Dinámica del cuerpo rígido: momento de inercia, aceleración angular.

Dinámica del cuerpo rígido: momento de inercia, aceleración angular. En un sólido rígido las distancias relativas de sus puntos se mantienen constantes. Los puntos del sólido rígido se mueven con velocidad angular constante vri = ωr rri Energía Cinética: E = i 1 m ivri = i 1 m i(ωr rri) = i 1 m i(ωr (ωr.rri) ) = rri 1

1 m i (r i δ αβ i r iα r iβ )ω α ω β E = 1 T αβω α ω β Tensor de inercia: T αβ = i m i (r i δ αβ r iα r iβ ) (A B)(C D) =ǫ ijk A j B k ǫ iln C l D n = (δ jl δ kn δ jn δ kl )A j B k C l D n =A.CB.D A.DB.C Momento de Inercia Rotación alrededor del eje z: E = 1 I 3ω 3 I 3 es el momento de inercia respecto al eje z: I 3 = T 33 = i m i d i, d i = distancia del punto i al eje z Ejercicio 1. Encontrar I 1 e I. Problema 1. Considere una molécula de Oxígeno (O) rotando en el plano xy alrededor del eje z. El eje de rotación

pasa a través del centro de la molécula, perpendicular a su longitud. La masa de cada átomo de Oxígeno es.66 10 6 kg, y a temperatura ambiente la separación promedio entre los dos átomos es d=1.1 10 10 m.(los átomos se suponen puntuales). (a) Calcule el momento de inercia de la molécula alrededor del eje z. R:1.95 10 46 kg m. I = m(d /4) = md /=.66x1.1 x10 46 / (b) Si la velocidad angular de la molécula alrededor del eje z es 4.60 10 1 rad/s, encuentre la energía cinética de rotación.r:.06 10 1 J Cálculo de Momentos de Inercia Consideremos un sólido de densidad ρ, el momento de inercia respecto a un eje fijo es: I = i ρ(x i )d(x i ) d 3 x i dm(xr ) d (xr ) d 3 xρ(xr )d(xr ) = xr puede ser un vector uni,bi o tridimensional. Ejercicio. Encuentre el momento de inercia de una circunsferencia con masa M, uniformemente distribuida,y radio R, respecto a un eje perpendicular a la circunsferencia que pasa por su centro. 3

I = R dm = MR Ejercicio 3. Barra uniforme de largo L y masa M. I = L L dxρx = ρ L3 4 = ρl3 1 M = ρl, ρ = M L 4

I = M L 1 Ejercicio 4. Cilindro uniforme de radio R,masa M y largo L. dm=πrdrdzρ, I = ρ πrdrdzr = R πρl drr 3 = πρl R4 4 M = 0 πrdrdzρ = πlρ 0 R M = πlρr I = π M πlr LR4 4 = 1 MR drr =πlρ R Ejercicio 5. Casquete cilíndrico 5

I = MR Ejercicio 6. Cilindro hueco dm=πrdrdzρ, I = ρ πrdrdzr = R πρl drr 3 =πρl (R 4 R 4 1 ) R 1 4 R (R M = πrdrdzρ = πlρ drr =πlρ R 1 ) M = πlρ(r R 1 ) M I = π πl (R R 1 ) L(R 4 R 4 1 ) = 4 1 M (R + R 1 ) Ejercicio 7. Tablilla rectangular de lados a, b R 1 6

I = ρ I = dm = ρdxdy dxdy(x + y ) =ρ ( ρ b a3 4 + a b3 4 M = ρab ) M (b a3 1 + a b3 1 ab ( b a a ) = ρ = ( dxx + a b a3 1 + a b3 1 M 1 (a + b ) Ejercicio 8. Casquete esférico de radio R. b b ) dyy ) = dm = ρr senθdθdφ 7

I = ρr πρr 4 1 1 senθdθdφ(r senθ) =πρr 4 du(1 u ) = 8 3 πρr4 M = 4πR ρ I = 8 3 π M 4πR R4 = 3 MR 0 π u = cosθ Ejercicio 9. Esfera sólida, alrededor del eje z dθsen 3 θ = I = 3 ρ4π 0 M = ρ R r drr = 8π 15 ρr5 4πr dr = 4 3 πr3 ρ I = 8π 3M 15 4πR 3R5 = 5 MR Teorema de los ejes paralelos I = I CM + MD 8

I = I = dm(x CM dm(x + y ) x = x CM + x y = y CM + y + y CM ) + dm ( x + y ) +x CM dmx +y CM dmy = MD + I CM + 0 Ejercicio 10. Encuentre el momento de inercia de 9

una barra de largo L y masa M alrededor de un eje perpendicular a la barra que pasa por un extremo. ( ) L 1 I = M + 1 ML = 1 3 ML Momento Angular Total: i LR = rri m i v i = m i rri (ωr rri) = i i m i (ωrr i rriω.r i ) = m i (r i δ αβ r iα r iβ )ω β i L α = T αβ ω β A (B C) = ǫ ijk A j ǫ kln B l C n = (δ il δ jn δ in δ jl )A j B l C n = B i A.C C i A.B Rotación respecto al eje z L 3 = I 3 ω 3 Ecuación de Movimiento Los momentos de inercia de un sólido rígido son independientes del tiempo. Aceleración angular: Nota 1. En general dlr dt = τr L 3 = I 3 ω 3 = I 3 α 3 αr = ωr L a = T ab α b 10

Ejercicio 11. Una varilla rígida de masa M y longitud l rota sin fricción alrededor de su centro (Fig. ). Dos partículas de masas m 1 y m se pegan a sus extremos. La combinación rota en un plano vertical con velocidad angular ω. (a) Encontrar la magnitud del momento angular del sistema. L = Iω I = 1 ( ) l ( ) l 1 Ml + m 1 + m = l 4( ) M 3 + m 1 + m (b) Encontrar la aceleración angular del sistema cuando la varilla hace un ángulo θ con la horizontal. τ = (m m 1 )g l cos θ + Mg 0 11

α = (m m 1 )g cosθ ( ) l M + m 4 3 1 + m Ejercicio 1. L = m 1 vr + m vr + I v R m 1 gr = dl dt m a = 1 g (m 1 + m ) + I R =(m 1 + m )Ra + I a R Ejercicio 13. Una estrella rota alrededor de un eje que pasa por su centro con un período de 30 días. Después que la estrella se transforma en supernova, su centro de 10 4 km.colapsa para formar una estrella de neutrones, de radio 3 km. Cuál es el período de rotación de la estrella de neutrones? I i ω i = I f ω f I i = 5 MR i I f = 5 MR f π I i = π I I T i T f T f = T f i = T i f I i ( ) Rf R i 1

T f =.3s Ejercicio 14. Una plataforma horizontal con forma de disco de radio R=m. y masa M = 100kg, rota en un plano horizontal sin roce alrededor de un eje vertical que pasa por su centro. Un estudiante de masa m = 60kg. camina desde el borde de la plataforma hasta una distancia r f = 0.50m del centro. Si la velocidad angular de la plataforma cuando el estudiante estaba en el borde era rad/s, encuentre la velocidad angular al final. I i ω i = I f ω ( ) f Ii ω f = ω i I f I = 1 MR + mr (50 4+60 4) ω f = 50 4 + 60 0.5 = 440 15 = 4.1rad/s 13

Ejercicio 15. Rueda en rotación L i = L f = L rueda L f = L estudiante L rueda L estudiante = L rueda 14