Clase.E Pág. 1 de 14..8. Flujo en acuífero libre. Para estudiar el flujo en un acuífero libre, efectuaremos un balance análogo al del caso general (apartado..5), pero considerando un volumen de control diferente. El volumen de control que utilizaremos (Figura..19) será un prisma cuya altura coincide con el espesor del acuífero, es decir, z =. En este caso el flujo es orizontal, y por tanto =(,y,t). En nuestro volumen de control, sólo emos de valorar las entradas por flujo orizontal en las direcciones e y, pero también deberemos tener en cuenta que puede aber entradas a través de la cara superior, por infiltración de lluvia por ejemplo. En este caso, ya adelantamos que la compresibilidad del agua juega un papel casi nulo, y por tanto podemos acer un balance de volúmenes en vez de uno más riguroso de balance de masas, como icimos al derivar la ecuación general. Nuestro volumen de control es aora un paralelepípedo limitado en la parte inferior por la base impermeable del acuífero.
Clase.E Pág. de 14 1 Y 3 4 y X Figura..19. Definición de un prisma como volumen de control de un acuífero libre al que se le aplicará el balance. es la altura del prisma y coincide con el espesor del acuífero y y la longitud de los lados. Consideremos el flujo según el eje X, es decir, el caudal que pasa por la cara 1 menos el que pasa por la cara : - () Δy Δt + +Δ Δy Δt +Δ Aora, consideremos el balance según el eje Y, es decir, el caudal que pasa por la cara 3 menos el que pasa por la cara 4: - (y) Δ y y Δt + y+δy Δ y y+δy Δt y y
Clase.E Pág. 3 de 14 1 Y 4 3 y X Figura... Definición de un prisma como volumen de control de un acuífero libre al que se le aplicará el balance. es la infiltración que se produce por la cara superior del prisma que produce un incremento del nivel piezométrico. a longitud de los lados es y y. En la dirección z no ay que acer el análisis de flujos. Sin embargo, por arriba, también ay entradas (Figura..) como consecuencia de la infiltración por unidad de superficie. a infiltración es una condición de contorno que se define como un flujo vertical a través de la zona no saturada. Consideremos el término del caudal de infiltración, que denotaremos por (en volumen por unidad de tiempo por unidad de superficie). El agua que entra por la cara superior de nuestro volumen de control será: Δ Δy Δt Si en un intervalo de tiempo t y (t+t), el nivel registra un incremento de nivel piezométrico, podemos epresar la variación de almacenamiento según: S ΔΔy t Donde en este caso el coeficiente de almacenamiento S es debido al llenado o vaciado de poros, y por tanto es igual a la porosidad eficaz m. Agrupando y operando tenemos que:
Clase.E Pág. 4 de 14 K, y, y Ky y y y ys t, y, y y y yy y si dividimos por y, obtenemos: y +,y -,y,y+ y -,y yy y y y y + + = S t y si tomamos el límite cuando y y tienden a cero, los términos no son más que la definición de la derivada, es decir: S y y t Ecuación de Boussinesq Esta ecuación es válida para un flujo orizontal, suponiendo que = y =. Puesto que: f f f podemos rescribir la ecuación de Boussinesq, y considerando que al tratarse de un acuífero libre el valor del coeficiente de almacenamiento se asimila al valor de la porosidad eficaz m, de la forma: y K m t En el caso de ausencia de infiltración se cumple que:
Clase.E Pág. 5 de 14 m y t y suponiendo un régimen permanente, en el que no depende de t, tenemos que: Ecuación de y Forceimer A continuación plantearemos y veremos cómo resolver diversos problemas tipo. Sea un acuífero libre conectado con dos lagos con el mismo nivel piezométrico, y consideremos una recarga (Figura..1).?? o X Figura..1. Esquema de un acuífero libre de ancura, conectado a dos lagos ambos con el mismo nivel. En el momento en que se produce una infiltración en la superficie del acuífero libre, el nivel piezométrico en el mismo asciende desde su posición inicial de manera que se produce un flujo acia los lagos.
