procedimientos numéricos como ELLAM (Eulerian-Lagrangian LAM), 16

NOTACION Σ Ω Ω i Ω 17

Ejemplo: Espacios de Funciones ˆ 1... E ( Ω) ( Ω ) ( Ω ) D D D H Funciones Bases Funciones de Peso s ( Ω ) H s ( Ω ) 1... E ˆ 1 1 1... 1 E ( Ω) ( Ω ) ( Ω ) D D D ˆ 2 2 1... 2 E ( Ω) ( Ω ) ( Ω ) D D D 18

Problema de Frontera con Saltos Prescritos (BVPJ) Consiste en buscar una función u D ˆ 1 ( Ω), tal que satisfaga: L B J L ( ) u= u f ; en i= 1,..., E Ω B Ω (,) u = ( u,) g ; en Ω J (,) u = ( u,) j ; en Σ Σ uω, u y uσ son funciones dadas de D ˆ 1 ( Ω), que definen los datos del problema. Ω i 19

ESTRATEGIA GENERAL MÉTODO TREFFTZ-HERRERA Obtener suficiente información n en Σ que defina Problemas Locales bien planteados en Ω i 20

OBSERVACIÓN Cuando el Método de los Residuos Pesados es aplicado, la información contenida en la solución aproximada está determinada por las funciones de peso 21

IDEA BASICA DEL MÉTODO TREFFTZ-HERRERA Desarrollar funciones de peso especiales que produzcan la información n buscada en Σ, exclusivamente. 22

SE REQUIEREN LAS FORMULAS DE GREEN-HERRERA (1985) Son fórmulas de Green para operadores en campos discontinuos. 23

Fórmulas de Green-Herrera Por definición un operador diferencial y su adjunto formal deben satisfacer la siguiente condición: D ( uw, ) u D ˆ 1 ( Ω) w D ˆ ( Ω) 2 es una función bilineal vectorial apropiada, espacio de las funciones bases, espacio de las funciones de peso. { D( )} wlu ul* w= u, w 24

Fórmulas de Green-Herrera Si integramos la ecuación anterior y aplicamos el teorema generalizado de la divergencia se obtiene que: E i= 1 i w L u u L * w dx = D u, w ndx D u, w ndx { } ( ) ( ) Ω Ω Σ [] v v+ v ; v v + v es el salto una función v ( ) 2; + es el promedio de v 25

Fórmulas de Green-Herrera Un procedimiento estándar para construir las fórmulas de Green es descomponiendo la función bilineal D( uw, ) in Esta descomposición tiene la forma general siguiente: D uw, n= B uw, C * uw, ( ) ( ) ( ) B ( ) ( ) Donde uw, y C* uw, son dos funciones bilineales definidas en Ω. B ( uw, ) incluye los valores prescritos de frontera C* ( uw, ) depende de los valores complementarios (no prescritos) de frontera 26

Fórmulas de Green-Herrera De manera análoga se procede para la descomposición de la función bilineal D( uw, ) n, resultando: D uw, n= J uw, K * uw, ( ) ( ) ( ) J ( ) ( ) Donde uw, y K* uw, son dos funciones bilineales definidas en Σ. J ( uw, ) incluye los saltos de u y de sus derivadas, K* ( uw, ) los promedios de u y de sus derivadas. 27

Fórmulas de Green-Herrera Al introducir en la ecuación inicial las descomposiciones anteriores, resulta entonces la siguiente fórmula de Green- Herrera : E i= 1 E i= 1 i wludx B( u, w) dx J( u, w) dx = Ω Ω Σ = ul * wdx C*( u, w) dx K*( u, w) dx Ω Ω Σ i 28

Fórmulas de Green-Herrera Si introducimos la siguiente notación: E Pu, w = wludx, Q* u, w = ul* wdx, Ωi i= 1 i= 1 Bu, w = B( uwdx, ), C* uw, = C*( uwdx, ), Ω Ju, w = J( uwdx, ), K* uw, = K*( uwdx, ) Σ entonces se puede escribir la ecuación anterior como: E Ω Σ Ω i P B J u, w = Q* C* K* u, w ; ( ) ( ) u Dˆ ( Ω) w Dˆ ( Ω) 1 2 Fórmula de Green-Herrera para operadores en campos discontinuos. 29

DOS FORMULACIONES VARIACIONALES DEL BVPJ 30

Si definimos los siguientes funcionales f, g y j como: f, w Pu, w ; w Dˆ ( Ω) Ω gw, Bu, w; w Dˆ ( Ω) jw, Ju, w; w Dˆ ( Ω) Σ Entonces una formulación débil del BVPJ se puede escribir como: Pu = f ; Bu = g; Ju = j; 2 2 2 31

Formulaciones Variacionales de BVPJ En términos de los DATOS DEL PROBLEMA P B J u, w = f g j, w ; w D ˆ ( Ω) ( ) 2 En términos de la INFORMACIÓN COMPLEMENTARIA Q C K * u, w = f g j, w ; w D ˆ ( Ω) ( ) 2 32

