Segundo Módulo: Los cristales Curso de Pregrado en Física. Curso CNF-422.

ESTADO SÓLIDO Segundo Módulo: Los cristales Curso de Pregrado en Física Curso CNF-422 Prof. a titular Doris Giratá, Ph.D. http://aprendeenlinea.udea.edu.co/lms/moodle/ Instituto de Física Facultad de Ciencias Exactas y Naturales UNIVERSIDAD DE ANTIOQUIA Medellín, Colombia Agosto de 2010

Tabla de Contenido de los cristales 1. Redes cristalina y recíproca 1 1.1. Los cristales y las redes de Bravais........................... 2 1.2. Las celdillas unitarias y de Wigner-Seitz........................ 4 1.3. La red cristalina R y la base atómica.......................... 6 1.4. Planos atómicos y los índices de Miller......................... 15 1.5. Red recíprocak...................................... 17 1.6. Cinco redes de Bravais en 2-D.............................. 22 1.7. Las catorce redes de Bravais en 3-D........................... 23 1.8. Grupo de traslación................................... 29 1.9. Teorema de Bloch..................................... 32 2. Determinación de estructuras cristalinas 37 2.1. La ley de Bragg...................................... 38 2.2. Teoría de difracción clásica............................... 39 2.3. Condición de Laue.................................... 43 2.4. Factor de forma y estructura geométrico........................ 44 3. *Simetría puntual de los cristales 47 3.1. *Elementos y operaciones puntuales.......................... 47 3.2. *Simetrías de las redes en dos dimensiones...................... 53 3.3. *Grupos puntuales en tres dimensiones........................ 54. Bibliografía de los cristales 59 I

1 Redes cristalina y recíproca Inicialmente, los sólidos se caracterizaban por su forma externa, se analizaban los ángulos de sus caras y de esta manera se clasificaron las rocas y los minerales dando lugar a la cristalografía. Posteriormente, con el apoyo de la teoría de los grupos se establecieron las relaciones que hay entre la forma externa y la simetría asociados a los cristales. En 1848, Bravais demostró que hay 14 redes cristalográficas no equivalentes, que es el número de redes que se identifican por medio de la teoría de grupos y permite la relación entre las simetrías externas observadas en los cristales y las redes cristalográficas, estas redes llevan el nombre de Redes de Bravais. A continuación estudiaremos los conceptos básicos que permiten estudiar los sólidos cristalinos o cristales que están formados por átomos y para describirlos es necesario definir las Redes de Bravais, la Red Cristalina, la celdilla unitaria o convencional, la base atómica, los planos atómicos determinados por los índices de Miller y la Red Recíproca o dual asociada a la Red Cristalina, ambas son redes de Bravais. Los cristales se pueden estudiar desde el punto de vista de las simetrías por medio de la teoría de grupos. Los resultados experimentales de difracción de Rayos X, neutrones o electrones permiten determinar las estructuras cristalinas y la solución de la ecuación de Schrödinger es posible debido a las simplificaciones que se hacen al considerar las simetrías de los sistemas cristalinos. La motivación para estudiar los cristales se debe a que la comprensión del comportamiento de los sólidos sería prácticamente imposible si los elementos químicos más estables no se forman como cristales. La naturaleza ofrece cerca de 100 elementos químicos que se pueden

2 1. Redes cristalina y recíproca Doris Giratá cristalizar a medida que la temperatura disminuye, excepto el Helio cuyos isótoposhe 3 yhe 4, presentan una fase superfluida a bajas temperaturas. A temperatura ambiente, la mayoría de los elementos químicos son sólidos excepto el Hidrógeno (H), Nitrógeno (N), Oxígeno (O), Fluor (F), y el Cloro (Cl) y los gases nobles que son gases y el Mercurio (Hg), y el Bromo (Br), que son líquidos. 1.1. Los cristales y las redes de Bravais Un cristal es un conjunto de átomos, iones o moléculas (que se representan por círculos de colores) que se repite de manera perfecta e indefinida. En la figura (1.1) se muestran cristales de una, dos y tres dimensiones formados por átomos iguales dibujados como círculos verdes. Si se asigna un punto a cada átomo que se denomina base atómica, entonces al extraer los átomos se obtiene lo que se conoce como una red cristalina; y es tal que al volver a asignar cada átomo a cada punto de la red cristalina se obtiene de nuevo el cristal. = + Cristal de una dimensión = + Red cristalina Base atómica = + Cristal de dos dimensiones = Red cristalina + Base atómica = + Cristal de tres dimensiones = Red cristalina + Base atómica Figura 1.1. Cristales con un átomo por punto de red. En la figura (1.2) se muestran cristales de una, dos y tres dimensiones formados por átomos diferentes que se representan por círculos verdes y azules. En estos casos, hay dos átomos que forman la base atómica, es tal que al asignarle a estos dos átomos un punto matemático y al extraer estos puntos se reconoce la red cristalina; y al colocar de nuevo ese conjunto de átomos de la base atómica en la red cristalina se reproduce el cristal.

Estado Sólido 1.1. Los cristales y las redes de Bravais 3 = + Cristal de una dimensión = + Red cristalina Base atómica = + Cristal de dos dimensiones = Red cristalina + Base atómica = + Cristal de tres dimensiones Red cristalina Base atómica Figura 1.2. Cristales con dos átomos por punto de red. Se concluye, que si cada base atómica se ubica en el espacio de igual manera con respecto a cada punto de red se reproduce el cristal. Por lo tanto, el cristal se define como una red cristalina más una base atómica. Cristal = Red Cristalina + Base Atómica Una red de Bravais de dimensiónd = 1, 2o3es un conjunto de puntos separados por vectores de traslación de esta redrdefinidos como: R = d n i a i ; n i = 0,±1,±2,±3,... Z (1.1) i=1 Esta definición es clave, los vectores de traslación de una red de Bravais R son el punto de partida para definir las redes cristalina y recíproca, las celdillas unitarias o convencionales, las celdillas primitivas y la de Wigner Seitz, estos conceptos y definiciones se presentan a continuación: - A partir de un punto que se denominará origen, si se aplican de manera adecuada sucesivas operaciones de traslaciónr, se crean nuevos puntos y así se genera la red de Bravais; el punto inicial puede estar ubicado en cualquier lugar del espacio, ver figura (1.3). - Dos puntos de una red de Bravais dada están separados por un vector R definido en términos de un conjunto de vectores fundamentales de la red cristalina a i escogidos de

