1.1.1 importancia de las matemáticas financieras como herramienta de decisión.

Transcripción

1 1.1 Conceptos y Fundamentos importancia de las matemáticas financieras como herramienta de decisión. Quienes tienen la responsabilidad de administrar dinero, no pueden marginarse del estudio de las matemáticas financieras, disciplina que le ofrece los fundamentos necesarios para tomar las mejores decisiones cuando se trata de invertir excedentes u obtener financiamiento para cubrir el déficit de un flujo de caja o tesorería. A través del manejo de conceptos, relaciones entre variables, procedimientos matemáticos y uso de la tecnología, se logran resultados o cifras con las cuales el interesado en resolver una situación de crédito o inversión se llena de razones para decidir y actuar El Valor del Dinero en el Tiempo La razón de ser de las MATEMÁTICAS FINANCIERAS se encuentra en el valor del dinero en el tiempo ; bajo este enunciado se plantean relaciones entre las variables propias de las transacciones financieras, tales como capital, tasa de interés, tiempo y valor futuro. Por ejemplo, si usted como inversionista puede convertir $100 de hoy en $110 dentro de un año, se dice que le sería indiferente recibir los $100 hoy que recibir los $110 dentro de un año. La equivalencia entre valores con distintas fechas de vencimiento se apoya en el siguiente razonamiento: Cuando un inversionista se desprende de su dinero, lo hace motivado por la oportunidad de recibir una cantidad adicional como compensación por el riesgo asumido cuando lo deja en manos de su deudor.

2 El costo del dinero nace, entonces, de la necesidad que de él tienen, demandantes dispuestos a pagar por el uso de excedentes que poseen los oferentes. Explica este concepto la razón de ser de las Matemáticas Financieras, es el fundamento o naturaleza de las transacciones relacionadas con la inversión y el crédito. Es el valor del dinero en el tiempo lo que permite establecer la equivalencia entre valores con distintas fechas de vencimiento Situaciones de Estudio. En la administración del dinero se pueden presentar dos situaciones que demandan la acción de la gerencia financiera: Una de ellas ocurre cuando en el presupuesto del período en estudio, las entradas de dinero superan las salidas, para este caso se dice que hay excedentes o dineros ociosos; en el otro caso, cuando las entradas no alcanzan a cubrir los requerimientos de las salidas o compromisos, en cuyo caso se dirá que hay déficit. En el primer caso la gerencia tendrá que invertir, mientras que en el segundo se verá abocada a la consecución de recursos por medio del crédito. El estudio de las matemáticas Financieras comprende precisamente todo lo que atañe a esas transacciones de inversión y crédito; por tanto, toda situación tratada en el presente módulo estará relacionada de alguna manera con la inversión y el financiamiento Inversión. Opciones con Excedentes. En materia de inversión, se plantean alternativas tales como: a) Inversión en fondos. Consiste en colocar dineros en una institución financiera, la cual reconoce al depositante, un valor adicional representado en intereses que le compensen el riesgo, la pérdida de poder adquisitivo y la oportunidad de hacerlos rendir en cualquier otra alternativa de inversión que posea.

3 b) Inversión en Títulos. Se refiere a la compra de títulos valores, tales como: divisas, acciones, bonos, cdt s, papeles comerciales, tes, cert s, tidis, y en general de todo título por el cual se perciban rendimientos al ser negociado. c) Inversión en Proyectos. Esta alternativa corresponde a la inversión en negocios o actividades empresariales Crédito. Opciones de Financiamiento. El déficit de caja en el presupuesto puede ser financiado por una o varias de las siguientes vías: a) En Dinero. Financiación en efectivo, proveniente de acreedores, sean institucionales o no. b) En Especie. Crédito obtenido de un proveedor sobre mercancías, materias primas, activos fijos o servicios en general. c) Refinanciación. Replanteamiento de créditos vigentes, sobre los cuales se pactan nuevas condiciones, especialmente de mayores plazos para disminuir el valor de las cuotas a pagar, aliviando así la carga del flujo de caja Actores, Variables Básicas de la Inversión y el Crédito, y Modelos que las relacionan Actores. En toda transacción de inversión o de crédito se presentan dos actores: el propietario del dinero, quien se llamará acreedor y el que paga por utilizarlo, quien se denomina deudor Variables Básicas. Las variables propias de la inversión y el financiamiento son las mismas, toda vez que en cada operación de crédito se presenta simultáneamente una operación de inversión y en cada operación de inversión se dará una operación de crédito. Por ejemplo, si una empresa se financia con dineros de una institución financiera, la transacción constituye

4 crédito para la empresa e inversión para la institución financiera. Las variables básicas de la inversión y el crédito son: Variable y definición Capital o valor presente: Cantidad de dinero cedida por el inversionista o acreedor al deudor, al comienzo de la operación. También representa el valor en el cual se convierte un futuro antes de la fecha de su vencimiento, al descontarle al futuro los intereses. Valor futuro: Valor en el cual se convierte un capital, luego de que sobre él actúa una tasa de interés durante algún tiempo; también se puede decir que es el total devuelto por el deudor a su acreedor, el cual incluye capital e intereses. Tasa de interés: Se expresa en porcentaje e indica la cantidad adicional que deberá cancelar el deudor a su acreedor, por cada 100 pesos que de éste haya utilizado, en la unidad de tiempo. Interés: Cifra en pesos que el deudor paga a su acreedor, como compensación por utilizar su dinero. Número de períodos: Número de períodos durante los cuales un capital genera intereses. Número de períodos en un año. Número de capitalizaciones en un año, sin importar el tiempo de la transacción. Simbología en fórmulas P F i I n m Simbología en Excel VA VF Tasa No aplica NPER No aplica En cuanto a esta última variable, m, vale decir sobre su cálculo, que es muy sencillo, pero que debe practicarse a conciencia, pues el subestimarlo por su simplicidad, puede conducir a cometer errores. Periodicidad Diaria base 360 Diaria base 365 mensual bimestral trimestral semestral anual Valor m Modelos de Cálculo del Interés

