1. Caso de anualidades vencidas Determine el valor de cada una de las cuotas mensuales iguales que cancelan un crédito por $20,000,000 y plazo de 1 año al 2% mensual. Solución con fórmulas: Primer paso: Se construye el diagrama teniendo en cuenta el modelo de la transacción. En este caso, por tratarse de un crédito, en el punto cero se registra flecha hacia arriba, representando ella la entrada que por el valor del crédito tendrá el beneficiario del mismo. Los pagos pactados o salidas de dinero del beneficiario, se representan con flechas hacia abajo. Al tratarse los pagos comprometidos, de valores uniformes y periódicos, se señalan en el gráfico con el símbolo A de la cuota uniforme centrado entre líneas horizontales. $20,000,000 0 1 2 11 12 (meses) 1 2 11 12 (número de la cuota) A Segundo paso: Al no existir restricción alguna por no ser refinanciación, para elegir fecha focal en el caso que nos ocupa, sólo se debe tener presente el destino que tendrían los valores de la anualidad dependiendo de la fórmula empleada. Así, sería recomendable el mes 12 como FF si se quisiera utilizar el FAV, mientras el punto cero sería el ideal si lo que se desea es trabajar con el PAV, cualquier elección generará el mismo resultado. Recuerde que el FAV traslada los valores de la anualidad hasta la fecha de vencimiento de la última de las cuotas, en tanto que el PAV los lleva un período antes del vencimiento de la primera. Para cumplir con este paso se tomará el punto 12. $20,000,000 FF 0 1 2 11 12 (meses) 1 2 11 12 (número de la cuota) A
Tercer paso: Este punto del proceso contempla cumplir con dos actividades de revisión a la tasa de interés; en la primera, se verifica si está efectiva, de encontrarse nominal se convertirá a efectiva; en la segunda, de ser necesario, se opera su periodicidad hasta hacerla correspondiente con la periodicidad de las cuotas. Esto último debido a que las fórmulas con las cuales se trasladan series de valores, exigen esa correspondencia; así, de ser las cuotas trimestrales, la tasa a emplear en la fórmula deberá ser trimestral. El ejercicio en solución presenta una tasa efectiva mensual por lo que no se hace necesaria conversión alguna: está efectiva y su periodicidad coincide con la de las cuotas. Cuarto paso: A esta altura del proceso, se plantea la ecuación de valor, igualando las entradas y las salidas en la fecha focal: Las salidas, representadas en la anualidad, se trasladan con el FAV y la entrada, dada por el monto del crédito, se lleva a la fecha focal como se llevan hacia la derecha los valores independientes, esto es, multiplicándolos por el factor. Se tiene entonces lo siguiente: A = Despejando, se llega a: A = = $1,891,191 Solución con las funciones de Excel: Para solucionar con funciones el caso planteado, se deben identificar, tanto las variables dadas como la variable incógnita. Se conocen VA, TASA y NPER, y se busca la variable PAGO que constituye el valor de la cuota uniforme. Se ingresa a la ventana INSERTAR FUNCIÓN O ARGUMENTOS DE FUNCIÓN por el icono de la barra de fórmulas (fx) o por el menú principal en insertar función, luego se elige entre las financieras la función PAGO. Se indica con click cada dirección donde se encuentran los valores de cada una de las variables conocidas, ignorándose los campos VF (utilizado para hallar PAGO a partir de un valor
futuro) y TIPO (variable lógica utilizada con el valor 1 para cuando los pagos se realizan anticipados) y se da aceptar. Al pulsar en aceptar, inmediatamente se muestra en la celda escogida para el cálculo la cantidad -$1,891,191.93, cantidad negativa debido a que representa un pago o una salida, que como ya se explicaba, Excel lo toma como valor negativo. Si se observa la formulación en la celda donde se realiza el cálculo esta indica: =PAGO(B57;B58;B56); que es otra forma de ejecutar el cálculo, expresando en orden: signo igual, nombre de la función, y entre paréntesis y separados con
