El Modelo de Solow Swan

César Anúnez I Noas de Crecimieno Económico UNIVERSIDAD NACIONA MAYOR DE SAN MARCOS FACUTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS (Universidad del Perú, Decana de América El Modelo de Solow Swan El modelo de crecimieno con función Cobb-Douglas, desarrollado por Solow y Swan de manera separada en 956 Ese modelo hace referencia a los supuesos, de ecuaciones fundamenal, al examen de cómo se alcanza el equilibrio Todavía en esa pare se supone que no exise progreso ecnológico en el siguiene Capíulo de ese libro (III, veremos como influye la ecnología en el crecimieno de producción de un país Supuesos del modelo A los supuesos básicos del modelo de Solow se le añaden los siguienes supuesos pariculares: Uiliza una función de producción Cobb-Douglas El soc de capial se deprecia a una asa consae exógena: Función de Producción agregada (FPA a función de producción neoclásica, es homogénea de grado uno o linealmene homogénea, con rendimienos consanes a escala y, además, con rendimienos marginales de cada uno de los facores, posiivos y decrecienes Y F( K,, A A K ( I con: 0 sa: Rendimienos de escala consane Rendimienos decrecienes Donde: A : Índice de Nivel de ecnología 2 : Elasicidad del produco respeco al capial Y : Producción agregada en el insane Charles Cobb y Paul Douglas (928 propusieron una función de producción, al que los facores de producción cobran sus producos marginales En su análisis de la manufacura de los EEUU Fue un maemáico amigo de charles Fue senado por Illinois enre 949-966 y profesor de economía 2 Generalmene se supone o se asume que el índice de nivel de ecnológico es la unidad, donde A = A 052053@unmsmedupe

César Anúnez I Noas de Crecimieno Económico 052053@unmsmedupe 2 K : Soc de capial agregado en el insane : Fuerza de rabajo agregada Si muliplicado a la ecuación ( I por 0, comprobaremos que la función es homogénea de grado uno A K Y K A Y K A Y Por lo ano queda comprobado que a función es homogénea de grado uno Esa función ambién puede ser rescria con la función de producción inensiva (FPI, de la siguiene forma: Dividiendo a la ecuación ( I, enre A K Y K A y A K y ( FPI A y a producivaza marginal de capia ( es posiiva 0 ( ( f d df a función es cóncava (por que la segunda derivada es negaiva 0 ( ( 2 2 2 f d f d Saisface las condiciones correspondienes a INADA (Inada, 964 / 0 ( ( f ím 0 / 0 ( ( f ím Crecimieno poblacional Solow considera que oda la población esá empleada y, además, crece a una asa consane deerminada exógenamene Su forma funcional es: n

César Anúnez I Noas de Crecimieno Económico Ecuación Fundamenal de Solow - Swan De la ecuación fundamenal de Solow con depreciación enemos: s f ( n, y f Pero la función de producción Cobb-Douglas; y A f ( A ( FPI Reemplazando la (FPI en la ecuación de Solow s A n, a Ecuación fundamenal de Solow Swan 3 Esa ecuación diferencial de acumulación de capial, donde la asa de cambio del capial por rabajador es igual al remanene del ahorro bruo por rabajador respeco a la ampliación brua de capial Esado de Crecimieno Proporcionado Que lo raducen como esado esacionario (Growh seady sae, en ese esado de crecimieno proporcionado, cuando 0 Hallando :, enonces s A n se deermina s n A s A n s A n Donde el aserisco ( denoa el valor de equilibrio de la variable Reemplazando el de equilibrio ( y hallado en la (FPI, nos da el valor de produco por rabajador y A y s A n 3 Se recomienda al lecor que rae de recordar esa ecuación ya que será uilizada a lo largo de ese libro en los disinos modelos que se represenaran en los capíulos siguienes 052053@unmsmedupe 3

