Tratamiento newtoniano de los fenómenos impulsivos: percusiones Índice 1. Introducción 2 2. Modelo matemático y físico de los fenómenos impulsivos 4 2.1. Preliminares matemáticos.............................. 4 2.2. Hipótesis físicas.................................... 4 3. Ecuaciones generales del fenómeno impulsivo 5 3.1. Deducción a partir de la ecuación del fenómeno impulsivo para la partícula... 5 3.2. Deducción a partir de las ecuaciones generales de la Dinámica.......... 6 4. Tipos de problemas 7 4.1. Choques........................................ 8
1. Introducción Estudiemos el fenómeno del rebote de una pelota en el suelo. Supongamos que se deja caer una pelota de masa m desde una altura h partiendo del reposo en el campo gravitatorio paralelo y uniforme. El movimiento consta de tres etapas: 1. El movimiento descendente hasta llegar al suelo; t [, ] 2. El intervalo de tiempo en que hay contacto con el suelo; t [,t 1 ] 3. El movimiento ascendente posterior; t [t 1,t 2 ] Si se elige un eje cartesiano con origen en el suelo y dirigido hacia la vertical ascendente y se desprecian tanto la resistencia aerodinámica como los efectos propios de un sistema de referencia no inercial, los vectores de la cinemática serán: r = x ı, v = ẋ ı, γ = ẍ ı y la ecuación de cantidad de movimiento es: m γ = F mẍ = mg ẍ = g que integrada con la condición ẋ() = nos proporciona la evolución de la velocidad: ẋ(t) = gt que a su vez, integrada con la condición x() = h, nos proporciona la evolución del vector de posición: x(t) = h 1 2 gt2 y el tiempo que tarda en alcanzar el suelo y la velocidad con que lo alcanza son: 2h = g, v = 2gh ı luego las expresiones anteriores están definidas en el intervalo temporal [, ]. Para el análisis de la segunda etapa hacemos lo siguiente: F = m d v dt dt F dt = m d v Integrando la EDO en variables separables anterior en t entre (,t 1 ) y en v entre ( v, v 1 ) se tiene: v1 = m Ī = F(t) dt } {{ } Impulso d v = m v 1 m v = (m v) = C v }{{} Incremento de cantidad de movimiento La experiencia del fenómeno físico del rebote de la pelota enseña que: 1. el periodo de permanencia de la pelota en contacto con el suelo tiene una duración muy breve comparada con el tiempo de caída: t 1. 2. en este intervalo se producen saltos apreciables de velocidad: v v 1 v. Si el módulo de la fuerza estuviera acotado ( F(t) K) el módulo de la integral sería menor o igual que K(t 1 ) (t 1 ). Haciendo tender t 1 se tendrá: lím Ī = lím t 1 t 1 F(t) dt lím F(t) dt K lím [ t 1 t t 1 Este es el caso del peso en el fenómeno de rebote de la pelota. dt] = v 1 = v
Si el módulo de la fuerza fuera del tipo F(t) K t 1, como sería el caso de una fuerza del tipo F(t) = K t 1 (con K constante), el módulo de la integral sería del orden K. Haciendo tender t 1 se tendrá: lím t 1 F(t) dt } {{ } Ī lím F(t) dt = K lím t 1 t t 1 dt t 1 = K v 1 v La reacción normal, que es la única fuerza que no está acotada (puede ser impulsiva), tiene obligatoriamente que ser la causante del fenómeno impulsivo en el rebote de la pelota. Como las velocidades permanecen en todo momento acotadas en esta etapa se tiene: v C d r = v dt Cdt lím t 1 r = lím r1 t 1 d r r } {{} r r1 lím d r C lím t 1 r t 1 dt }{{} t = r = Lo que implica que en esta fase, a la par que se producen variaciones significativas en las velocidades ( v ), no se producen desplazamientos ( r = ). Para la tercera etapa se tiene: ẍ = g que integrada con la condición ẋ(t 1 ) = v 1 proporciona: ẋ(t) = v 1 g(t t 1 ) que a su vez, integrada con la condición x(t 1 ) =, proporciona: x(t) = v 1 (t t 1 ) 1 2 g(t t 1) 2 El final de la fase ascendente será: ẋ(t 2 ) = t 2 t 1 = v 1 g, h 2 = x(t 2 ) = v2 1 2g x = x h Fenómeno del bote de una pelota 1.5 ṽ = ẋ v.5.2.4.6.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 t = t 1 Figura 1: Evolución temporal de la posición y la velocidad de la pelota
