Lección 8 Matrices y Sistemas de Ecuaciones Lineales MIGUEL ANGEL UH ZAPATA 1 Análisis Numérico I Facultad de Matemáticas, UADY Septiembre 2014 1 Centro de Investigación en Matemáticas, Unidad Mérida
En esta lección recordaremos los conceptos básicos sobre matrices y sistemas de ecuaciones Al final debemos de: Conocer las propiedades más importantes de las matrices Poder establecer las condiciones para que una matriz sea invertible Entender los diferentes formatos de presentar un sistema de ecuaciones Determinar cuando un sistema de ecuaciones tiene solución única
Análisis Numérico Matrices y Sistemas de Ecuaciones Lineales En este capítulo se desarrollarán métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales y sistemas de ecuaciones no lineales También se presentará un breve repaso de las principales definiciones relacionadas con el tema de matrices 1 Vectores Antes de definir el concepto de matriz iniciemos con el concepto básico de lo que es un vector y algunas de sus propiedades Un vector real n dimensional x es un conjunto ordenado de n números reales que normalmente se escribe como x = (x 1, x 2,, x n ) Los números x 1, x 2,, x n se llaman componentes o coordenadas de x Sean x = (x 1, x 2,, x n ), y = (y 1, y 2,, y n ) dos vectores Suma La suma de dos vectores x e y se calcula componente a componente, es decir, x + y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2,, x n + y n ) Producto escalar Producto punto Norma Vector columna Si c es un número real (un escalar), se define el producto de c y x como cx = (cx 1, cx 2,, cx n ) El producto escalar (ó producto punto) de dos vectores x e y es un escalar (un número real) definido por la relación x y = x 1 y 1 + x 2 y 2 + + x n y n La norma (ó módulo) del vector x se define como x = x 2 1 + x2 2 + + x2 n A veces es conveniente escribir los vectores como columnas en vez de escribirlas como filas Por ejemplo, x 1 x 2 x = x n Matrices y Sistemas de Ecuaciones 3
Análisis Numérico 2 Matrices En general, una matriz es una colección de números reales dispuestos de forma rectangular en filas y columnas De manera más formal Una matriz con m filas y n columnas se dice que es de orden m n En general, una letra mayúscula A denota una matriz, mientras que las correspondientes minúsculas a ij indican uno de los números que forman la matriz, de manera que se escribe [a ij m n para 1 i m, 1 j n siendo a ij el número que ocupa la posición (i, j) (o sea, que está en la i ésima fila y la j ésima columna de la matriz) Se puede escribir la matriz A en forma desarrollada, es decir, a 11 a 12 a 1j a 1n a 21 a 22 a 2j a 2n a i1 a i2 a ij a in a m1 a m2 a mj a mn Filas Las filas de una matriz A de orden m n son vectores n dimensionales: V 1 = (a 11, a 12,, a 1n ) V 2 = (a 21, a 22,, a 2n ) V i = (a i1, a i2,, a in ) V m = (a m1, a m2,, a mn ) que pueden verse también como matrices de orden 1 n (matrices fila) y, entonces, lo que se ha hecho es dividir la matriz A de orden m n en m submatrices que son matrices de orden 1 n En este caso, puede expresarse a la matriz A como una matriz de orden m 1 cuyos elementos son las matrices-fila V i de orden 1 n; esto es, V 1 V 2 V i Matrices y Sistemas de Ecuaciones 4 V m
Análisis Numérico Columnas De manera similar, las columnas de una matriz A de orden m n son matrices de orden m 1 (matrices-columna): a 11 a 1j a 1n a 21 a 2j a 2n C 1 = a i1,, C j = a ij,, C n = a in a m1 a mj a mn En cuyo caso, se puede expresar a la matriz A como una matriz de orden 1 n cuyos elementos son las matrices-columna C j de orden m 1: [ C 1 C 2 C j C n Ejemplo: Identificar las matrices fila y las matrices columna asociadas a la siguiente matriz de orden 4 3 Solución: Las cuatro matrices fila son: Las tres matrices columna son: 2 C 1 = 5 0 4 2 4 9 5 7 1 0 3 8 4 6 5 V 1 = [ 2 4 9, V 2 = [ 5 7 1, V 3 = [ 0 3 8, V 4 = [ 4 6 5, C 2 = 4 7 3 6 y C 3 = Notar que A se puede representar mediante una matriz de filas: V 1 V 2 V 3, V 4 o mediante una matriz de columnas: [ C 1 C 2 C 3 9 1 8 5 Matrices y Sistemas de Ecuaciones 5
