Ortogonalidad múltiple en la circunferencia unidad

. Coloquio. Ortogonalidad múltiple en la circunferencia unidad Departamento de Análisis Matemático, Universidad de La Laguna, Tenerife, Islas Canarias, España. rcruzb@ull.es - ruyman.cruzbarroso@cs.kuleuven.be Coloquio del Departamento de Análisis Matemático, octubre de 2013. Trabajo en colaboración con Carlos Díaz-Mendoza y Ramón Orive

. Coloquio. Análisis Numérico moderno von Neumann, John and Goldstine, Herman H., Numerical inverting of matrices of high order. Bulletin of the American Mathematical Society, Vol 53, No. 11, pp. 1021-1099. Menasha, Wis. and NY: American Mathematical Society, November 1947. Se entiende por moderno que combine herramientas de Análisis Matemático con un código de programación para equipos electrónicos y la necesidad de resolver problemas aplicados muy complejos.

. Coloquio. Por qué la Integración Aproximada? Origen: Antigua Grecia. Posteriormente: Simpson, Boole, Lagrange,... P.J.Davis and P. Rabinowitz, Methods of Numerical Integration. Academic Press, New York, 1984.... The mathematically sophisticated methods do not always work, and even if they do work, it may not be advantageous to use them.... Methods that appear on the surface to be exact become approximate when reduced to a numerical process.

. Coloquio. Por qué la Integración Aproximada? Ejemplo: Teorema fundamental del cálculo, b a f (x)dx = F (b) F (a). Suponer f (x) = 1 1+x 4. Entonces, F (x) = x 0 dt 1+t 4 = 1 4 log x2 +x 2+1 2 x 2 x + 1 2+1 2 2 [ arctan x 2 x + arctan ] x 2+x. Fórmula de cuadratura: b a f (x)dx A 1f (x 1 ) + A 2 f (x 2 ) + + A n f (x n ).

. Coloquio. Definición de fórmula de cuadratura en el eje real σ: medida positiva en [a, b] (de probabilidad), cuyo soporte contiene infinitos puntos. Medida de Borel regular de soporte compacto. Objetivo: estimar I σ (f ) := b a f (x)dσ(x). Hipótesis de partida: momentos c k := b a x k dσ(x) finitos y fácilmente computables. Fórmula de cuadratura: I σ n (f ) := n j=1 A jf (x j ). Nodos: {x j } n j=1 [a, b], x i x j si i j. Coeficientes o pesos: A j. Cómo elegir los nodos y pesos de manera apropiada?

. Coloquio. Ortogonalidad en el eje real Producto interior inducido: f, g σ = b a f (x)g(x)dσ(x), f, g L 2 σ([a, b]). Nótese: xf (x), g(x) σ = f (x), xg(x) σ. Proceso de Gram-Schmidt a span{1, x,..., x n } {p n } n 0 familia de polinomios ortogonales para σ, única salvo factor multiplicativo. p n (x): familia mónica, p n (x) = x n +. P n (x): familia ortonormal, P n (x) = γ n x n +. En este caso, P n (x) 2 σ= b a P2 n(x)dσ(x) = 1.

. Coloquio. Algunas propiedades elementales sobre polinomios ortogonales en el eje real Los n ceros de p n están en (a, b) y son distintos dos a dos. Ley de recurrencia a tres términos: p 1 (x) 0, p 0 (x) 1 y p n+1 (x) = (x α n )p n (x) β n p n 1 (x), n 0, donde α n = xp n, p n σ, β n = xp n, p n b σ, β 0 = dσ(x). p n, p n σ p n 1, p n 1 σ a Similar para la familia ortonormal. Permite computar la familia recursivamente a partir de los momentos.

. Coloquio. Algunas propiedades elementales sobre polinomios ortogonales en el eje real Matriz de Jacobi (tridiagonal y simétrica): xp n (x) = a n+1 P n+1 (x) + b n+1 P n (x) + a n P n 1 (x), a n > 0, asociamos la matriz b 1 a 1 0 0 0 a 1 b 2 a 2 0 0 J = 0 a 2 b 3 a 3 0........ Si la medida es de soporte compacto a n, b n sucesiones acotadas. Matriz de representación del operador de multiplicación, x ˆP = J ˆP Teoría espectral.

. Coloquio. Algunas propiedades elementales sobre polinomios ortogonales en el eje real Teorema de Favard (1935, recíproco a la ley de recurrencia): Sean {a n } n=1, {b n} n=1 R, sucesiones acotadas, a n > 0 para todo n, y definamos recursivamente la familia de polinomios: xp n (x) = a n+1 P n+1 (x) + b n+1 P n (x) + a n P n 1 (x), a n > 0, donde P 1 (x) 0 y P 0 (x) 1. Entonces, existe una única medida positiva de Borel regular de soporte compacto µ de manera que {p n } es una familia de polinomios ortogonales en L 2 µ(r). Relación biunívoca entre sucesiones reales {a n } n=1 y {b n} n=1 con a n > 0 para todo n, y medidas positivas en R.

. Coloquio. Algunas propiedades elementales sobre polinomios ortogonales en el eje real Fórmula de Heine: Matriz de Hankel (simétrica y definida positiva): c 0 c 1 c 2 c n c 1 c 2 c 3 c n+1 H n =......., n = det H n. c n c n+1 c n+2 c 2n Entonces, c 0 c 1 c 2 c n p n (x) = 1 c 1 c 2 c 3 c n+1. n 1....... c n 1 c n c n+1 c 2n 1 1 x x 2 x n

. Coloquio. Algunas propiedades elementales sobre polinomios ortogonales en el eje real Entrelazamiento de ceros: si denotamos por {x j,n } n j=1 los ceros de p n, entonces x j,n < x j,n 1 < x j+1,n. Núcleo reproductor: K n (x, y) = n j=0 P j(x)p j (y). Propiedad reproductora: Q n polinomio de grado n, Q n (y) = b Identidad de Christoffel-Darboux: a K n (y, x)q n (x)dσ(x). K n (x, y) = a n+1 P n+1 (x)p n(y) P n(x)p n+1 (y) x y, x y, ) K n (x, x) = a n+1 (P n+1 (x)p n(x) P n(x)p n+1 (x).