Formulación Trefftz-Herrera Un procedimiento de Trefftz-Herrera para descomposición de dominio se puede derivar a partir de la formulación variacional en términos de la información complementaria tomando funciones de peso especiales, tales que satisfagan que Qw = 0 y Cw = 0 resultando: < K* u, w>=< f g j, w> ; w N N Dˆ ( Ω ) Q de tal manera que queda concentrada la información buscada en términos de la información en Σ exclusivamente. C 2 33

Formulación Trefftz-Herrera Generalmente uno está interesado sólo en parte de la información contenida en K * u, de manera que resulta útil introducir la siguiente descomposición: S K* S* + R*; S* u donde se toma de manera tal que sea precisamente la información buscada y R* u contenga el resto. Entonces resulta una formulación variacional en términos de la información buscada < S* u, w>=< f g j, w> ; w N N N Dˆ ( Ω) Q C R 2 34

Sistemas de Funciones TH-Completos La aplicación de los métodos de Trefftz requieren disponer de sistemas de funciones los cuales sean completos. Un criterio de completez el cuál ha permitido la aplicación del enfoque teórico de funciones como un medio efectivo para la solución de problemas de contorno es debido a Herrera (1980). Aquí nos referiremos a ella como TH (Trefftz-Herrera) completez, la cual también se conoce como C-completez o T- completez. 35

Formulación Trefftz-Herrera de la Descomposición de Dominio Teorema: Sea E NQ NC NR un sistema de funciones de peso TH-completo para S * y supongamos que exista una solución u del BVPJ. Entonces, una condición necesaria y suficiente para que uˆ Dˆ 1( Ω) contenga la información buscada es que satisfaga < S* uˆ, w>=< f g j, w> ; w E 36

Construcción de Sistemas TH-Completos Métodos Analíticos Soluciones fundamentales y métodos espectrales Métodos Numéricos Más general Ejemplo: Colocación Como son Sistemas Infinitos se necesita truncarlos Se procede de manera análoga a los métodos de elementos finitos donde las funciones base y de peso se construyen para polinomios hasta un cierto grado. 37

EJEMPLO DE LA APLICACIÓN DEL MÉTODO DE TREFFTZ-HERRERA ECUACIÓN ELÍPTICA DE SEGUNDO ORDEN 38

Procedimiento Trefftz-Herrera BVPJ Modelo : (Ecuación Elíptica General de Segundo Orden) Ecuación diferencial Lu ( a u) + ( bu) + cu = f ; en Ω Condiciones de frontera Condiciones de salto u = u ; en Ω [ ] 0 1 u ai uin = j ; = j ; e n Σ Σ Σ Ω 39

Procedimiento Trefftz-Herrera Operador Adjunto L * Función bilineal vectorial D Condiciones de frontera w ( a w) b w+ cw uw, = a u w w u + buw; ( ) ( ) B C ( ) = ( + ) n uw, na w bwu; *, ; ( uw) = wna ( u) 40

Procedimiento Trefftz-Herrera Condiciones de salto J K ( ) [ ]( ) n ( u w) = u n a w+ b [ ]( ) nw w n a u Descomposición. uw, = u na w+ bw+ w na u ; *, ; J uw, = J uw, + J uw, ; ( ) 0( ) 1( ) K * uw, = K * uw, + K * uw, ; ( ) 0 ( ) 1 ( ). 41

Procedimiento Trefftz-Herrera Procedimiento TH: Si S K 0 y R K 1 entonces resulta un procedimiento con subdominios yuxtapuestos: < K 0 * u, w>=< f g j, w> ; w E donde E NQ NC NK 1 ˆ 2 N = w H ( Ω ): L * w= 0, en Ω ; Q { } 1 { 2 H } { 2 H [ ] } N = w ˆ ( Ω ): w= 0, en Ω ; C N = w ˆ ( Ω ): w = 0, en Σ ; K 42

Procedimiento Trefftz-Herrera Retomando la ecuación de TH y sustituyendo las expresiones de los funcionales f, g y j que de acuerdo al problema toman la forma siguiente: Resulta: ( ) n ( ) f, w = wf d x; g, w = u a w + bw nd x; Ω Ω i 0 1, = + + ; j w j n a w b w d x j wd x Σ i 0( ) 1 j n a w bn w dx j wdx ; w Σ Ω n Ω Σ Ω Ω Σ ( ) u n a w+ b w dx= wf dx u n a w dx + + E Σ 43

Construcción de las Funciones de Peso Consideraremos una partición rectangular del dominio Ω y analizaremos el caso con subregiones yuxtapuestas. y Σ Ẹ Ω. Ω ij. y 1 y 0 x 0 x 1... x E 44

Construcción de las Funciones de Peso Ω ( x, ) i yj Subregión ij asociada con el nodo. Σ ij Ω ij II Ω ij 3 III Ω ij 2 ( x, ) i yj 4 I Ω ij 1 IV Ω ij 45