4 1. Redes cristalina y recíproca Doris Giratá 0 0 Figura 1.3. Operaciones de traslación aplicada a un punto y a una celdilla. acuerdo con la ecuación (1.1). Los vectores a i son vectores linealmente independientes como se muestra en la figura (1.3). Esta celdilla es primitiva porque a cada paralelepípedo se le asocia un punto de la red cristalina ya que cada punto de los vertices esta compartido por ocho celdillas vecinas iguales. 1.2. Las celdillas unitarias y de Wigner-Seitz Escogidos los vectores fundamentalesa i de una red de Bravais éstos definen su celdilla unitaria o convencional. En una, dos o tres dimensiones las celdillas unitarias corresponden a la longitud, el área del paralelogramo o el volumen del paralelepípedo respectivamente, que forman estos vectores fundamentalesa i de la red de Bravais, tal que: - La elección de celdilla no es única, hay muchas maneras de escogerlas. - Una celdilla unitaria es primitiva si tiene un solo punto de la red por cada celdilla primitiva. Una celdilla no primitiva tiene una longitud, área o volumen que es múltiplo entero de la longitud, área o volumen respectivamente de una celdilla primitiva y contienen un un número entero de puntos de la red. - Un conjunto de puntos es una red de Bravais si es posible asignarle algún conjunto de vectores fundamentales que definan una red primitiva. Por lo tanto, a todas las redes de Bravais se les puede asignar una celdilla primitiva, ya que los vectores fundamentales a i determinan por definición la longitud, el área del paralelogramo o el volumen del paralelepípedo que ellos conforman. - Una celdilla unitaria que se repite apropiadamente por operaciones de traslación de la red reproduce la red de Bravais. En la figura (1.4) se muestra la representación de un cristal en tres dimensiones, al lado izquierdo se observa el modelo de las esferas duras, que se logra aumentado el tamaño de cada bola hasta que se toquen entre sí, en el centro se observa una representación puntual, en el que los átomos se colocaron en cada punto de la red. A la derecha, se representa la red cristalina y

Estado Sólido 1.2. Las celdillas unitarias y de Wigner-Seitz 5 c a b Cristal Red cristalina y celdilla unitaria Figura 1.4. Diferentes representaciones de un cristal de tres dimensiones la celdilla unitaria asociada a ella y los vectores fundamentales con la magnitud de cada uno de ellos. Celdilla de Wigner-Seitz Un cristal se representa por su red cristalina o la celdilla unitaria mas la base atómica, los cuales se definen al escoger los vectores fundamentales, cuya elección no es única. Una manera de construir una celdilla primitiva que sea única es por medio de la propuesta de Wigner y Seitz, cuya construcción se explica a continuación y se dibuja para una red bidimensional en la figura (1.5): Figura 1.5. Construcción de la celdilla de Wigner-Seitz. 1. Se elige un punto de la red de Bravais que se denomina el origen O y se une por medio de líneas con los puntos de la red vecinos. 2. Después se dibujan líneas (o planos en 3 dimensiones) perpendiculares que corten exactamente en el punto medio de las líneas que unen los puntos más próximos.

6 1. Redes cristalina y recíproca Doris Giratá 3. La longitud, el área o el volumen en una, dos o tres dimensiones respectivamente encerrado por las líneas o planos que se interceptan es la celdilla de Wigner-Seitz, el punto de la red está dentro de esta área que mínima. Para una red de Bravais, la celdilla de Wigner Seitz es: única, primitiva e involucra la simetría del sistema cristalino al que pertenece. Hay muchas maneras de elegir una celdilla unitaria, esta necesariamente no es primitiva, en la figura 1.6 se muestran cinco celdillas numeradas de las cuales las marcadas como 1, 2, 3 y 5 son unitarias o convencionales se determinan por el paralelogramo formado por diferentes vectores fundamentales. 1 5 4 2 3 Figura 1.6. Celdillas unitarias y primitivas. La celdilla numerada con el número 4 es también una celdilla pero está construida de acuerdo con los criterios propuestos por Wigner-Seitz y por supuesto que el punto de la red está dentro de esta área que mínima e igual a las de las otras celdillas primitivas 1, 2 y 3. El área de la quinta es el doble que el de las anteriores y tiene dos puntos de red asociado a la celdilla unitaria por lo tanto no es primitiva. Tanto el paralelogramo formado por los vectores fundamentales como la celdilla de Wigner Seitz (azul) de la figura (1.7) son dos celdillas primitivas y llenan completamente el cristal sin dejar espacios vacíos si se aplica adecuadamente operaciones de traslación. En figura (1.8) se muestra la celdilla de de Wigner-Seitz y la definida por los vectores fundamentales, que son primitivos para una red hexagonal tal que a = b y γ = 120 o. Se observa que la mínima área posible son triángulos como si fuese posible definir una Red Triangular, pero ésta no cumple la definición de una red de Bravais dada en la ecuación (1.3). Sumando las área triangulares correspondiente a este paralelogramo y al de la celdilla de Wigner-Seitz, se observa que ambas tienen la misma área y la misma simetría. 1.3. La red cristalinaryla base atómica Un cristal está en el espacio real o de los átomos,rde la ecuación (1.1) define una Red Cristalina tal que, a cada punto de la red cristalina se le asocia una base atómica, como se observó en las

Estado Sólido 1.3. La red cristalina R y la base atómica 7 Figura 1.7. Celdillas primitiva y de Wigner-Seitz. Figura 1.8. Celdillas de Wigner-Seitz y unitaria para una red hexagonal. figuras (1.1) y (1.2) se encuentra que: Una Red Cristalina de una Dimensión se puede generar mediante los vectores de traslación dados por la ecuación (1.1) para d = 1 y queda determinada de manera única por el vector fundamental a 1. Sin embargo, hay muchas maneras de asignar los puntos de red a un cristal en una dimensión, como se observa en la figura (1.9) en el que se puede asignar un punto de red a cada átomo ubicado en una línea recta y separado la misma distancia, se muestran tres maneras de asignar los puntos de red; es preferible en el caso de haya un átomo asociado a un punto de la red cristalina colocarlo en el centro de cada átomo o sea que la posición de cada átomo medido con respecto a cada punto de red sea cero. (a) en el centro del átomo, (b) en la mitad entre dos átomos y (c) para un valor arbitrario d < a.

8 1. Redes cristalina y recíproca Doris Giratá a a a (a) (b) (c) d Figura 1.9. Cristal en una dimensión, un átomo por punto de la red. Para los tres casos, en una dimensión se obtiene una misma red cristalina y por lo tanto su celdilla unitaria también lo es, su longitud es igual al vector fundamental a 1 = a, como se observa en la figura (1.10). En un cristal de una dimensión sólo se puede construir una red cristalina compuesta por puntos en una línea recta separados una distancia a que es la longitud de su celdilla unitaria, que es primitiva. Los vectores de traslación son: R = na : naˆx y n Z (1.2) Figura 1.10. Red cristalina y celdilla en una dimensión. a Para dos o tres dimensiones hay muchas posibilidades de elegir la celdilla unitaria, depende de los vectores fundamentales escogidos de la red cristalina asociada al cristal que se estudie. En la figura (1.11 ) se presentan dos redes, una en dos y otra de tres dimensiones. En el caso de la red de dos dimensiones se muestran tres posibles pares de vectores fundamentales y se denominan comoa 1, a 2 ;a 1, a 2 ya 1, a 2 de vectores:a 1, a 2, a 3 ;a 1, a 2, a 3 ya 1, a 2, a 3.. Para la red de tres dimensiones se dibujaron tres pares a 1 a 3 a 1 a 2 a 2 a 2 a 3 a 2 a 1 a 2 a 1 a 3 a 1 a1 a 2 Figura 1.11. Vectores fundamentales en redes de dos y tres dimensiones. Una Red Cristalina de Dos dimensiones se puede generar mediante los vectores de traslación dados por la ecuación (1.1) para d = 2 y queda determinada por los vectores fundamentales a 1 y a 2 : R = n 1 a 1 +n 2 a 2 : n 1,n 2 Z (1.3)