5 Las variables básicas indicadas, se relacionan de acuerdo al modelo de cálculo empleado. Estos modelos pueden ser: a Interés simple o a Interés compuesto. Para ambos modelos, simple y compuesto, se cumple, que el valor Futuro comprende la devolución del capital más los intereses cancelados por el deudor como costo por el uso del dinero. Luego F = P + I o valor futuro es el resultado de sumar capital e intereses Interés Simple Se caracteriza porque el capital permanece constante durante toda la operación. Si un valor P se coloca a una tasa de interés simple i durante n períodos, el P se convertirá en un valor futuro F, de tal forma que: F = P(1 + i n) Para ilustrar el funcionamiento de este modelo, se plantea el siguiente caso: Se pacta un crédito por $500 millones para cancelarlo con pago único al 1.5% mensual a interés simple, dentro de tres meses. Se pide establecer el valor del pago final. Desarrollo: Período 0 Período 1 Período 2 Período 3 El deudor recibe del acreedor los $500 millones Se causan los intereses del período 1. Para calcular los intereses, se aplica la tasa pactada al capital, con la siguiente fórmula: I1 = P0*i I=$500* = $7.5 Se causan los intereses del período 2 así: I2 = P*i I2 = $500* = $7.5 Nótese que el capital es el mismo y la tasa de interés también, por lo que el monto del interés termina siendo igual para todos los meses.. Se causan los intereses del período 3 con el mismo resultado: I3 = P*i I3 = $500* = $7.5 Al vencerse el plazo del pago, se cancela el total de los intereses: $7.5 en cada uno de los tres meses ($7.5*3) y se devuelve el capital ($500), para

6 un pago final: F = $500+$7.5*3 = $522.5 Millones Este valor es posible obtenerlo directamente con la fórmula a interés simple: F = P(1 + i n) Interés Compuesto. Fórmulas Se identifica porque el interés no pagado se convierte en capital en el momento en que se causen. Esta modalidad es de uso común en las operaciones del mercado financiero colombiano. Si un valor P se coloca a una tasa de interés compuesto i durante n períodos, el P se convertirá en un valor futuro F, de tal forma que: F = P(1 + i) n El proceso seguido por este modelo se ilustra a continuación, a partir del mismo caso propuesto en el interés simple, a fin de identificar las diferencias entre los dos modelos: Se pacta un crédito por $500 millones para cancelarlo con pago único al 1.5% mensual a interés compuesto, dentro de tres meses. Se pide establecer el valor del pago final. Desarrollo: Período 0 Período 1 Período 2 Período 3 El deudor recibe del acreedor los $500 millones. Entonces P0=$500 Se causan los intereses del período 1. Para calcular los intereses, se aplica la tasa pactada al capital del período anterior, con la siguiente fórmula: I1 = P0*i I1=$500* = $7.5 Se causan los intereses del período 2 así: I2 = P1*i I2 =$507.5* = $ De la misma manera que en el período anterior, estos Se causan los intereses del período 3 así: I3 = P2*i I2 =$ * = $ Sumando los intereses totales se tendría:

7 Hasta aquí el procedimiento es igual al del simple, y si la operación tuviera plazo de un mes, el resultado sería el mismo para ambos modelos. Al no cancelarse los intereses de este período, el modelo convierte el interés calculado en capital, y lo suma al capital anterior, para originar el nuevo capital con el que se liquidarán los intereses del siguiente período: P1=$500+$7.5=$507.5 intereses no pagados hasta ahora, se capitalizan sumando al capital del período anterior: P2=$507.5+$7.6125= $ IT = I1+I2+I3. Reemplazando: IT = = $ Pero como el valor Futuro F es igual a capital más intereses: F=P+I Entonces: F= $500+$ y F=$ millones Cifra que es posible lograr directamente con el empleo de la fórmula: F = P(1 + i) n Para simplificar el trabajo de cálculo, conviene que el estudiante maneje de memoria la expresión (1+i), empleada a menudo en estas operaciones. Para ello se debe partir de la conversión de una cifra porcentual, como es la de las tasas de interés, a cifra decimal, tal como se aplica en el cálculo. De esta manera, se sabe que en la expresión: 2%, el símbolo de porcentaje indica dividido entre 100, por lo tanto: 2%=2/100=0.02 y si a esta cifra le agrego 1, el resultado del (1+i) para el i=2% sería Para sistematizar este conocimiento, obsérvense estos ejemplos: Tasas entero cero y primer decimal mayor que cero i% % 0.625% % 0.124% 0.795% 1+i Tasas un dígito en enteros i% 2.46% % % 4.273% % 1+i Tasas dos dígitos en enteros i% 50.6% 50.6% 50.6% 50.6% 9.50% 1+i Tasas tres dígitos en enteros i% 125% % 300% % % 1+i

