Pontificia Universidad Católica de Chile Instituto de Física FIZ02 Laboratorio de Mecánica Clásica Dinámica de Rotaciones Objetivo Estudiar la dinámica de objetos en movimiento rotacional. Introducción Cuando un objeto es sometido a una fuerza ejercida a una cierta distancia de un origen O, como se muestra en la Figura, el sistema adquirirá una aceleración angular, debido a la acción de una cantidad física denominada torque. Por definición, el torque está dado por la expresión vectorial: Figura : Representación de una fuerza ejercida a distancia r de un punto de referencia O. τ = r x F, () donde F es la fuerza que actúa sobre el objeto y r es el radio desde el punto O hasta donde se aplica la fuerza. Definida la aceleración angular como: α = d2 θ = dω dt 2 dt (2) donde θ es el ángulo de rotación y ω es la velocidad angular, es posible expresar la segunda ley de Newton de la siguiente manera: τ = Iα = dl dt, (3) donde I es el momento de Inercia y L es momento angular. Se puede apreciar la proporcionalidad entre torque y aceleración angular además de la equivalencia del torque con la variación de momentum angular en función del tiempo (ambas expresiones análogas para ecuaciones correspondientes a movimientos lineales). El momento angular L de un sólido que gira con velocidad angular ω entorno a su eje, está dado por la ecuación 4: L = I dθ dt = Iω. (4) Cuando un objeto experimenta una rotación entorno a su centro de masa aquella rotación tiene asociada energía cinética que está determinada por:
K rot = 2 Iω2. (5) Por lo que la energía cinética total del cuerpo se puede escribir como la suma de la energía cinética rotacional con respecto al centro de masa (ecuación 5) más la energía cinética del centro de masa: K = 2 Iω2 + 2 mv CM 2 (6) Con respecto al momento de Inercia I, éste es una propiedad que depende de la distribución de masa de un cuerpo con respecto a su centro de masa (para esta experiencia consideraremos siempre una masa girando en torno al centro de masa). En su forma general, este se define como: I = V ρ(r)r 2 dv (7) En nuestro caso, la densidad ρ la consideramos constante, y para el caso de un disco, la integral sobre todo el volumen resulta: donde M es la masa del disco y R su radio. Para el caso de una masa puntual resulta: Donde R es la distancia de la masa al punto de rotación. I disco = 2 MR2 (8) I puntual = MR 2 (9) De la ecuación 7 es posible notar que un objeto, el cual puede ser considerado como la unión de varios objetos más pequeños, sigue la siguiente igualdad: I total = ρ(r)r 2 dv = ρ(r)r 2 dv + ρ(r)r 2 dv 2 = I + I 2 (0) V V V 2 lo que significa que el momento de inercia es una propiedad aditiva. 2
Montaje Experimental y Procedimiento Parte I: Rotación en plano vertical Materiales Disponibles. Cámara VideoCom 2. Trípode 3. Sistema de poleas 4. Golillas 5. Cinta reflectante 6. Nueces 7. Hilo 8. Tarugos con gancho 9. Balanza 0. Soporte Universal. Computador con programa VideoCom Movimiento 3 6 0 Figura 2: Se muestran algunos de los materiales disponibles para el desarrollo de esta experiencia.. Construya el montaje que permita estudiar la dinámica de objetos en movimiento rotacional en el plano vertical. (Ver Figura 3). 2. Monte la cámara VideoCom sobre el trípode y frente a su montaje (El arreglo CCD de la cámara debe quedar paralelo al recorrido de las cintas reflectantes). Ajuste la posición, foco y apertura de la cámara de manera que ésta registre el movimiento de las cintas en el mayor rango posible. Recuerde que la cámara registrará los movimientos de cualquier objeto dentro de su campo de visión que refleje luz sobre cierta intensidad. Debe lograr que la cámara sólo registre los movimientos de dos franjas reflectantes moviéndose verticalmente. Figura 3: Fuerza F se ejerce a distancia r del centro del disco y perpendicular al radio. El centro del disco debe permanecer inmóvil. 3. Para lograr el punto anterior, deberá configurar en el programa VideoCom Movimientos el tiempo de muestreo y la intensidad de los leds. Ingrese los valores que sean necesarios para cumplir su objetivo. También deberá ingresar el valor de la distancia entre las franjas reflectantes de un carro. Esto último con el fin de que el programa VideoCom Movimientos transforme los desplazamientos observados de pixeles a metros. 3
4. Realice pruebas previas para asegurarse que la cámara registra correctamente los movimientos. 5. Comience el registro del movimiento rotacional. Pruebe con todas las configuraciones que considere necesarias. Parte II: Rotación en plano horizontal Materiales Adicionales. Aparato de masas para rotación horizontal 2. Polea de baja fricción. Construya el montaje que permita estudiar la dinámica de objetos en movimiento rotacional en el plano horizontal. (Ver Figura 5). 2. Vuelva a realizar los ajustes descritos en la parte I para una óptima adquisición de datos. 3. Registre el movimiento rotacional con todas las combinaciones de parámetros que considere necesarias. 4. Recuerde registrar todos los valores que considera útiles para su posterior análisis. Para conocer qué parámetro le serán útiles, debe primero entender qué está haciendo y para qué lo está haciendo. 2 Figura 4: Se muestran los materiales adicionales disponibles para el desarrollo de esta experiencia. Figura 5: Diagrama de la situación que debe replicar en la parte II. Notar que r y F son variables. 4
Análisis y discusión Se espera que describa el comportamiento de los cuerpos bajo las condiciones de esta experiencia. Para esto debe comparar un análisis teórico del sistema con los resultados obtenidos en laboratorio. Guíese por la teoría explicada en la sección Introducción para realizar su análisis. En particular, compruebe si las, velocidades angulares, tangenciales, aceleraciones, momentum y energías predichas por la teoría se observan durante la experiencia. Incluya los conceptos de desviación estándar, error relativo y diferencia relativa en su análisis. Se espera que presente un análisis teórico de ambas rotaciones que sea comprobable o refutable cualitativa y cuantitativamente por sus datos experimentales. Asimismo, compare las dos situaciones desarrolladas entre sí, para comprobar en qué se asemejan y en qué difieren. Analice los casos en que algunas variables tienden a cero y/o a infinito. Obtenga experimentalmente las variables en principio desconocidas u obtenga variables a partir de diferentes métodos para compararlas. Observaciones generales Recuerde tomar nota de todas las posibles fuentes de error, intente cuantificar ese error y considere sólo las fuentes relevantes (que más influyan en el resultado) para su resultado final argumentando sus decisiones. Utilice estos errores calculados para argumentar sus variaciones con respecto a valores esperados. Con el fin de extraer información relevante desde los datos recopilados es preferible utilizar un método gráfico a calcular un promedio o utilizar algún dato instantáneo, ya que el método gráfico considera una tendencia de muchos datos (más datos disminuirán el error) en un rango de tiempo determinable por el experimentador (es posible determinar una zona en la cual el comportamiento del sistema se asemeja más a lo descrito por la teoría). Edición: 24//205 (Alvaro Adrian) 5