Estado Sólido 1.3. La red cristalina R y la base atómica 9 En dos dimensiones, la celdilla unitaria es el área del paralelogramo a C definido por los vectores fundamentalesa 1 y a 2 de magnitudesay b respectivamente y ángulo γ entre ellos: a C = a 1 a 2 = absinγ (1.4) En la figura (1.12) se muestran las celdillas de la red de dos dimensiones correspondientes a los vectores fundamentales de la figura (1.11 ); las áreas de los paralelogramos formados por los vectores fundamentalesa 1,a 2 ya 1,a 2 son iguales, a cada una de estas dos celdillas se le asocia un punto de la red, ya que cada punto de los vertices esta compartido por cuatro celdillas vecinas iguales. El paralelogramo formado por los vectores fundamentalesa 1,a 2 tiene el doble del área que los dos anteriores, a cada celdilla de este tipo se le asocian dos puntos de red, uno de los vertices y otro punto que está dentro de la celdilla. a 1 =a a 2 =b a 2 =b a 2 =b a 1 =a a 1 =a Figura 1.12. Celdillas unitarias o convencionales de una red cristalina 2-D. Las tres celdillas son unitarias o convencionales, pero las dos primeras además son primitivas, ya que tienen un punto de la red asociado a la celdilla. Una Red Cristalina de Tres dimensiones se genera mediante los vectores de traslación dados por la ecuación (1.1) parad = 3 y queda determinada por los vectores fundamentalesa 1, a 2 ya 3 mediante la ecuación: R = n 1 a 1 +n 2 a 2 +n 3 a 3 ; n 1,n 2,n 3 Z (1.5) En la figura (1.13) se muestra una red cristalina de tres dimensiones, la celdilla unitaria en tres dimensiones es el volumen del paralelepípedov c definido por los vectores fundamentales a 1, a 2 y a 3 con magnitudesa, by c respectivamente y los ángulosα,β γ entre los vectoresa 2 y a 3,a 1 y a 3 ya 1 ya 2 respectivamente. v c = a 1 a 2 a 3 (1.6) Hay solamente 5 y 14 redes de Bravais no equivalentes en dos y tres dimensiones respectivamente asociadas de 4 y 7 sistemas cristalográficos, como se observan en las figuras (1.29) y

10 1. Redes cristalina y recíproca Doris Giratá a 3 =c a 3 a 2 =b a 1 =a a1 a 2 Figura 1.13. Celdilla unitaria o convencional de una red cristalina 3-D. (1.31) que son invariantes ante los grupos puntuales. Esto es debido a que las simetrías compatibles con la definición de una red de Bravais dada por la ecuación (1.1) son limitadas hay un número de finito de redes de Bravais que son el resultado de la simetría puntual y estos se agrupan en sistemas cristalográficas. Cada sistema cristalográfico tiene un punto de simetría que es fijo, planos de reflexión y ejes de rotación. La teoría de los grupos es una herramienta matemática que trata acerca de las simetrías y los invariantes. En la mecánica clásica la simetría de los sistemas físicos lleva a las leyes de conservación y en la mecánica cuántica la invariancia es un concepto clave para su comprensión y el desarrollo de la teoría, por ejemplo para entender conceptos como el momento angular y espín. La base atómica Un cristal perfecto se define por medio de una red cristalina o su correspondiente celdilla unitaria tal que a cada punto de la red cristalina o celdilla primitiva se le asocie una base atómica que es un conjunto de átomos, iones o moléculas que debe conservar: - su composición - sus diferentes posiciones con respecto a cada punto de la red y - su orientación en el espacio y la simetría. La posición de cada átomo, ion o molécula α asociados a cada punto de la red cristalina o a su celdilla unitaria se denota por ρ α (R); si la base atómica está conformada por p átomos, entonces α = 1,2,,p. Los vectores de la base atómica ρ α (R) son medidos con respecto a un punto de la red cristalina ubicado en el punto R o a la celdilla asociada a ese punto y se escriben como: ρ α (R) = x α a 1 +y α a 2 +z α a 3 = ρ α Sii: 0 x α,y α,z α 1 (1.7)

Estado Sólido 1.3. La red cristalina R y la base atómica 11 x α, y α, z α son las proyecciones del vector ρ α en las direcciones de los vectores fundamentales a 1, a 2, a 3 respectivamente, medidos con respecto a cualquier punto de la red cristalina. Se debe cumplir la condición 0 x α,y α,z α 1 para garantizar que todos los átomos de la base atómica descrita estén en la misma celdilla unitaria, y en este caso se escriben como ρ α ya que no es necesario especificar a que celdilla pertenecen. A continuación se presentan algunos ejemplos que permiten entender los conceptos de base atómica y subredes: - Para un cristal en una dimensión con dos átomos iguales separados una distancia arbitrariadya d, tal qued < a, los puntos de la red cristalina se pueden asignar con respecto a los átomos de diferente manera y producen la misma red cristalina de acuerdo con la ecuación (1.2) y la figura (1.15); tal que dos puntos de red adyacentes están separados una distancia a, llamada constante o parámetro de red. d CRISTAL a Asignación de los puntos de red d a Red cristalina (a) (a) d (b) a d (b) Base atómica a a-d Figura 1.14. Cristal con dos átomos iguales por punto de red. Las coordenadas de la base atómica con respecto a un punto de la red cristalina para cada caso son: (a) x 1 = 0, x 2 = d y (b) x 1 = 0 yx 2 = a d. - El siguiente ejemplo muestra que para cristales de más una dimensión y más de un átomo por celdilla se aumenta el número de posibilidades de escoger redes de Bravais. Para el cristal en dos dimensión con dos átomos diferentes separados se pueden encontrar muchas celdillas que permitan mediante operaciones de traslación construir el cristal si se asigna la base atómica que está en cada una de ellas. Hay muchas posibilidades de escoger una red cristalina o sea de elegir los vectores fundamentales de la red cristalina. En la figura (1.15) se muestran varias posibilidades de escoger las celdillas unitarias, por conveniencia los puntos de la red cristalina se colocan en el centro de algunos de los átomos representados por círculos grandes blancos o pequeños negros. Las celdillas dibujadas con líneas punteadas de color azul tienen una base atómica con el menor número de átomos que uno negro y otro blanco. Las áreas punteadas de color rojo tienen una base atómica con dos átomos negros y dos blancos y base atómica de las áreas punteadas de color verde tienen cuatro átomos negros y dos blancos.