Construcción de las Funciones de Peso Entonces, en cada subregión se construye un sistema de funciones que sean continuas, se anulen en la frontera y satisfagan la ecuación adjunta homogénea L * w = 0. Usando la numeración arriba introducida en Σ ij se pueden construir cinco grupos de funciones de peso asociadas con cada nodo x, y. ( i j) Grupo 0.- Este grupo está formado por una sola función la cual es lineal en cada una de las cuatro fronteras interiores Σ ij y toma el valor uno, en el nodo x, y. ( i j) µ " " µ Σ ij Grupo.- La restricción al intervalo, de es, cuanto más, un polinomio de grado "G", el cual se anula en los extremos del intervalo " µ ". Donde µ = 1,..., 4 46

Construcción de las Funciones de Peso Estas se caracterizan w 0 w 1 w 2 w 3 w 4 47

Construcción de las Funciones de Peso Funciones de Peso Lineales Para el caso de funciones de peso lineales en Σ ij tenemos una sola función de peso definida en la subregión Ω ij asociada a cada nodo interior, cuya expresión es: 4 0 0 α α λ w x y = B x y + C N x y x y Ω ij ij ij ij ij λ = I IV (, ) (, ) (, ); (, ) ;,...,. Donde en (, ) x y Ω ij ( xi, y j) α = 1 I ( ( ) ) ( ) ( ) 0 B x y = x x h y y h ij i x j y (, ) 1 1 ; 1 1 1 2 1 1 N x y = H x H y N x y = H x H y ij i j ij i + 1 j (, ) ( ) ( ); (, ) ( ) ( ); 3 1 1 4 1 1 N x y = H x H y N x y = H x H y ij i j + 1 ij i + 1 j + 1 (, ) ( ) ( ); (, ) ( ) ( ); 48

Construcción de las Funciones de Peso Una manera eficiente de construir las funciones de peso es usando el método de colocación. Como las funciones de peso deben ser soluciones del operador adjunto homogéneo, aplicando colocación resulta: L * ( p p) 0 w x y p ij, = 0; = 1,..., 4 Sustituyendo la expresión de las funciones de peso y evaluando en los puntos de colocación se obtiene: 4 C L * N x y L * B x y p α = 1 α α p p 0 p p (, ) = (, ); = 1,..., 4. ij ij ij El sistema de ecuaciones es de dimensión 4 x 4 y se resuelve para cada nodo interior y para cada cuadrante λ = I,..., IV 49

Construcción de las Funciones de Peso Funciones de Peso Cúbicas En este caso tenemos tres funciones de peso asociadas con cada nodo interior xi, y j, cuya expresión es: 4 µ µ α α λ w ( x, y) = B ( x, y) + C N ( x, y); ( x, y) Ω ; ij ij ij ij ij µ = 0,1, 2; λ = 1,..., 4. Donde ( ) α = 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) B ( x, y) = H x H y, B ( x, y) = H x H y y 0 0 0 1 1 0 ij i j ij i j B ( x, y) = H x H y ; λ = 1,..., 4 2 0 1 ij i j De modo análogo al caso lineal, las funciones de peso cúbicas se construyen aplicando el método de colocación. 50

COMPARACIÓN DE LOS MÉTODOS DE COLOCACIÓN CARACTE- RÍSTICAS OPERADOR DIFERENCIAL COLOCATION CONVENCIONAL COLOCATION TREFFTZ- HERRERA POSITIVO DEFINIDO Y SIMÉTRICO MATRIZ NO ES POSITIVA DEFINIDA NI SIMÉTRICA POSITIVA DEFINIDA Y SIMÉTRICA 51

COMPARACIÓN DE LOS MÉTODOS DE COLOCACIÓN CARACTE- RÍSTICAS GRADOS DE LIBERTAD COLOCATION CONVENCIONAL 1-D 2 2-D 4 3-D 8 COLOCATION TREFFTZ- HERRERA 1-D 1 2-D 1 3-D 1 ES UNA REDUCCIÓN DRÁSTICA!!! 52

RANGO DE APLICACIÓN Aplicable a cualquier BVPJ con - Una ecuación diferencial lineal - Sistema de PDEs lineales 53

Conclusiones Problema de Contorno con Saltos Prescritos La teoría de Trefftz-Herrera nos permite introducir de manera natural funciones discontinuas en la aproximación de la solución y tratar de manera sistemática los problemas con coeficientes discontinuos. Colocación Trefftz-Herrera Exhibe las siguientes ventajas sobre el método convencional: 1. Matrices mejor estructuradas (positiva definida y simétricas ) 2. Reduce el número de grados de libertad ( puede se uno para cualquier dimensión) 3. Órdenes experimentales y teóricos del error de la 4 2 aproximación similares ( -cúbicas, -lineales) O( h ) O( h ) 54

EL MÉTODO DE TREFFTZ-HERRERA Es una teoría elegante, general y sistemática la cual resulta muy efectiva tanto como - Procedimiento de Discretización - Método de Descomposición de Dominio. 55