UNIVERSIDAD PÚBLICA DE NAVARRA Hoja. Estadística Descriptiva. En un bosque con distintas especies de árboles se anota la longitud en metros que han crecido a lo largo del año, obteniéndose la tabla de información adjunta: Número de árboles 2 6 0 5 0 3 2 2 Crecimiento (m) 2 3 4 5 6 7 8 Obtener: a) Tabla de frecuencias completa. Diagrama de barras para frecuencias relativas. Diagrama de frecuencias relativas acumuladas. b) Cuartiles y recorrido intercuartílico. c) Crecimiento medio y mediano. d) Momentos respecto al origen de primer, segundo y tercer orden. e) Momentos centrales de órdenes primero, segundo y tercero. 2. Una determinada especie de animales mamíferos tiene en cada cría un número variable de hijos. Se observa durante un año la cría de 35 familias, anotándose el número de hijos obtenido por las familias en dicha cría: Nº de hijos 0 2 3 4 5 6 Nº de familias 2 3 0 0 5 0 5 Calcula los cuartiles y el coeficiente de Asimetría de Fisher. 3. Se han medido los pesos, en kilogramos, y las alturas, en metros, de seis chicas, obteniéndose los datos siguientes: Chica 2 3 4 5 6 Pesos 65 48 65 63 68 68 Alturas,70,50,68,70,75,80 Mediante el cálculo de los coeficientes de variación respectivos, qué medidas están más dispersas los pesos o las alturas? 4. En la siguiente tabla se recogen las alturas aproximadas, en cm., de 40 arbustos plantados al mismo tiempo. 25 235 23 23 222 35 3 65 244 99 30 72 85 98 89 68 72 85 282 22 45 220 20 22 223 227 56 224 43 208 245 257 246 278 265 258 75 205 290 89 a) Agrupa los datos en 5 clases de anchura 40 cm., comenzando a partir de 20. b) Construye la tabla de frecuencias y dibuja el histograma. c) Halla la media aritmética sobre los datos agrupados y sin agrupar. d) Halla la mediana y desviación media respecto de la mediana sobre los datos agrupados y sin agrupar. e) Dibuja un diagrama de cajas para los datos.
5. En la siguiente tabla se expresan los salarios-hora de los 40 empleados de cierta empresa, según sus respectivas categorías: Categoría Salarios-hora Nº de empleados A [0 30) 0 B [30 50) 2 C [50 70) 0 D [70 90) 5 E [90 0) 3 Halla el coeficiente de asimetría. Comenta el resultado obtenido. 6. Un agrónomo mide el contenido promedio de humedad en cierta variedad de trigo que fue sometido a un proceso de secado en una muestra de 6 toneladas. Los porcentajes de humedad fueron: 7.2 6.8 7.3 7.0 7.3 7.3 7.5 7.3 7.4 7.2 7.6 7. 7.4 6.7 7.4 6.9 a) Halla la humedad media y mediana de la muestra. Es la media un buen representante de los datos obtenidos en la muestra? Razona la respuesta. b) Agrupa los datos en cuatro intervalos de amplitud constante y dibuja el histograma de frecuencias absolutas. 7. Qué transformaciones sufren la media aritmética y la varianza de una variable estadística, X, cuando se aumentan sus valores en k unidades? Razona la respuesta 8. Qué transformaciones sufren la media aritmética y la varianza de una variable estadística, X, cuando se multiplican sus valores por una constante c? Razona la respuesta 9. Se han medido mediante pruebas adecuadas los coeficientes intelectuales de un grupo de 20 alumnos, obteniendo los resultados agrupados en 6 intervalos de amplitud variable. Las amplitudes son: I = 2, I 2 = 2, I 3 = 4, I 4 = 4, I 5 = 2 e I 6 = 20. Si las frecuencias relativas acumuladas correspondientes a cada uno de los intervalos son: F = 0.5, F 2 = 0.5, F 3 = 0.55, F 4 = 0.8, F 5 = 0.95 y F 6 =. Calcula: a) La tabla de frecuencias sabiendo que el extremo inferior del primer intervalo es 70. b) Dibuja el histograma y el polígono de frecuencias absolutas. Determina la moda. c) Entre qué dos percentiles está comprendido un coeficiente intelectual de 98,4? Encuentra el valor de dichos percentiles. 0. Se mide la altura en metros de 0 jóvenes, obteniendo la siguiente tabla: Altura Nº de jóvenes [,55-,60) 8 [,60-,70) 3 [,70-,80) 24 [,80-,90) 20 [,90-2,00) 7 2