2. Modelo matemático y físico de los fenómenos impulsivos 2.1. Preliminares matemáticos Función escalón unitario de Heaviside: {, si x < ; U(x) = 1, si x. Función impulso unitario: {, si x [ ǫ,ǫ]; I(x;ǫ) =, si x [ ǫ,ǫ]. 1 2ǫ I(x;ǫ)dx = ǫ ǫ Función delta de Dirac: x I(x;ǫ)dx = 1, ǫ δ(x) = lím ǫ I(x;ǫ) = { si x si x = δ(x)dx = lím I(x;ǫ)dx = 1 = δ(x)dx ǫ { }, si x < ; δ(x)dx = = U(x) 1, si x. ǫ ǫ 2.2. Hipótesis físicas + 1 2ǫ ǫ ǫ I(x; ǫ) δ(x) U(x) x x x 1. Instantaneidad: La fase de percusión se considera instantánea ( t ). 2. Inmovilidad: En ella se producen saltos finitos del vector velocidad (discontinuidades) sin cambios del vector de posición ( r =, v ). 3. Se utiliza el siguiente modelo de fuerza impulsiva en el instante : F = Pδ(t ), con P constante Ī = t + t Fdt = t + t Pδ(t )dt = P Llamaremos vector percusión al impulso que provoca una fuerza impulsiva. Sea P la resultante de percusiones sobre la partícula. La ecuación que rige el comportamiento de la partícula en la fase impulsiva será: P = m v (1)
3. Ecuaciones generales del fenómeno impulsivo 3.1. Deducción a partir de la ecuación del fenómeno impulsivo para la partícula Sea un sistema material X formado por un conjunto de partículas que tiene asociado un conjunto de índices (i = 1,...,N). Sea m i la masa de la partícula i-ésima y sean P E i y P I i las resultantes de las percusiones exteriores y interiores que actúan sobre la misma, respectivamente. La ecuación (1) de incremento de cantidad de movimiento de la partícula i-ésima es: P E i + P I i = m i v i (2) x 1 O 1 z 1 M i P i E y 1 P i I m i v i Teniendo en cuenta que el sistema de percusiones interiores es un sistema de vectores nulo y sumando para todas las partículas: P E i + P I i = N m i v i = (m i v ( N i ) = m i v ) ([ i T.C.M. N ) = m ] v i G = }{{} M = M v G P E i = M vg (3) Tomando momentos respecto a un punto móvil O en la ecuación (2) obtenemos la siguiente ecuación para la partícula i-ésima: OM i P i E +OMi P i I = OMi m i v i (4) Con idénticas consideraciones que en la ecuación anterior y sumando para todas las partículas se tiene: z 1 z M i P i E m i v i = OM i P E i + OM i P i I = OM i m i v i = ( ( ) N = OM i m i v ) i } {{ } H O x 1 x O 1 O y 1 P i I y OM i P E i = H O (5) ( ) (OM i ) =
3.2. Deducción a partir de las ecuaciones generales de la Dinámica Sea un sistema material X formado por un conjunto de partículas materiales que tienen asociados sus correspondientes índices (i = 1,...,N). Sean m i la masa de la partícula i-ésima, F E i la resultante de las fuerzas exteriores que actúan sobre la misma y M = m i la masa i total. La ecuación de cantidad de movimiento para el sistema es: F E i = M γ G = M d vg dt Realizamos las siguientes operaciones sobre ella: 1. Multiplicamos la ecuación por dt 2. Integramos entre t = y t = t 1 3. Tomamos el límite cuando t 1 lím t 1 F i E dt = N lím t 1 Fi E dt } {{ } P E i d v G = M lím t 1 dt dt y como resultado obtenemos: P i E = M v G La ecuación de momento cinético respecto a un punto O móvil para el sistema es: OM i F E i = d H O +M v 1 O dt vg Realizamos las mismas operaciones que a la de cantidad de movimiento: lím OM i F i ( ) E dt = OM i lím Fi E dt = t 1 t t1 t }{{ } P E i y resulta: d = lím H O t 1 dt dt+m lím v 1 O v G dt t 1 t } {{} velocidades finitas ( ) OM i no varía OM i P E i = H O porque las velocidades se mantienen acotadas durante la fase impulsiva del movimiento. Otra versión de la ecuación del momento cinético es: OM i F E i = d h O +MOG γ 1 O dt