César Anúnez I Noas de Crecimieno Económico Gráfica Nº : Esado Proporcionado de las variables En el Gráfico Nº, podemos apreciar que en el esado de crecimieno proporcionado se deermina, e y Donde ambién se aprecia que la asa de ahorro, s, donde esa deermina el reparo enre consumo por rabajador ( rabajador ( i En el cualquier nivel de f la producción es rabajador es s, y el consumo por rabajador es f s f c y inversión por f, la inversión por Versión de Barro A parir de la ecuación fundamenal de Solow Swan con depreciación; s f ( n equilibrio (, enemos:, dividiendo a esa ecuación enre el capial por rabajador de s A II n ( s A n, a ecuación fundamena Solow-Swan-Barro El miembro izquierdo de la ecuación ( II represena la asa de crecimieno del capial per capia y es igual a la diferencia enre s (curva de ahorro y ( n (curva de depreciación 052053@unmsmedupe 4

César Anúnez I Noas de Crecimieno Económico En el crecimieno proporcionado la 0 g, enonces n s A, se deermina Hallando ; s A s A n n Donde: g : Tasa de crecimieno del capial Gráfica Nº 2: versión de Barro En el Gráfico Nº 2, podemos apreciar que la curva de ahorro es decreciene, iende a cero cuando INADA se aproxima a infinio y cuando se acerca a cero (CONDICIONES En cuano a la curva de depreciación es horizonal, es decir, es independiene de Considerando que ésa es esricamene posiiva y la curva s oma valores enre cero e infinio, las dos funciones (curvas se cruzan una sola vez en la gráfica (puno E y la correspondiene que represena a ese puno es el capial per capia que exise en el esado proporcionado 052053@unmsmedupe 5

César Anúnez I Noas de Crecimieno Económico Acerca de la esabilidad a economía capialisa en el largo plazo iende a un esado de crecimieno proporcionado, y eso lo veremos en dos casos: Caso I ( En ese caso vemos en el Gráfico Nº 3, que, la economía iene hoy un capial 0, la inversión por rabajador (ahorro neo por rabajador supera a la ampliación nea de capia Eso quiere decir que va ocurrir una profundización ( aumenara con el iempo, hasa llegar a igualarse con el capial por rabajador, cuando 0, las curvas originado un puno n s f (, que es llamado el esado proporcionado, donde la canidad de capial por rabajador permanece consane * Gráfica Nº 3: a Esabilidad Caso (I 0 ím * (0 Caso II ( 2 Si el capial por rabajador se encuenra a la derecha *, como se puede apreciar en el Gráfico Nº 4, donde el capial por rabajador esa expresado como 2 En esa región la ampliación nea de capial supera al ahorro por rabajador, eso quiere decir que el ahorro es menor a la canidad necesaria para manener la proporción capialrabajo consane Como 0, por consiguiene la canidad de capial por rabajador comienza a declinar hasa que se iguale con * 052053@unmsmedupe 6

César Anúnez I Noas de Crecimieno Económico Gráfica Nº 4: a Esabilidad Caso (II 2 ím * (2 Dinámica de ransmisión sobre la convergencia Se le da el nombre de Dinámica de ransmisión, por que hace preediciones del modelo que se relaciona con las asa de crecimieno En ese senido el modelo neoclásico raa de explicar la rapidez con la cual, la economía evoluciona hacia el esado proporcionado En esa pare raaremos de explicar las implicarías de los dos ipos de convergencia: Hipóesis de la convergencia Absolua Esa primera hipóesis fue propuesa por hisoriadores económicos como Alesander Gerschenron (952 y Moses Abramoviz (986 Planean que a largo plazo los países del mundo que solo difieran en su relación capial rabajo, enderán a un mismo esado de crecimieno proporcionado En ese senido, aquellas economías que se enconraban en una siuación menos favorable (nivel de ingreso per cápia inferior, enderían a mosrar asas de crecimieno superiores a las economías más desarrolladas (nivel de ingreso per cápia superior 4 Implicancias Aquello países, que el mismo iempo (inicio, ienen relaivamene un men or capial por rabajador, crecen más rápido, que los países que ienen al inicio mayor capial por rabajador 4 Finalmene, por lo que respeca al concepo, debe mencionarse que en el caso de que las economías sean lo suficienemene parecidas si podrá esperarse la exisencia de convergencia absolua 052053@unmsmedupe 7