. Coloquio. Algunas familias con nombre propio Jacobi: dσ(x) = (1 x) α (1 + x) β dx en [ 1, 1], α, β > 1. Legendre: dσ(x) = dx (Jacobi con α = β = 0) en [ 1, 1]. Chebyshev de primera especie: dσ(x) = 1 1 x dx en [ 1, 1]. 2 Chebyshev de segunda especie: dσ(x) = 1 x 2 dx en [ 1, 1]. 1+x Chebyshev de tercera especie: dσ(x) = 1 x dx en [ 1, 1]. Chebyshev de cuarta especie: dσ(x) = dx en [ 1, 1]. 1 x 1+x Ultraesféricos (Gegenbauer): dσ(x) = (1 x 2 ) µ 1 2 dx en [ 1, 1], µ > 1 2, µ 0. Hermite: dσ(x) = e x2 dx en R. Laguerre: dσ(x) = x α e x dx, α > 1 en R +....

. Coloquio. Volviendo a las fórmulas de cuadratura... Teorema de aproximación de Weierstrass: En un compacto, cualquier función continua se puede aproximar uniformemente por polinomios. Esto motiva el criterio de máxima exactitud polinómica. I σ (f ) := b a f (x)dσ(x), I σ n (f ) := n A j f (x j ). I σ n (P) = I σ (P), para todo P polinomio de grado N = N(n) lo más grande posible. j=1

. Coloquio. Volviendo a las fórmulas de cuadratura... Fórmulas de tipo interpolatorio: nodos fijados de antemano Exactitud en P n 1. Convergen en C ([a, b]), siempre que n j=1 A j M, M constante independiente de n. Pesos: integrando polinomios fundamentales de Lagrange. Fórmulas Gaussianas: elección particular de nodos: n ceros de p n Exactitud en P 2n 1 (óptima). Pesos positivos: n j=1 A j = n j=1 A j = c 0 = M <. Se garantiza tal condición y se acelera la velocidad de convergencia. A j = K 1 n (x j, x j ) > 0.

. Coloquio. Polinomios ortogonales en la circunferencia unidad G. Szegő, Orthogonal Polynomials, Amer. Math. Soc. Colloq. Publ., Vol. 23, Amer. Math. Soc. Providence, R.I. 1939. Ya. L. Geronimus, Orthogonal Polynomials: Estimates, Asymptotic Formulas, and Series of Polynomials Orthogonal on the Unit Circle and on an Interval, Consultants Bureau, New York, 1961. B. Simon, Orthogonal Polynomials on the unit circle, Amer. Math. Soc. Colloq. Publ., Vol. 54, Amer. Math. Soc. Providence, R.I. 2004.

. Coloquio. Definición de fórmula de cuadratura en la circunferencia unidad ω: medida positiva en T := {z C : z = 1} (de probabilidad), cuyo soporte contiene infinitos puntos. Medida positiva de Borel regular. Objetivo: estimar I ω (f ) := T f (z)dω(z). Hipótesis de partida: momentos trigonométricos c k := T zk dω(z) finitos y fácilmente computables. Fórmula de cuadratura: I ω n (f ) := n j=1 λ jf (z j ). Nodos: {z j } n j=1 T, z i z j si i j. Coeficientes o pesos: λ j. Cómo elegir los nodos y pesos de manera apropiada?

. Coloquio. Ortogonalidad en la circunferencia unidad Producto interior inducido: φ, ϕ ω = T φ(z)ϕ(z)dω(z), φ, ϕ L 2 ω(t), z = e iθ. Nótese: zf, g ω = f, 1 z g ω. El argumento anterior para buscar una ley de recurrenca no es válido! Polinomio recíproco: P n (z) polinomio de grado exacto n P n(z) = z n P n (1/ z). P n (z) = a 0 + a 1 z + a 2 z 2 + + a n z n, P n(z) = a n + a n 1 z + + a 0 z n.

. Coloquio. Ortogonalidad en la circunferencia unidad Aplicando de nuevo Gram-Schmidt: {ρ n (z)} n=0, familia de polinomios ortogonales con respecto a ω, polinomios de Szegő. ρ 0 (z) = ρ 0 (z) 1, ρ n(z) P n mónico verificando ρ n (z), z s ω = ρ n(z), z t ω = 0 para todo y ρ n (z), z n ω = ρ n(z), 1 ω > 0. s = 0, 1,..., n 1, t = 1, 2,..., n,

. Coloquio. Ley de recurrencia de Szegő ρ n (z) P n \P n 1 y ρ n (z) span{1, z,..., z n 1 }. zρ n (z) P n+1 \P n y zρ n (z) span{z,..., z n } (las mismas condiciones de ortogonalidad que ρ n) Dos posibilidades: 1 Si zρ n (z), 1 ω = 0, entonces ρ n+1 (z) = zρ n (z). 2 Si zρ n (z), 1 ω 0, hágase entonces R n+1 (z) := zρ n (z) + δ n+1 ρ n(z). Dado que R n+1 (z) P n+1 \P n y R n+1 (z) span{z,..., z n }, podemos elegir δ n+1 tal que R n+1 (z), 1 ω = 0. Haciendo por tanto δ n+1 = zρn(z),1 ω ρ se sigue: n (z),1 ω ρ n+1 (z) = zρ n (z) + δ n+1 ρ n(z).