8 Para resolver casos sencillos de inversión y crédito, que en este documento se denominan de Diagrama Simple (contemplan solo una entrada y una salida de dinero), se parte de la fórmula: F = P(1 + i) n de donde se despejan las demás variables Fórmulas a interés compuesto: (1) F = P + I (2) F = P(1 + i) n (3) P = F(1 + i) n (4) i = ( F P )(1 n ) 1 (5) n = log(f P ) log(1+i) Diagramas de Flujo de Caja. Un diagrama de flujo de caja es una representación de los valores implicados en una operación de inversión o financiamiento, donde cada uno de ellos se dibuja como una flecha dispuesta en orden a sus respectivos vencimientos, sobre una línea de tiempo. En nuestro estudio utilizaremos una convención empleada en los diagramas de caja donde las flechas se dibujan hacia arriba cuando corresponden a entradas y hacia abajo cuando indiquen salidas. Importante además al dibujar el diagrama: si se trata de una inversión, hacerlo desde el punto de vista del inversionista y si concierne a una operación de crédito, hacerlo desde el punto de vista del beneficiario del crédito. i% F

9 0 1 2 n P Fig. 1 diagrama de inversión Diagrama de un proyecto de inversión: Al inicio en la inversión se presenta una salida de dinero (flecha hacia abajo) y al final de la operación, el inversionista recibe su capital más interesses (flecha hacia arriba) P i% n F Fig. 2 diagrama de crédito Diagrama de crédito: Al inicio, el beneficiario del crédito recibe el valor del mismo (flecha hacia arriba) y al final le corresponde una salida de dinero al pagar (flecha hacia abajo) Cuando se quiere dar solución a un caso problema, conviene realizar un diagrama de caja, lo cual permite una visión general de la situación, facilitando con ello el planteamiento a seguir. Al interpretar el enunciado del problema a través de un diagrama, se debe tener como referencia un punto en la línea del tiempo que represente el día de hoy. El punto cero en la escala del tiempo representa la fecha de inicio de la negociación Modelos de diagramas de caja, según situación de estudio. Para cada una de las situaciones de estudio, como son las distintas opciones de inversión y financiamiento, conviene conocer los siguientes modelos de diagramas: Diagrama de Inversión en Fondos.

10 RETIROS SALDO n-1 n (número del período) DEPÓSITOS Desde la óptica de quien invierte en una cuenta, sus depósitos constituyen desembolsos o salidas, mientras los retiros tienen el carácter de entrada. Su respectivo diagrama, sin embargo, presenta una circunstancia especial en cuanto a que el saldo debe estar representado al final del flujo, por una flecha de entrada. A pesar de que el saldo mantenido en una cuenta no es propiamente un ingreso hasta tanto no se retire, éste deberá ser tomado como tal, a fin de equilibrar los dos conjuntos de entradas y salidas. Es en el equilibrio de los conjuntos de ingresos y desembolsos en que las matemáticas financieras se apoya para dar solución a cada situación Diagrama de Inversión en Títulos INTERESES ---- VR. DE VENTA n (número del período) VR. DE COMPRA DEL DOCUMENTO La negociación con papeles solo demanda desembolso al comienzo de la operación y su monto está dado por el valor de compra del documento. En algunos papeles puede pactarse pago de intereses durante la vigencia del documento, en cuyo caso estos intereses se mostrarán en el flujo como flechas de entrada. Al negociarse, sea en fecha de redención o antes de la misma, el valor de venta del documento se representará por flecha de ingreso.

11 Diagrama de Inversión en Proyectos INGRESOS ---- VR. DE MERCADO n-1 n (número del período) INV COSTOS INICIAL Los proyectos, especialmente al evaluar su viabilidad económica, se estudian a partir de un período que representa su vida útil, considerando en su flujo de caja, la inversión inicial, los costos y los gastos como salidas, en tanto que los ingresos y el valor que pueda recuperarse al final de su vida útil como entradas. El valor que puede obtenerse por lo que queda del proyecto al final de su vida útil, recibe los nombres de: valor de mercado, valor de salvamento, valor de desecho o valor residual y es representado por flecha de entrada al final Diagrama de Crédito en Dinero. VR. DEL CRÉDITO n-1 n (número del período) PAGOS Para el beneficiario de un crédito, el dinero recibido al inicio de la transacción tiene comportamiento de entrada, mientras que los pagos con los cuales cancela el empréstito, el de salidas Diagrama de Crédito en Especie.

12 VR. DE CONTADO MENOS CUOTA INICIAL n-1 n (número del período) PAGOS En el caso de créditos donde se recibe un bien, el valor de contado de ese bien es el valor de la entrada en el punto cero o inicio de la transacción. Para los casos en que el proveedor demande cuota inicial, esta podrá indicarse como salida en el mismo punto inicial o podrá restarse en la flecha correspondiente al valor de contado como se recomienda en el gráfico, para efectos de simplificar los cálculos. En general, cuando se tengan en una misma fecha valores de entrada y de salida, se podrá colocar solo uno, con un valor igual al resultado de la diferencia entre los primeros y con la orientación de entrada o salida según lo indique el mayor valor Diagrama de Refinanciación. --- FORMA DE PAGO INICIAL n-1 n (número del período) -- FORMA DE PAGO NUEVA -- En las operaciones de refinanciación se advierten claramente dos conjuntos como son: el compromiso inicial y el que lo sustituye o nueva forma de pago; como quiera que es esta última la que implica desembolsos, los pagos que a través de ella se hayan pactado serán salidas en el flujo, mientras las cuotas anuladas de la primera forma de pago se mostrarán como entradas en el flujo. 1.3 Operaciones con Diagramas Simples. Como ya se indicaba, son situaciones que implican solo una entrada y una salida de dinero, y generalmente se resuelven empleando la fórmula de la variable incógnita o la función que le corresponde en Excel.

13 Para dar solución a este tipo de casos bajo interés compuesto, se sugiere seguir los siguientes pasos: Paso 1. Interpretar el enunciado a través de un diagrama, identificando con él si se trata de una operación de crédito o de inversión. Paso 2. Establecer los valores de las variables dadas y la variable incógnita Paso 3. Hacer corresponder la periodicidad de n con la de la tasa de interés i, en caso de no coincidencia. Esto es que si la tasa está trimestral, el número de períodos n deberá estar expresado en trimestres; si la tasa está mensual, entonces los períodos deberán expresarse en meses, y así sucesivamente. En caso de que el enunciado entregue las variables n e i con igual periodicidad, se sigue al paso 4. En caso contrario, se tendrán dos opciones para hacer coincidir estas variables en periodicidad: una de ellas cambiando la de n y la otra cambiando la de i. Ejemplo. Si n =19 meses e i = 4% trimestral, se podría convertir a) los 19 meses de n a trimestres, o b) la tasa del 4% trimestral a mensual. Ambas formas deben conducir al mismo resultado. a) Cambiando los 19 meses a trimestres para trabajar con la tasa trimestral: si un mes es un tercio de trimestre, entonces n=19/3. En general, para hacer conversiones en n, se puede proceder de la siguiente forma: Cambiar un período menor a uno mayor Cambiar a operación meses años Divida los meses entre 12 meses semestres Divida los meses entre 6 meses trimestres Divida los meses entre 3 meses bimestres Divida los meses entre 2 bimestres semestres Divida los bimestres entre 3 trimestres años Divida los trimestres entre 4

14 Cambiar un período mayor a uno menor Cambiar a operación años meses Multiplica los años por 12 semestres meses Multiplica los semestres por 6 trimestres meses Multiplica los trimestres por 3 bimestres meses Multiplica los bimestres por 2 semestres bimestres Multiplica los semestres por 3 años trimestres Multiplica los años por 4 b) Cambiando la periodicidad de la tasa a mensual para trabajar con n=19 meses. Esto se realiza con la fórmula de ifinal = (1+iinicial) (minicial/mfinal) 1 Para el caso del ejemplo, reemplazamos en esta fórmula, logrando lo siguiente: Imensual = (1 + 4%) (4/12) 1= = 1.354% mensual Paso 4. Reemplazar los valores de las variables y calcular la fórmula o función incógnita Casos resueltos. A qué tasa de interés bimestral se financian $4,800,000 si como garantía se firma un pagaré por valor de $5,520,000, los cuales deberán ser cancelados diez meses después de recibido el crédito? Solución con Fórmula: 1. Diagrama: P 0 i% n F Se ha identificado una operación de crédito, de allí el gráfico.

15 2. Definición de los valores de las variables y variable incógnita: P = $ i%=?bim n=10 meses F=$ Correspondencia en periodicidad de n e i : Esto puede realizarse por dos vías: PRIMERA. Como la tasa se solicitó bimestral, n se expresa en bimestres: n=10 meses =10/2 bimestres = 5 bimestres y al emplear n en bimestres, la fórmula arroja tasa bimestral. SEGUNDA. Se reemplaza n en meses, haciendo que el resultado del cálculo sea tasa mensual y luego se aplica el Ifinal para cambiar la periodicidad de la tasa, de mensual a bimestral. 4. Reemplazo de los valores de las variables en la fórmula o en la función. a) En la fórmula i = ( F P )(1 n ) 1 : i = ( )(1 5 ) 1= = 2.834% bimestral. b) En la función TASA de Excel: Se invoca la función TASA, ingresando por Fx, eligiéndola entre la categoría Financieras y haciendo clic en aceptar o por el camino MAYÚSCULA + F3.

16 Una vez se despliega la ventana de la función TASA, se digitan los valores de las variables correspondientes y se pulsa aceptar: Las variables PAGO y TIPO se ignoran, pues tales variables pertenecen a un tema no tratado aún. Los valores a digitar son: n (NPER) = 5; P (VA) $4,800,000 y F (VF) -$5,520,000. Recuerde que en este caso por ser un problema de crédito, el valor de $5,520,000 representa una salida y, por lo tanto, se registra en la ventana con valor negativo. Al considerar el valor de NPER como 5, se está expresando en bimestres con lo que el resultado de la tasa hallada, será bimestral. Tan pronto se le da aceptar, se obtiene 3%, valor que corresponde a la tasa redondeada. Conviene entonces, estando en la celda de la respuesta, aumentar decimales para obtener la cifra exacta 2.834% bimestral.

17 Cuánto tiempo será necesario para que una inversión de $1,200,000 se convierta en $1,950,750 con una tasa de interés del 27.5% anual? F= n=? i =27.5% anual P= n =LOG ( / )/LOG (1.275) n= 2 años

18 1.4 Tasas Equivalentes. Dos tasas son equivalentes, si con distintas características, producen un mismo resultado. Al comparar tasas para elegir entre varias, se requiere unificarlas en sus tres características como son: Presentación, Periodicidad y Vencimiento. Se pueden encontrar dos tasas que tengan diferente presentación (nominal y efectiva), o diferente periodicidad (Mensual y trimestral), o diferente vencimiento (vencida y anticipada) y que produzcan el mismo efecto, resultando indiferente invertir a la una o a la otra. Es de mucha utilidad conocer cómo se cambian las características de una tasa, ya que para poder comparar dos de ellas, se requiere que estén dadas con la misma presentación, periodicidad y vencimiento Características y equivalencias de tasas. Al utilizar una de las siguientes fórmulas para cambiar una característica a una tasa de interés, tenga presente que éstas fórmulas solo le cambian una y solo una característica Presentación. Las tasas pueden pactarse de dos formas en cuanto a su presentación: nominales (j) o efectivas (i) y se debe aprender a reconocerlas de acuerdo con la expresión utilizada. El cambio de presentación utiliza las siguientes fórmulas: J = m * i; i = J / m. Donde i es la tasa efectiva y J es la tasa nominal. Estas fórmulas aplican tanto para las vencidas como para las anticipadas. EJEMPLO: Qué tasa trimestral es equivalente al 36% ATV?.