punto y coma las direcciones de las variables conocidas en el orden en que las exige la ventana argumentos de función. Solución con tabla de amortización en Excel: Para darle solución con PICAS y con la función BUSCAR OBJETIVO, se procede a la formulación de las columnas así: PERÍODOS: Se registra desde el cero hasta el doce para este caso. INTERÉS: Se multiplica el valor de la tasa de interés por el SALDO del período anterior. CUOTAS: Como la primera cuota se paga al final del período uno y es el valor a calcular, a la celda que le corresponde se le da color indicando con ello que es la celda incógnita; el resto de las cuotas son iguales a esa primera por lo que la segunda se formula igual a la primera y se copia esa fórmula hasta la última. ABONO A CAPITAL: Desde el primer período se formula como la columna CUOTA menos la columna INTERÉS. SALDO: El saldo del período inicial cero, concierne al saldo inicial de la deuda que para el ejercicio es de $20,000,000, el saldo del primer período será lo que resulte de restar al saldo del período cero el abono a capital del período uno; esta formulación se arrastra hasta el último período con lo cual la tabla queda de la siguiente manera:
La formulación general es la siguiente:
Una vez se tiene la tabla formulada se aplica buscar objetivo, función que permite calcular el valor de la cuota. Nos ubicamos en la celda del saldo final, es decir el saldo del período doce, el cual al pagar la última cuota debe ser cero; seguidamente en herramientas hacemos click en BUSCAR OBJETIVO abriéndose entonces la siguiente ventana: Como se observa, el campo definir celda aparece con la dirección de la celda del saldo final desde donde invocamos BUSCAR OBJETIVO; luego registramos cero en el campo con el valor y la dirección de la celda incógnita en el campo para cambiar la celda, al hacer click en aceptar se producen iteraciones en el programa que concluyen con el valor de la cuota. Volvemos a aceptar y la tabla de amortización se muestra así:
2. Caso de gradientes aritméticos anticipados Con el propósito de cancelar en su vencimiento cada una de las 6 cuotas semestrales iguales de $850,000, comprometidas en la cancelación de un crédito recibido el día de hoy, y de acumular la suma de $25,000,000 para dentro de tres años y medio, se ha abierto un fondo donde se efectuarán 8 depósitos trimestrales, el primero de ellos en el día de hoy. Estos depósitos a partir del segundo se aumentan en $50,000 con respecto al anterior, Se pide calcular el valor del primer depósito, sabiendo que el fondo paga el 12% convertible mensualmente.
Solución con fórmulas: Primer paso: Diagrama. $25,000,000 $850,000 1 2 5 6 cuotas semestrales 0 1 2 3 4 7 10 12 escala en trimestres 1 2 3 4 5 8 cuotas trimestrales A g = $50,000 La escala está trimestral, los retiros son semestrales y se entienden vencidos al no mencionarse que son anticipados; los depósitos son trimestrales y anticipados, por lo tanto, el octavo vence en el trimestre siete; el primer depósito A es la incógnita y el g indica un crecimiento de las cuotas en $50,000. Nótese la numeración en el cuerpo de las flechas indicando el número de la cuota. Segundo paso: Al poder elegir cualquier fecha focal, buena resulta la del trimestre doce, ya que la anualidad conformada por el grupo de los seis retiros semestrales de $850,000 se trasladan a ese punto con FAV; por su parte, los $25,000,000 que se esperan de saldo, se encuentran en la FF luego no tienen necesidad de ser trasladados; en tanto, el gradiente aritmético formado por los ocho depósitos, se lleva inicialmente al trimestre siete con el FGAV y luego, convertido en un solo valor, por la acción de la fórmula, se multiplica por el factor para moverlo desde el trimestre siete al doce donde está la FF. Tercer paso: Aquí se revisan dos aspectos de la tasa de interés: : a) La presentación: al notar que se encuentra nominal (J=12%) se convierte a efectiva, dividiéndola entre el número de meses en un año (m=12), con lo cual, b) La periodicidad: por encontrarse la tasa mensual, se convierte a trimestral para emplearla en el traslado del gradiente cuyas cuotas son trimestrales y a semestral para el traslado de la anualidad cuyas cuotas son semestrales:
ET. ES. Cuarto paso: Se plantea la ecuación de valor, igualando las entradas a las salidas en la fecha focal. Las fórmulas a utilizar son las siguientes: FAV= ; FGAV = = Despejando, se llega a: A = $2,827,768
Solución con funciones de Excel: Las funciones de Excel contenidas en el office, sólo dan la posibilidad de calcular, una cualquiera de las variables relacionadas en las siguientes fórmulas: a) futuro de un presente: F=P* ; b) futuro de una anualidad vencida: FAV= ; c) presente de una anualidad vencida: PAV = ; d) futuro de una anualidad anticipada FAA= ; e) presente de una anualidad anticipada: PAA = estas dos últimas no se consideran en el presente texto, para simplificar así la formulación. De esta forma, por ejemplo, en la fórmula: PAV = las funciones de Excel permiten encontrar: PAV (VA en Excel), en la cual el vencimiento de las cuotas se clasifica con la variable TIPO, marcando 0 (cero) si es vencida o 1 (uno) si es anticipada; A (PAGO en Excel), para el caso en que se requiera calcular el valor de la cuota uniforme, a partir de PAV (VA), i (TASA) y n (NPER); i (TASA en Excel), para su cálculo se requerirá de A (PAGO), PAV (VA) y n (NPER); n (NPER en Excel), en la fórmula del PAV, n representa el número de cuotas, y se halla a partir de las variables PAV (VA), i (TASA) y A (PAGO).
Las fórmulas no contenidas en el grupo de funciones que trae consigo Excel, como en el caso de las fórmulas de gradientes, tendrían que personalizarse a través del módulo de visual basic, siguiendo para ello los pasos explicados con anterioridad en la primera unidad. Por lo antes expuesto, se puede concluir, que la vía de las funciones no aplica al caso tratado. Solución en Excel con tabla de fondo de amortización: Al darle solución con la tabla PIDRS y utilizando la función BUSCAR OBJETIVO, se formulan las columnas de la siguiente forma: PERÍODOS: En el caso en estudio, la transacción tiene duración de doce meses, por ello en esta columna se registra desde el cero hasta el doce. INTERÉS: Se multiplica el valor de la tasa de interés por el SALDO del período anterior. DEPÓSITOS: Como los depósitos se inician desde el período cero y ellos son la incógnita, entonces a la celda del depósito de ese período cero se le da color para señalarla como la celda incógnita. Así el resto de depósitos, a partir del período uno hasta el período siete, se formulan como: más (+), seguido de la dirección de la celda anterior, más (+) los $50,000 del crecimiento. RETIROS: Los $850,000 de cada uno de los retiros semestrales, se registran cada dos períodos al encontrarse la escala trimestral, desde el período dos hasta el período doce. SALDO: El saldo del período inicial cero, se formula con el mismo valor registrado en el primer depósito; para los demás períodos y desde el período uno, el sado se formula como el saldo anterior, más los depósitos, menos los retiros. La formulación general es la siguiente:
Así luce la tabla luego de ser formuladas las celdas:
Una vez se tiene la tabla formulada se aplica BUSCAR OBJETIVO, función que permite calcular el valor de los depósitos. Ubicados en la celda: saldo del período doce, se invoca la función BUSCAR OBJETIVO, con lo cual se abre la respectiva ventana: Para finalizar con un saldo de $25,000,000, tal como lo exige el enunciado del caso en estudio, se deja el campo definir celda de la función buscar objetivo, con la dirección de la celda del saldo final; luego registramos 25000000 (sin separar las unidades) en el campo con el valor y la dirección de la celda incógnita en el campo para cambiar la celda, al hacer click en aceptar dos veces, la tabla del PIDRS se muestra así: