Módulo III LECTURA. Amortización

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1 Módulo III LECTURA Amortización

2 Módulo I Módulo Módulo III II ÍNDICE Introducción: Amortización Amortización de una deuda Tablas de amortización (cronograma de pagos) Método americano (cuota cupón) Método alemán (amortización uniforme o pagos decrecientes) Método francés (pagos iguales o cuotas uniformes) Fondos de amortización Monto acumulado al final del periodo Saldo al final de un periodo Tablas de fondos de amortización (periodos de incremento del monto) Aplicación de una hoja de cálculo Función PAGO() Función VA() Función VF() Glosario... 23

3 MATEMÁTICA FINANCIERA MÓDULO 3 AMORTIZACIÓN Introducción: Hasta ahora sabemos: calcular la renta, el monto, el valor actual, el plazo y la tasa de interés con interés compuesto en anualidades anticipadas, vencidas y diferidas. En este módulo estudiaremos la amortización, calcularemos el importe del pago periódico o renta; elaboraremos tablas de amortización y de fondos de amortización, donde visualizaremos la amortización real, el pago de intereses y el saldo al final de cada periodo hasta liquidar el total de la deuda. En el caso del fondo, veremos cómo crecen los intereses y el modo de acumular el total que se desea tener en el tiempo propuesto. Amortizar es el proceso financiero mediante el cual se extingue gradualmente una deuda por medio de pagos periódicos, que pueden ser iguales o diferentes. En las amortizaciones de una deuda, cada pago o cuota entregada sirve para pagar los intereses y reducir el importe de la deuda. Al obtener un préstamo o crédito en efectivo, en bienes o servicios, se contrae una deuda que puede liquidarse con un solo pago al final del plazo o mediante abonos periódicos cuyo importe y frecuencia pueden ser variables o constantes, por lo que se dice que el préstamo se amortiza.

4 1. Amortización Proceso financiero mediante el cual una deuda u obligación y el interés que genera, se extinguen de manera progresiva por medio de pagos periódicos o servicios parciales, que pueden iniciarse conjuntamente con la percepción del stock de efectivo recibido (flujos anticipados), al vencimiento de cada periodo de pago (flujos vencidos), o después de cierto periodo pactado originalmente (flujos diferidos). Cada pago o abono efectuado tiene dos partes: 1. El pago de los intereses adeudados cuando se efectúa el pago de la mensualidad; y, 2. El pago de una parte del capital o saldo insoluto de capital. El fondo de amortización es una suma de dinero que se va acumulando con el fin de obtener un determinado monto para adquirir un bien en el futuro (por ejemplo un auto). El fondo de amortización generalmente se forma invirtiendo cantidades iguales al final de periodos iguales; esto quiere decir que el valor del fondo, al final de un cierto tiempo, corresponde al monto de una anualidad vencida Amortización de una deuda El importe del pago periódico para amortizar una deuda se calcula mediante la utilización de la fórmula para el valor presente de una anualidad simple, cierta, ordinaria y se considera una amortización de capital a base de pagos e intervalos iguales. Se conoce el capital inicial que se adeuda, la tasa de interés nominal o periodo de capitalización, la frecuencia de conversión y el plazo o número de periodos de capitalización. I = C i 1 (1 + i) n ; siendo i = j m y n = n a m o también: R = V p i 1 (1 + i) n ; siendo i = j m y n = n a m