Clase.E Pág. 6 de 14 Dica situación equivale, por simetría, a un acuífero con un borde impermeable (Figura..).?? o X Figura... Esquema de un acuífero libre de ancura, conectado a un lago de nivel y con un borde impermeable. Es una situación equivalente a la descrita en la Figura..1. En el momento en que se produce una infiltración en la superficie del acuífero libre, el nivel piezométrico en el mismo asciende desde su posición inicial de manera que se produce un flujo acia el lago. Así pues, en este caso, es suficiente resolver la mitad del problema (problema simétrico): - Cuando no ay infiltración =, se cumple que: () = - Cuando llueve, se genera una infiltración, y entonces el nivel piezométrico asciende asta alcanzar un nivel estacionario, en el que el agua fluye acia los lados (Figura..1). Vamos a resolver la ecuación aplicable, que es la de acuífero libre en un caso unidimensional, en estado estacionario, es decir:
Clase.E Pág. 7 de 14 ntegrando obtenemos que: B Con las condiciones de contorno =: () =, y para = tenemos que (condición de contorno impermeable: gradiente =): luego, aplicando primero esta segunda condición: B = Y volviendo a integrar tenemos que: Pero como () = : uego: C C C Y finalmente: Aora como comprobación, determinaremos cual sería el caudal que pasaría por una sección cualquiera. Recordemos la ley de Darcy que define el caudal como: Q A Q 1 * o 1 A = área de la sección = ()*1 Sustituyendo () por la epresión anterior para encontrar el caudal Q() que cruza por la sección de área A, se obtiene:
Clase.E Pág. 8 de 14 Q * uego en estado estacionario, el caudal que cruza cualquier sección A en es igual a lo que se infiltra entre y, como era lógico esperar. Cabe destacar que el ascenso no depende sólo de las características geológicas del medio (,, ), sino que también depende de. Así, el mismo caudal que pasa por un terreno de la misma conductividad idráulica pero con diferentes generará gradientes diferentes (Figura..3). Ascenso o o Figura..3. Ascenso diferencial que se produce por la misma infiltración en dos acuíferos libres de misma conductividad idráulica y ancura pero con diferente nivel piezométrico inicial y de los lagos a los que está conectado. Se observa como los gradientes que originarán flujos de agua desde el acuífero a los lagos es diferente en cada caso. a Figura..4 muestra un caso ideal que representa qué sucede en un acuífero aluvial encajado en un material impermeable, y que prácticamente podría calcularse con lo que acabamos de analizar:
Clase.E Pág. 9 de 14 Figura..4. Esquema ideal de la aportación de agua de un acuífero aluvial a un río producido por el ascenso del nivel piezométrico del acuífero. a trama rayada representa la base impermeable del acuífero aluvial en blanco. Es lo que se denomina almacenamiento en riberas (se verá en detalle en el apartado.6), aplicable a mucos acuíferos aluviales. Consideremos aora un acuífero libre conectado con dos lagos de diferente nivel piezométrico (Figura..5). Como de momento aun no emos calculado la forma de la piezometría, la representamos plana (Figura..5), si bien ya vimos que esto no es así. o Figura..5. Esquema de un acuífero libre conectado a dos lagos ambos con diferente nivel y. El nivel piezométrico del acuífero libre puede representarse en una primera aproimación como una línea entre los niveles de los lagos cuya inclinación (gradiente) vendrá determinado por la diferencia entre los niveles del lago aguas arriba y del lago aguas abajo. En este caso la ecuación es la misma de antes para acuífero libre, de momento sin infiltración, siendo las condiciones de contorno:
Clase.E Pág. 1 de 14 ; A; A B para B B para A A uego: Que representa una piezometría ligeramente curvada acia arriba, lo que es evidente dado que la sección de paso se va reduciendo (al disminuir el espesor saturado), y por tanto para que el caudal sea constante debe ir creciendo el gradiente. Este caso se complica ligeramente cuando eiste infiltración. Veamos qué sucede según la cantidad de agua que se infiltra. Si llueve poco el nivel piezométrico del acuífero libre presenta un ascenso pequeño (Figura..6), que llamaremos 1, la infiltración no a sido muy importante. 1 o Figura..6. Esquema de un acuífero libre conectado a dos lagos ambos con diferente nivel y. El nivel piezométrico del acuífero libre inicial presenta un ascenso pequeño asta el nivel 1 dado que se a producido aún poca infiltración de la lluvia o se a producido una lluvia pequeña.
Clase.E Pág. 11 de 14 A medida que llueva cada vez más, la infiltración se ace más importante, y lógicamente el ascenso también aumenta pasando sucesivamente por las fases y 3 (Figura..7 y..8). o Figura..7. Esquema de un acuífero libre conectado a dos lagos ambos con diferente nivel y. El nivel piezométrico del acuífero libre inicial presenta un ascenso mediano asta el nivel dado que ya se a producido una mayor infiltración de la lluvia. 3 o ínea divisoria de aguas Figura..8. Esquema de un acuífero libre conectado a dos lagos ambos con diferente nivel y. El nivel piezométrico del acuífero libre inicial presenta un ascenso mayor asta el nivel 3 dado que se a producido una gran infiltración de la lluvia. Dado que el ascenso del nivel en el acuífero es muy importante, se forma una divisoria de aguas en el mismo originando así un flujo acia ambos lagos.
Clase.E Pág. 1 de 14 En la fase 3 (Figura..8) el ascenso es tal que la curvatura del nivel ace que podamos imaginar una línea de separación de flujo o una divisoria de aguas, es decir, que se generan dos gradientes a partir del eje que representa la divisoria de aguas. Y se generan entonces dos flujos en dos sentidos simétricos a esta línea divisoria de aguas. Matemáticamente podemos establecer la epresión siguiente: operando y aislando tenemos que: C B egrando int B egrando int En este caso, las soluciones son: B * K C C K B K B * K B * B * K Dejamos para el lector calcular la infiltración necesaria para que el gradiente sea cero en =, o cual es la posición de la divisoria de aguas en función de la infiltración para la situación de la Figura..8 (fase 3).
Clase.E Pág. 13 de 14 Para condiciones =, = ; =, = y > se obtiene la ecuación de la superfície freática que es: 1 ( ) as descargas Q y Q en = y =, respectivamente son: Q Q En algún punto entre << la superficie freática elipsoidal tiene su máima d elevación. Este punto es la divisoria de aguas donde y por lo tanto d según la ipótesis de Dupuit q'. lamamos este punto WD : WD De esto se deduce que en determinadas condiciones de y, X WD =. También es posible tener X WD < que significa que no ay divisoria de aguas y que el agua entra en el acuífero desde el embalse aguas arriba. Un caso de especial interés es cuando = = donde ; X WD ; má 4 Por lo tanto la ecuación de la elipse puede escribirse como má 1 Donde = la ecuación se convierte en Q ; Q Esta es la ecuación de la elipse. Si ecuación como: 4 H, = ma =H y podemos escribir esta
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