a) Construye la tabla de frecuencias. b) Se consideran bajos aquellos alumnos cuya estatura está sobre el percentil 30. Cuál es la altura máxima que pueden alcanzar? c) Se consideran altos aquellos alumnos cuya altura está sobre el percentil 82. Cuál será su altura mínima? d) En qué percentil está un joven cuya altura es,78 m.?. Se ha medido la longitud, en centímetros, de 28 hojas de diferentes plantas de cierta especie obteniéndose los siguientes resultados: 4.0 42.5 40.2 39.0 39.5 40.3 42.7 39.6 43.2 46.3 45.0 43.0 40.5 45.6 45.2 42.8 42.3 44.2 46.7 47.9 44.5 40. 39.4 46.5 38.5 43.5 4.0 40.2 Se quiere hacer un estudio de estos datos agrupándolos en intervalos de amplitud dos. a) Obtén la tabla de frecuencias agrupada. b) Representa el histograma y el polígono de frecuencias absolutas. c) Calcula la mediana. Se han medido las pulsaciones de un conjunto de atletas después de una carrera. Los datos obtenidos han sido: Pulsaciones Nº de atletas [70-75) 3 [75-80) 3 [80-85) 7 [85-90) 0 [90-95) 2 [95-00) 8 Determina: a) Cuartiles. b) Coeficiente de variación de Pearson. c) Desviación media respecto de la mediana. d) Coeficiente de asimetría. 2. En 978, H. Cavendish realizó una serie de 29 experimentos con objeto de determinar la densidad de la tierra. Sus resultados, tomando como referencia la densidad del agua (kg/l), fueron: 5,50 5,6 4,88 5,05 5,26 5,55 5,36 5,29 5,58 5,65 5,57 5,53 5,62 5,29 5,44 5,34 5,79 5,0 5,27 5,39 5,42 5,47 5,63 5,34 5,46 5,30 5,75 5,68 5,85 Realiza un análisis descriptivo de la variable densidad de la tierra. Para ello realiza un diagrama de tallos y hojas y un diagrama de cajas. Comenta los resultados. 3. Sea X una variable estadística que toma 20 valores x, x L, } y cuya distribución es simétrica. Se sabe que : 20 i= { 2, x20 2 ( x 0) = 800 y x i a es mínimo cuando a = 8. i 20 i= 3
a) Halla el valor de la media y mediana. b) Calcula el coeficiente de variación de Pearson. 4. Dadas las observaciones { 5, a, 4,0,5}, se sabe que su desviación típica es igual a tres veces su coeficiente de variación de Pearson. Se pide: a) Hallar la media de la distribución. b) Hallar el valor de a. c) Dicha distribución, es simétrica? Razona la respuesta. 5. El maíz es un alimento importante para los animales. De todas formas este alimento carece de algunos aminoácidos que son esenciales. Un grupo de científicos desarrolló una nueva variedad que sí contenía niveles apreciables de dichos aminoácidos. Para comprobar la utilidad de esta nueva variedad para la alimentación animal se llevó a cabo el siguiente experimento: a un grupo de 20 pollos de un día se les suministró un pienso que contenía harina de maíz de la nueva variedad. A otro grupo de 20 pollos de un día (grupo de control) se le alimentó con un pienso que no contenía harina de maíz de la variedad mejorada. Los resultados que se obtuvieron sobre las ganancias de peso en gramos de los pollos al cabo de 2 días fueron los siguientes: Variedad normal 380 32 366 356 283 349 402 462 356 40 329 399 350 384 36 272 345 455 360 43 Variedad mejorada 36 447 40 375 434 