19 SOLUCION: i = 0.36 / 4 = 0.09 = 9% trim Expresiones que definen las tasas nominal y efectiva. Es conveniente, antes de conocer las estructuras empleadas para enunciar una tasa nominal o una tasa efectiva, recordar que cada tasa de interés pactada lleva consigo tres propiedades como son: PRESENTACION (Nominal o efectiva), PERIODICIDAD (Diaria, mensual, trimestral, etc.) Y VENCIMIENTO (Anticipada o vencida). Expresiones que definen las TASAS Nominal (j) Efectiva o periódica (i) a) 2% efectiva mensual vencida. b) 3% efectiva trimestral a) 36% nominal anual, capitalizable mensualmente. b) 36% nominal capitalizable mensualmente. c) 36% capitalizable mensualmente. d) 24% convertible trimestralmente e) 20% liquidable semestralmente. i) 36% AMV; 36% ASV; 40% ATA; 38% ATV. j) 36% MV; 36% SA; 30% MA f) 2% mensual g) 5%semestral h) 28% anual a) 2% EMV, 18% ESA; % E.A Periodicidad, En una negociación, la periodicidad de la tasa indica cada cuánto tiempo el interés se convierte en capital. Entonces puede ser diaria, mensual, bimestral, trimestral, etc. OJO, para cambiar periodicidad se requiere partir de una efectiva y vencida. Utiliza la siguiente fórmula: i1 = (1 + i0) (m0 / m1) 1. Donde i1 es la tasa efectiva vencida a calcular con nueva periodicidad; m1 es el número de capitalizaciones en un año de la tasa a calcular; i0 es la tasa efectiva vencida a la que se va a cambiar la periodicidad, y m0 es el número de capitalizaciones de i0. EJEMPLO:

20 Qué tasa mensual es equivalente al 15% semestral? SOLUCION: i1 = 1.15 (2 / 12) 1 = mensual. EL CAMBIO DE PERIODICIDAD SOLO SE DA ENTRE TASAS EFECTIVAS VENCIDAS Vencimiento, Al efectuar una transacción donde se da valor al dinero en el tiempo, la tasa podrá negociarse con pago de intereses anticipados o vencidos. Utiliza las siguientes fórmulas: ia = i / (1 + i); i = ia / (1 - ia) EJEMPLO: Qué tasa semestral vencida es equivalente al 42% ATA? SOLUCION: ia = 0.42 / 4 = trimestral. i =0.105/( ) = trim. i1 = /2 1 = semestral. OJO, para cambiar vencimiento se requiere partir de una efectiva. NOTA: EN UNA EXPRESION DONDE NO SE DIGA QUE LA TASA ES ANTICIPADA SE DEBE ENTENDER COMO VENCIDA. 1.5 Operaciones con accidentes financieros Resultan en operaciones de inversión y crédito donde se presenta más de una entrada y/o más de una salida de dinero en el flujo de caja de la transacción. Los problemas con accidentes financieros, desde antes de la aparición de la hoja de cálculo, se han resuelto con ecuaciones de valor donde se emplean fórmulas con las que se trasportan valores en el tiempo. Al aplicar las fórmulas en el traslado, se suman o descuentan intereses, según el movimiento que se realice, hacia la derecha o hacia la izquierda de la línea del tiempo. La variable incógnita es despejada finalmente de la ecuación en la que se igualan, en una misma fecha, las entradas y salidas de dinero. Con la llegada de la hoja de cálculo surge una alternativa de solución más práctica, sencilla, con resultados más detallados, exactos y de rápida obtención.

21 1.5.1 Ecuaciones de valor. Pasos en la solución de casos. Una ecuación de valor es un mecanismo facilitador de los cálculos, planteada en operaciones de inversión o crédito, para equilibrar las entradas y salidas de dinero del flujo, en una fecha llamada FECHA FOCAL, a fin de que exista conformidad entre los actores de la transacción: deudor y acreedor. Para establecer la ecuación se siguen estos pasos: (1) Se interpreta el problema a través del gráfico de la línea del tiempo, definiendo en él claramente cada conjunto de valores y sus correspondientes vencimientos. (2) Se elige una fecha en la cual se comparan o igualan los conjuntos de ingresos y desembolsos, denominada fecha focal. Esta fecha se elige a gusto de quien realiza los cálculos generando idéntico resultado con cualquiera fecha elegida, salvo cuando en una refinanciación se aplica una tasa para el conjunto de los pagos del compromiso inicial, distinta de la pactada para el nuevo compromiso que reemplaza al primero; entonces, la fecha focal deberá ser el punto cero y no otra. (3) Se verifica que la tasa se encuentre efectiva y además que coincida con la periodicidad de la escala. En situaciones que involucren series de valores, esa periodicidad de la tasa deberá ser correspondiente con la periodicidad de las cuotas. Si la periodicidad no coincide, entonces se hará la conversión haciendo uso de la fórmula: if = (1 + i0) (m0 / mf) 1 ya estudiada. (4) Una vez elegida la fecha focal y habiéndose verificado la tasa de interés, se estructura la ecuación de valor igualando la sumatoria de los valores del conjunto de entradas, trasladados hasta la fecha focal, con los valores del conjunto de salidas, trasladados igualmente a esa misma fecha focal. Para el traslado se deben seguir estas reglas: a. Si un valor es trasladado a la derecha de la línea del tiempo, se emplea la fórmula de valor futuro, esto es: se multiplica dicho valor por (1+i) n, b. Si un valor es trasladado hacia la izquierda en la misma línea, se emplea la fórmula de valor presente, es decir: se multiplica dicho valor por (1+i) -n,