César Anúnez I Noas de Crecimieno Económico Gráfica Nº 5: a Convergencia Absolua En el Gráfico Nº 5, podemos apreciar que los países pobres que ienen menor capial por rabajador (, en el largo plazo crecerán a una asas mayores que los P países ricos con mayor capial por rabajador ( R P R g P g R Donde: P g : Tasa de crecimieno del país pobre R g : Tasa de crecimieno del país rico P: Países pobres R: Países ricos William Baumol (986, fue uno de los primeros en presenar evidencia documenada enre algunos países y la ausencia de convergencia de oros a criica de Bradford De ong (988, es que la convergencia de Baumol para países desarrollados en el siglo pasado, era una muesra sesgada (por que solo usaba países indusrializados En paricular De ong observo dos cosas: Primero solo incluía países indusrializado (de la década del 980, segundo al incluir a Argenina en la muesra, que era más rico que Japón en 870, no se cumplía la convergencia Absolua Rober Barro (992, como se muesra a coninuación uilizando una muesra de 98 países consaa que la hipóesis de convergencia absolua es invalidad El argumeno de la convergencia absolua fue rechazado por la evidencia empírica, ya que si bien algunos países han logrado un alo nivel de crecimieno sosenido, alcanzando los niveles de ingreso per cápia de las economías desarrolladas, las diferencias presenes enre los países más pobres del planea y los más ricos muesran un alo grado de persisencia a polémica en orno a la convergencia enre los países generó gran abundancia de esudios empíricos en la década de los novena que buscaba deerminar su 052053@unmsmedupe 8

César Anúnez I Noas de Crecimieno Económico exisencia en diferenes grupos de países, presenamos un cuadro [] con los resulados de algunos esudios 5 Cuadro : a Convergencia en el mundo Series analizadas Referencia Convergencia absolua Convergencia condicional Mundo (0 países Salan-i-Marín (996 No Si Mundo (98 países Barro (99 No Si Mundo (98 países Maniw, Romer, Weill No Si (992 Esados Unidos (48 Barro y Salan-i-Marín Si Si esados (992 OCDE (22 países Maniw, Romer, Weill Si Si (992 Pacífico del sur (9 islas Cashin y oayza (995 Si Si América aina (2 José de Gregorio (995 No Si países América aina (23 Corbo y Rojas (994 No se Si países responde México (32 esados Navarree (994 No evidene Si México (3 esados JRamon y RBáiz (996 Si Si Hipóesis de la convergencia Condicional En el mundo exise una diversidad de economías que presena un nivel de equilibrio paricular, el cual depende de facores de carácer ecnológico, PBI per-cápia, ales como el nivel de alfabeismo y la esperanza de vida al nacer, insiucional y social, hacia el cual se iende a lo largo del iempo Según el crierio del PBI per cápia (PPA en dólares, pueden haber disino grupos de países 6 El PNUD, disingue los países según su PBI per-cápia, como se puede apreciar en el cuadro [2], de la quina columna, donde los países capialisa iene un ingreso por persona superior o igual a 23,928 dólares 5 Véase la Convergencia regional en América laina: 980-2000 de uís Fernando Cabrera Casellanos* Blanca García Alamilla** * Profesor Invesigador de la Universidad de Quinana Roo ** Esudiane de la Faculad de Economía de la Universidad Auónoma de Yucaán 6 PPA: paridad de poder de adquisición 052053@unmsmedupe 9

César Anúnez I Noas de Crecimieno Económico Para nuesro análisis de la convergencia condicional nos cenraremos en quina columna de ese cuadro, donde disingue los grupos por ingresos por persona Donde los países pobres no ienen necesariamene que alcanzar a los países más ricos en el esado esacionario; por el conrario, es probable que los países pobres engan un soc de capial por rabajo efecivo muy cercano a su correspondiene esado esacionario Esa hipóesis ambién implica que los países pobres Planeamieno Cada grupo de países iende a largo plazo, a su propio esado de crecimieno proporcionado Aquello países que al inicio enían relaivamene un menor capial por rabajador, crecerán denro de su propio grupo, más rápido que los oros países que al inicio enían más capial por rabajador Eso quiere decir que se dará la convergencia denro de su propio grupo o mismo se efecúa con los oros grupos de países si se consaa que la convergencia condicional en plausible Un ejemplo de eso son; Japón, Corea, Singapur y Hong Kong, que 960, crecieron con mayor rapidez en los úlimos reina años, al como se expresa la hipóesis de convergencia condicional 052053@unmsmedupe 0