5 j=es la tasa nominal de interés calculada para un periodo de un año. Se expresa en tanto por uno o tanto por ciento n a=es el número de años que permanece prestado o invertido un capital m= Es la frecuencia de conversión o de capitalización y representa el número de veces que se capitaliza un capital en un año. A. Juan Ramírez tiene una deuda de S/ ,00 que debe liquidar en 6 pagos mensuales a una tasa de 24% convertible mensualmente. De cuánto dinero serán los pagos mensuales? SOLUCIÓN Cálculo de la renta mensual: C= j=0,24 m=12 n a=medio año =0,5 i = j m = 0,24 12 = 0,02; n = 6 = n a m = 0,5 12 R = V p i R = 1 (1 + i) n ,02 = 17852, (1 + 0,02) 6 Rp. Los pagos mensuales serán de S/ ,58 B. Un empresario tiene una deuda de S/ ,00 que quiere amortizar con 6 pagos trimestrales, si la tasa de interés es de 18% capitalizable trimestralmente, de cuánto será la cuota trimestral? SOLUCIÓN Cálculo de la renta mensual: C= j=0,18 m=4 trimestres n a = 6 trimestres= un año y medio=1,5

6 R = n = 6 = n a m = 1,5 4 V (0,18) p i = 1 (1+i) n 1 (1+ 0,18 4 ) 6 =34898, Rp. Los pagos trimestrales serán de S/ ,11 C. Una deuda de $95000,00 es reestructurada aplicándole una tasa de interés de 18% con capitalización semestral y pagos de $21177,36, en cuánto tiempo se pagará la deuda? SOLUCIÓN Dado que (n) está en el exponente hay que aplicar logaritmo para bajar el exponente, en este caso emplearé logaritmo neperiano, pero podría ser otro tipo de logaritmo. Preparando la expresión para despejar (n) R = V p i ; pasando R al denominador del segundo miembro de 1 (1+i) n la igualdad 1 (1 + i) n = V p i R (1 + i) n = 1 V p i 1 V p i R R ; pasando el signo de (n) a positivo 1 (1+i) n = 1 1 V p i R = (1 + i) n ; cambiando el orden (1 + i) n = 1 1 V p i R ln(1 + i) n = ln [ nln(1 + i) = ln [ ; aplicando logaritmo para despejar (n) 1 1 V p i R 1 1 V p i R ]; despejando (n) ] ; n = 1 ln[ 1 V ] p i R ln(1+i)

7 Reemplazando en la última expresión: n = ln (1,677101) ln (1,09) = 0, , = 5, ln[ ,09 ] 21177,36 ln(1+0,09) = Rp. La deuda se terminará de pagar dentro de 6 periodos semestrales o 3 años. 2. Tablas de amortización (cronograma de pagos) Una tabla o cuadro de amortización expresa la variación de los saldos pendientes de capital en el tiempo y en cada periodo, detallándose las amortizaciones al capital, los intereses causados o generados y las cuotas entre otros. También, en caso de que exista un bien de por medio como garantía, existen derechos del acreedor sobre ese bien en 100% al principio de la operación y van disminuyendo conforme se va pagando el capital adeudado; pero, en cambio, irán aumentando los derechos adquiridos por el deudor conforme va saldando su deuda. Para construir una tabla, hay tres formas conocidas 1 : 2.1. Método americano (cuota cupón) Este método se caracteriza porque durante la vigencia de la deuda, solamente se pagan los intereses y al final de la misma se desembolsa el capital principal. Este método es preferido por las empresas que consiguen financiamiento por medio de la emisión de bonos 2.2. Método alemán (amortización uniforme o pagos decrecientes) En este método lo primero que se hace es: a. Dividir el monto del préstamo entre el número de periodos pactados en la operación, obteniendo así una amortización uniforme (fija); 1 Cabe mencionar que este módulo está muy ligado al concepto de anualidades y sus formas