. Coloquio. Ley de recurrencia de Szegő δ n+1 = ρ n+1 (0): (n + 1)-ésimo coeficiente de Schur, Geronimus, de reflexión, de Szegő o de Verblunsky, δ n+1 < 1. Tomando la operación : ρ n+1 (z) = zρ n (z) + δ n+1 ρ n(z). ρ n+1(z) = δ n+1 zρ n (z) + ρ n(z).

. Coloquio. Ley de recurrencia de Szegő Ley de recurrencia de Szegő: ( ) ( ρn+1 (z) z δn+1 ρ n+1 (z) = δ n+1 z 1 ) ( ρn (z) ρ n(z) ), n = 0, 1,.... Condiciones iniciales: ρ 0 = ρ 0 1 (δ 0 = 1). De ρ n y ρ n, computamos δ n+1 de δ n+1 = zρ n(z), 1 ω ρ n(z), 1 ω, y luego de la ley de recurrencia obtenemos ρ n+1 y ρ n+1. Recordar!: partimos de que conocemos la familia de momentos trigonométricos de antemano, c k = z k, 1 ω.

. Coloquio. Ley de recurrencia de Szegő Caso particular si δ n 1 0 Ley de recurrencia a tres términos: ρ n (z) = ( ) δn + z ρ n 1 (z) δ n ( 1 δn 1 2) zρ n 2 (z). δ n 1 δ n 1

. Coloquio. Algunas propiedades elementales sobre polinomios ortogonales en la circunferencia unidad Propiedad fundamental: los ceros de ρ n se encuentran en D := {z C : z < 1}. Núcleo reproductor: {ϕ n (z)} n 0 familia ortonormal, entonces n K n (z, ξ) = ϕ k (z)ϕ k (ξ). k=0 Propiedad reproductora: Q n polinomio de grado n, Q n (ξ) = Q n (z), K n (z, ξ) ω. Identidad de Christoffel-Darboux: K n (z, ξ) = ϕ n+1 (z)ϕ n+1 (ξ) ϕ n+1(z)ϕ n+1 (ξ). 1 zξ

. Coloquio. Algunas propiedades elementales sobre polinomios ortogonales en la circunferencia unidad Fórmula de Heine: Matriz de Toeplitz (Hermitiana y definida positiva): µ 0 µ 1 µ 2 µ n µ 1 µ 0 µ 1 µ n 1 T n = µ 2 µ 1 µ 0 µ n 2, n = det T n..... µ n µ n+1 µ n+2 µ 0 Entonces, µ 0 µ 1 µ n ρ n (x) = 1 µ 1 µ 0 µ n+1 n 1..... µ n 1 µ n 2 µ 1 1 z z n

. Coloquio. Algunas propiedades elementales sobre polinomios ortogonales en la circunferencia unidad Fórmula de Heine: Matriz de Toeplitz (Hermitiana y definida positiva): µ 0 µ 1 µ 2 µ n µ 1 µ 0 µ 1 µ n 1 T n = µ 2 µ 1 µ 0 µ n 2, n = det T n..... µ n µ n+1 µ n+2 µ 0 Entonces, µ 0 µ 1 µ n ρ n(x) = 1 µ 1 µ 0 µ n 1 n 1.... µ n+1 µ n+2 µ 1 z n z n 1 1

. Coloquio. Algunas propiedades elementales sobre polinomios ortogonales en la circunferencia unidad Teorema de Favard: Relación biunívoca entre sucesiones de números complejos {δ n } n=1 D (δ 0 = 1) y medidas positivas en T.

. Coloquio. Volviendo a las fórmulas de cuadratura... I ω (f ) := T f (z)dω(z) = π π f (e iθ )dµ(θ), I ω n (f ) := n λ j f (z j ). Búsqueda de exactitud en espacios de Laurent: Toda función continua en T se puede aproximar uniformemente por L-polinomios, y no en general por polinomios ordinarios. q L(z) = α j z j. j= p j=1 Buscamos exactitud ahora en espacios de polinomios de Laurent Tesis Doctoral R. C.-B.

. Coloquio. Volviendo a las fórmulas de cuadratura... Fórmulas de tipo interpolatorio: p, q enteros no negativos, p q y p + q = n 1. Fijando n nodos distintos de antemano en T Exactitud en Λ p,q (de dimensión n). Pesos: integrando L-polinomios fundamentales de Lagrange. Fórmulas de Szegő: reglas con dominios de exactitud maximal. Contrapartida con fórmulas Gaussianas: Nodos: ceros de polinomios para-ortogonales: B n (z, τ n ) = ρ n (z) + τ n ρ n(z), τ n T. Pesos: A j = Kn 1 (z j, z j ) > 0. Una familia uni-paramétrica de fórmulas, exactas en Λ (n 1),n 1, de dimensión 2n 1. Matriz de representación: matrices de Hessenberg, CMV, matrices serpientes (análogos de Jacobi).

. Coloquio. Ortogonalidad múltiple en el eje real Varias medidas con diferentes soportes en R y condiciones de ortogonalidad repartidas. Aparece a finales del siglo XIX (Hermite-Padé). Conexión con Teoría de Números. Diversos autores ( 1980): A.B.J. Kuijlaars, W. Van Assche, A.I. Aptekarev, E.M. Nikishin, V.N. Sorokin, G. López-Lagomasino, V. Kalyaguine, A. Ronveaux, L.R. Piñeiro, A. Branquinho, E. and J. Coussement, J. Geronimo, J. Mínguez, C. Smet, U. Fidalgo Prieto, J. Arvesú, P.M. Bleher, E. Daems, D.W. Lee,...

. Coloquio. (MOPUC) Sólo una única referencia! J. Mínguez Ceniceros and W. Van Assche, Multiple Orthogonal Polynomials on the Unit Circle, Constr. Approx. 28 (2008) 173 197. Aplicaciones: 1 Aproximación Hermite-Padé a funciones de Carathéodory. 2 Predicción lineal de series temporales.

. Coloquio. Caso múltiple Hipótesis de partida: µ 1 and µ 2 dos medidas positivas (de probabilidad) con soportes en T. Los resultados se pueden extender a varias medidas usando multi-índices. Productos interiores inducidos: f, g l := f (z)g(z)dµ l (z), donde f, g L 2 µ l (T) para l = 1, 2. T

. Coloquio. MOPUC (de tipo 2) Decimos que un polinomio Q n,m de grado menor o igual que n + m es un MOPUC (de tipo 2) con respecto a (µ 1, µ 2 ) si Q n,m (z), z j 1 = Q n,m (z), z k 2 = 0, para todo j = 0,..., n 1, k = 0,..., m 1. Nuestro interés: cuándo existe un único Q n,m P n+m \P n+m 1? En tal caso, podremos normalizar polinomio mónico. (n, m): índice normal.

. Coloquio. Sobre normalidad Problema abierto: encontrar condiciones en las medidas µ 1 y µ 2 que aseguren que todos los índices (n, m) son normales. Problema resuelto en el eje real: E.M. Nikishin, V.N. Sorokin (1991), Rational Approximations and Orthogonality, Translations of Mathematical Monographs, Vol. 92, Providence, RI: Amer. Math. Soc. Véanse también los trabajos de U. Fidalgo y G. López Lagomasino.

. Coloquio. Sobre normalidad Momentos trigonométricos: para k Z, c k := z k dµ 1 (z) = z k, 1 1, c k = c k, d k := T T z k dµ 2 (z) = z k, 1 2, d k = d k. De las condiciones de ortogonalidad Q n,m (z) = n+m 1 i=0 q i z i + z n+m es la solución del siguiente sistema lineal de n + m ecuaciones y n + m incógnitas:

. Coloquio. Sobre normalidad n,m n,m := q 0 q 1. q n+m 2 q n+m 1 = (c m+n c n+m 1 c m+1 d n+m d n+1 ) T, c 0 c 1 c 2 c n+m 1 c 1 c 0 c 1 c n+m 2.... c n+1 c n+2 c n+3 c m d 0 d 1 d 2 d n+m 1. d 1 d 0 d 1 d n+m 2.... d m+1 d m+2 d m+3 d n

. Coloquio. Sobre normalidad n,m := c 0 c 1 c 2 c n+m 1 c 1 c 0 c 1 c n+m 2.... c n+1 c n+2 c n+3 c m d 0 d 1 d 2 d n+m 1. d 1 d 0 d 1 d n+m 2.... d m+1 d m+2 d m+3 d n Por lo tanto, (n, m) normal det n,m 0.

. Coloquio. Ejemplos donde no se cumple la normalidad Ejemplo trivial: µ 1 = µ 2.

. Coloquio. Ejemplos donde no se cumple la normalidad Ejemplo trivial: µ 1 = µ 2. c 0 c 1 c 2 c n+m 1 c 1 c 0 c 1 c n+m 2.... n,m = c n+1 c n+2 c n+3 c m d 0 d 1 d 2 d n+m 1. d 1 d 0 d 1 d n+m 2.... d m+1 d m+2 d m+3 d n

. Coloquio. Ejemplos donde no se cumple la normalidad Ejemplo trivial: µ 1 = µ 2. c 0 c 1 c 2 c n+m 1 c 1 c 0 c 1 c n+m 2.... n,m = c n+1 c n+2 c n+3 c m c 0 c 1 c 2 c n+m 1. c 1 c 0 c 1 c n+m 2.... c m+1 c m+2 c m+3 c n det n,m = 0.

. Coloquio. Ejemplos donde no se cumple la normalidad Otro ejemplo presentado por J. Mínguez y W. Van Assche: Dos medidas de tipo Bernstein-Szegő (modificaciones racionales de la medida de Lebesgue)

. Coloquio. Un primer ejemplo de normalidad Ejemplos donde (n, m) son normales, para todo n 0, m 0: desconocidos! Primer ejemplo: 1 µ 1 : medida de Lebesgue en T: dµ 1 (θ) = dθ 2π. c 0 = 1, c k = c k = 0, k 1. 2 µ 2 : función peso de Rogers-Szegő: dµ 2 (θ, q) = exp ( 1 2π log (1/q) j= (Gaussiana envuelta). Aquí, d k = q k2 2, k Z. (θ 2πj)2 2 log (1/q) R. C.-B., P. González-Vera and F. Perdomo-Pío, Quadrature formulas associated with Rogers-Szegő polynomials, Comp. Math. Appl. 59 (2009), 308-323. ) dθ, 0 < q < 1.

. Coloquio. Un primer ejemplo de normalidad det n,m (q) = c 0 c 1 c n 1 c n c n+1 c n+m 1...... c n+1 c n+2 c 0 c 1 c 2 c m d 0 d 1 d n 1 d n d n+1 d n+m 1...... d m+1 d m+2 d m+n d m+n+1 d m+n+2 d n

. Coloquio. Un primer ejemplo de normalidad det n,m (q) = 1 0 0 0 0 0...... 0 0 1 0 0 0 d 0 d 1 d n 1 d n d n+1 d n+m 1...... d m+1 d m+2 d m+n d m+n+1 d m+n+2 d n

. Coloquio. Un primer ejemplo de normalidad donde I n 0 = A(q), d n d n+m 1 A(q) =..... M m m. d m+n+1 d n : una cierta matriz irrelevante. Por lo tanto, det n,m (q) = det A(q) 0.

. Coloquio. Interesante comportamiento de ceros 1 Ceros de OP-µ 1 : z = 0 (medida de Lebesgue). 2 Ceros de OP-µ 2 : situados en el círculo { z : z = q 1/2} (Teorema de Mazel-Geronimo-Hayes)

. Coloquio. Interesante comportamiento de ceros q = 0.1 q = 0.25 q = 0.5

. Coloquio. Interesante comportamiento de ceros q = 0.75 q = 0.9

. Coloquio. Interesante comportamiento de ceros 1 Hemos computado los ceros de Q n,m, para diversos valores de n, m y q. 2 Las computaciones muestran un cero de orden n en z = 0 y m ceros, reales o complejos conjugados, también situados curiosamente en un cierto círculo con entro el origen y radio dependiente de n, m y q (problema abierto). Q n,m (z) = z n Q m (z)

. Coloquio. Interesante comportamiento de ceros Radio de los círculos donde se encuentran los ceros de Q m (z), siendo Q n,m = z n Q m (z). q Valores de n y m radio q = 0.1 n = 2, m = 3 0.003162277660168... n = 2, m = 12 0.003 n = 8, m = 10 0.000000003162277... q = 0.2 n = 2, m = 3 0.0178885438199... n = 2, m = 10 0.02 n = 8, m = 10 0.000001144866804479... q = 0.9 n = 2, m = 4 0.768433471... n = 8, m = 10 0.4 n = 2, m = 10 0.7617520... q = 0.99 n = 2, m = 4 0.9751913 n = 10, m = 4 0.76175205008... n = 20, m = 4 0.8 n = 2, m = 12 0.979490232...

. Coloquio. Fórmula de Heine múltiple Q n,m (z) = 1 det n,m c 0 c 1 c 2 c n+m 1 c n+m c 1 c 0 c 1 c n+m 2 c n+m 1..... c n+1 c n+2 c n+3 c m c m+1 d 0 d 1 d 2 d n+m 1 d n+m. d 1 d 0 d 1 d n+m 2 d n+m 1..... d m+1 d m+2 d m+3 d n d n+1 1 z z 2 z n+m 1 z n+m

. Coloquio. Fórmula de Heine múltiple. Dos consecuencias. 1 Para todo n, m 0, Q n,m (z), z n 1 = ( 1) m det n+1,m det n,m 0, Q n,m (z), z m 2 = det n,m+1 det n,m 0. Nótese que sólo cuando m = 0, entonces Q n,0 2 µ= Q n,0, Q n,0 µ = Q n,0, z n µ. 2 Si ambas medidas son simétricas en el sentido π π zk dµ l (θ) = π π zk dµ l (θ) para todo k N y l = 1, 2, entonces los momentos trigonométricos vienen dados por c k = 2 π π cos kθdµ 1(θ) y d k = 2 π π cos kθdµ 2(θ) para todo k Z, y entonces Q n,m tendrá coeficientes reales.

. Coloquio. Recurrencia múltiple para {Q n,m } n,m 0 : Theorem [J. Mínguez y W. Van Assche] Ley de recurrencia: Q n+1,m = (z+α n,m )Q n,m (z)+r n,m (z), Q n,m+1 = (z+ˆα n,m )Q n,m (z)+r n,m (z), R n,m (z) = β n,m Q [1] n,m(z) + γ n,m Q [2] n,m(z), donde Q n,m [1,2] son los polinomios (de grados n + m 1) Q n,m(z) [1] = (a n,m + b n,m )Q n,m (z) z (a n,m Q n 1,m (z) + b n,m Q n,m 1 (z)), Q n,m(z) [2] = (c n,m + d n,m )Q n,m (z) z (c n,m Q n 1,m (z) + d n,m Q n,m 1 (z)), con constantes a n,m, b n,m, c n,m y d n,m unívocamente determinadas por Q [1] n,m(z), 1 1 = 1, Q [1] n,m(z), 1 2 = 0, Q [2] n,m(z), 1 1 = 0, Q [2] n,m(z), 1 2 = 1, y donde β n,m = zq n,m (z), 1 1, γ n,m = zq n,m (z), 1 2, con α n,m = β n,m δ n,m + γ n,m ɛ n,m, ˆα n,m = β n,mˆδn,m + γ n,mˆɛ n,m, Q [1] n+1,m (z) = δ n,mq n,m (z) + Q n,m(z), [1] Q [2] n+1,m (z) = ɛ n,mq n,m (z) + Q n,m(z), [1] Q [1] n,m+1 (z) = ˆδ n,m Q n,m (z) + Q n,m(z), [1] Q [2] n,m+1 (z) = ˆɛ n,mq n,m (z) + Q n,m(z). [1]

. Coloquio. Recurrencia múltiple para {Q n,m } n,m 0 : Nota: (situación no clara) El cálculo de a n,m, b n,m, c n,m y d n,m se puede re-escribir como ( ) ( ) ( ) ( ) an,m 1 cn,m 0 T n,m = y T b n,m 0 n,m = d n,m 1 con ( zqn 1,m (z), 1 T n,m := 1 zq n,m 1 (z), 1 1 zq n 1,m (z), 1 2 zq n,m 1 (z), 1 2 ). Qué sentido tiene det T n,m = 0?

. Coloquio. Recurrencia múltiple. Procedimiento alternativo Primera observación: Nótese que Q n+1,m Q n,m+1, y que para una cierta constante K n,m 0, Q n+1,m (z) Q n,m+1 (z) = K n,m Q n,m (z). K n,m = Q n+1,m, z m 2 Q n,m, z m 2 = Q n,m+1, z n 1 Q n,m, z n 1 = det n+1,m+1 det n,m det n+1,m det n,m+1.