12 1. Redes cristalina y recíproca Doris Giratá Figura 1.15. Cristal bidimensional con dos átomos diferentes por punto de red. a a a 2r r a (a) (b) (c) (d) Figura 1.16. Un cristal hexagonal y tres celdillas primitivas diferentes. - Un cristal hexagonal en dos dimensiones, tiene átomos iguales que están ubicados en el hexágono y en el centro del mismo, en la figura (1.16) se observan 3 celdilla unitarias diferentes llenando el hexágono, para determinar la red cristalina se debe escoger sólo una de ellas. También, se observa que este tipo de cristal tendría un conjunto de celdillas triangulares, el problema es que éstas no forman una red de Bravais. - Para un conjunto de átomos ubicados en hexágonos, pero ninguno en el centro de él, como se observa en la figura (1.17), similar a un panal de abejas, no es posible encontrar una red de Bravais para el conjunto de puntos ubicados de esa manera; y cada celdilla tenga un punto de la red. A este ordenamiento de puntos se le conoce como Red Honey, pero no es una red de Bravais. Una manera de encontrar una celdilla primitiva es asociar a cada punto de la red cristalina dos átomos. Se observan dos celdillas: la azul que tiene un átomo en cada vértice y otro adentro y la verde que tiene los dos átomos ubicados dentro de la celdilla. - Para el cristal de dos dimensiones formado por átomos diferentes que se representan con círculos verdes y azules de la figura (1.18), cada uno forma una subred cuadrada de lado a que se interpenetran y están ubicados cada punto respecto a un punto de red de la otra subred en el centro: Los vectores a 1 = aˆx y a 2 = aŷ definen una celdilla primitiva que es un cuadrado lado a y area a 2. Las posiciones del átomo verde está en el origen 0,0 y el azul en el centro del cuadrado ubicado ena/2,a/2. - Para el cristal de dos dimensiones con átomos iguales representados por círculos verdes

Estado Sólido 1.3. La red cristalina R y la base atómica 13 Figura 1.17. Conjunto de puntos que no es una red de Bravais. y 0 x Figura 1.18. Cristal con dos átomos diferentes por punto de red. en la figura (1.19) se le pueden asociar dos redes cristalinas una primitiva y otra no primitiva que tiene una base atómica con dos átomos diferentes con celdillas dibujadas en verde y azul respectivamente. Figura 1.19. Para un cristal se pueden elegir dos celdillas diferentes. Para ambos casos al aplicar las operaciones de traslación adecuadas a cada celdilla con su base atómica correspondiente, se puede reproducir completamente el cristal. Las dos celdillas tienen la forma de un cuadrado, tal que el area azul es dos veces la del área verde; tal que el lado es 2 veces el lado del cuadrado verde.

14 1. Redes cristalina y recíproca Doris Giratá - En la figura (1.20) se observa que una misma red puede producir tres cristales diferentes dependiendo de la base atómica. Si a la red bidimensional se le asignan tres tipos de base atómica por punto de red cristalina: un átomo, o dos átomos iguales o dos átomos diferentes se encuentran una distribución atómica espacial diferente para cada caso. Red cristalina = Cristales + Base atómica Figura 1.20. Una red cristalina y diferentes bases atómicas. - En la figura (1.21) se representa un cristal con varios átomos diferentes por celdilla unitaria, en (a) uno está ubicado en los vertices del cubo y el segundo en el centro del cubo. Los cristales (b) y (c) se obtienen a partir de (a) y se le adicionan átomos diferentes en los centros de las caras o en el centros de los de cada una de las aristas del cubo respectivamente. (a) (b) (c) Figura 1.21. Cristal tridimensional con varios átomos por celdilla primitiva. - En la figura 1.22 se observa que cuatro subredes cúbicas cuya celdilla primitiva es un cubo, si se interpenetran unas con otras, tal que un punto de red esté en el centro de alguna de las caras de otro cubo, se obtiene como resultado una red cuya celdilla es un cubo que no es primitivo porque tiene puntos en los vertices y en los centros de las caras.

Estado Sólido 1.4. Planos atómicos y los índices de Miller 15 1 1 2 2 3 3 3 z 1 2 1 3 2 x y Figura 1.22. Cuatro subredes cúbicas conforman una red cúbica centrada en las caras. 1.4. Planos atómicos y los índices de Miller Para hacer la caracterización estructural de los cristales, los conceptos de red cristalina y de celdillas unitarias o convencionales, de estas la más útil es la celdilla de Wigner-Seitz y los planos cristalinos son muy importantes. En la figura (1.23) se identifican en (a) para una red bidimensional se muestran varias familias de líneas cristalinas dibujadas en verde, rojo, azul y negro y una familia de planos en (b) para una red tridimensional. (a) (b) Figura 1.23. Planos y líneas atómicas en 2 y 3 dimensiones. Un plano con intersecciones con los tres ejes fundamentales en n 1 a 1, n 2 a 2 y n 3 a 3 como el de la figura (1.24) se identifica como el plano cristalino (hkl) que se determina por medio de los índices de Miller hkl que se calculan de la siguiente manera: - a partir de los recíprocos de los números enterosn 1,n 2 yn 3 : 1 n 1, 1 n 2, - se calcula el menor conjunto de números enteros que se denominan los indices de Miller hkl (que corresponden a triada de enteros mas pequeños con la misma razón r). 1 n 3

16 1. Redes cristalina y recíproca Doris Giratá n a 3 3 n a 1 1 n a 2 2 Figura 1.24. Planos atómico que tiene interceptos en n 1 a 1, n 2 a 2 yn 3 a 3. n 1 n 2 n 3 n 1 r, n 1n 2 n 3 n 2 r, n 1 n 2 n 3 r h, k, l n 3 por lo tanto los valores de los indices de Miller en función de los interceptos con los ejes de los vectores fundamentales de la red cristalina y la razón común r de sus tres recíprocos son: h = n 2 n 3 r, k = n 1 n 3 r, l = n 1 n 2 r (1.8) La notación para los planos cristalográficos es (hkl) y de la familia de planos paralelos a éstos es {hkl}. Si alguno de los interceptos está en la dirección negativa entonces el índice de Miller se denota con un signo negativo encima del número. Un plano con interceptos con los ejes en las direcciones de los vectores fundamentales de la red cristalina 1, 3, 6 con recíprocos 1,1/3,1/6 entonces la triada de menores valores de números enteros son 6,2,1 que corresponden a los índices de Miller y el plano se llama (621). Si alguno de los interceptos es negativo 1,3,6 entonces el plano es ( 621) y si el intercepto está en el infinito el índice de Miller correspondiente es 0. En la figura (1.25) se muestran los planos cristalinos con interceptos con los ejes fundamentales en (a) 1,, que corresponde al plano (100), con intercepciones en (b) 1,1, que corresponde al plano (110) e intercepciones (c) y (d) en 111 y 221 que corresponde a los planos (111) y (112) respectivamente. (a) (b) (c) (d) Figura 1.25. Planos atómicos (100), (110), (111) y(112).