8 b. Calcular el interés de cada periodo sobre los saldos de deuda (esta modalidad se conoce como el interés al rebatir). La cuota se obtiene sumando las columnas respectivas de amortización e interés. c. Se calcula el saldo de la deuda restando la amortización del saldo respectivo. Ejemplo: Préstamo (principal) : S/ Plazo Tasa de interés : 5 años : 12 % anual (TEA) Amortización : S/ /5 = S/ Interés (año 1) : S/ x 0,12 = S/ Cuota (año 1) : S/ S/ = S/ Saldo (año 2) : S/ S/ = S/ Este mismo procedimiento se aplica a los siguientes periodos: Año Saldo Interés Amortización 2 Cuota (S/.) (S/.) (S/.) (S/.) Método francés (pagos iguales o cuotas uniformes) En este método lo primero que se hace es: a. La cuota fija se calcula con el factor de anualidad RENTA (R) ó (I) si se apoyan con Excel pueden utilizar la función pago; b. El interés (I) de cada periodo se calcula sobre los saldos de deuda (esta modalidad se conoce como el interés al rebatir). La cuota se obtiene sumando las columnas respectivas de amortización e interés. c. La amortización se calcula restando el interés de la cuota fija; d. El saldo se calcula de la deuda restando la amortización del saldo respectivo. 2 La amortización a línea recta se caracterizan porque la parte que se amortiza del capital permanece constante. Por lo tanto, el pago periódico irá disminuyendo progresivamente y cada abono será siempre menor que el anterior

9 Ejemplo: Préstamo : S/ Plazo Tasa de interés : 5 años : 12 % anual (TEA) R = V p i R = 1 (1 + i) n ,12 = 2774,10 1 (1 + 0,12) 5 El valor de cada cuota es 2774,10 y está conformado por la amortización del préstamo S/. 1574,10 y los intereses a rebatir sobre el saldo 1200 para el primer año: Año Saldo S - A (S/.) Interés S*0,12 (S/.) Amortización C - I (S/.) Cuota I+A (S/.) , , , , ,1 1762, , ,91 799, , , ,37 562, , , ,87 297, , ,10 Saldo inicial del mes 2 es ,10 = 8425,90, este procedimiento se repite para cada año. 3. Fondos de amortización. Una suma de dinero que se va acumulando con el fin de obtener un determinado monto se llama fondo de amortización. El fondo de amortización generalmente se forma invirtiendo cantidades iguales al final de periodos iguales; esto significa que el valor del fondo, al final de un cierto tiempo, corresponde al monto de una anualidad ordinaria. El fondo de amortización es también el método por el cual se provee el monto, por medio de una serie de rentas o pagos, para liquidar una deuda. Asimismo, funciona para ahorrar o recuperar el valor histórico de un activo. Esto se realiza invirtiendo una serie de pagos iguales, en periodos iguales, durante el lapso de vida útil del bien, con la finalidad de acumular un monto disponible en efectivo para volver a comprar el sustitutivo del activo al término de su uso. Esta práctica es muy útil financieramente, aun cuando, al llegar al fin de su vida útil, la cantidad acumulada no llegue a cubrir el costo del bien.

10 En este rubro, se utilizan las fórmulas del monto (M) o valor futuro (Vf) de las diferentes anualidades, generalmente, la del monto de anualidades ordinarias: R = Vf i (1+i) n 1 o también R = M i (1+i) n Monto acumulado al final del periodo M = R(1 + i) [ (1 + i)n 1 ] i A. Una empresa desea reunir, al final de 22 trimestres, cierta cantidad para comprar equipo nuevo. Si hace depósitos trimestrales de $18000,00 con una tasa de interés de 12,72% con capitalización trimestral, cuánto reunirá al final de los 6 meses? SOLUCIÓN M = R(1 + i) [ (1 + i)n 1 ] i M = (1 + 0,1272 ) [ 4 0,1272 ( , ) 1 ] = ,414 Rp. Al final de los 6 meses reunirá , Saldo al final de un periodo Si se quiere encontrar el saldo al final de cierto periodo de pago. Se calcula con la fórmula del monto de las anualidades ordinarias, tomando en cuenta, en n, los depósitos o rentas que se han efectuado hasta ese momento. M = R (1 + i)n 1 i

11 A. Cuál será el depósito anual para acumular, al cabo de 6 años, un monto de $ ,00, si dichas rentas obtienen un rendimiento de 8% anual? (Los $ ,00 representan el valor de un activo adquirido hoy, que se pretende reemplazar al final de su vida útil, que es de 6 años.) SOLUCIÓN R = R = M i (1 + i) n ,08 (1 + 0,08) 6 1 = 32715,69 Rp. El depósito anual será de $ 32715,69 Importante: Si se quiere encontrar el saldo al final de cierto periodo de pago, se calcula con la fórmula del monto de las anualidades ordinarias, tomando en cuenta, en n, los depósitos o rentas que se han efectuado hasta ese momento.

