La factorización de polinomios en un ambiente CAS y lápiz/papel MaríaFernandaMejíaPalomino EstudiantedelaMaestríaenEducación ConénfasisenEducaciónMatemática UniversidaddelValle DocenteEscuelaNormalSuperiorFarallonesdeCali maferme@univalle.edu.co mafanda1216@yahoo.com.ar Resumen SepresentanalgunasreflexionesdesdelaTAD(TeoríaAntropológicadeloDidáctico)entornola integracióndelascalculadorasgraficadorasalgebraicasenelestudiodelafactorizaciónde polinomiosrealesdeunavariableenunambientecas(sistemadeálgebracomputacional)yl/p (Lápiz/Papel)productodeldesarrollodeunproyectodeInvestigacióndemaestría..Unadelashipótesis apresentarsesecentraenladialécticaentrelastécnicashabitualeseinstrumentales,necesariasenlas actividadesmatemáticasyenlasrelacionesconlastareasylateoría. Palabras claves: Técnicas instrumentadas, técnicas habituales, factorización de polinomios, calculadorassimbólicas,ambientescasyl/p. Reflexiones de algunas prácticas de enseñanza habituales de la factorización de polinomios Alrevisarloslineamientosyestándarescurricularesvigentes,expedidosporelMEN,lafactorizaciónde polinomios es considerada como una manera de construir expresiones algebraicas o generar expresionesequivalentesdentrodecontextosdevariaciónycambio.enlamayoríadelostextos escolares, la factorización de expresiones polinómicas es uno de los contenidos a enseñar, particularmenteparagradooctavodelaeducaciónbásicasecundaríaencolombia. GeneralmentelaenseñanzadelafactorizaciónenambientesL/P,requieredereglasqueclasificanlos polinomiosynecesitandesumanejosintáctico,quesueleserextrañaydedifíciladquisiciónparala mayoríadelosestudiantes.enalgunoscasos,lasreglasseconstruyenapartirdelamanipulaciónde rectángulosencartulina,vinculandoatressistemasderepresentación,eldelasfigurasgeométricas,el lenguajenaturalylasexpresionesalgebraicas,peroenotroscasos,setrabajanconlasexpresiones algebraicasolvidandootrasrepresentacionesyconexionesconotrosconceptosyprocedimientos, promoviéndoselaenseñanzadeunálgebracomounconjuntoatomizadodeconocimientos(gascón, 1999p.84). Paramirarunpocomásafondolascaracterísticasdelasmanipulacionesalgebraicasdelosestudiantes enlosambienteslápiz/papel,sehanreportadoalgunoserroresenlostrabajosdesánchez(1997,p.5), Socasyet.al.(1997,p.21)yCamachoyet.al.(1996,p.104)comoelinadecuadousodeligual,lasfalsas generalizaciones,laextensióndepropiedadesylatendenciadeunaenseñanzacentradaenalgunos
ejemplostípicos,conpocasrepresentacionessemióticasytécnicasespecíficas.loanteriormuestrael costodeaprendizajedelosalgoritmosdelápiz/papelparafactorizarexpresionesalgebraicasysu escasasignificaciónparalosestudiantes. Lafactorizacióndepolinomiosenambientescas Dentrodeotrosambientes,comolosgeneradosporlosSistemasdeAlgebraComputacional(CAS),la factorizacióndepolinomiostieneuntratamientodiferente.estossistemasdanlafactorizaciónde cualquierexpresiónalgebraica,ejecutandounodesuscomandosalingresarlaexpresión,yaseaenlos racionales,realesocomplejos(verfigura1).paraingresarlaexpresiónalgebraicaesnecesarioqueel estudianteconozcalasintaxisdeentrada,queenocasionesesdiferentealaescrituraalápiz/papel,por ejemploparaescribirlaexpresiónx 2 +2x+4,elexponentenoseingresacomosuperíndice,senecesita deanteponeralnúmero2elsímbolo^,esdecirlaexpresiónseescribecomox^2+2x+4.sinembargo, laexpresiónunavezingresaalsistemaseobservademanerasimilarqueenlápiz/papel(verfigura2). EstesucesoseconocecomoelfenómenodePseudotransparencia,conflictoquesegeneraconloque seingresayseveenlapantalladelcomputador(artigue,1997).estefenómenoestáligadoalos procesosdetransposicióncomputacional,entendiéndosecomolastransformacionesquesufreun objetomatemáticodebidoalasdecisionesquesontomadasaldiseñarunsoftware,talescomola selección de una representación y un conocimiento estructurado o de los algoritmos a aplicar (BalacheffyKaput,1996). Figura1.DiferentesfactorizacionesdepolinomiosenunaTI92 Algunos CAS hacen parte de las aplicaciones de las Calculadoras Simbólicas o Calculadoras GraficadorasAlgebraicas,cuyacaracterísticaprincipaleslaportabilidadylaposibilidaddeconexiónde diversas aplicaciones, permitiendo trabajar con diversas representaciones como lo numérico y lo gráfico. Aligualqueconlaaparicióndelascalculadorasaritméticas,elusodelasCalculadorassimbólicasse consideraunriesgoenlosgradosdeescolaridadendondelosestudiantesestánaprendiendoarealizar lasmanipulacionesalgebraicas(ralston,1999ytrouche,2002,p.21).algunoscreenqueelusodelos CASllevaráaldesusodelastécnicas 1 delápiz/papeleinclusiveseafirmaquealgunoscontenidos matemáticos encasillados a procesos de difícil aprendizaje como la factorización de polinomios tenderá a su extinción en los currículos de matemáticas, esta concepción ha sido reportado por DemanayWaits(2000a). 1 DentrodelaTeoríaAntropológicadeloDidáctico(TAD),lastécnicassonconsideradascomolosdiferentesmodosdehacero resolverunproblemaotarea.
Figura2.Ejemplodelfenómenodepseudotransparencia Sinembargo,lasinvestigacionesrecientesmuestrandiferentesposibilidadesparaelaprendizajedela factorización de polinomios en ambientes que integran CAS y Lápiz/Papel (LP) (Kieran, 2005 y Lagrange,2000).Aunqueambosambientesparecendedifícilcombinación,sehaconsideradoqueeste esuncampopropicioparalaintegracióndelastecnologíasdelainformaciónycomunicación(tic), problemáticapocoinvestigada 2. Lafactorizacióndepolinomiosenambientescasyl/p AlgunosinvestigadorescomoWaitsyDemana(2000b)yPeschek(2005)afirmanquenoesnecesario enseñarlosmétodostradicionalesdelálgebrasimbólica(métodosmanualesdelápizypapel)porque loscaspermitenlamanipulaciónalgebraicamásrápidayconmayorexactituddeloqueeraposible conlosmétodos tradicionales queeranlosúnicosexistentes,generándoseposibilidadesparael estudiodelateoríasubyacente,comoelteoremafundamentaldelálgebra(p.197).enconcordanciaa loanterior,vizmanos(2000,p.191)afirmaqueenunfuturoelinterésgiraráentornoalasestructuras conceptuales del álgebra como medio de representación y de los métodos algebraicos como la resolucióndeproblemas.porloqueunadelastareasseráelplanteamientodeecuacionesquese deducendelalecturadeenunciadosdiversosaplicadosacontextoscercanoseinteresantesalos estudiantes(ibíd.,p.192). Sin embargo, la investigación realizada por Lagrange (2000, p. 17) reporta que generalmente los estudiantespercibenloscascomoherramientasparaefectuarcálculospenososycomprobarlos resultados conseguidos. Pocos estudiantes ven los CAS como herramientas de comprensión, de aprendizaje,queeselobjetivopropuestoporlosprofesoresyunafracciónimportantedeestudiantes consideranqueloscascomplicannotablementesutrabajomatemático,enlapuestaenobradel software,amenudonoanticipadasporelprofesor.porotrapartelosprofesoresvenqueloscasno suprimenlasdificultadescalculatoriasqueellosesperaban,siendodifícilmenteadministradosenlas actividadesdeexperimentación.estosresultadossonindiciosdelapocaintegracióndeloscasenlas prácticasdeenseñanzas. Usualmente,lamayoríadelosartículosrelacionadosconelusodeCASmuestranlaspotencialidades desuuso(artigueyotros,2003).dejandodeladolosproblemasyrestriccionesquegeneranlos ambientescasyquesonnecesariospreverparaunaintegraciónadecuadaeneldiseñodesituaciones deaula.algunosfenómenosdidácticos,puedengeneraruncontextoenriquecedorparaelaprendizaje 2 EnelartículodeArtigueyotros(2003)semuestraqueel5%delaspublicacionesrespectoalusodeCASenlaeducación matemáticaseinteresaenlaintegracióndelcasylápizypapel.
delafactorizacióndepolinomios,comoenelcasodelfenómenodedoblereferencialigadoalproceso detransposicióncomputacional,expuestoenlasactividadeselaboradaspormounieryaldon(1996)en lafactorizacióndeexpresionesdelaformax n 1yreportadasporKieran(2005)comounejemploque ratificalanecesidaddeinterpretarlasrespuestasdadasporuncasenambientesdelp. Eldesarrollodelassituacionesdeterminóquelasexpresionesarrojadasporlacalculadoranocoincidían conlaexpresióngeneraldeestospolinomiosbajolastécnicasdelápiz/papel.estohacequelos estudiantes vean la necesidad de reconciliar los resultados de Lápiz/Papel y CAS. Conllevando a conjeturaryprobarunareglaparafactorizar.deesamanera,elusodecasenlastareasgeneróla necesidad de entender ciertos aspectos relacionados con la factorización, promoviéndose los conocimientosyhabilidadesoperativasyotrosprocesoscomolaargumentación,laobtenciónde reglasdemanipulacióndeexpresionesalgebraicasylacomunicación.lonovedosodelassituacioneses que hacen uso de otras funcionalidades de las Calculadoras Simbólicas con relación a las manipulaciones algebraicas. En las investigaciones reportadas por Kieran (2003) las actividades transformacionalescomolafactorizaciónpocoutilizanlasticysóloenalgunoscasossepresentael usodelosaplicativosdegraficacióndefunciones;porloquelastareas 3 defactorizaciónconelusode HOMEdeunacalculadoraTI92sonunaalternativadiferenteparaeldesarrollodelasactividades transformacionalesyelusodecas. Esimportanterescatarquelasposibilidadesdetratamientoyconversiónderepresentacionesesmucho másrápidaconelusodecalculadorassimbólicasqueconlp.lagrange(2000)mencionaqueconel usodelasticsegeneranunasnuevastécnicas,quedenominacomonovedosasoinstrumentales,que soninmediatasydemenostiempoquelastécnicashabituales(enambienteslp).porlocuales necesarioaprovecharelsentidoylosalcancesdeestasactividadesenelálgebraescolar. Porotraparte,alconsiderarseinnecesariolosconocimientosyhabilidadesoperativasseincurreenun peligroparausarcas,porqueelestudiantenoestáencondicionesparainterpretarlosresultadosque estearroja.porloquelastécnicashabitualesdelápizypapelnodesaparecendelaactividaddelos estudiantes,porquepuedenserunsoporteparaunareflexiónteóricasobrelosobjetosquemanipulan. Estocrealasoportunidadesparaeldesarrollodenuevaspraxeologías 4 (Ibíd.,p.27). Laconceptualizaciónylastécnicasenambientescasyl/p Laacciónexperimentalnoesenellamismasuficienteparalograrprogresosenlaestructuracióndelos conocimientosesnecesarioestudiarelroldelastécnicasalacompañarlastareaslaarticulación fundamentalparalaenseñanza,entrelaacciónylaconceptualización. Estradicionalocultarenlareflexióndelaenseñanzadelasmatemáticaslaimportanciadelastécnicasy surolenlaconceptualización(lagrange,2002,p.153). AlintegrarlascalculadorasylosCASserequieredeunanálisismásfinoynotableenunareflexiónpara lastécnicasque,nosonsimpleshabilidades,sinoqueestánligadasadiferentesrepresentacionesde objetosmatemáticosyquejuegaensiunrolenlaconceptualización.esdeinterésmirarenlas herramientasnovedosasloscambiosenlaactividadmatemáticacotidianadelosalumnos,desdela utilizacióndelastécnicasmásinmediatascomo presionarbotón (Ibíd.p.155).Lastécnicasdeltipo presionarbotón tiendeaimponerseporsersimplesyeficaces. 3 EnlaTADcorrespondealoquehayquehaceroresolver,comounasituaciónproblema. 4 LaspraxeologíasenlATADselesconsideracomotodaobrahumanaquesurgecomorespuestaaunconjuntodecuestionesy comounmedioparallevaracabo,enelsenodeciertainstitución,determinadastareasproblemáticas(gascón,1998,p.11).