Estado Sólido 1.5. Red recíproca K 17 El plano cristalino (hkl) se puede identificar por la normal N al plano de las tres intersecciones con los ejes fundamentales de la red cristalina en (n 1 a 1, n 2 a 2 y n 3 a 3 ) como se observa en la figura (1.24), teniendo en cuenta que el vector que resulta del producto vectorial de dos vectores del plano es perpendicular a cada uno ellos, se pueden elegir los vectoresn 2 a 2 n 1 a 1 yn 3 a 3 n 1 a 1 tal que: N = (n 2 a 2 n 1 a 1 ) (n 3 a 3 n 1 a 1 ) = n 2 n 3 a 2 a 3 n 1 n 3 a 1 a 3 n 1 n 3 a 1 a 3 reemplazando los valores dehkl desde (1.8), el vector normal a los planos(hkl) en función de los indices de Miller y de los vectores fundamentales de la red cristalina se escriben como: N = 1 r (ha 2 a 3 +k a 3 a 1 +la 1 a 2 ). (1.9) La notación de los indices de Miller es utilizada en el estudio de los Espectros de Difracción de electrones, neutrones y Rayos X con un cristal ya que permite identificar los planos cristalinos. 1.5. Red recíprocak La red recíproca o dual asociada a una red cristalina es una consecuencia de la simetría traslacional de funciones que describen cantidades físicas que tienen la periodicidad de la red cristalina R, como la densidad de electrones η(r), la energía cinética ˆT que es 2 2m 2 y la energía potencial U(r) = U(r + R) son funciones periódicas con la periodicidad de la red cristalina. Se define un operador de traslación ˆT R que transforma un vectorren otror+r y al actuar sobre una función cualquiera que sea función de la posición f(r) se cumpla que: ˆT R r = r+r ˆTR f(r) = f(r+r) (1.10) Si estas funciones de la posición son periódicas o sea invariantes ante una transformación de traslación se cumple que f(r) = f(r + R), o sea que son invariantes traslacionales. Por lo tanto,f(r) se pueden escribir como una serie de Fourier. f(r) = f(r+r) = K f K e ik r e ik r es una onda plana que debe escogerse de tal manera que se cumpla la ecuación (1.10) yf K es la transformada de Fourier def(r) y se escribe como: f K = 1 f(r)e ik r d 3 r (1.11) v c celda

18 1. Redes cristalina y recíproca Doris Giratá v c es el volumen de la celdilla de la red cristalina y se calcula como (1.6). En el espacio de Fourier se cumplen las siguientes relaciones: v c (2π 3 d 3 ke ik (R R ) = δ R,R ) 1 ZB v c celda f(r + R) también se puede escribir como serie de Fourier: d 3 re ir (K K ) = δ K,K (1.12) f(r+r) = K f K e ik (r+r) (1.13) Esta ecuación es igual a (1.11), esto implica que: f(r+r) = K f K e ik r e ik R = K f K e ik r = f(r) (1.14) Esto es posible si y solamente si, todo vector K de la serie de Fourier cumple que e ik R = 1. El conjunto de vectores K definen una red de Bravais en el espacio recíproco, dual o de Fourier, son vectores de onda y se pueden calcular a partir de los vectores de traslación de la red cristalina de acuerdo con la relación: e ik R = 1 que se cumple sik R = 2π (entero) R yk (1.15) Los vectores K se pueden escribir de acuerdo con (1.1) para los vectores fundamentales de la red recíproca b i ya que la red recíproca es una red de Bravais como: 3 K = h j b j ; h j = 0,±1,±2,±3,... Z (1.16) j=1 Los valores de h 1, h 2, h 3 son números enteros y la relación entre los proyecciones de los vectores fundamentales de las redes duales n i y h i del espacio cristalino y recíproco respectivamente es: K R = 2π(n 1 h 1 +n 2 h 2 +n 3 h 3 ) = 2π (entero) (1.17) y la relación entre los vectores fundamentales de las redes cristalina y recíprocaa i yb i es: Los vectoresb j eligen tal que se cumpla la relación (1.18), así: a i b j = 2πδ ij (1.18)

Estado Sólido 1.5. Red recíproca K 19 b 1 = 2π a 2 a 3 a 1 a 2 a 3 b 2 = = 2π a 3 a 1 a 1 a 2 a 3 b 3 = 2π a 1 a 2 a 1 a 2 a 3 (1.19) Los vectores fundamentales de la red recíproca en una y dos dimensiones se hallan aplicando directamente la relación (1.18). También para dos dimensiones se pueden calcular b 1 y b 2 usando (1.19) llamando a 3 = ẑ (ẑ es un vector unitario en la dirección normal del plano de la red cristalina si se elige comoxy).v c es el volumen de la celdilla de la red cristalina que es igual a a 1 a 2 a 3 de acuerdo con (1.6). Propiedades de los vectores K Los vectores de traslación de la red recíproca K definidos en término de los vectores fundamentales de la red recíproca en la ecuación (1.17) tienen las siguientes propiedades: - Los vectores K generan la red recíproca. Como una red recíproca es una red de Bravais, a partir de un punto que se denominará origen en el espacio de Fourier, si se aplican de manera sucesivas operaciones de traslación R, se crean nuevos puntos y así se genera la red de recíproca. Por lo tanto, dos puntos de una red recíproca dada están separados por un vector K definido en términos de un conjunto de vectores fundamentales de la red cristalina b i calculados de acuerdo con la ecuación (1.19) y son linealmente independientes. - Los vectores fundamentales de la red recíprocab j definidos en (1.19) se pueden reescribir en una sola ecuación como: i b i = 2π ε ijka j a k (1.20) v c para el caso de vectores a i que sean de mano derecha v c = a 1 a 2 a 3, no es necesario hallar el valor absoluto como en (1.6). - El volumen de la celdilla de la red recíproca v r es inverso al volumen de la celdilla de la red cristalina v c dado por (1.6): La red recíproca de la recíproca es la red cristalina. v r = b 1 (b 2 b 3 ) = (2π)3 v c (1.21)

20 1. Redes cristalina y recíproca Doris Giratá - Transformación de traslación en espacio recíproco. De igual manera que se define un operador de traslación ˆT R para una red cristalina de acuerdo con (1.10), se puede definir un operador de traslación ˆT K para una red recíproca que transforme un vector de onda k en el espacio de Fourier en otrok+k y actúa sobre una función del vector de onda tal que: ˆT K k = k+k ˆTK f(k) = f(k+k). - Comparando la expresión para el vector normal al plano cristalino(hkl) dado en (1.9) con la de los vectores de traslación de la red recíprocaken (1.16) y de sus vectores fundamentales definidos en (1.19) se concluye que los números enteros h 1, h 2 y h 3 corresponden a los indices de Miller hkl. Por lo tanto, cada vector fundamental de traslación de la red recíproca K es paralelo a la normal N del conjunto de planos cristalinos paralelos {hkl} para los indices de Miller h, k, l correspondientes, ver figura (1.26). El vector unitario en la dirección normal del plano (hkl) en términos del vector fundamental de traslación de la red recíprocakse escribe como: ˆn = K K K = hb 1 +kb 2 +lb 3 (1.22) K hkl Figura 1.26. Planos atómicos definidos por K. Por lo tanto, todos los vectores que pertenecen al mismo plano generado por un vector K fijo, son paralelos a la normal de un plano cristalográfico (hkl) de acuerdo con la definición de planos dados por los indices de Miller. - La distancia entre los planos cristalinos paralelos {hkl} se muestra en la figura (1.26), se denote como d hkl y corresponde a la proyección en la dirección normal a estos planos de cada uno de los vectores de traslación de la red cristalina R que une dos puntos de red que están en dos planos cristalinos diferentes del conjunto{hkl}, tal que: d hkl = R ˆn = R K K = 2π (número entero) (1.23) K hay infinitos planos que cumplen esta ecuación que relaciona los dos espacios real (donde están los átomos) y de Fourier donde están las redes cristalina y recíproca respectivamente.