12 B. Del problema anterior, cuál será, el saldo final del cuarto periodo? SOLUCIÓN M = R (1 + i)n 1 i M = 32715,69 (1 + 0,08)4 1 0,08 = ,56 Rp. El saldo al final del cuarto periodo es de $147520, Tablas de fondos de amortización (periodos de incremento del monto). En este método se utiliza, al igual que en la amortización, una matriz, en donde las columnas se conforman así: a) La primera expresa los periodos (n). b) La segunda, los depósitos o rentas (R). c) La tercera, los intereses (I) del periodo que se devengan y resulta de multiplicar el saldo final (M) del periodo anterior por la tasa de interés (i). d) La cuarta, la cantidad que se acumula al fondo (CA) y se calcula sumando la renta (R) más los intereses (I) del periodo. e) La quinta, el saldo final (M), resultado de la suma del saldo final (M) del periodo anterior más la cantidad que se acumula (CA) al fondo del periodo. f) La sexta es el porcentaje de acumulación del fondo. Las filas muestran las operaciones de cada uno de los periodos. Veamos la siguiente situación: 3 Más adelante hay una tabla de amortización de este caso y específicamente de este valor.

13 A. Cuál será el depósito anual para acumular, al cabo de 6 años, un monto de $ ,00, si dichas rentas obtienen un rendimiento de 8% anual? (Los $240, representan el valor de un activo adquirido hoy, que se pretende reemplazar al final de su vida útil, que es de 6 años). R = R = M i (1 + i) n ,08 (1 + 0,08) 6 1 = 32715,69 Periodos Renta (R) Intereses (I) N M*i M=Monto anterior Cantidad que se acumula al fondo (CA) R + I Saldo final o Monto (M) M + CA M=Monto anterior , , , , ,69*0, , , , , , , , , ,64*0, , , , , , , , , , , , , , , ,98 Total , ,98 Puede haber variaciones en los montos o saldos finales si se calcula uno de ellos aplicando una expresión del monto o valor futuro de forma directa. Esto se debe a la cantidad cifras decimales que se utilice en las operaciones. Por último, el conocimiento de esta temática es muy importante, ya que la adecuada comprensión, capacidad y habilidad para determinar cómo se amortizan los créditos representa una ventaja considerable para quienes se ven en la necesidad de endeudarse, al hacer la mejor elección tanto de los diversos planes y sistemas de amortización como de la persona o institución que otorgan los créditos o préstamos.

14 Los depósitos a un fondo de amortización representan la posibilidad de tener un monto futuro para cancelar una deuda mediante un pago único. Sin embargo, la creación de fondos se puede constituir para cualquier otro propósito, como, por ejemplo, la reposición de maquinaria o equipos al término de su vida útil, para gastos de jubilación de personal en las empresas o para adquirir un bien mueble o inmueble en un futuro. Existen, por lo tanto, diversos tipos de fondos nombrados de acuerdo al fin que persigan, como los fondos de ahorro, fondos vacacionales, fondos para jubilación, para la educación, fondos de vivienda, entre otros. Algunas de las principales ventajas, al constituir fondos para adquirir un bien o un servicio, son, por ejemplo, que al pagar de contado se puede obtener algún descuento considerable en el precio de compra; también el comprador evita el pago de altos intereses, cargos y comisiones por comprar a crédito; además, sus depósitos periódicos generan y ganan intereses y, lo que es más importante, contribuyen a fortalecer el hábito del ahorro. En cuanto a la mayoría de las personas de nivel socioeconómico medio o bajo, se les facilita más liquidar sus deudas mediante pagos periódicos que con pagos de contado 5. Aplicación de una hoja de cálculo El cálculo de la amortización, la elaboración de una tabla de amortización, los fondos de amortización, así como la elaboración de la tabla de fondos de amortización tienen una fuerte relación con las anualidades vencidas principalmente. A continuación se presenta una guía rápida para dichos cálculos haciendo uso de la hoja de cálculo Excel Ingrese a excel

