Práctica nº 1 El objetivo de esta práctica es que los alumnos aprendan a utilizar los conceptos de teoría de errores adquiridos en el tema 2 relativos a medidas pesadas y ponderadas. En esta práctica los alumnos deberán afianzar los conocimientos sobre el cálculo de errores. Media ponderada y peso Como sabemos, la media es el valor más probable de una serie de medidas siempre que hayan sido realizadas con la misma precisión. Sin embargo, en el caso de que las medidas se realicen con distintas precisiones, a consecuencia de utilizar diferentes aparatos, habrá que aplicar la media ponderada. En el primer caso, el valor más probable será: Mientras que en el segundo es: VMP = ( m i ) / n VMP = ( p i mi) / p i Siendo p i el peso de cada valor m i, sabiendo que los pesos son inversamente proporcionales a los cuadrados de la desviación estándar de la media s m. Ejemplo 1 Calcular la media ponderada de un ángulo medido con diferentes aparatos sabiendo que los resultados obtenidos son los siguientes: Solución Aparato Medidas realizadas Valores obtenidos e m c = s A 5 144º 22 57,9 ± 2 B 4 144º 22 58,8 ± 4 C 15 144º 22 59,4 ± 3 La desviación estándar de la media y sus respectivos pesos serían: Aparato s m Peso Peso = 1* A 2 / (5) 0,5 = 0,894 1 / (s ma ) 2 = 5 / 4 4 (5 / 4) = 5** B 4 / (4) 0,5 = 2 1 / (s mb ) 2 = 1 / 4 4 (1 / 4) = 1 C 3 / (15) 0,5 = 0,775 1 / (s mc ) 2 = 5 / 3 4 (5 / 3) = 6,7*** Nota: * = Igualamos uno de los pesos a 1; ** = El aparato A es 5 veces más preciso que el B; *** = El aparato C es 6,7 veces más preciso que el B.
El valor pedido de la media ponderada correspondiente a los segundos de cada valor angular, a consecuencia de ser iguales los grados y los minutos, es: VMP = [{(57,9 5) + (58,8) 1 + (59,4) 6,7} / {5 + 1 + 6,7}] = 58,8 O lo que es lo mismo: VMP = 144º 22 58,8 Ejemplo 2 (ejercicio del examen final del primer parcial realizado el 02/07/2012) Mediante técnicas fotogramétricas, y sobre fotografías aéreas, se ha podido determinar la diferencia de altura entre picos de una cadena de montañas, obteniéndose los siguientes resultados: Diferencia de altura (m) Peso de la medida Desde Pico A al Pico B 43,2 1 Desde Pico B al Pico C 31,7 1 Desde Pico C al Pico D 25,9 1 Desde Pico D al Pico A -100,4 1 Desde Pico B al Pico D 56,8 2 Sabiendo que la altura real del Pico A es de 1.343,1 metros, calcular la altura de los restantes Picos que conforman la cadena de montañas si debe cumplirse que: Solución F = Peso i (residuo i ) 2 sea un mínimo; con i = 1, 2, 3, 4, 5. Analizando el enunciado observamos varias cosas interesantes. En primer lugar, en cuanto al número de variables se refiere, vemos que tenemos un total de dos, a saber, altura real (que indicaremos con letra mayúscula) y diferencia de altura (que denotaremos con letra minúscula). Según esto, y dado que nos dan como dato la altura real al punto A, así como la diferencia de altitud a éste u otro punto, podemos escribir: A = A + a que, a consecuencia de que la diferencia de altura de A a A es cero, queda como A = A. B = A + b // C = A + c // D = A + d // A = D d // D = B + c - b. En segundo lugar, y mediante la aplicación de la teoría de errores, sabemos que el residuo e i o r i es igual a la diferencia entre el valor más probable de la medida VMP i y el propio valor de la medida m i, esto es: e i = r i = VMP i - m i. Sin embargo observamos en la tabla de datos expuesta al principio del problema, que sólo tenemos una medida de diferencia de altura cada dos puntos, motivo éste que hace que tengamos que considerar cada uno de dichos valores como el VMP de cada uno de
los diferentes residuos existentes. Es por ello que el valor a calcular, en primera instancia, será el correspondiente al incremento de altitud (que coincide con el valor de m i de cada residuo). Dicho valor m i, con i = 1,.., 5 (ya que tengo cinco filas de datos), vendrá expresado de la siguiente forma: m 1 = b a como a = 0 m 1 = b. m 2 = c b // m 3 = d c // m 5 = d b. m 4 = a d como el incremento de altitud es negativo, y con el fin de que todos los valores calculados salgan positivos, es equivalente a decir m 4 = d a = d. De esta manera, en este tipo de ejercicios, bastará con plantear las ecuaciones de los residuos, las cuales quedarían como sigue teniendo presente lo indicado líneas arriba: r 1 = 43,2 b // r 2 = 31,7 (c b) // r 3 = 25,9 (d c) // r 4 = 100,4 d // r 5 = 56,8 (d b) Posteriormente, y con el fin de facilitar el cálculo, se realiza una simple tabla con los datos procedentes de las ecuaciones de residuos, así como con el peso correspondiente a cada valor de incremento de altitud: Peso b c d Término ind. 1-1 43,2 1 1-1 31,7 1 1-1 25,9 1-1 100,4 2 1-1 56,8 Llegados a este punto se obtienen las ecuaciones normales siguiendo los pasos especificados a continuación: 1) Para cada incógnita (b, c y d en nuestro caso) y siempre por filas, se multiplica el peso y el coeficiente de dicha incógnita por cada uno de los valores de la fila distintos de cero. En el presente ejercicio, la incógnita b aparece tres veces con valores no nulos, por lo que: 1 (-1) (-1) b + 1 (-1) 43,2 = 0 para la primera fila. 1 1 1 b + 1 1 (-1) c + 1 1 31,7 = 0 para la segunda fila. 2 1 1 b + 2 1 (-1) d + 2 1 56,8 = 0 para la tercera fila. 2) Se suman las ecuaciones obtenidas para la incógnita especificada, siendo el resultado del paso anterior, tras simplificar, el que sigue: 4b c 2d + 102,1 = 0 esta es la primera ecuación normal.
3) Se hace lo mismo para el resto de las incógnitas, obteniéndose las otras dos ecuaciones normales: - b + 2c d 5,8 = 0 esta es la segunda ecuación normal. -2b c + 4d 239,9 =0 esta es la tercera ecuación normal. Una vez obtenidas las ecuaciones normales, procederemos a resolver el sistema de ecuaciones: 1ª ecuación 4b c 2d + 102,1 = 0 2ª ecuación - b + 2c d 5,8 = 0 3ª ecuación -2b c + 4d 239,9 =0 Para su resolución, podemos despejar b de la 2ª ecuación: b = 2c d 5,8 Sustituyendo dicho término en la 1ª y 3ª ecuación obtenemos: 1ª ecuación 8c 4d - 23,2 c 2d + 102,1 = 0 = 7c 6d + 78,9 3ª ecuación -4c + 2d + 11,6 c + 4d 239,9 = 0 = -5c + 6d 228,3 Si restamos ambas ecuaciones nos queda: 0 = 2c 149,4 c = 74,7 m. Sustituyendo ahora dicho valor en la 1ª ecuación: 0 = 7c 6d + 78,9 0 = -6d + 601,8 d = 100,3 m. Y, por último, sustituyendo c y d en b = 2c d 5,8 : b = 149,4 100,3 5,8 b = 43,3 m. Según esto, las alturas reales de cada uno de los puntos serán, mediante la aplicación de las ecuaciones expuestas al principio del ejercicio, las siguientes: A = A = 1.343,1 m. (dato). B = A + b = 1.343,1 + 43,3 = 1.386,4 m. C = A + c = 1.343,1 + 74,7 = 1.417,8 m. RESULTADO D = A + d = 1.343,1 + 100,3 = 1.443,4 m. A = D d = 1.443,4 100,3 = 1.343,1 m. (dato). D = B + c b = 1.386,4 + 74,7 43,3 = 1.417,8 m.
Además, en este momento, y no antes (ya que teníamos que calcular el valor de cada diferencia de altitud), podemos calcular los residuos correspondientes a cada una de las cinco medidas realizadas, y que como podemos observar son, en este caso, distintos de cero: r 1 = 43,2 b = 43,2 43,3 = -0,1 m. r 2 = 31,7 (c b) = 31,7 (74,7 43,3) = 0,3 m. r 3 = 25,9 (d c) = 25,9 (100,3 74,7) = 0,3 m. r 4 = 100,4 d = 100,4 100,3 = 0,1 m. r 5 = 56,8 (d b) = 56,8 (100,3 43,3) = -0,2 m. Tras finalizar el ejercicio, y tal como se ha visto en clase de teoría, podemos llegar a las siguientes conclusiones: a) En topografía es muy difícil obtener el valor exacto de una medida a consecuencia de los errores presentes en los propios instrumentos topográficos. Lógicamente éstos se pueden ver incrementados por otros tipos de errores, motivo por lo que habrá que tomar las medidas oportunas para que la medición se realice en aquellas condiciones que los minimicen. b) A consecuencia de lo anterior podemos decir que el residuo de una medida no tiene por qué ser cero, pudiendo ser una barbaridad realizar tal consideración en función, entre otros motivos, del tipo de instrumento utilizado para medir. En el caso que nos ocupa, si se hubiese considerado que los residuos son nulos, sin tener además presente la precisión de la medida efectuada a través del peso, los resultados hubieran sido: r 1 = 43,2 b = 0 b = 43,2 m. B = A + b = 1.386,4 m. r 2 = 31,7 (c b) = 0 c = 74,9 m. C = A + c = 1.418 m. r 3 = 25,9 (d c) = 0 d = 100,8 m. D = A + d = 1443,9 m. aparentemente correctos, pero lógicamente carentes de precisión (pudiéndose pensar incluso que se podido producir una manipulación de los datos), sobre todo si se nos encarga su cálculo de cara a la realización de grandes obras civiles. Las personas que hagan esta consideración bien no han comprendido la teoría de errores explicada en la clase de teoría, o bien no se la han leído. La diferencia entre precisión y exactitud, especificada en clase, es muy importante en el presente problema. Por último hay que especificar, y hacer especial hincapié, en la gran diferencia que existe entre éste tipo de ejercicios en los que tengo sólo una medida (VMP) procedente de un trabajo anterior, y para poder calcular el residuo necesito aplicar pesos en función de la precisión de cada una de las medidas efectuadas (a mayor precisión más peso) con el fin de obtener el valor propio de la medida, y, el tipo de ejercicio a realizar en la práctica nº 2, en donde, sin tener ninguna medida, se miden (de forma directa o indirecta) varias veces cada uno de los valores
pertenecientes a una misma alineación o ángulo, se calcula su VMP y, a posteriori, el residuo a través de la ecuación e i = r i = VMP i - m i. Bibliografía para saber más (ambos libros en biblioteca de la ETSIA) Chueca Pazos, M.; Herráez, J.; Verné Valero, J.L. (1996). Tratado de topografía. Tomo I: teoría de errores e instrumentación. Ediciones Paraninfo S.A. Wolf, P.R.; Ghilani, C.D. (2006). Elementary Surveying: An Introduction to Geomatics. Eleventh edition. Pearson Prentice Hall, New Jersey.