César Anúnez I Noas de Crecimieno Económico a regla de Oro de la acumulación Esa regla nos quiere decir que el valor de del esado proporcionado que maximiza el consumo se le llama la regla de oro de la acumulación de capial y lo denoaremos con Oro 7 Para enconrar el soc de capial que se refiere Phelps, lo primero que debemos hacer es enconrar el esado proporcionado de la ecuación de Solow Swan, por lo que 0 Por lo que si reescribimos la ecuación, eniendo en cuena que el ahorro es igual a la producción menos el consumo Para expresar al consumo de esado proporcionado, c, con función del capial en el esado proporcionado 0 f ( c ( n c f ( ( n ( a ecuación [ ] nos dice que el consumo en el esado proporcionado, es igual a la producción menos la depreciación Eso quiere decir que un aumeno del capial aumenara f (, el consumo en el esado proporcionado y por ulimo aumena la canidad de maquinas uilizadas en la producción, de esa manera se afeca a ( n Para enconrar la regla mencionada ahora enemos que maximizar el consumo en el esado proporcionado con respeco a, enonces derivando a c de la ecuación (, con respeco a dc d Oro f ( ( n 0 f ( PMg n( Gráfica Nº 6: a regla de Oro 7 Así es como lo llama Phelps (96 cuando hace referencia a la asa de ahorro que maximiza el consumo en el esado proporcionado 052053@unmsmedupe

César Anúnez I Noas de Crecimieno Económico Como se puede apreciar en el Gráfico Nº 6, que la ecuación (, expresa la pendiene de la curva, donde el puno de disancia enre las dos curvas es máxima y Oro deermina el consumo de oro ( c Pero para alcanzar ese puno es necesario enconrar el ahorro que haga que en el crecimieno proporcionado sea precisamene Oro Ahora analicemos que pasa con la economía según el Gráfico Nº 7, si enemos un Oro soc de capial superior a, enonces en ese puno la economía se enconrara en un esado ineficiene Gráfica Nº 7: Tasa de ahorro superior a la regla de Oro Esa economía podría aumenar su consumo si reduce la asa de ahorro, a un nivel de la regla de oro ya que la asa de ahorro esa relacionada con el consumo Al reducir la asa de ahorro, la curva de ahorro de la economía desplaza hacia abajo, durane ese proceso el consumo queda definido como la diferencia enre la función Oro de producción, f, y la curva de ahorro s f ( ( Para apreciar mejor como a evolucionado el consumo con esa disminución del ahorro pasa remos a observar el Gráfico Nº 8 052053@unmsmedupe 2

César Anúnez I Noas de Crecimieno Económico Gráfica Nº 8: Variación del consumo ane una reducción de s A largo plazo la economía convergerá a, donde el consumo es superior y ambién es superior Enonces si la economía encuenra un, enonces reducimos la asa de ahorro a un odos los momenos del iempo Oro s Oro y con eso conseguí aumenar el consumo en Enonces podemos concluir que el consumo en el esado proporcionado es máximo en el esado proporcionado de la regla de oro Políica de Crecimieno ejercicios resuelos Problema # Suponga que exise una economía capialisa cuya función de producción agregada 5 2/ 5 es Y 3/ A K, y se sabe que la asa de ahorro de esa sociedad es de 30% del produco agregado cada año, ambién se sabe que; a asa de depreciación del capial es de 8% al año, la asa de crecimieno de la fuerza de rabajo es del 2% al año y por ulimo se sabe que el índice de nivel de ecnología es la unidad Se pide: a Hallar la ecuación fundamenal de Solow Swan b Hallar el esado de crecimieno proporcionado c Hallar los valores de capial por rabajador y de produco por rabajador del esado proporcionado d Hallar la asa de salario y la asa de rendimienos bruo del capial y graficar los valores e Hallar la paricipación de los salarios y de los beneficios bruos en el ingreso nacional Rp: a Hallar la ecuación fundamenal de Solow Swan De los daos enemos: s 0 30, 0 08, n 0 02 A 052053@unmsmedupe 3