Estado Sólido 1.5. Red recíproca K 21 - A la celdilla de Wigner-Seitz en el espacio recíproco se le denomina Primera Zona de Brillouin (PZB), con el fin de calcularla para una red en una dimensión se hallan las redes cristalina y recíproca generados por los vectores R = na y K = hb respectivamente, donde n y h son números enteros, a = aˆx y b se calcula de acuerdo con la relación (1.18), tal que: a b = 2π b = 2π a ˆx (1.24) En la figura (1.27) se observan las redes cristalina y recíproca donde se resalta la zona azul que es la celdilla de Wigner-Seitz en el espacio recíproco que corresponde a la Primera Zona de Brillouin que son los vectores de ondak en el espacio de Fourier limitados por: π a < k π a (1.25) Red cristalina lineal a x Red recíproca lineal b a 0 a k Primera zona de Brillouin Figura 1.27. Red cristalina, recíproca y PZB para un cristal en 1-D. - Basados en el procedimiento para construir la celdilla de Wigner-Seitz se pueden definir otras Zonas de Brillouin para una red recíproca, esto se consigue si el punto O elegido se une con los siguientes puntos vecinos a los ya utilizados para dibujar la Primera Zona de Brillouin y se trazan nuevas líneas o planos perpendiculares que corten exactamente en el punto medio de las líneas que unen los siguientes vecinos, todas las líneas y planos se prolongan hasta donde sea necesario para que se puedan construir las siguientes zonas de Brillouin aplicando sucesivamente el procedimiento usado para dibujar la PZB y se denominan Segunda, Tercera,..., etc. Zonas de Brillouin, como se observa en la figura (1.28). La longitud (en una dimensión), área (en dos dimensiones) o volumen (en tres dimensiones) de cualquier Zona de Brillouin es igual al de la celdilla primitiva y tienen la misma longitud, área o volumen que la PZB.

22 1. Redes cristalina y recíproca Doris Giratá Figura 1.28. Las tres primeras zonas de Brillouin de una red rectangular. 1.6. Cinco redes de Bravais en 2-D En dos dimensiones hay cinco redes de Bravais no equivalentes que se determinan por los vectores fundamentalesa 1 ya 2, asociadas a 4 sistemas cristalográficos: Sistema cristalino Tipos de redes Longitud vectores Ángulos Oblicua P a b γ 90 o oγ 120 o Hexagonal P a = b γ = 120 o Cuadrada P a = b γ = 90 o Rectangular P,C a b γ = 90 o Cada sistema tiene una red primitiva, porque al dibujar el paralelogramo formado por los vectores fundamentales dibujados para cada una de ellas en la figura (1.29), hay un solo punto asociado a cada uno de ellos, ya que cada punto de la red esta compartido por cuatro celdillas vecinas. Al adicionar un punto en el centro de la celdilla primitiva de las redes (oblicua, hexagonal y cuadrada) se transforma en mismas redes. Por ejemplo, para una red cuadrada, la celdilla primitiva de la red cuadrada centrada es un cuadrado de lado a/ 2, por lo tanto esta red es también cuadrada. El sistema rectangular tiene dos redes asociadas a él, una definida por los vectores fundamentales que determinan una celdilla primitiva en forma de rectángulo llamada rectangular y otra red la rectangular centrada que es una red rectangular a la que se adiciona un punto de red en el centro de cada rectángulo. Para la red rectangular centrada se tiene que: el rectángulo es una celdilla unitaria pero no es una celdilla primitiva, ya que hay dos puntos asociado a

Estado Sólido 1.7. Las catorce redes de Bravais en 3-D 23 1. Oblicua 2. Hexagonal 3. Cuadrada 4. Rectangular 5. Rómbica Figura 1.29. Cinco redes de Bravais en 2-D. cada rectángulo, aunque conserva la simetría del rectángulo. Por lo tanto, la red rectangular centrada pertenece al sistema cristalográfico Rectangular. La celdilla primitiva es un rombo de lado a = b,γ 90 o o γ 120 o, y que se conoce como red rómbica. 1.7. Las catorce redes de Bravais en 3-D Hay muchas maneras de elegir los vectores fundamentales de una red cristalina, aunque en total hay solo 14 redes de Bravais distribuidas en 7 sistemas cristalográficos en el que se incluye una red primitiva y otras no equivalentes que surgen de adicionar punto de red a la celdilla primitiva. Un cristal se determina si se logra encontrar alguna celdilla que sea primitiva; sin embargo a veces se usan las celdillas no primitivas si ellas muestran la simetría de la red cristalina. En la figura (1.30) se muestran las estructuras cristalinas de los elementos químicos en la tabla periódica donde se observa que ellos cristalizan en alguno de los sistemas cristalográficos: Las redes de un mismo sistema cristalográfico tiene los mismos elementos de simetría puntuales y tienen una celdilla primitiva llamada P, esto significa que los puntos de la red únicamente están en los vértices del paralelepípedo formado por los vectores fundamentales y tiene un punto de red por celdilla. Que redes de Bravais surgen al adicionar puntos a una primitiva? La simetría de las redes que pertenecen a un sistema cristalino no cambia al adicionar puntos en diferentes sitios de la celda primitiva. Dependiendo del lugar donde se ubiquen los puntos