. Coloquio. Recurrencia múltiple. Procedimiento alternativo Primera observación: Como podemos computar las familias de polinomios de Szegő {Q n,0 } n 0 y {Q 0,m } m 0 = Podemos computar la familia {Q n,m } n,m 0.

. Coloquio. Recurrencia múltiple. Procedimiento alternativo Definamos P(z) := Q n,m (z)+a n,m Q n 1,m (z)+b n,m Q n,m 1 P n+m \P n+m 1, a n,m y b n,m constantes arbitrarias, y mónico. Condiciones de ortogonalidad que cumple zp(z): zp(z), z j 1 = zp(z), z k 2 = 0, j = 1,..., n 1, k = 1,..., m 1, zp, z n 1 = a n,m Q n 1,m, z n 1 1 zp, z m 2 = b n,m Q n,m 1, z m 1 2.

. Coloquio. Recurrencia múltiple. Procedimiento alternativo Elijamos ahora a n,m, b n,m tales que zp sea ortogonal a la constante {1} con respecto a ambos productos interiores. zp(z) := zq n,m (z) + a n,m zq n 1,m (z) + b n,m zq n,m 1. Definiendo A r,s := zq r,s, 1 1 y B r,s := zq r,s, 1 2, tal elección se obtiene resolviendo el sistema lineal T n,m ( an,m b n,m ) ( An,m = B n,m ) ( An 1,m A, T n,m := n,m 1 B n 1,m B n,m 1 ).

. Coloquio. Caso det T n,m 0: (a n,m, b n,m ) solución única. 1 Supongamos a n,m b n,m 0: zp P n+m+1, mónico y cumple las mismas condiciones de ortogonalidad que Q n,m. Consideremos R := zp + α n,m Q n,m, α n,m un parámetro arbitrario elegido tal que R sea ortogonal a z n w.r.t. µ 1 : R = Q n+1,m, ó R sea ortogonal a z m w.r.t. µ 2 : R = Q n,m+1. Q n+1,m (z) = z [Q n,m (z) + a n,m Q n 1,m (z) + b n,m Q n,m 1 (z)] + α n,m Q n,m (z), Q n,m+1 (z) = z [Q n,m (z) + a n,m Q n 1,m (z) + b n,m Q n,m 1 (z)] + ˆα n,m Q n,m (z), donde Q α n,m = a n 1,m(z),z n 1 1 (det n,m Q n,m(z),z n 1 = a n,m) 2 n,m det n 1,m det n+1,m 0, Q ˆα n,m = b n,m 1(z),z m 1 2 (det n,m Q n,m(z),z m 2 = b n,m) 2 n,m det n,m 1 det n,m+1 0. Además, Q n+1,m Q n,m+1 = K n,m Q n,m, K n,m = α n,m ˆα n,m 0.

. Coloquio. Caso det T n,m 0: (a n,m, b n,m ) solución única 1 a n,m b n,m 0. 2 Si a n,m = 0, hágase α n,m = 0. Si b n,m = 0, hágase ˆα n,m = 0. La recurrencia anterior sigue siendo válida. 3 El caso a n,m = b n,m = 0 no puede darse: (n + 1, m + 1) no sería normal.

. Coloquio. Algo más sobre el sistema lineal... ( Tn,m An 1,m A := n,m 1 A n,m B n 1,m B n,m 1 B n,m ). 1 Las columnas de la matriz T n,m no pueden ser (0, 0) T. Por lo tanto, rankt n,m > 0. 2 En el caso det T n,m 0: de la propiedad L y de la regla de Cramer se sigue que la solución única cumple: a n,m = det T n+1,m, b n,m = det T n,m+1. K n,m 1 det T n,m K n 1,m det T n,m

. Coloquio. Caso det T n,m = 0. Definición: Decimos que δ n,m := Q n,m (0) es el coeficiente de Verblunsky múltiple de índices (n, m) y con respecto al par de medidas (µ 1, µ 2 ). Nota: Esta definición no coincide exactamente con la dada por Judith y Walter, que en nuestro contexto se correspondería con el par (A n,m, B n,m ).

. Coloquio. Recordemos el caso simple... ρ n (z) P n \P n 1 y ρ n (z) span{1, z,..., z n 1 }. zρ n (z) P n+1 \P n y zρ n (z) span{z,..., z n } (las mismas condiciones de ortogonalidad que ρ n) Dos posibilidades: 1 Si zρ n (z), 1 ω = 0, entonces ρ n+1 (z) = zρ n (z). 2 Si zρ n (z), 1 ω 0, hágase entonces R n+1 (z) := zρ n (z) + δ n+1 ρ n(z). Dado que R n+1 (z) P n+1 \P n y R n+1 (z) span{z,..., z n }, podemos elegir δ n+1 tal que R n+1 (z), 1 ω = 0. Haciendo por tanto δ n+1 = zρn(z),1 ω ρ se sigue: n (z),1 ω ρ n+1 (z) = zρ n (z) + δ n+1 ρ n(z).

. Coloquio. Resultado principal Teorema: det T n,m = 0, sí y sólo si, δ n,m = 0. Teorema: si det T n,m = 0, entonces Q n,m (z) = z [C n,m Q n 1,m (C n,m 1) Q n,m 1 ], C n,m {0, 1}.

. Coloquio. Algoritmo Condiciones iniciales: Hipótesis: todos los índices son normales.