César Anúnez I Noas de Crecimieno Económico Y A K ( 3/ 5 2/ 5 enemos:, dividiendo la función de producción enre la canidad de rabajadores Para operar con facilidad usaremos un viejo ruco maemáico Y K A 3/ 5 3/ 5 2/ 5 2/ 5 Y 3/ 5 K 3/ 5 A y A ( FPI Ahora deduciremos la ecuación de Solow Swan K C ( s F( K,, A I K Y C I F( K,, A ( s F( K,, A K K, donde K F( K, A K x f ( ( I K d K 2 d K K Reemplazando la ecuación ( I en la ecuación ( II d d ( f ( n f ( ( n ( III K d n ( II d a ecuación ( III represena la ecuación fundamenal de Solow Swan que hemos deducido por única vez, solo la mencionaremos y la aplicaremos de forma direca en las siguienes paginas del libro Reemplazado los daos en la ecuación fundamenal de Solow Swan 5 (030( 3 / (00, la ecuación de fundamenal de Solow Swan b Hallar el esado de crecimieno proporcionado Para el crecimieno proporcionado enemos que: 0 0 Dividiendo la ecuación de fundamenal de Solow Swan, enre el capial por rabajador (, enemos: 030( / 00 030 00 2 / 0 030 0 0 2 / 5 ( 2 5 5 c Hallar los valores de capial por rabajador y de produco por rabajador del esado proporcionado 052053@unmsmedupe 4

César Anúnez I Noas de Crecimieno Económico Despejando, Reemplazando,, de la ecuación anerior, enemos, en la función de producción inensiva (FPI 3 / 5 Oro y (5589 y 5 96 s f ( 5588 5 / 2 030 Oro 5 589 00 Gráfico del Problema # d Hallar la asa de salario y de rendimieno bruo de capial y graficar los valores Mercado de capial: 3 / 5 d( 3 PMg r PMg r 0 999972 d 55589 5589 2 / 5 Mercado de rabajo: PMg W PMg 2 5 2 5 5 3 f ( ( 3 / f W A A 2 / 5 5 2 / 5 3 / 5 W A W ((5589 W 2 079 052053@unmsmedupe 5 (

César Anúnez I Noas de Crecimieno Económico e Hallar la paricipación de los salarios y de los beneficios bruos en el ingreso nacional a paricipación del salario: w y Y W 2079 040, a paricipación del salario en el ingreso nacionales del 40% 596 a paricipación del beneficio: r B y Y nacional es del 60% (558909999972 596 06, la paricipación del beneficio en el ingreso Gráfico de la disribución del ingreso nacional Problema #2 Analice el impaco de una reducción permanene de la asa de depreciación del soc de capial sobre el crecimieno Rp: Cuando se produce una reducción del soc de capial, enonces la curva de ampliación del capial, comenzara a roar en senido horario, como se muesra en el Gráfico, de al modo que cuando se inerfeca a la curva de ampliación nea de capial, deermina el nuevo esado de crecimieno proporcionado ( E 2, donde la asa P de crecimieno de largo plazo ( g 0 es cero En ese puno exise mayor capial por rabajador ( y un produco por rabajador ( * 2 * y 2 mayor que el inicial 052053@unmsmedupe 6