o o o 24 1. Redes cristalina y recíproca Doris Giratá Periodo 1 2 Na 3 K 4 Rb 5 Rubidio 5.585 Cs 6 7 1 IA H 4K Hidrógeno 3.75 Moléculas, H 2 6.49 Li 78K Be Litio Berilio 3.491 Sodio 4.29 Cesio 5K 5K Potassio 5.225 6.045 5K 5K Fr 87 Ra Francio Ca Calcio Sr 5.58 Estroncio Ba 6.08 Bario 5.02 Radio --- --- Grupo Sc Escandio 3.31 fcc 5.27 4.54 Y Ytrio Zr Lu Lutecio 3.50 5.55 Ti Titanio Zirconio 3.23 5.15 Hf Halfnio V Vanadio Nb Niobium Ta 3.03 3.30 Tantalo 3.30 Símbolo Mo Temperatura cristalización 2 13 14 15 16 IIA 2.29 3.58 Mg Magnesio 3.21 5.21 Nombre o Parámetros de red: a (A) o c (A) 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 IIIB IVB VB VIB VIIB VII IB IIB 3.65 5.73 2.95 4.68 3.20 5.06 Cr Cromo 2.88 fcc hcp 3.68 2.72, 443 Molibdeno fcc 3.15 4.16 W Tungsteno 3.16 Mn Manganeso 3.77 3.53 Tc Ru Technecio Re 2.74 4.40 Rhenium 2.76 4.46 Fe Hierrro 2.87 fcc 3.59 Rutenio 2.71 4.28 Os Osmio 2.74 4.32 Co Cobalto 2.51 4.07 Rh Rodio Ir 3.80 Iridio 3.84 fcc 3.55 Ni Niquel 3.52 hcp 3.65, 5.93 Pd Paladio Pt 3.89 Platino 3.92 Cu Cobre 3.61 Ag Au Plata 4.09 Oro 4.08 Zn Cd Cadmio Indio 2.98 3.24 5.62 4.94 Hg Mercurio 2.99 (71 o ) 8.74, 3.255.03 504.95 at/c. u. Al Aluminio 4.05 Ga Zinc Gallium 2.66 4.51 b= 4.95 7.83 0.001a 5K IIIA IVA B Boro C Carbono N In Tl Thallium 3.46 fcc 4.84 5.53 bcc3.88 3.567 Grafito 2.46,6.70 Si Ge Germanio Sn ( ) Estaño Tet-5.82 6.49 3.17Blanco Gris 4 at/c.u. Pb Silicio 5.430 5.658 Plomo 4.95 Nitrógeno 5.64 8at/c. u. P Fosforo S Azufre Cl 3.31 10.5 Negro As Arsenico 4.13 (5.4 ) 2 at/c. u. Sb Antimonio 4.50 (58 ) 2at/c.u. Bi Bismuto 4.75 (57 o ) 4K cubico 7.17 Blanco O 3K 53K F Fluor Oxigeno 10.47 Cloro 24.5 6.24, b=8.26 b=12.9 4.48, 8 at/c.u. 128 at/c.u. Se Selenio Br 123K 4.36 Bromo 4.93 6.67, b=8.72 3at/c.u. 4.48, 8 at/c.u. cadena espiral Te I Telurio 4.45 Iodo 5.91 4.79, b=8.72 3at/c.u. 9.78, 8 at/c. u. Po Polonio 3.34 5.50, 3.28 7.28 At 17 VA VIA VIIA 5.50 3.82 cadena espiral Astatine --- 113K He Ne Ar Kr I 2 Xe Krypton Rn 18 VIIIA Neón 4.46 Argón 5.26 5.72 Xenon 6.20 Radon --- 2K P=26 atm Helio 3.57 5.83 4K 4.2K 58K 4K La Lantano 5.30 hcp 3.75, 6.07 Ac Actinio 5.31 Ce Cerio 5.16 hcp 3.65, 5.93 Th Torio 5.08 Pr Prasodimio 5.16 hcp 3.67, 5.92 Pa Protactinio 3.92 3.24 Nd Neodimio U 3.66 5.90 Uranio 3.47 Pm Promecio --- Np Neptunio 4.72 6.66 b=5.87 4 at/c. u. Sm Samario 9.0 (23 o ) 3 at/c.u. Eu Europio 4.61 Pu Plutonio Am 6.18 4.82 10.97 (102 ) 16at/ c. u. Americio 4.89 Gd Gadolinio 3.56 5.80 Cm Curio --- Tb Terbio 3.60 5.70 Bk Berkelio --- Dy49K Disprosio Cf 3.59 5.65 Californio Ho Holmio 3.58 5.62 Es Einsteinio --- --- Er Erbio 3.55 5.59 Fm Fermio --- Tm Thulio 3.54 5.56 Md Mendelevio Yb Yterbio 5.48 No Nobelio --- --- Simple cúbica Cúbica centrada en el cuerpo Hexagonal Tetragonal Ortorrombica Diamante Cúbica centrada en las caras Hexagonal compacta Romboédrica Monoclínica Figura 1.30. Estructuras cristalinas de los elementos químicos adicionales a la red primitiva P se nombran las redes, tal que: A. Si se adicionan puntos en los centros de los planos definidas por a 2 y a 3 y paralelos a ellos, ubicados ena(0, 1 2, 1 2 ). B. Si los puntos se adicionan en los centros de la caras formada por los ejesa 1 ya 3 y paralelos a ellos, ubicados enb( 1 2,0, 1 2 ). C. Se le adiciona puntos en los centros del plano determinado por los ejesa 1 ya 2 y paralelos a ellos, ubicados enc( 1 2, 1 2,0). I. Su nombre viene del término en alemán Innerzentrierte que significa centrada en el cuerpo. Esta red se obtiene al adicionar un punto en el centro de la celdilla ubicado eni( 1 2, 1 2, 1 2 ). F. Significa red centrada en las caras, se obtiene al adicionar a la red primitiva puntos en los centros de todas las caras F( 1 2, 1 2,0), (0, 1 2, 1 2 ), (1 2,0, 1 2 ). Es muy importante entender que las redes A, B, C, I y F no son las primitivas del sistema cristalográfico, aunque los vectores fundamentales de sus redes primitivas forman celdillas no primitivas, es necesario encontrar vectores fundamentales que definan una celdilla primitiva para esas nuevas redes, para garantizar que son redes de Bravais.

Estado Sólido 1.7. Las catorce redes de Bravais en 3-D 25 Hay siete sistemas cristalográfico que se agrupan en catorce redes no equivalentes distribuidos en una red P en los sistemas hexagonal, romboédrico y triclínico; dos en los sistemas tetragonal y monoclínico; 3 cúbicas y 4 ortorrómbicas. En la tabla se observan las longitudes de los vectores fundamentales a 1 = a, a 2 = b, a 3 = c y de los ángulos entre ellos: α, β y γ para cada sistema cristalográfico. 1.Triclínica (P) 2.Monoclínica (P y A). 3.Ortorrombica (P, A, I y F) 4.Tetragonal (P e I). 5. Trigonal (P) 6.Hexagonal (P). 7. cúbica (P, I y F) Figura 1.31. Siete sistemas cristalográficos y 14 redes de Bravais en 3-D.