22 c. Si un valor se encuentra exactamente en la fecha focal no tiene necesidad de traslado y, en consecuencia, en la ecuación se registra el mismo valor de su vencimiento. En la aplicación de las fórmulas para traslado de valores en el tiempo, se sabe que i es la tasa efectiva periódica y n el número de períodos de traslado, desde donde se encuentra el valor a trasladar hasta la fecha definida como focal. Se debe tener presente la correspondencia entre la periodicidad de n y la de la tasa, en caso de no existir esa correspondencia, se deberán hacer las conversiones del caso. (5) Se da solución a la ecuación despejando la incógnita. Se observará a continuación, la solución con ecuación de valor, aplicada al siguiente caso:. Un activo vale de contado $ y se financia para pagarlo con cantidades iguales en los meses 8, 10 y 15, con un interés del 4% ETV. Calcule el valor de las cuotas. Primer paso (diagrama). $ (número del período) X X X Segundo paso (fecha focal). Escojamos como FF el período 10 FF $ (número del período) X X X

23 Tercer paso (verificación de la tasa en cuanto a presentación y periodicidad). La tasa es del 4% ETV. Se distingue claramente que la tasa se encuentra efectiva, pero no tiene periodicidad mensual lo cual implica realizar la conversión para permitir la correspondencia entre tasa y número de períodos, se procede seguidamente en consecuencia: I = 1.04 (4/12) -1= = 1.354% EMV Cuarto paso (planteamiento de la ecuación de valor) En la ecuación se igualan la sumatoria de entradas y la sumatoria de salidas. Como en entradas existe un sólo valor, la sumatoria de entradas en la fecha focal estará dada únicamente por lo que este valor represente en esa fecha focal. Al ser trasladado hacia la derecha, desde el punto cero donde se encuentra hasta el punto diez de la FF, los $4,000,000 se multiplican por (1+i) n donde i = y n = 10; mientras tanto la sumatoria de salidas estaría dada por la suma de cada una de las tres equis trasladadas según el caso a la FF. La ecuación quedaría de la siguiente manera: X* X+X* = * Aplicando los principios algebraico de traslado, despeje y simplificación de términos en una ecuación se tiene: X( ) = * X = * /( ) X = $ Tablas de amortización y tablas de fondos de amortización en Excel Procedimiento para solucionar con tablas en Excel, casos de diagramas con accidentes financieros Las ecuaciones de valor constituyen un instrumento para dar solución a problemas de inversión o de crédito, sin embargo con la aparición del Excel se tiene la

24 alternativa de resolver esos mismos problemas empleando las tablas de amortización para los casos de crédito y las tablas de fondos de amortización para los casos de inversión. Al aprender a construir las tablas de amortización y de fondos de amortización como procedimiento para resolver las situaciones indicadas, se estudia la función Buscar Objetivo, importante función que resuelve ecuaciones de primer grado con una incógnita. Como se indicó, dependiendo de si la operación es de inversión o de crédito, se emplean respectivamente las tablas de: a. AMORTIZACIÓN: También conocida como PICAS, expresión que se forma por las iniciales de los títulos de las columnas empleadas en una de sus presentaciones, como son: Períodos, Interés ganado, Cuotas, Amortización a capital y Saldo de capital al final del período. Esta tabla resuelve problemas de crédito. b. FONDO DE AMORTIZACIÓN: En este caso las iniciales de los nombres de las columnas en el formato sugerido forman la expresión PIDRS. Dichas iniciales corresponden a Períodos, Interés, Depósitos, Retiros y Saldos. Esta tabla resuelve casos de inversión Tabla de amortización para situaciones de crédito con accidentes financieros Las tablas de amortización muestran los cambios generados por período, en cuanto a intereses vencidos, abonos a capital y saldos finales; además de convertirse en objeto de control, es de gran ayuda para los asientos contables, donde se deben especificar tanto la parte de gasto por intereses como la de disminución del pasivo. A continuación se muestra una tabla de amortización en Excel, indicándose en ella la manera como debe formularse cada celda.

25 Tal como se observa, la tabla de amortización contiene las siguientes columnas: 1 Períodos: Estos van desde el período cero hasta el período en el cual se realiza el último accidente financiero. 2 Interés vencido: Se calcula iniciando con más o igual, luego la tasa de interés por el saldo del período anterior y se concluye arrastrando la fórmula hasta el último período. 3 Cuotas: Al ser las cuotas lo que se pide hallar, a la primera de ellas, se le identifica con color para recordar que esa será la celda incógnita. Si existen otras cuotas en función de la primera se formula como corresponda su relación en el período indicado. 4 Abonos a capital: Se formula como la cuota menos el interés del período y se copia hasta el final de la tabla. 5 Saldo: En el período cero corresponde al valor del crédito, descontando la cuota inicial si la hubiere. A partir del primer período se formula como saldo del período anterior menos el abono del período y se copia hasta el final.

