MATRICES FACTORIALES Quimiometría Estudio cuantitativo de factores: efectos principales (b j ) interacciones (b ji ) si cada variable puede tener un valor mayor o uno menor: diseño factorial de dos niveles número de experimentos para k factores N = 2 k 2 niveles k efectos principales (2 k - k - ) interacciones
Quimiometría si k = 2 matriz 2 2 4 experimentos k factores interacciones de orden q interacciones de q vo orden entre (q+) factores
Quimiometría si k = 7 matriz 2 7 28 experimentos 2 7(7-) q = interacciones de primer orden: C = = 2 7 2 q = 2 interacciones de segundo orden... las interacciones entre 3 factores son escasas, entre 4 son despreciables es posible disminuir N sin disminuir k
MATRICES FACTORIALES Quimiometría si k = 3 matriz 2 3 8 experimentos matriz experimental matriz del modelo
DISEÑO 2 3 Quimiometría
Quimiometría Un ejemplo: Diseños factoriales completos Objetivo: estudiar la síntesis de un compuesto orgánico Factores que podrían afectar el rendimiento son: ph intensidad de la lámpara (W/m 2 ) fuerza iónica (M) [catalizador] (µm) si se establecen dos posibles niveles por factor: 2 4 = 6 combinaciones
Quimiometría Un ejemplo: Diseños factoriales completos Combinaciones + : mayor nivel - : menor nivel Variable Nombre - + A ph 4 6 B Intensidad (W/m 2 ) 000 2000 C Fuerza iónica (M) 0,25 0,75 D [catalizador] (µm) 0,,0
DISEÑO FACTORIAL COMPLETO CON MINITAB Quimiometría
Quimiometría ph luz FI [cat] ph luz FI [cat] %rendimiento respuesta variables codificadas
Evaluación de los datos Quimiometría cuál factor tiene mayor influencia en el rendimiento? Estimated Effects and Coefficients for % (coded units) Term Effect Coef Constant 50.250 A 2.750.375 B 9.500 9.750 C.500 0.750 D -4.500-7.250 A*B 2.250.25 A*C -0.250-0.25 A*D -2.750 -.375 B*C.500 0.750 B*D 5.500 2.750 C*D 3.000.500 A*B*C.250 0.625 A*B*D -.250-0.625 A*C*D 0.750 0.375 B*C*D -3.000 -.500 A*B*C*D -0.750-0.375
Quimiometría Gráfico de probabilidad normal de los efectos s c o r e A ph B Intensidad (W/m 2 ) C Fuerza iónica (M) D [catalizador] (µm) efecto
Quimiometría Pareto Chart of the Effects (response is %, Alpha =.05) Term B D BD CD BCD AD A AB BC C ABC ABD ABCD ACD AC 5.78 0 5 0 Effect 5 20 Lenth's PSE = 2.25
Efectos principales Quimiometría % ph luz fuerza iónica [catalizador]
Quimiometría Interacciones - - A 60 45 A - 60 45 B 30 B - 30 C 60 45 C - 60 45 D 30 D - 30 - -
Quimiometría Evaluación de los datos Ventajas: cuál factor tiene mayor influencia en el rendimiento? se puede proponer un modelo del tipo y = b 0 + bx + b2x2 + b2x x2
Quimiometría Evaluación de los datos Dificultades: el diseño no tiene réplicas no se ha estimado el error experimental: por lo cual no se puede dar una respuesta definitiva sobre si los factores son o no significativos. cada variable se probó sólo con dos niveles problema de curvatura (se necesitarían términos de segundo orden en el modelo: x j 2 ) probar 3 niveles: 3 k en este ejemplo: k=4 8 experimentos! se puede reducir con otros diseños: superficie de respuesta
Diseño factorial con réplicas Objetivo: estudiar el efecto de tres factores (A, B, C) sobre el funcionamiento de un plasma empleado para grabados. Factor - + con dos niveles A (distancia, cm) 0,8,20 2 3 = 8 combinaciones B (flujo gas, cm 3 /min) 25 200 C (potencia, W) 275 325 con dos réplicas: 6 experimentos respuesta: velociad de grabado para nitruro de silicio (Å/m) (I y II) A B C I II - - - 550 604 + - - 669 650 - + - 633 60 + + - 642 635 - - + 037 052 + - + 749 868 - + + 075 063 + + + 729 860
Diseño factorial con réplicas 6 experimentos en orden estándar hacer en order aletatorio!! Orden A B C velocidad - - - 550 2 - - 669 3 - - 633 4-642 5 - - 037 6-749 7-075 8 729 9 - - - 604 0 - - 650 - - 60 2-635 3 - - 052 4-868 5-063 6 860
Análisis del diseño factorial con réplicas empleando MINITAB el efecto C (potencia) domina el proceso el efecto A (distancia entre los electrodos) y la interacción AC también son estadísticamente significativos (valores de P pequeños P < 0,05) Estimated Effects and Coefficients for v (coded units) Term Effect Coef SE Coef T P Constant 776,06,87 65,4 0,000 A -0,62-50,8,87-4,28 0,003 B 7,37 3,69,87 0,3 0,764 C 306,3 53,06,87 2,90 0,000 A*B -24,88-2,44,87 -,05 0,325 A*C -53,63-76,8,87-6,47 0,000 B*C -2,2 -,06,87-0,09 0,93 A*B*C 5,62 2,8,87 0,24 0,89 el error estándar de todos los coeficientes del modelo es igual porque el diseño es ortogonal
empleando MINITAB: gráfico de Pareto Análisis del diseño factorial con réplicas los efectos C, A y la interacción AC son estadísticamente significativos Pareto Chart of the Standardized Effects (response is v, Alpha =,05) 2,3 C AC F actor A B C Name A B C A Term AB B ABC BC 0 2 4 6 8 Standardized Effect 0 2 4
Análisis del diseño factorial con réplicas empleando MINITAB: gráfico de probabilidad normal (Daniel) los efectos C, A y la interacción AC son estadísticamente significativos Normal Probability Plot of the Standardized Effects (response is v, Alpha =,05) 99 95 Effect Ty pe No t Significant Significant 90 80 70 C F actor A B C Name A B C Percent 60 50 40 30 20 A 0 5 A C -5 0 5 Standardized Effect 0 5
Análisis del diseño factorial con réplicas empleando MINITAB: gráficos factoriales Cube Plot (data means) for v 069,0 794,5 67,0 638,5 B 044,5 808,5-577,0 - A 659,5 - C
Análisis del diseño factorial con réplicas empleando MINITAB: gráficos factoriales Interaction Plot (data means) for v - - 000 A - A 800 600 000 B - B 800 600 C
Análisis del diseño factorial con réplicas gráficos de superficie de respuesta: se sabe que conviene trabajar a una velocidad de 900 Å/m, por lo cual se pueden sugerir las mejores condiciones analizando las curvas de nivel
Análisis del diseño factorial con réplicas modelo para predecir la velocidad de grabado ŷ = b 0 + b x + b 2 x 2 + b 3 x 3 + b 2 x x 2 + b 3 x x 3 + b 23 x 2 x 3 + b 23 x x 2 x 3 velocidad = 776,6-50,8x + 53,06x 3-76,8 x x 3 análisis de regresión (para el modelo completo): S = 47,462 desviación estándar R-Sq = 96,6% el modelo explica un 96,6 % de la variabilidad observada (problema: R 2 aumenta al aumentar el número de factores, aunque no sean significativos) R-Sq(adj) = 93,64% R 2 (ajustado para el tamaño del modelo): suele disminuir si se agregan factores no significativos se puede volver a calcular con el modelo reducido
Análisis del diseño factorial con réplicas al menos un efecto principal y una interacción entre dos factores son estadísticamente significativos Analysis of Variance for v (coded units) Source DF Seq SS Adj SS Adj MS Main Effects 3 46378 46378 38793 2-Way Interactions 3 96896 96896 32299 3-Way Interactions 27 27 27 Residual Error 8 8020 8020 2253 Pure Error 8 802 802 2253 Total 5 5342 Source F P Main Effects 6,62 0,000 2-Way Interactions 4,34 0,00 3-Way Interactions 0,06 0,89 Residual Error Pure Error Total