05 Problemas de elasticidad bidimensional Diego Andrés Alvarez Marín Profesor Asistente Universidad Nacional de Colombia Sede Manizales 1
Convención para los esfuerzos positivos 2
Deformaciones 3
Ley de Hooke (relación esfuerzos deformaciones) 4
Ley de Hooke para materiales anisotrópicos (relación esfuerzos-deformaciones) D 1=x, 2=y, 3=z 5
Tensión plana 6
Deformación plana 7
Ley de Hooke para tensión plana 8
Ley de Hooke para deformación plana 9
Deformaciones iniciales 10
Deformaciones iniciales 11
Esfuerzos iniciales 12
Esfuerzos iniciales 13
Esfuerzos iniciales 14
Malla de elementos finitos 15
Numeración local vs numeración global de los nodos de la malla 16
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Reglas para la creación de la malla de elementos finitos Es importante reconocer que la malla de elementos finitos representa una idealización de la geometría real. Por consiguiente, el análisis por elementos finitos reproduce el comportamiento de la malla escogida, y no el de la estructura real. Solamente comprobando la convergencia de la solución podemos estimar el grado de aproximación de la solución de elementos finitos a la exacta. 19
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Selección del tipo de elemento En caso que se tenga una cierta idea de la forma polinómica de la solución, conviene utilizar elementos con funciones de forma del mismo grado que la solución conocida (rara vez ocurre en la práctica) En zonas donde se intuya que pueden existir gradientes de esfuerzos elevados es más adecuado utilizar elementos de mayor orden (método p) o mallas más tupidas (método h). 22
Selección del tipo de elemento Debe evitarse colocar un elemento pequeño contiguo a uno grande. La transición en tamaño debe ser gradual Se recomienda utilizar elementos finitos de pocos nodos (pero no tan pocos!) En el caso de elementos Lagrangianos, tener cuidado con el problema de Runge. Por lo tanto no es bueno escojer tantos nodos. 23
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Convergencia de la solución En lo posible, se deben hacer análisis con mallas cada vez más tupidas, de modo que podamos observar si la solución ha convergido. 25
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Funciones de forma globales 27
Funciones de forma locales 28
Elemento triangular de tres nodos 29
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Discretización del campo de deformaciones 32
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Discretización del campo de deformaciones 34
Discretización del campo de tensiones 35
Fuerzas sobre un elemento triangular de tres nodos 36
Las fuerzas de superficie pueden ser de dos tipos: a) Debidas a fuerzas exteriores que actuan sobre los lados del elemento que forman parte del contorno exterior de la estructura b) Debidas a las fuerzas de interacción entre elementos que se transmiten a través de lados comunes. Estas últimas se ignoran desde un principio pues se anulan en el ensamblaje (ya que tienen igual magnitud y dirección, pero sentidos 37 opuestos).
PTV aplicado a un elemento 38
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Hay que destacar que estas expresiones son totalmente generales y, por consiguiente, aplicables a cualquier elemento bidimensional 41
Matriz de rigidez para un elemento triangular de tres nodos 42
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Vectores de fuerzas nodales equivalentes para un elemento triangular de tres nodos 44
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Ejercicio de programación Considere la viga mostrada, suponiendo que el peso del material es 7.8 kg/m3, E = 200GPa, el coeficiente de Poisson es 0.30 y el espesor de la viga es 10 cm. Calcule los campos de esfuerzos, desplazamientos y deformaciones de la viga 49
Elemento rectangular de 4 nodos 50
Elemento rectangular de 4 nodos 51
Elemento rectangular de 4 nodos 52
Elemento rectangular de 4 nodos Nota: la matriz de rigidez que aparece en el libro de Oñate está mala. Esta es la correcta: 53
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Elemento rectangular de 4 nodos Este elemento es muy bueno para problemas de tracción/compresión pura, pero es malo para problemas de flexión debido a su incapacidad natural de adoptar formas curvas. Por esta razón se necesitan mallas muy tupidas 55 para obtener resultados mínimamente aceptables.
Ejercicio de programación 56
El triángulo de Pascal 57
Triángulo de Pascal 58
Funciones de forma de un elemento rectangular de clase C0 y lados rectos Estos elementos están expresados en las llamadas coordenadas naturales o intrínsecas 59
Elemento rectangular lagrangiano vs Elemento rectangular serendípito 60
Polinomios de Lagrange 61
Funciones de forma 1D (2 nodos) 62
Funciones de forma 1D (3 nodos) 63
Funciones de forma 1D (4 nodos) 64
Elemento rectangular lagrangiano de 4 nodos 65
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Elemento rectangular lagrangiano de 9 nodos 67
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Elemento rectangular lagrangiano de 16 nodos 69
Mostrar programa de MATLAB 70
Elemento rectangular cuártico lagrangiano 71
Otros elementos rectangulares de la familia de Lagrange 72
Intercontinuidad elemental Después de la deformación: Esto implica que si se hace una transición en el orden de los elementos finitos, se deben utilizar elementos finitos Lagrangianos con diferente número de nodos en cada 73 lado para hacer la transición.