Análogamente se tiene: OM i lím Fi E dt t 1 t }{{ } P E i lo que conduce a: d h O = lím t 1 OM i P E i = h O +MOG v 1 O resultado esperado, teniendo en cuenta que: H O = h O +MOG v O 1 dt dt+mog lím t1 H O = h O +MOG v O 1 d v O 1 dt dt } {{ } v 1 O Esta última versión de la ecuación de momento cinético es menos recomendable que la primera versión, porque tiene inconvenientes asociados al término correctivo. La ecuación de la energía no tiene utilidad porque no podemos evaluar el trabajo que desarrollan las fuerzas impulsivas (las que generan percusiones): lím Pδ(t t ) d r = P δ(t )d r t 1 t } t {{}} {{} W indeterminación ( ) 4. Tipos de problemas Las ecuaciones anteriormente desarrolladas permiten deducir que los problemas de carácter impulsivo se formulan matemáticamente como sistemas algebraicos lineales en las incógnitas asociadas a los mismos. En función de los datos e incógnitas se pueden considerar tres tipos básicos de problemas de carácter impulsivo: donde: Tipo de problema Datos Incógnitas 1) Percusiones directamente aplicadas ECE, P CVS, Q 2) Introducción brusca de ligaduras ECE, ligaduras CVS, Q 3) Choques ECE, e CVS, Q ECE estado cinemático del sistema a la entrada de la fase impulsiva CVS campo de velocidades del sistema a la salida de la fase impulsiva P Percusiones directamente aplicadas (impulso de las fuerzas directamente aplicadas) Q Percusiones de ligadura (impulso de las fuerzas de ligadura) e Coeficientes de restitución (ver siguiente apartado)
4.1. Choques Sean dos solidos lisos en movimiento, con índices asociados 2 y, que chocan en un instante en el punto de contacto M y que tienen en dicho punto un plano tangente común perpendicular al versor n. La reacción normal de un sólido sobre el otro, igual y opuesta a la recíproca, es una fuerza incógnita y por tanto, puede ser impulsiva: M P n P n P n = ( t + N(t)dt ) n. t Hagamos un balance del problema del choque de dos sólidos lisos en la dinámica impulsiva: Ecuaciones: 2 sólidos 6 ecuaciones dinámicas impulsivas/sólido = 12 ecuaciones Incógnitas: 2 sólidos 6 incógnitas cinemáticas/sólido + 1 percusión incógnita = 13 incógnitas Por cada pareja de solidos que chocan hay un deficit de una ecuación, por lo que para cerrar el problema se necesita aportar esa ecuación adicional. Esta información adicional necesaria se considera a través del concepto de coeficiente de restitución (COR). Se define el coeficiente de restitución del choque de dos sólidos como el cociente entre las componentes normales de la velocidad relativa a la salida y a la entrada de la fase impulsiva cambiado de signo: e = ( vm 2 )S n ( v M 2 )E n donde los superíndices S y E hacen alusión a los estados cinemáticos de salida y entrada de la fase impulsiva, respectivamente. Intervienen, por lo tanto, solo las componentes normales de la velocidad relativa del punto de contacto de los sólidos y es invariante ante el cambio de referente o de sentido del versor normal. Su valor se obtiene experimentalmente y depende fundamentalmente del material del que están constituidos los sólidos que chocan (de sus módulos elásticos). Se comprueba, en la práctica, que e [,1]. En los casos reales el coeficiente de restitución adopta valores intermedios, mientras que los dos valores extremos son casos ideales con nombres propios: Cuando e = se dice que el choque es perfectamente inelástico (la componente normal de la velocidad relativa a la salida es nula). Cuando e = 1 se dice que el choque es perfectamente elástico (la velocidad relativa se conserva en módulo, porque la tangencial no cambia) y se puede demostrar que en este caso se conserva la energía mecánica. A : ( v M 2 )S n = ( v M 2 )E n (Choques perfectamente elásticos) B : ( v M 2 )S n = ( v M 2 )E n (Todos los choques lisos) ( v 2 M 2 ) = ( v 2 M n 2 + v 2 M n 2 ) = (A) ( v 2 M n 2 )+ ( v M (B) 2 n 2 ) = 2 n