403 393 426 406 38 467 407 427 420 477 392 430 339 40 326 6. Para estimar la cantidad de madera para aserrar en un área, el dueño decidió contar el número de árboles con diámetros que exceden en 30 cm en cuadros de 5 x 5 metros seleccionados al azar. Se eligieron 70 áreas de 5 x 5 metros y se contaron en cada una los árboles seleccionados: 7 8 7 0 4 8 6 8 9 0 9 6 4 9 0 9 8 8 7 9 3 9 5 9 9 8 7 5 8 8 0 2 7 4 8 5 0 7 7 7 9 6 8 8 8 7 8 9 6 8 6 9 7 7 7 9 3 0 8 8 5 9 9 8 5 9 8 a) Construye un diagrama de barras para describir los datos. b) Calcula la media de la muestra x como una estimación de la media poblacional µ (número promedio de árboles maderables para todas las áreas de 5 x 5 metros). c) Calcula la desviación típica s para los datos. Construye el intervalo x ± s y calcula el porcentaje de cuadros que entran en dicho intervalo. 7. A los agricultores de cierta región les preocupa la incidencia que puede tener sobre sus cultivos la proximidad de una central nuclear. Se han tomado 25 muestras de tierra en distintas localizaciones y se ha medido la cantidad de material radiactivo (expresada en picocuries por gramo de tierra). Los resultados, ya ordenados fueron: 0.32 0.37 0.54 0.70 0.74 0.75 0.76.09.66.77.90.96 2.03 2.4 2.42 2.69 3.36 3.59 4.06 4.55 5.70 6.47 8.32 9.99 2.48 a) Realiza un diagrama de cajas para los datos expuestos. 4
b) Agrupa los datos en cinco intervalos de amplitud 3 comenzando por [0, 3). Dibuja el histograma de frecuencias absolutas y halla la moda. c) A la vista de los gráficos, qué conclusiones podemos sacar? 8. La variable X representa la edad a la que comenzaron a fumar los alumnos, por supuesto fumadores, de primer curso de cierta universidad. Se tomó una muestra de alumnos y se completó una tabla de frecuencias. Sin embargo se perdieron bastantes datos de dicha tabla, quedando de la siguiente manera: x i n i N i f i F i 3 4 4 4 5 24 6 68 7 8 0. 8 a) Completa la tabla de frecuencias y dibuja el diagrama de frecuencias relativas acumuladas. b) Halla la edad mediana de inicio y la desviación media respecto de la mediana. 9. Un equipo de veterinarios examinó una muestra de 00 gallinas de cierta granja para determinar el predominio de un tipo particular de parásito. Al contar el número de parásitos por gallina, los veterinarios encontraron que 60 gallinas no tenían ningún parásito, 25 gallinas tenían un parásito y así sucesivamente. A continuación se da una tabla con los datos recogidos: Número de parásitos, x 0 2 3 4 5 6 7 8 Número de gallinas, n 60 25 7 3 2 0 a) Realiza la tabla de frecuencias relativas acumuladas y dibuja el diagrama correspondiente. b) Halla la media, mediana y desviación típica del número de parásitos en la muestra. Sin calcular el coeficiente de asimetría, estudia la simetría de la distribución de la variable X. c) Qué fracción del número de parásitos cae dentro de dos desviaciones estándar de la media? 20. Se han exprimido 30 naranjas de cierta plantación y se ha medido la cantidad de zumo obtenido expresada en centilitros. Los resultados fueron: 35 60 48 39 40 39 45 38 46 50 5 59 56 55 49 47 48 49 56 53 47 50 52 57 58 52 60 65 46 5 a) Agrupa los datos en intervalos de amplitud 8cl. comenzando por [30, 38). Realiza la tabla de frecuencias absolutas y acumuladas. Dibuja el histograma. Halla el valor de la mediana. b) Con los valores agrupados, halla la media y la desviación típica de la cantidad de zumo. Analiza la dispersión de la cantidad de zumo. Razona la respuesta. 5