Sinembargolosestudiantestiendenaasociarunconceptoasucomandocorrespondiente.Esteefecto negativo para la conceptualización puede ser evitado si los estudiantes se reencuentran cotidianamente con situaciones que utilizan otras técnicas de la calculadora asociadas a otras representaciones(ibíd.,p.156). Pararetardarlautilizacióndelastécnicas presionarbotón,másnodeltratamientosimbólico,se pueden cambiar las situaciones para que los estudiantes las puedan revestir de conocimiento enactivos.estetipoderelacióndelconocimientosesitúaenunniveldelconocimientocotidianoode construcciónanterior,endondeelestudiantelohacefuncionalmente enacto comounsaberde análisis,quedeterminasusmodosdeexpresiónyrazonamiento(ibíd.,p.157y158). EncomparaciónconlastécnicasLápiz/Papel(L/P)quecomportanvariosgestosdeloscualescadauno necesitaalmenosenelperíodoqueprecedelarutinizaciónalmenosdeunaacciónconcerniente,las técnicasdeunacalculadorati92efectúaenunsolocomandounareduccióncompletadeestas.porlo quelaconceptualizaciónylamaneradecualesestospodríantomarnoseránlasmismasenlosdos ambientes(p.164).sinembargolasinteraccionesdelastécnicasnovedosas(encas)ylashabituales (en L/P) muestran las ricas potencialidades de las praxeologías que permite las herramientas informáticas.lasfuncionesdelasdiferentestécnicasdeambosambientesydelassituacionesbien construidaspuedenayudaralaemergenciadelascomprensionesnovedosas(p.170). UnCASmuestraquelashabilidadesmanipulatorias,quesontécnicasrutinizadas,tieneunmayorlugar enunambientedelápiz/papel,porloquesedeterminaquelasticpermitepasaraunaenseñanza directamenteconceptual.porloqueseconsideraquehayunarestauracióndelvalorepistémicodelas técnicas(p.165).generalmentelastécnicasparecenabordarunhechopragmático,comohacerpara cumplirconunatareamientrasquelafunciónepistémicasedesarrollacuandoloselementosqueson manipuladosseconstituyenenobjetosdeunambienteteórico(p.166). EncuantoaltrabajodelprofesorlasnuevastécnicasquedevienendelusodelosCAShacenque profundicesuenseñanzaenfuncióndelasnuevastécnicasquedispone.porotrapartelaemergencia deunanuevatécnicaprovocalanecesidaddeinterpretarla,justificarlayrelacionarlaconlastécnicasya existentes.enparticularconlaemergenciadeunanuevatécnicasurgelanecesidaddeanalizarsu alcance(eltipodeproblemasalosquesepuedeaplicar)ysuslimitaciones(lossubtiposdeproblemas que plantean dificultades a la utilización de la técnica) (Chevallard y otros, 2000, p. 280). De lo anterioresreflexionesyplanteamientossurgenalgunaspreguntas: Cómosonlascondicionesque permitenlaintegracióndeloscasenlasprácticasdeenseñanzadelafactorizacióndepolinomios? CuálessonlastareasylastécnicasquesedesarrollanenunaambienteLPyCAS? Bibliografía ARTIGUE.M.(1997)Lelogiciel Derive commerevelateurdephenomenesdidactiquesliesal utilisation d environnementsinformatiquespourl appretissage.en:educationalstudiesinmathematics,vol.33, No2,pp.133169. ARTIGUE,M.(2002a).L intergraciondecalculatricessymboliquesàl enseignementsecundaire:les leçons de quelques ingénieries didactiques. En : Calculatrices Symboliques transformer du travail informatique:unproblèmedidactique.grenoble:lapenséesauvage,éditions.pp.277349. ARTIGUE, M.; LABORDE, C; L, LAGRANGE Y TROUCHE, L. (2003) Technology and Mathematics Education: A Multidimensional Study of the Evolution of Research and Innovation. En: Second International Handbook of Mathematics Education, Gran Bretaña: Editorial: Kluwer Academic Publishers.GranBretaña.pp.239 271.
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