. Coloquio. Algoritmo Elementos Q n 1,m 1, Q n 1,m y Q n,m 1 están relacionados: L-forma. Útil para el cómputo de Q n,m cuando n << m ó n >> m. Ejemplo: Cálculo de Q 18,2 a partir de {Q n,0 = ρ n } 20 n=0 en 23 iteraciones. {Q n,0 (z)} 20 n=0 Q 19,1, Q 18,1 Q 18,2.

. Coloquio. Algoritmo Ley de recurrencia: de la recurrencia anterior podemos computar Q n,m alrededor de la diagonal principal n = m.

. Coloquio. Algoritmo Ley de recurrencia: : condiciones iniciales : polinomios computados : 2 2 sistemas lineales 2 2 resueltos. Con la ayuda de la propiedad L: nos podemos salir de la diagonal principal.

. Coloquio. Algoritmo Cómo proceder directamente de las condiciones iniciales a través de cualquier camino de N 2?

. Coloquio. Recurrencia de Szegő múltiple (1) Asumamos det T n+r,m+s 0, r, s N, r + s 2. Entonces, la familia de MOPUC cumple n, m 1 las recurrencias ( Qn+1,m S n+1,m ( Qn+1,m ) ( = ) ( = Ŝ n+1,m ) ( = S n,m+1 ) ( = ( Qn,m+1 ( Qn,m+1 Ŝ n,m+1 u [1] z δ n+1,m n+1,m z 1 z û [1] n+1,m z 1 z u [2] n,m+1 z 1 z û [2] n,m+1 z 1 δ n+1,m δ n,m+1 δ n,m+1 ) ( Qn,m S n,m ) ( ) Qn,m S n,m ) ( ) Qn,m Ŝ n,m ) ( Qn,m Ŝ n,m ) + v [1] n+1,m z ( + ˆv [1] n+1,m z ( v [2] n,m+1 z ( ) ˆv [2] n,m+1 z ( ) 0, Q n,m 1 ) 0, Q n,m 1 ) 0 Q n 1,m 0 Q n 1,m, ),

. Coloquio. Recurrencia de Szegő múltiple (2) Q 1,m (z) Q n, 1 (z) 0, S n,m, Ŝ n,m P n+m, S n,m (0) = Ŝ n,m (0) = 1, ( ) u n,m [1] = 1 δ n,m 1 + an,m+bn,m α n,m, v n,m [1] = bn,mk n 1,m 1 α n,mδ n,m 0, ( ) û n,m [1] = 1 δ n,m 1 + an,m+bn,m ˆα n,m, ˆv n,m [1] = bn,mk n 1,m 1 ˆα n,mδ n,m 0, ( ) u n,m [2] = 1 δ n,m 1 + an,m+bn,m α n,m, v n,m [2] = an,mk n 1,m 1 α n,mδ n,m 0, ( ) û n,m [2] = 1 δ n,m 1 + an,m+bn,m ˆα n,m, ˆv n,m [2] = an,mk n 1,m 1 ˆα n,mδ n,m 0. Además, δ n+1,m = zq n,m, 1 1 S n,m, 1 1 = zq n,m, 1 2 S n,m, 1 2 δ n,m+1 = zq n,m, 1 1 Ŝ n,m, 1 1 = zq n,m, 1 2 Ŝ n,m, 1 2.

. Coloquio. Recordemos el caso simple... ρ n (z) P n \P n 1 y ρ n (z) span{1, z,..., z n 1 }. zρ n (z) P n+1 \P n y zρ n (z) span{z,..., z n } (las mismas condiciones de ortogonalidad que ρ n) Dos posibilidades: 1 Si zρ n (z), 1 ω = 0, entonces ρ n+1 (z) = zρ n (z). 2 Si zρ n (z), 1 ω 0, hágase entonces R n+1 (z) := zρ n (z) + δ n+1 ρ n(z). Dado que R n+1 (z) P n+1 \P n y R n+1 (z) span{z,..., z n }, podemos elegir δ n+1 tal que R n+1 (z), 1 ω = 0. Haciendo por tanto δ n+1 = zρn(z),1 ω ρ se sigue: n (z),1 ω ρ n+1 (z) = zρ n (z) + δ n+1 ρ n(z).

. Coloquio. Recurrencia de Szegő múltiple (3) Los polinomios S n,m y Ŝ n,m cumplen S n,m, z k 1 = S n,m, z l 2 = 0, for k = 1,..., n, l = 1,..., m 1 Ŝ n,m, z k 1 = Ŝ n,m, z l 2 = 0, for k = 1,..., n 1, l = 1,..., m, mientras que los reversos de Q n,m, Q n,m, z k 1 = Q n,m, z l 2 = 0, for k = m + 1,..., m + n, l = n + 1,..., n + m. Sospecha! la conjugación super estrella parece no jugar ningún papel importante en la Teoría de MOPUC.

. Coloquio. Ecuaciones en diferencias parciales (1) Resultado similar a lo que ocurre en el caso real: W. Van Assche, Nearest neighbor recurrence relations for multiple orthogonal polynomials, J. Approx. Theory 163 (2011), 1427-1448. Supongamos Entonces: a n,m+1 a n,m det T n,m det T n+1,m det T n,m+1 0. = α n,m+1 α n,m K n,m K n 1,m y b n+1,m b n,m = ˆα n+1,m ˆα n,m K n,m K n,m 1, a n,m+1 a n,m = b n+1,m b n,m K n,m 1 K n 1,m, δ n,m+1 = ˆα n+1,m α n,m+1 δ n+1,m = ˆαn,m α n,m δ n+1,m.