Análisis Numérico Sean [a ij m n y B = [b ij m n dos matrices del mismo orden Suma La suma de dos matrices A y B del mismo orden m n se calcula elemento a elemento; es decir, se define A + B = [a ij + b ij m n para 1 i m, 1 j n Producto escalar Si c es un número real (un escalar), definimos el producto (multiplo escalar) ca como c [ca ij m n para 1 i m, 1 j n Producto Si [a ik m n y B = [b kj n p son dos matrices con la propiedad de que A tiene tantas columnas como B filas, entonces la matriz producto AB se define como la matriz C de orden m p AB = C = [c ij m p cuyo elemento c ij es el producto escalar (producto punto) de la i ésima fila de A por la j ésima columna de B: c ij = n a ik b kj = a i1 b 1j + a i2 b 2j + + a in b nj k=1 para i = 1, 2,, m y j = 1, 2,, p Ejemplo: Calcular el producto C = AB de las siguientes matrices A y B; [ [ 2 3 5 2 1 y B = 1 4 3 8 6 Solución: La matriz A tiene dos columnas y la matriz B tiene dos filas, así que el producto matricial AB puede hacerse El producto de una matriz de orden 2 2 por una matriz de orden 2 3 es una matriz de orden 2 3 Si se realizan los cálculos, resulta [ AB = 2 3 1 4 [ 5 2 1 3 8 6 [ = = 10 + 9 4 + 24 2 18 5 + 12 2 + 32 1 24 [ 19 20 16 7 34 25 = C Cuando se intenta realizar el producto BA, se descubre que no puede hacerse porque las filas de B son vectores tridimensionales y las columnas de A son vectores bidimensionales; de manera que el producto escalar de una fila de B por una columna de A no está definido Matrices y Sistemas de Ecuaciones 6
21 Algunas Matrices Especiales Análisis Numérico 21 Algunas Matrices Especiales La matriz de orden m n cuyos elementos son todos cero se llama matriz cero, o matriz nula, de orden m n y se denota por 0 = [0 m n La matriz identidad, o matriz unidad, de orden n es la matriz cuadrada dada por { 1 si i = j I n = [δ ij donde δ ij = 0 si i j Por ejemplo la matriz identidad de 4 4 esta dada por 1 0 0 0 I 4 = 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 22 Matrices Inversibles Se dice que una matriz A cuadrada de orden n n es invertible, o no singular, si existe una matriz B también de orden n n tal que AB = B I Si no es posible encontrar una matriz B que verifique lo anterior, entonces se dice que A es singular; o no invertible Cuando A es invertible, la matriz B se llama inversa de A y se representa por B = A 1, lo que permite usar la relación 23 Determinantes AA 1 = A 1 I si A es invertible El determinante de una matriz cuadrada A es una cantidad escalar (un número real) que se denota por det(a) o bien A Si A es una matriz de orden n n a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a n1 a n2 a nn entonces se suele escribir det(a) = a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a n1 a n2 a nn Aunque la notación para el determinante es muy parecida a la notación para una matriz, sus propiedades son muy distintas; para empezar, el determinante es un número real Matrices y Sistemas de Ecuaciones 7
23 Determinantes Análisis Numérico Si [a ij es una matriz de orden 1 1, se define det(a) = a 11 Si [a ij es una matriz de orden 2 2, se define det(a) = a 11 a 22 a 12 a 21 Si [a ij n n, con n 3, entonces sea M ij el determinante de la submatriz de orden (n 1) (n 1) extraída de A borrando la fila i ésima y la columna j ésima de A; este determinante M ij se llama el menor de a ij El cofactor A ij de a ij se define, entonces, como A ij = ( 1) i+j M ij y, finalmente, el determinante de la matriz A de orden n n viene dado por (desarrollado por la i ésima fila) det(a) = n a ij A ij j=1 Ejemplo: Calcular el determinante de las matrices [ Solución: y det(a) = det(b) = (2) B = 2 3 4 5 5 1 6 9 2 3 4 5, 2 3 8 4 5 1 7 6 9 = 2(5) (3)( 4) = 22, (3) 4 1 7 9 + (8) 4 5 7 6 = (2)(45 6) (3)( 36 + 7) + 8(24 35) = 77 Matrices y Sistemas de Ecuaciones 8
Análisis Numérico 3 Sistemas de Ecuaciones Lineales Los sistemas de ecuaciones lineales surgen en muchos problemas de ingeniería y ciencia Los algoritmos de solución, para los sistemas de ecuaciones lineales, pueden ser directos o iterativos En los métodos directos, la solución se obtiene mediante un número fijo de pasos sujeto solamente a errores de redondeo, mientras que los métodos iterativos se basan en mejorar sucesivamente los valores iniciales de la solución Inicialmente estudiaremos los métodos directos para resolver sistemas de ecuaciones lineales y más adelante se estudiarán los métodos iterativos En la práctica es frecuente encontrarse con sistemas de ecuaciones lineales que tienen n ecuaciones con m incógnitas, lo cual se escribe como: a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2 a k1 x 1 + a k2 x 2 + + a kn x n = b k a m1 x 1 + a m2 x 2 + + a mn x n = b m (1) Una solución de (1) es un conjunto de números reales x 1, x 2,, x n que verifica simultáneamente todas las ecuaciones de (1) Por tanto, una solución puede ser considerada como un vector n dimensional: x = (x 1, x 2,, x n ) Ejemplo: La mezcla que se emplea para construir aceras se compone de cemento, arena y grava en distintas proporciones Un distribuidor tiene ya preparados sacos con tres tipos de mezclas diferentes: el primer tipo contiene cemento, arena y grava mezclados según las proporciones 1/8, 3/8, 4/8, las proporciones en el segundo tipo son 2/10, 5/10, 3/10 y las proporciones en el tercero son 2/5, 3/5, 0/5 Sean x 1, x 2 y x 3 las cantidades en (metros cúbicos) de cada uno de los tipos anteriores que hay que usar para formar una cantidad total de 10 metros cúbicos de mezcla que contenga b 1 = 23, b 2 = 48 y b 3 = 29 metros cúbicos de cemento, arena y grava, respectivamente Encontrar x 1, x 2 y x 3 Solución: Entonces el sistema de ecuaciones lineales para los ingredientes es: 0125x 1 + 0200x 2 + 0400x 3 = 23 (cemento) 0375x 1 + 0500x 2 + 0600x 3 = 48 (arena) 0500x 1 + 0300x 2 + 0000x 3 = 29 (grava) La solución del sistema lineal es x 1 = 4, x 2 = 3 y x 3 = 3, como puede comprobarse sustitu- Matrices y Sistemas de Ecuaciones 9
31 Notación Matricial de un Sistema Lineal Análisis Numérico yendo directamente en las ecuaciones: 0125(4) + 0200(3) + 0400(3) = 23 (cemento) 0375(4) + 0500(3) + 0600(3) = 48 (arena) 0500(4) + 0300(3) + 0000(3) = 29 (grava) 31 Notación Matricial de un Sistema Lineal Las ecuaciones lineales de (1) pueden escribirse como un producto de matrices (producto matricial) Los coeficientes a kj constituyen una matriz A, llamada matriz de coeficientes, de orden m n Las incógnitas x j de (1) constituyen una matriz columna x de orden n 1 y las constantes b k constituyen otra matriz columna b de orden m 1, de manera que (1) puede escribirse como: a 11 a 12 a 1j a 1n a 21 a 22 a 2j a 2n a k1 a k2 a kj a kn a m1 a m2 a mj a mn x 1 x 2 x j x n = b 1 b 2 b j b m De ahora en adelante, se considerarán, solamente, sistemas de ecuaciones lineales con el mismo número de ecuaciones que de incógnitas Es decir, se resolverá el sistema lineal a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2 a k1 x 1 + a k2 x 2 + + a kn x n = b k a n1 x 1 + a n2 x 2 + + a nn x n = b n (2) para las incógnitas x 1, x 2,, x n, dados los coeficientes a ij, i, j = 1, 2,, n y las constantes b i, i = 1, 2,, n El sistema lineal (2) también puede expresarse en notación matricial: a 11 a 12 a 1j a 1n x 1 a 21 a 22 a 2j a 2n x 2 a k1 a k2 a kj a kn a n1 a n2 a nj a nn x j x n b 1 b 2 = b j b n Matrices y Sistemas de Ecuaciones 10
31 Notación Matricial de un Sistema Lineal Análisis Numérico ó bien, donde, Ax = b, a 11 a 12 a 1j a 1n a 21 a 22 a 2j a 2n a k1 a k2 a kj a kn a n1 a n2 a nj a nn, x = x 1 x 2 x j x n b 1 b 2 y b = b j b n El siguiente teorema proporciona condiciones necesarias y suficientes para la existencia y unicidad de la solución de un sistema de ecuaciones lineales Ax = b cuando la matriz de los coeficientes es cuadrada; o sea, cuando hay tantas ecuaciones como incógnitas Teorema: Sea A una matriz cuadrada de orden n n y b un vector columna de orden n Entonces, el sistema de ecuaciones lineales Ax = b tiene solución única si se cumple una de las tres condiciones siguientes: 1 La matriz A es invertible 2 det(a) 0 3 El sistema de ecuaciones Ax = 0 tiene como única solución x = 0 Observaciones: Sea A una matriz de orden n n (cuadrada) A es una matriz invertible si y sólo si det(a) 0 Las funciones det(a) e inv(a) del paquete de programas de MATLAB proporcionan, respectivamente, el determinante y la inversa (si A es invertible) de una matriz cuadrada A Matrices y Sistemas de Ecuaciones 11