15 De clic en fx, luego, en la siguiente ventana seleccione en categoría Financiera, finalmente seleccione la función y de clic en aceptar 5.1. Función PAGO() La función PAGO() calcula el valor de la cuota periódica de una anualidad. Sintaxis =PAGO(tasa,nper,va,vf,tipo) Tasa: es la tasa de interés periódica del préstamo que no varía durante la vigencia del mismo. Nper : es el número total de cuotas del préstamo. Va : es el valor actual o lo que vale ahora la cantidad total de una serie de pagos futuros, es decir su valor presente. Para el caso de una amortización este se constituye en el valor del préstamo. Vf : es el valor futuro o saldo en efectivo que desea lograr después de efectuar el último pago. Si el argumento vf se omite, se asume que el valor es 0 (por ejemplo, el valor futuro de un préstamo es 0).

16 Tipo : define si las cuotas son vencidas o anticipadas. Si la cuota es vencida el tipo se omite y se asume un cero; si las cuotas son anticipadas debe especificarse el valor de 1. Importante: Hay que utilizar con uniformidad las unidades que especifican los argumentos tasa y nper. Si efectúa pagos mensuales de un préstamo de 4 años con un interés anual nominal del 12 por ciento, use 12%/12 para el argumento tasa y 4*12 para el argumento nper. Resolvamos problemas utilizando la función PAGO() A. Una persona ha efectuado un préstamo de $ que deberá pagar en un año con cuotas trimestrales al 24% anual nominal. Cuál será el valor de cada cuota? =PAGO(0.24/4,4, ) = ,98

17 Observaciones: Dependiendo de como este configurada su PC, para la designación de la parte decimal puede ser válido utilizar (,) o punto (.), Lo mismo sucede con la unidad monetaria. El valor de la cuota es negativo por el simple hecho de que en el diagrama económico los vectores que describen la cuota y el valor del préstamo tienen diferente sentido. Para que el signo de la cuota fija sea positivo, el valor del préstamo debe especificarse con signo negativo. El valor del cuarto parámetro Vf se omite pues el valor futuro del préstamo es cero una vez éste haya sido cancelado. El quinto parámetro tipo también se omite pues las cuotas se pagan en forma vencida. B. Un empresario desea programar un ahorro mensual para disponer al final de 6 meses de $ correspondientes al valor de la compra de equipos. Si la tasa de interés que le reconocen sobre sus ahorros es del 12% nominal anual, cuál es el valor de la cuota que debe ahorrar mensualmente? SOLUCIÓN =PAGO(0.12/12,6,0, ) = ,59 mensuales

18 5.2. Función VA() La función VA() devuelve el valor actual (valor presente) de una inversión. Para el caso de una anualidad. VA() es el valor actual de la suma de una serie de pagos uniformes y periódicos que se efectuarán en el futuro. Sintaxis VA(tasa,nper,pago,vf,tipo) Tasa : es la tasa de interés por período. Nper : es el número total de períodos en una anualidad o número total de pagos. Pago : es el pago que se efectúa en cada período y que no cambia durante la vida de la anualidad. Vf : es el valor futuro o el saldo en efectivo que desea lograr después de efectuar el último pago. Si el argumento vf se omite, se asume que el valor es 0 (por ejemplo, el valor futuro de un préstamo es 0). Tipo : es el número 0 ó 1 e indica el vencimiento de los pagos. Si la cuota es vencida el tipo se omite y se asume un cero; si las cuotas son anticipadas debe especificarse el valor de 1. Resolvamos problemas utilizando la función VA() A. Un inversionista desea efectuar una inversión de tal manera que el último día de cada mes pueda retirar $ durante los próximos tres años. Cuánto debe invertir hoy al 12% nominal anual liquidado mensualmente? SOLUCIÓN =VA(0.12/12,3*12,250000) = $