26 Seguidamente se resuelve el caso propuesto, mostrando con pantallazos el paso a paso de la formulación en la hoja de cálculo y verificando finalmente con las operaciones, un resultado exacto al obtenido mediante las fórmulas: Un caso de crédito para estudio: Un activo vale de contado $ y se financia para pagarlo con cantidades iguales en los meses 8, 10 y 15, con un interés del 4% ETV. Calcule el valor de las cuotas. La primera fase comprende la formulación del caso planteado en la siguiente tabla, donde: a) los períodos van del cero al quince, b) los intereses se obtienen por la multiplicación de la tasa (se recuerda que la tasa tuvo que ser convertida de efectiva trimestral a efectiva mensual) por el saldo anterior, c) las cuotas que corresponden a cifras iguales, se formulan a partir de la primera de ellas como celda incógnita, identificándola con color, y luego las restantes, en función de ella, para que concluido el proceso, asuma el mismo valor de la celda incógnita, d) los abonos a capital son calculados como lo que resta de la cuota, después de cancelar los intereses del período, y e) el saldo del período cero se indica como el valor adeudado por quien se beneficia del crédito en el inicio de la transacción, que para el caso es de $4,000,000; a partir del período uno, el saldo será la diferencia entre el saldo con el cual inició el período, o saldo anterior, y el abono de capital del período.

27 Haciendo uso de los trucos de Excel en el copiado, la formulación de las columnas, excepto la de las cuotas que es particular en cada ejercicio, se copia hasta el último de los períodos. Como resultado de esta formulación la tabla mostrará los siguientes valores: Estando ubicados en la celda: saldo del último período, se invoca la función buscar objetivo (en Windows XP se encuentra en el menú, herramientas; en Windows Vista en el menú Datos, Análisis y Si), con lo cual aparece la siguiente ventana de diálogo:

28 Inicialmente la ventana nos pregunta qué celda se va a definir; sin embargo, ella muestra la celda donde nos encontramos (la del saldo del último período) y como es esa precisamente la celda a definir, se pasa al campo siguiente: con el valor donde se registra el valor 0, pues el saldo del último período deberá alcanzar ese valor una vez se cancele la última de las cuotas. En el siguiente campo para cambiar la celda se indica la dirección de la celda incógnita, la cual se recordará como la celda de color. Por último, al pulsar el botón de aceptar dos veces, instantáneamente la hoja de cálculo mostrará en la celda color el resultado.

29 Nótese que este resultado es exactamente igual al obtenido con las fórmulas Tablas de fondos de amortización para situaciones de inversión con accidentes financieros En problemas de inversión, Excel nos permite la solución con las tablas de fondo de amortización las cuales muestran los cambios generados por período, en cuanto a intereses vencidos, depósitos, retiros y saldos finales; además de convertirse en objeto de control, es de gran ayuda para los asientos contables, donde se deben especificar la parte de los ingresos por intereses así como el monto de las inversiones (depósitos) y las desinversiones (retiros). A continuación se muestra una tabla de fondo de amortización en Excel, indicándose en ella la manera como debe formularse cada celda.

30 Las columnas y su formulación son las siguientes: 1 Períodos: Estos van desde el período cero hasta el período en el cual se realiza el último accidente financiero. 2 Interés vencido: Se calcula iniciando con más o igual, luego la tasa de interés por el saldo del período anterior y se concluye arrastrando la fórmula hasta el último período. 3 Depósitos: Si se piden hallar los depósitos, el primero de ellos será celda incógnita. En caso de conocerse estos, simplemente se registran en el orden cronológico indicado en el enunciado. 4 Retiros: Si se piden hallar los retiros, el primero de ellos será celda incógnita. En caso de conocerse estos, simplemente se registran en el orden cronológico indicado en el enunciado. 5 Saldo: En el punto cero corresponde al valor del primer depósito y a partir del período uno resultará de sumar al saldo anterior los intereses y los depósitos, restándole finalmente los retiros. A continuación se estudia el procedimiento para la aplicación de la tabla de fondo de amortización o de PIDRS, para un caso de inversión. Un caso de inversión para estudio: Establezca un fondo de amortización con tres depósitos trimestrales iguales y anticipados, para de allí realizar dos retiros así: $ en el mes dos y $ en el mes seis. Calcule el valor de los depósitos para una tasa de interés del 24% MV.

31 En principio se tratará con fórmulas y luego con la tabla de Excel. Como ya se indicó, para dar solución a este tipo de casos mediante la aplicación de fórmulas, se requiere plantear una ecuación de valor: Primer paso (diagrama). $ $ X X X Segundo paso (fecha focal) Por no ser el caso de excepción, se puede elegir cualquier fecha como fecha focal. Se propone entonces el período seis como FF. $ $ F X X X Tercer paso (verificación de la tasa en cuanto a su presentación y periodicidad). La tasa se encuentra nominal mensual por lo que se procede a cambiar a efectiva mensual: I = 0.24/12 = 0.02 = 2% EMV Por encontrarse mensual como en la escala, no se hace necesario cambiarle periodicidad. Cuarto paso (planteamiento de la ecuación de valor) Al tomar como fecha focal el mes seis se trasladan todos los valores hasta ella, de manera que la sumatoria de las entradas se iguale a la sumatoria de las salidas. X* X* X= *

32 Aplicando los principios algebráicos en el traslado, despeje y simplificación de términos en la ecuación, se tiene: X ( ) = * X = ( * )/( ) X = $ A continuación se muestra con pantallazos la solución al CASO DE INVERSIÓN propuesto, inicialmente mostrando cómo se formula en la tabla y luego cómo se realiza el cálculo en la misma. Obsérvese cómo se construye cada columna, a partir de su formulación en la tabla del fondo de amortización, de acuerdo a la información del caso en estudio: : Nótense los seis períodos, empezando siempre con la fecha cero; el interés en la inversión, formulándose de igual manera que en el crédito: tasa por saldo de período anterior; los depósitos y retiros en orden a la información del caso; el saldo inicial igualado al depósito inicial y a partir del primer período, el saldo calculado como saldo del período anterior, más intereses del período, más depósitos del período, menos retiros del mismo período. Esta formulación arroja los valores que se muestran en la siguiente tabla:

33 Ubicados en la celda del saldo del último período se invoca la función buscar objetivo (se recuerda que en Windows XP se halla en el menú, herramientas; mientras en Windows Vista en el menú Datos, Análisis y Si), con lo cual aparece la ventana de diálogo así: Inicialmente la ventana nos pregunta qué celda se va a definir; sin embargo, ella misma sugiere sombreada la celda donde nos encontramos (la del saldo del último período) y como es esa precisamente la celda a definir, pasamos al campo siguiente con el valor donde registramos el valor 0, pues el saldo del último período deberá alcanzar ese valor una vez se efectúe el último de los retiros.

34 En el campo para cambiar la celda se indica la dirección de la celda incógnita, la cual corresponde a la celda de color; en el paso siguiente se da aceptar dos veces e inmediatamente, la hoja de cálculo arroja en la celda color, el resultado del depósito preguntado, tal como se observa a continuación. El valor resultante $967,076 es exactamente el mismo obtenido con la ecuación de valor Casos para solucionar con fórmulas y con Excel. (1) Qué capital se requiere invertir durante cinco años, en un fondo que paga el 2% mensual para que se pueda contar con un saldo de $5,300,000? 1,615,346 (2) Si hoy un empresario vende en $27,000,000 una propiedad que mantuvo durante tres meses, sin que en ese lapso se presentaran entradas o salidas de dinero relacionados; en cuánto debió comprarla si obtuvo un rendimiento del 10% semestral? 25,743,489 (3) Qué valor máximo al 2.5% mensual podría prestar hoy una institución financiera a una persona cuya capacidad de pago sólo le permitiría cancelarla con pago único de $21,012,500 dentro de 2 meses? 20,000,000

35 (4) En cuánto debió comprar un inversionista un título, si durante los seis meses que lo mantuvo le rindió el 22% anual y recibió por su venta $437,000? 395,641 (5) Cuánto tiempo en meses habrá transcurrido desde que se compraron unos terrenos en $72,000,000 hasta la fecha de hoy en que se lograron vender en $185,235,156? Se conoce que el inversionista rindió su dinero en esta transacción al 3.2% mensual. 30 (6) Una obligación que consta de 3 pagos iguales con vencimientos en 5, 10 y 18 meses e intereses al 3% EM debe sustituirse por tres pagos así: el primero el día de hoy por $ 3,200,000 y luego $ 4,500,000 en 4 y uno último por $ 3,700,000 en 15 meses y con intereses al 4% EM. Hallar el valor de los tres primeros pagos. 4,147,991 (7) Hace seis meses al comprar financiado un activo fijo cuyo valor de contado era de $35,000,000, se pactó con el distribuidor pagar bajo las siguientes condiciones: cuota inicial igual al 30% sobre el valor de contado, plazo de un año, cuatro cuotas trimestrales iguales al final de cada trimestre y una tasa de interés del 25% anual; hoy, exactamente después de cancelar la segunda de esas cuotas iguales, se adquiere a crédito un nuevo equipo al mismo distribuidor por valor de $6,500,000; el acreedor con el fin de hacer una sola cuenta, suma el valor del nuevo crédito con el saldo a la fecha del primer crédito y distribuye el resultado en tres cuotas trimestrales iguales, la primera con vencimiento dentro de seis meses, aplicando el 23% anual de intereses. Se pide determinar el valor de las nuevas cuotas. 6,661,269 (8) Con qué cantidad de dinero se deberá abrir el día de hoy una cuenta que paga el 25% ATV, para que de ella se puedan hacer dos retiros por valor de $2,350,000 y $3,800,000 dentro de 6 y 18 meses, respectivamente y que

36 dentro de dos años se pueda tener un saldo igual a lo que hoy se deposita? 12,289,622 (9) Una deuda contraída hace un año se pactó cancelar con dos cuotas así: una por $ pagadera seis meses después de recibido el crédito y otra por $ con vencimiento ocho meses después de la primera. si el deudor canceló oportunamente la primera cuota y desea cancelar en su totalidad la obligación el día de hoy, cuánto deberá pagar si la operación se realizó con tasa de interés del 4% trimestral? 2,240,641 (10) Una persona hace un depósito hoy por $5,400,000 en una primera cuenta que paga el 24% TV; un año más tarde deposita $2,600,000; seis meses después de este depósito retira dos quintos del total acumulado hasta ese momento y lo transfiere a otra cuenta que le reconoce el 25% capitalizable trimestralmente por el primer año y el 27% convertible trimestralmente de allí en adelante, cuánto dinero habrá en cada una de las dos cuentas dos años después de abierta la segunda? 10,119,051; 7,004,689