INSTRUCCIONES GENERALES Y VALORACIÓN INSTRUCCIONES: Escoja entre una de las dos opciones A o B. Lea con atención y detenimiento los enunciados de las cuestiones y responda de manera razonada a los puntos concretos que se preguntan en la opción elegida. DURACIÓN: 90 minutos. CALIFICACIÓN: Se indica en cada apartado. OPCIÓN A Dado el sistema: ax + 3y z = a x + ay + z = 1} 2x 3y + z = a a) (1,5 Puntos). Discuta, en función del parámetro a, cuándo es compatible determinado, compatible indeterminado o incompatible. b) (1 Punto). Resuélvalo en el caso de que a sea igual a 1. Un transportista distribuye paquetes de dos tipos: A y B. Los del tipo A pesan 20 kg cada uno y tienen un volumen de 25 dm³; los del tipo B pesan 25 kg cada uno y ocupan 40 dm 3. El peso máximo que puede transportar en cada viaje es 550 kg y el espacio del que dispone en su vehículo para el transporte es de 775 dm³. a) (1 Punto). Escriba las inecuaciones lineales que describen la situación. b) (1,5 Puntos). Si por cada paquete que entrega de tipo A cobra 7 euros y, si es del tipo B, 10 euros, cuántos paquetes por viaje tiene que transportar de cada tipo para que el beneficio sea máximo? A cuánto asciende ese beneficio? a) (1,75 Puntos). Determine el valor que ha de tomar el parámetro a para que la recta tangente a la gráfica de la función: f(x) = x2 +a + lnx x 2 a en el punto de abscisa x = 1, tenga de pendiente 2. b) (0,75 Puntos). Halle la ecuación de la recta tangente a esa función en el punto x = 1 para el valor de a obtenido anteriormente. Una asignatura tiene tres partes, que constan, respectivamente, de 5, 7 y 8 temas. Un estudiante se va a examinar de esa asignatura, pero solo sabe un tema de cada una de sus partes. La profesora elige al azar una de las tres partes y, de ella, escoge un tema, también al azar. a) (1 Punto). Cuál es la probabilidad de que el alumno sepa el tema que ha salido? b) (0,5 Puntos). Qué probabilidad hay de que haya sido elegida la parte tercera y el estudiante no sepa el tema que ha salido? c) (1 Punto). Si el alumno sabe el tema elegido, cuál es la probabilidad de que el tema sea de la parte primera?
OPCIÓN B Se considera el sistema: x 5 + y 2 z 3 = 1 x 2y + 11z = 0 } 2 5 10 x + y z = 0 a) (1 Punto). Estudie si es compatible determinado, compatible indeterminado o incompatible. b) (1,5 Puntos). En el caso de que sea compatible, resuélvalo. Se considera la función: x 2, x < 0 f(x) = { 0, 0 x 1 x 1, x > 1 a) (1,25 Puntos). Estudie su continuidad. b) (1,25 Puntos). Estudie su derivabilidad. Dada la función f(x) = 3x 3 6x² + 3x: a) (0,5 Puntos). Halle las coordenadas de los puntos de corte con los ejes. b) (1,5 Puntos). Halle las coordenadas de los máximos, mínimos y puntos de inflexión, si existen. c) (0,5 Puntos). Haga un dibujo aproximado de la gráfica de la función. El sueldo mensual de los trabajadores de una empresa se puede aproximar por una variable aleatoria con distribución normal de media y desviación típica 80 euros. a) (1,25 Puntos). Se eligen al azar 64 trabajadores y resulta que su sueldo medio mensual es de 1050 euros. Determine un intervalo de confianza para con un nivel de confianza del 90%. b) (1,25 Puntos). Cuál debe ser el tamaño mínimo de la muestra para que el error de estimación de no supere 40 euros, con un nivel de confianza del 99%?
CRITERIOS ESPECÍFICOS DE CORRECCIÓN OPCIÓN A Apartado a). Planteamiento: 0,75 puntos. Resolución: 0,75 puntos. Apartado b). Resolución correcta: 1 punto. Apartado a). Ordenación de los datos e introducción de las variables: 0,25 puntos. Planteamiento de las inecuaciones: 0,75 puntos. Apartado b). Planteamiento: 0,75 puntos. Resolución: 0,75 puntos. Apartado a). Cálculo correcto de f (x): 1 punto. Resolución del resto del apartado: 0,75 puntos. Apartado b) Planteamiento: 0,5 puntos. Resolución: 0,25 puntos. Apartado a). Planteamiento: 0,5 puntos. Resolución: 0,5 puntos. Apartado b). Planteamiento: 0,25 puntos. Resolución: 0,25 puntos. Apartado c). Planteamiento: 0,5 puntos. Resolución: 0,5 puntos. OPCIÓN B Apartado a). Planteamiento: 0,5 puntos. Resolución: 0,5 puntos. Apartado b). Resolución correcta: 1,5 puntos. Apartado a). Planteamiento: 0,5 puntos. Resolución: 0,75 puntos. Apartado b). Planteamiento: 0,5 puntos. Resolución: 0,75 puntos. Apartado a). Planteamiento: 0,25 puntos. Resolución: 0,25 puntos. Apartado b). Máximo: 0,5 puntos, mínimo: 0,5 puntos, punto de inflexión: 0,5 puntos. Apartado c). Dibujo de unos ejes de coordenadas y traslado al plano determinado de todos los elementos hallados en los apartados anteriores: 0,25 puntos. Dibujo de la gráfica: 0,25 puntos. Apartado a). Planteamiento: 0,75 puntos. Resolución: 0,5 puntos. Apartado b). Planteamiento: 0,75 puntos. Resolución: 0,5 puntos.
SOLUCIONES OPCIÓN A a 3 1 a 3 1 a a) A = ( 1 a 1 ), A* = ( 1 a 1 1 ), A = (a + 2)(a + 3). 2 3 1 2 3 1 a. a -2, -3, rango (A) = rango (A*) = 3. Compatible determinado.. a = -2, rango (A) = 2, rango (A*) = 3. Incompatible.. a = -3, rango (A) = 2, rango (A*) = 3. Incompatible. Nunca es compatible indeterminado. b) x = 2/3, y = 1/6, z = 1/6. a) Paquetes Nº de paquetes Peso Volumen A x 20 25 B y 25 40 b) Función objetivo: f(x,y) = 7x + 10y 20x + 25y 550 25x + 40y 775 x 0 y 0 20x+ 25y= 550 25x+ 40y= 775 } Vértices: O(0,0), M(0; 19,375), N(15, 10), P(27,5; 0) f(0,0) = 0, f(0; 19,375) = 193,75, f(15,10) = 205, f(27,5; 0) = 192,5 Tiene que transportar en cada viaje 15 paquetes tipo A y 10 paquetes tipo B. El beneficio por viaje asciende a 205 euros. a) f (x) = 4ax (x 2 a) 2 + 1 x ; en x = 1 : f (1) = 4a (1 a) 2 + 1 f (1) = 2 a = -1 b) f(x) = x2 1 + ln x. Recta tangente: y f(1) = f (1) (x-1) x 2 +1 f(1) = 0, f (1) = 2. Sustituyendo: y = 2x 2
A: parte 1, B: parte 2, C: parte 3, S: sabe el tema, S : no sabe el tema. a) P(S) = P(A) P(S/A) + P(B) P(S/B) + P(C) P(S/C) = 1 3 1 5 + 1 3 1 7 + 1 3 1 8 = 131 b) P(C y S ) = 1 3 7 8 = 7 24 c) P(A/S) = P(A) P(S/A) P(S) = 1 3 1 5 131 840 = 56 131 840
6x + 15y 10z = 30 a) Quitando denominadores: { 5x 4y 11z = 0 x + y z = 0 OPCIÓN B 6 15 10 6 A = ( 5 4 11), A * = ( 5 1 1 1 1 15 4 1 10 11 1 30 0 ), A 0 rango (A) = rango (A * ) =3 0 Sistema compatible determinado. b) La solución es x = 5, y = -2, z = 3. f es una función formada por trozos de funciones continuas y derivables en todos sus puntos. Las únicos puntos que hay que estudiar, pues, son x = 0 y x = 1. a) x = 0: lim f(x) = 0, lim f(x) = 0 lim f(x) = 0, f(0) = 0 : es continua en x = 0. x 0 x 0 + x 0 x = 1: lim f(x) = 0, lim f(x) = 0 lim f(x) = 0, f(1) = 0 : es continua en x = 1. x 1 x 1 + x 1 Por tanto, f es continua en todos sus puntos. b) x = 0: f (0) = ( 2x) x=0 = 0, f + (0) = 0 : f es derivable en x = 0. x = 1: f (1) = 0, f + (1) = 1 : f no es derivable en x = 1 Por tanto, f es derivable en todos sus puntos, salvo en x = 1. a) y = 3x(x-1)² Puntos de corte: (0,0), (1,0) b) y = 3(3x 2 4x+1), y = 3(6x-4), y = 18 y = 0 x = 1, x = 1/3 ; y (1) > 0, y (1/3)<0 : mínimo (1,0), máximo (1/3, 4/9) y = 0 x = 2/3, y (2/3) 0 : punto de inflexión (2/3, 2/9). c) a) I = (x z α/2 σ n, x + z α/2 σ n )
σ = 80, n = 64, x = 1050, z α/2 ~ 1,645. Sustituyendo: I = (1033,55 ; 1066,45) b) z α/2 σ 40, z n α/2 ~ 2,575, σ = 80 2,575 80 40, n 5,15, n 26,5225. El tamaño mínimo de la muestra debe ser 27. n
PROGRAMA OBJETIVOS: Comprensión de los conceptos matemáticos, sus ámbitos de uso y sus aplicaciones a problemas concretos. Manipulación y realización directa de cálculos. Utilización práctica de las herramientas matemáticas y estadísticas en el planteamiento y la resolución de problemas de contenido socio-económico. CONTENIDOS: 1. Álgebra: - Las matrices como expresión de tablas y grafos. Suma y producto de matrices. Interpretación del significado de las operaciones con matrices en la resolución de problemas extraídos de las ciencias sociales. - Inecuaciones lineales con una o dos incógnitas. Sistemas de inecuaciones. Programación lineal. Aplicaciones a la resolución de problemas sociales, económicos y demográficos. Interpretación de las soluciones. 2. Análisis: - Aproximación al concepto de límite a partir de la interpretación de la tendencia de una función. Concepto de continuidad. Interpretación de los diferentes tipos de discontinuidad y de las tendencias asintóticas en el tratamiento de la información. - Derivada de la función en un punto. Aproximación al concepto e interpretación geométrica. Aplicación de las derivadas al estudio de las propiedades locales de funciones habituales y a la resolución de problemas de optimización relacionados con las ciencias sociales y la economía. - Estudio y representación gráfica de una función polinómica o racional sencilla a partir de sus propiedades globales. 3. Probabilidad y estadística: - Profundización en los conceptos de probabilidades a priori y a posteriori, probabilidad compuesta, condicionada y total. Teorema de Bayes. - Implicaciones prácticas de los teoremas: Central del límite, de aproximación de la Binomial a la Normal y Ley de los Grandes Números. - Problemas relacionados con la elección de muestras. Condiciones de representatividad. Parámetros de una población. Distribuciones de probabilidad de las medias y proporciones muestrales. - Intervalo de confianza para el parámetro p de una distribución binomial y para la media de una distribución normal de desviación típica conocida. - Contraste de hipótesis para la proporción de una distribución binomial y para la media o diferencia de medias de distribuciones normales con desviación típica conocida.