César Anúnez I Noas de Crecimieno Económico En el Gráfico poserior podemos apreciar la versión de Barro, donde la reducción de la depreciación se desplaza así abajo, y cuando llega a inersecarse con la curva de ahorro deermina mayor capial por rabajador ( en equilibrio * 2 2 s f ( 2 ( n 2 Si: 2 0 d( f ( 2 * 2 0 d s f ( 2 ( n 2 Donde: * * 2 Gráfico del problema #2 Problema #3 Suponga que exise una economía capialisa cuya función de producción agregada 4 / 4 es Y 3/ A K, y se sabe que la asa de ahorro de esa sociedad es de 35% del produco agregado cada año, ambién se sabe que; a asa de depreciación del capial es de 0% al año, la asa de crecimieno de la fuerza de rabajo es del % al año y por ulimo se sabe que el índice de nivel de ecnología es la unidad Se pide: a Hallar la ecuación fundamenal de Solow Swan b Hallar el esado de crecimieno proporcionado c Hallar los valores de capial por rabajador y de produco por rabajador del esado proporcionado d Hallar la asa de salario y la asa de rendimienos bruo del capial y graficar los valores e Hallar la paricipación de los salarios y de los beneficios bruos en el ingreso nacional 052053@unmsmedupe 7

César Anúnez I Noas de Crecimieno Económico Rp: a Hallar la ecuación fundamenal de Solow Swan De los daos enemos: s 0 35, 0 0, n 0 0 A 3/ 4 / 4 Y A K, dividiendo la función de producción enre la canidad de rabajadores ( enemos: Para operar con facilidad usaremos un viejo ruco maemáico Y K A 3/ 4 3/ 4 / 4 / 4 Y 3/ 4 K 3/ 4 A y A ( FPI Reemplazado los daos en la ecuación fundamenal de Solow Swan, donde 4 (035( 3 / (0, la ecuación de fundamenal de Solow Swan b Hallar el esado de crecimieno proporcionado Para el crecimieno proporcionado enemos que: 0 0 Dividiendo la ecuación de fundamenal de Solow Swan, enre el capial por rabajador (, enemos: 035( / 0 035 0 / 0 035 0 / 4 ( 4 4 c Hallar los valores de capial por rabajador y de produco por rabajador del esado proporcionado Despejando, Reemplazando,, de la ecuación anerior, enemos, en la función de producción inensiva (FPI 4 035 02 5 0 3 / 4 * y ((025 y 32 2 s f ( 27 052053@unmsmedupe 8

César Anúnez I Noas de Crecimieno Económico Gráfico del Problema #3 d Hallar la asa de salario y de rendimieno bruo de capial y graficar los valores Mercado de capial: 3 / 4 d( 3 PMg r PMg r 0 23572 d 4 025 / 4 Mercado de rabajo: PMg W PMg 4 4 4 3 f ( ( 3 / f W A A / 4 4 2 / 4 3 / 4 W A W ((025 W 8 05347 e Hallar la paricipación de los salarios y de los beneficios bruos en el ingreso nacional a paricipación del salario: w W y Y 25% 805347 025, a paricipación del salario en el ingreso nacionales del 322 a paricipación del beneficio: 052053@unmsmedupe 9 (

César Anúnez I Noas de Crecimieno Económico r y B (025023572 075, la paricipación del beneficio en el ingreso nacional Y 322 es del 75% Gráfico de la disribución del ingreso nacional Problema #4 Imaginemos que China en la década de los 80 experimenos un incremeno de su población, considerablemene, y debido a esos se quiere analizar ese incremeno permanene de la asa de crecimieno de la población, sobre el crecimieno de su economía Rp: Con el aumeno permanene de la asa se crecimieno de la población ( n, la curva de ampliación de capial roa en senido anihorario, de al modo que cuando se inerfeca con la curva de ampliación nea de capial deermina el nuevo esado de crecimieno proporcionado, con mayor capial ( rabajador ( * y y con mayor produco por * 052053@unmsmedupe 20

César Anúnez I Noas de Crecimieno Económico Gráfico del problema #4 En la versión de Barro que se muesra en la pare inferior de nuesro Gráfico presenado, podemos apreciar, que el aumeno de la asa de crecimieno de la población hace que la curva de depreciación se desplace así arriba y al inersecarse con la curva de ahorro genere el nuevo puno de equilibrio ( E 2 En ese puno exise un menor capial por rabajador Nóese que ese mismo aumeno de la asa de crecimieno poencial de la economía g Poencial _ P n asa _ progreso _ ecnológico Si n g Poencial 052053@unmsmedupe 2