Serendipia (chiripa) Una serendipia es un descubrimiento o un hallazgo afortunado e inesperado. Se puede denominar así también a la casualidad, coincidencia o accidente. El término serendipia deriva del inglés serendipity, neologismo acuñado por Horace Walpole en 1754 a partir de un cuento persa del siglo XVIII llamado Los tres príncipes de Serendip, en el que los protagonistas, unos príncipes de la isla Serendip (que era el nombre árabe de la isla de Ceilán, la actual Sri Lanka), solucionaban sus problemas a través de increíbles casualidades. NOTA: chiripa si está en el diccionario, serendipia no lo está. Serendipity si existe en el diccionario inglés. 74
Elementos serendípitos rectangulares Se obtienen de la siguiente manera: Se selecciona el número de nodos de cada lado para definir una variación lineal, cuadrática, cúbica, etc., sobre dichos lados que garantice la continuidad interelemental. Se escoge el mínimo número de nodos en su interior de modo que se obtenga una variación polinómica de xi y eta completa y simétrica, del mismo grado que la variación sobre los lados. 75
Elemento rectangular serendípito de 4 nodos Este elemento pertenece a ambas familias: Lagrangiana y Serendípita 76
Elemento rectangular serendípito de 8 nodos 77
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Elemento rectangular serendípito de 12 nodos 79
Elemento rectangular serendípito de 17 nodos 80
Elemento rectangular lagrangiano vs Elemento rectangular serendípito (GANADORES!) 81
Funciones de forma de elementos triangulares de lados rectos Estas funciones de forma se caracterizan porque sus funciones de forma contienen exactamente todos los términos de un polinomio completo de un determinado grado. 1 término 3 términos (lineal) 6 términos (cuadrático) 10 términos (cúbico) 82
Coordenadas de área 83
Coordenadas de área Interpolación paramétrica de la geometría 84
Elemento triangular de 3 nodos 85
Elemento triangular de 6 nodos 86
Elemento triangular de 10 nodos 87 Mostrar programa de MATLAB
Coordenadas naturales del triángulo 88
Cuál elemento finito tiene más precisión? Los elementos rectangulares son más precisos que los triangulares para el mismo orden de aproximación polinomial. No obstante, los elementos triangulares son mucho más versátiles que los rectangulares en la discretización de geometrías complejas. Los elementos de bajo orden son más sencillos de utilizar aunque en problemas con altos gradientes de esfuerzos la precisión sólo se alcanza a cambio de introducir un gran número de elementos sencillos, lo que puede hacer obligatorio, e incluso más rentable en ocasiones, el utilizar elementos de 89 orden más elevado.
La matriz Jacobiana 90
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El teorema de la función inversa 92
El Jacobiano (determinante de la matriz Jacobiana) El Jacobiano se puede entender como la candidad de estiramiento que una impone una transformación de variables. 93
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Cambios de variable en integrales múltiples 95 Ver: http://www.wikimatematica.org/index.php?title=cambio_de_variables_en_integrales_múltiples
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La transformación de coordenadas rectangulares a polares. Se puede notar que el área de la región polar es distinta que la de la región rectangular, lo que justifica la necesidad del jacobiano. 97
Elementos isoparamétricos bidimensionales 98
Elementos cuadriláteros isoparamétricos bidimensionales 99
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y x y x y x Si se utilizan funciones de forma lineales ningún ángulo interior entre dos lados del elemento sea mayor de 180o. Si las funciones de forma son cuadráticas es necesario además que los nodos sobre los lados se encuentre en el tercio central de la distancia entre los nodos esquina adyacentes. Para funciones de forma de órdenes superiores es necesario comprobar 101 el signo del Jacobiano.
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104 El integrando es una función racional por lo que debe hacerse uso de la integración numérica
Elementos triangulares isoparamétricos bidimensionales 105
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Integración numérica utilizando las cuadraturas de Gauss Legendre sobre dominios cuadriláteros 107
Cuadraturas de Gauss Legendre 108
Cuadraturas de Gauss Legendre Recuerde que una cuadratura de orden n en cada dirección natural integra exactamente un polinomio de grado 2n-1 o menor en la correspondiente coordenada natural 109
Integración numérica utilizando las cuadraturas de Gauss Legendre sobre dominios triangulares David Dunavant, High Degree Efficient Symmetrical Gaussian Quadrature Rules for the Triangle, International Journal for Numerical Methods in Engineering,Volume 21, 1985, pages 1129-1148. http://people.sc.fsu.edu/~jburkardt/m_src/dunavant/dunavant.html 110
En la tabla la precisión indica el grado del polinomio que se integra exactamente. En los artículos científicos usualmente se tabulan los Wi de modo que sumen 1. Sin embargo en la fórmula se requiere dividir por 1/2. Aquí los pesos ya se han 111 dividido por 1/2.
Selección del orden de integración En nuestro caso las integrales son funciones racionales y la integración exacta no es posible. Escoja una número de puntos de integración que integre exactamente los términos de K correspondientes al polinomio completo contenido en las funciones de forma esta estrategia se llama la cuadratura mínima para obtener la convergencia. 112
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Si se escojen menos puntos de integración podrían aparecer mecanismos internos. 114
EJEMPLO MATLAB 115
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Extrapolación de los esfuerzos a los nodos del elemento finito Ver Oñate pǵ 692 119
Alisado de los esfuerzos 120
Integración numérica de la matriz de rigidez del elemento Elemento rectangular: Elemento triangular: 121
Integración numérica del vector de fuerzas másicas 122
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Cálculo de los esfuerzos principales 130
Teorías de falla En el ámbito de la teoría de la elasticidad la falla se produce cuando se produce fluencia en el material. Para calcular el esfuerzo de fluencia las dos teorías de falla más populares son: Criterio de falla de Tresca (teoría del máximo esfuerzo cortante) Criterio de falla de Von Mises (teoría de la máxima energía de deformación) 131
Tresca 132
Von Mises 133
Comparación de las superficies de fluencia para los criterios de Von Mises y Tresca en usando las tensiones principales como coordenadas. Observe 134 que el criterio de Tresca es más conservador
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