19 B. Una persona desea comprar una póliza de seguros que pague S/ al final de cada mes durante los próximos 20 años. El costo de la póliza es S/ y la persona estima que sus inversiones rinden aproximadamente un 7% nominal anual. Determine si la compra de la póliza es una buena inversión para esta persona. Para determinar si debe hacerse o no la inversión, calculemos el valor presente de las 240 cuotas. Si este valor es menor que el costo de la póliza, la adquisición de la misma no satisface el criterio de rentabilidad de la persona. SOLUCIÓN =VA(0.07/12,12*20,500000) es igual a ,25 Lo anterior significa que para generar una renta de S/ mensuales durante 20 años, la persona debe invertir S/ ,25 si la tasa es del 7% anual nominal. Lógicamente concluimos que la inversión de S/ es atractiva para la persona Función VF() La función VF() devuelve el valor futuro de una inversión basándose en pagos periódicos constantes y en una tasa de interés constante.

20 Sintaxis VF(tasa,nper,pago,va,tipo) Tasa : es la tasa de interés por período. Nper : es el número total de pagos de una anualidad. Pago : es el pago que se efectúa cada período y que no puede cambiar durante la vigencia de la anualidad. Va : es la suma del valor actual o presente de una serie de pagos uniformes y constantes futuros. Si el argumento Va se omite, se considerará 0 (cero). Tipo : es el número 0 ó 1 e indica el vencimiento de los pagos. Si la cuota es vencida el tipo se omite y se asume un cero; si las cuotas son anticipadas debe especificarse el valor de 1. Resolvamos problemas utilizando la función VF() A. El último día de cada mes una comerciante ahorra $ durante dos años y le reconocen una tasa del 14% anual efectivo. De cuánto dispondrá al cabo de los dos años? SOLUCIÓN En primer lugar calculemos la tasa periódica: i = ( 1 + 0,14 ) 1/12-1 = 0, = 1, % mensual. Ahora encontremos el valor futuro: VF

21 =VF( %,24, ) = $ ,47 Como pueden notar si utilizamos el signo de porcentaje (%), nos evitamos dividir entre 100 Resolver el ejercicio anterior si los depósitos de S/ se efectúan el primer día de cada mes. Tasa periódica: i = (1 + 0,14 )1/12-1 = 0, = 1, % mensual.

22 Desde Excel: =TASA.NOMINAL(0.14,12)/12 Luego, hay que dividir entre 12 el valor hallado por la función TASA.NOMINAL como se aprecia en la figura siguiente Ahora, encontremos el valor futuro para una anualidad anticipada: VF =VF( %,24, ,,1) = $ ,

23 1. Observe que en la sintaxis se coloca dos comas (,,) juntas porque se omite VA y esta omisión va entre otros elementos de la sintaxis, cuando va al final no hay necesidad de colocar las comas. 2. Observe con respecto al ejercicio anterior que el valor futuro se incrementa por el hecho de adelantar en un mes la fecha en que se realiza cada depósito. Glosario Amortización: Proceso mediante el cual se extingue gradualmente una deuda. Capital: Valor de dinero al inicio, llamado también principal. Fondo de amortización: Suma de dinero que se va acumulando. Frecuencia de conversión: Número de veces que se capitaliza un capital en un año. Renta: Depósito o pago periódico. Saldo insoluto de capital: Saldo pendiente de amortizar en cualquier fecha. Tabla de amortización: Cuadro donde la deuda se reduce. Tabla de fondo de amortización: Cuadro donde se ve cómo el fondo crece.

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