. Coloquio. Ecuaciones en diferencias parciales (2) det T n,m det T n+1,m+1 det T n+1,m det T n,m+1 = an,m+1 a n,m det T [i] [i] n,m det T n+1,m+1 det T [i] [i] n+1,m det T n,m+1 α n,m+1 ˆα n+1,m α n,m ˆα n,m = 0, = bn+1,m b n,m = an,m+1 a n,m = bn+1,m b n,m K n,m K n,m 1 K n,m K n 1,m K n 1,m K n 1,m 1 = αn,m+1 α n,m = ˆαn+1,m ˆα n,m = αn,m+1 α n,m K n,m 1 K n 1,m 1 = ˆαn+1,m ˆα n,m det T n+1,m+1 = a n,m b n,m Kn,m 2 α n,m+1 K 2 n,m K n 1,mK n,m 1 K 2 n,m K n 1,mK n,m 1, K n,m K n 1,m 1 K n,m K n 1,m 1, i = 1, 2, α n,m det T n,m, ˆα n+1,m ˆα n,m det T n,m, = a n,m b n,m Kn,m 2 = a n,m+1 b n,m K n,m K n 1,m det T n,m, = a n,m b n+1,m K n,m K n,m 1 det T n,m.

. Coloquio. Algoritmo Ley de recurrencia de Szegő múltiple + ecuaciones en diferencias parciales para los coeficientes = Q n,m puede computarse siguiendo cualquier camino de N 2.

. Coloquio. Algoritmo Caminos óptimos:

. Coloquio. Conclusiones finales 1 Interés de estudiar MOPUC. 2 Normalidad. 3 Ley de recurrencia obtenida por Judith y Walter: obtenida empleando técnicas de Riemann-Hilbert e incompleta. 4 Introducimos coeficientes de Verblunsky múltiples. 5 Nuestra obtención de la ley de recurrencia: usando argumentos básicos de ortogonalidad, completamos la ley y se obtiene algorítmicamente. Recurrencia de Szegő múltiple. 6 Discusión y completitud del problema de Riemann-Hilbert. 7 Ejemplos numéricos. 8 Cuestiones abiertas.

. Coloquio. Cuestiones abiertas 1 Localización de los ceros de MOPUC. no en D! (comprobado numéricamente). Condiciones que garanticen que los ceros se encuentran en D? 2 Coeficientes de Verblunsky múltiples: δ n,m < 1?

. Coloquio. Otro ejemplo numérico dµ 1 (θ) = dθ on [π απ, π + απ], dµ 2 (θ) = dθ on [ απ, απ], α < 1 2. Considerado anteriormente por Judith y Walter. Sea α = 1 4. Medidas simétricas = Q n,m tiene coeficientes reales.

. Coloquio. Otro ejemplo numérico. El caso simple Consideremos µ = µ 1 µ 2. Momentos trigonométricos: e k = 1 π e ikθ dµ(θ) = 2π π 1 2, if k = 0 0 if k impar, e k = e k. 2 kπ sin ( ) kπ 4 if k par, Aplicando la ley de recurrencia de Szegö:

. Coloquio. Otro ejemplo numérico. El caso simple, n = 20

. Coloquio. Otro ejemplo numérico. El caso simple, n = 21

. Coloquio. Otro ejemplo numérico. El caso múltiple Momentos trigonométricos: c k = 1 π 2π π eikθ dµ 1 (θ) = 1 4, if k = 0, 1 kπ sin ( ) c k = c k, kπ 4 if k > 0, d k = 1 π 2π π eikθ dµ 2 (θ) = ( 1) k c k, d k = d k. Aplicando la ley de recurrencia múltiple:

. Coloquio. Otro ejemplo numérico. El caso múltiple, ceros de Q 2,4 (z)

. Coloquio. Otro ejemplo numérico. Caso múltiple, ceros de Q 10,10 (z)

. Coloquio. Otro ejemplo numérico. Coeficientes de Verblunsky múltiples δ 1,1 = 0.0716449... δ 1,2 = 0.00543223... δ 2,1 = δ 1,2 δ 1,3 = 0.0000579947... δ 2,2 = 0.000815121... δ 3,1 = δ 1,3 δ 1,4 = 8.44... E 08 δ 2,3 = 0.00001719... δ 3,2 = δ 2,3 δ 4,1 = δ 1,4 δ 1,5 = 1.569... E 11 δ 2,4 = 5.1999... E 08 δ 3,3 = 6.76369... E 07 δ 4,2 = δ 2,4 δ 5,1 = δ 1,5.....

. Coloquio. Cuestiones abiertas 1 Localización de los ceros de MOPUC. no en D! (comprobado numéricamente). Condiciones que garanticen que los ceros se encuentran en D? 2 Coeficientes de Verblunsky múltiples: δ n,m < 1? 3 Ceros de Q n,m parecen distribuirse en el ĺımite en dos ciertas curvas que conectan los ĺımites de los arcos disjuntos. Parece que los ceros de cada lado atraen a los del otro. Atracción electrostática entre ceros.

. Coloquio. Cuestiones abiertas Atracción electrostática entre ceros. µ 1 : medida de Lebesgue, µ 2 : medida de Rogers-Szegő. Debido a la atracción de la masa en el origen, el radio del círculo donde se colocan los otros m ceros (producidos por µ 2 ) se acorta. En general (especialmente en el caso de soportes disjuntos), tenemos un interesante problema de equilibrio para vectores potenciales.

. Coloquio. Cuestiones abiertas 1 Localización de los ceros de MOPUC. no en D! (comprobado numéricamente). Condiciones que garanticen que los ceros se encuentran en D? 2 Coeficientes de Verblunsky múltiples: δ n,m < 1? 3 Atracción electrostática entre ceros. 4 Cuadratura múltiple en la circunferencia unidad. 5 Matriz de representación del operador de multiplicación múltiple Tensores?. 6...

. Coloquio. Cuestiones abiertas Gracias por su atención!