26 1. Redes cristalina y recíproca Doris Giratá Sistema cristalino Tipo de red Longitud Ángulos Triclínica P a b c α β γ Monoclínica P, A a b c α = γ = 90 o β Ortorrómbica P, C, I, F a b c α = β = γ = 90 o Tetragonal P, I a = b c α = β = γ = 90 o Romboédrica o trigonal P a = b = c α = β = γ < 120 o, 90 o Hexagonal P a = b c α = β = 90 o γ = 120 o Cúbica P, I, F a = b = c α = β = γ = 90 o Para hallar el número de puntos de red que corresponde a una celdilla se debe tener en cuenta que los vértices pertenecen a ocho celdillas diferentes y las caras a dos celdillas. Una celdilla centrada F contiene:6 1 2 +8 1 8 = 4 puntos por celdilla P. Una red centrada en A, B, o C contiene tiene 2 1 2 +8 1 8 = 2 puntos de red por celdilla P. A continuación se describen algunas características de las redes en tres dimensiones: 1. La red triclínica es la que tiene menor simetría, el paralelepípedo formado por los vectores fundamentales tiene una forma cualquiera, se dice que es triplemente inclinado por ello se denomina triclínico y el único elemento de simetría es un centro de simetría. Los minerales como la Turquesa y la Rodonite tienen redes triclínicas. 2. La característica especial de la red trigonal es la presencia de un eje de rotación ternario o un eje de inversión ternario. La red hexagonal fundamental es la presencia de un eje de rotación de orden 6 o un eje de inversión de orden 6. Para mayor precisión, generalmente se introduce un cuarto eje i, coplanario con a y b, que forma un ángulo de 120 o con cada uno de ellos. 3. Los índices de Miller para la red hexagonal tienen la particularidad que usan un cuarto índice como (hkil), el valor de i se determina como h+k y se sitúa en el plano a 1 a 2 y a 120 de cada uno de estos ejes; teniendo en cuenta que los vectores fundamentales son: a 1 = 3 2 aˆx+ a 3 2ŷ ; a 2 = 2 aˆx+ a 2ŷ ; a 3 = cẑ; c > a 4. En el sistema monoclínico, la celdilla P es un paralelepípedo de base rectangular formados por redes planas rectangulares. El sistema monoclínico tiene dos redes la P y la de base centrada, tal que las redes monoclínicas de base centrada A y C son equivalentes; lo mismo que Las redes I y cualquiera de las A, B o C. Por eso se considera sólo dos ellas en el sistema monoclínico: P e I o P y A. La centrada en B se transforma en una P con la mitad del volumen, los nuevos vectores a 1,a 2,a 3 : a 1 = 1 2 (a 1 a 3 ) a 2 = a 2 a 3 = 1 2 (a 1 +a 3 ).

Estado Sólido 1.7. Las catorce redes de Bravais en 3-D 27 La centrada en I se transforma en una monoclínica centrada en C con nuevos vectores a 1,a 2,a 3 :a 1 = 1 2 (a 1 +a 3 ) a 2 = a 2 a 3 = a 3. La centrada en F se transforma en una monoclínica centrada en C con nuevos vectores a 1,a 2,a 3 :a 1 = a 3 a 2 = a 2 a 3 = 1 2 (a 1 +a 3 ). 5. La celdilla de la red ortorrómbica primitiva P es un prisma recto de base rectangular. Los tres planos fundamentales, (100), (010) y (001), más los planos diagonales del prisma, son redes planas rectangulares. Las redes ortorrómbicas centradas se obtienen si se centran las redes planas rectangulares (100), (010) y (001) y se simbolizan por redes A, B y C. Morfológicamente estas redes son iguales y se denominan red rómbica de base centrada C. Además se tienen las redes no equivalentes F e I. 6. Los vectores fundamentales primitivas de una red tetragonal sona 1 = aˆx; a 2 = aŷ; a 3 = cẑ; c > a. La celda fundamental es un prisma recto de base cuadrada. La familia de planos (001) son de una red plana cuadrada, mientras que (100) y (010) son rectangulares e idénticos entre sí. Red tetragonal centrada, I. Al ser iguales por simetría, los planos (100) y (010) no pueden centrarse independientemente, ni tampoco pueden hacerlo simultáneamente porque ello destruye la homogeneidad de los planos de la misma familia. Sin embargo, los planos diagonales, que son también redes rectangulares, pueden centrarse dando origen a la red tetragonal centrada en el interior I. 7. El sistema cúbico tiene una celdilla unitaria que es un cubo con puntos en los vertices del cubo, es primitiva P y se denomina red cúbica simple. El sistema cúbico es el que tiene mayor simetría de los siete sistemas cristalográficos. Si se colocan puntos en los vertices del cubo se tiene la red simple cubica, adicionando a estos puntos otro en el centro del cubo se tiene la red cúbica centrada en el cuerpo I (denominación del término en alemán Innerzentrierte con ese significado), y si los puntos de adicionan en el centro de las caras se tiene la red cúbica centrada en las caras F (del término en inglés Face o cara). Los vectores fundamentales de la red simple cúbica son: a 1 = aˆx, a 2 = aŷ, a 3 = aẑ b 1 = 2π a ˆx, b 2 = 2π a ŷ, b 3 = 2π a ẑ (1.26) La red recíproca de una red cúbica simple o P es otra red cúbica simple en el espacio recíproco, cuya celdilla es un cubo de lado 2π/a. El Polonio es único elemento metálico que cristaliza como un simple cúbico, con seis enlaces por átomo. Ellos definen un cubo de volumen a 3 que contiene un punto de red por cubo, cada uno de los puntos de los vertices están compartidos por ocho cubos vecinos (8 vertices 1 8 ). Estos vectores fundamentales y el cubo definen una red primitiva para la red que tiene solamente puntos

28 1. Redes cristalina y recíproca Doris Giratá en los vertices. El cubo ya no es una celdilla primitiva para las redes cúbicas I y F. Los vectores fundamentales de la red cristalina cúbica centrada en el cuerpo I que definen una celdilla primitiva son los dibujados en la figura (1.32) y de la red recíproca son: a 1 = a (ˆx+ŷ ẑ) 2 b 1 = 4π a (ˆx+ŷ) a 2 = a ( ˆx+ŷ +ẑ) 2 b 2 = 4π a (ŷ +ẑ) a 3 = a 2 (ˆx ŷ +ẑ) b 3 = 4π a (ˆx+ẑ) (1.27) Z a a a X Y Simple cúbico (P) Cúbico centrado en el cuerpo (I) Cúbico centrado en las caras (F) Figura 1.32. Sistema cúbico. Se observan las celdillas primitivas. La red recíproca de una red cúbica centrada en el cuerpo I es una red cúbica centrada en las caras F. En el espacio recíproco, el lado del cubo es4π/a. Los vectores fundamentales de la red cúbica centrada en las caras F, utilizando los ejes coordenados dibujados en la figura (1.32) son: a 1 = a 2 (ˆx+ŷ) a 2 = a (ŷ +ẑ) 2 b b 1 = 4π a 2 = 4π a (ˆx+ŷ ẑ) ( ˆx+ŷ +ẑ) a 3 = a 2 (ˆx+ẑ) b 3 = 4π a (ˆx ŷ +ẑ) (1.28) La red recíproca de una red cúbica centrada en las caras F es una red cúbica centrada en el cuerpo I. En el espacio recíproco, el lado del cubo es4π/a. Primera zona de Brillouin para Redes Cúbicas En la figura (1.33) se observan la primera zona de Brillouin para las las redes cúbicas simple P, centradas en el cubo I y en las caras F.