M523: Faro A) Presentación del problema Los faros son torres con una luz en su parte superior. Los faros ayudan a los barcos a encontrar su camino durante la noche cuando están navegando cerca de la costa. La luz del faro manda destellos de luz con un patrón fijo y regular. Cada faro tiene su propio patrón. En el siguiente diagrama puedes ver el patrón de luz de cierto faro. Los destellos de luz se alternan con periodos de oscuridad. luz oscuridad 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 tiempo (seg) Es un patrón regular y después de cierto tiempo el patrón se repite de nuevo. El tiempo que tarda un ciclo completo del patrón antes de comenzar de nuevo, se llama periodo. Cuando se encuentra el periodo del patrón, es fácil etender el diagrama para los siguientes segundos o hasta horas. B) Preguntas del problema Pregunta 1 Cuál de las siguientes opciones puede ser el periodo del patrón de este faro? A B C D 2 segundos. 3 segundos. 5 segundos. 12 segundos.
Pregunta 2 Cuántos segundos en un minuto el faro envía destellos de luz? A 4 B 12 C 20 D 24 Pregunta 3 En el siguiente diagrama, dibuja una posible gráfica de un patrón de destellos de luz de un faro que los envía a una razón de 30 segundos por minuto. El periodo del patrón debe ser de 6 segundos. luz oscuridad 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C) Solución directa del problema tiempo (seg) Pregunta 1 Para contestar esta pregunta el alumno debe analizar el tiempo con los diferentes periodos de luz y oscuridad. Podemos utilizar una tabla para organizar la : Tiempo Luz Oscuridad 0-2 XX 2-3 X 3-4 X 4-5 X 5-7 XX 7-8 X 8-9 X 9-10 X 10-12 XX 12-13 X El patrón se repite cada 5 segundos, según se observa en tabla y en la gráfica. Por lo tanto la respuesta es el inciso C) 5 segundos.
Pregunta 2 Para encontrar el número de segundos de luz en un minuto podemos utilizar el análisis de la pregunta 1. Observando la tabla hay 2 segundos de luz cada 5 segundos, por lo que podemos escribirlo como una proporción: 2segundosLuz 5segundos (2)(60) 5 24segundosluz Por lo tanto la respuesta es el inciso D) 24. Pregunta 3 El alumno debe dibujar una posible gráfica de un patrón de destellos de luz de un faro que los envía a una razón de 30 segundos por minuto y con periodo de 6 segundos. Eisten combinaciones que presentan un gráfica correcta. Primero se puede determinar el número de destellos de luz por periodo: 6 segundos 30segundosluz (6)(30) 60 3segundosluz Por lo tanto debe de dibujar 3 segundos de destellos de luz en un periodo de 6 segundos. Una posible opción de respuesta es: luz oscuridad 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 tiempo (seg)
D) Criterios de evaluación del problema según los estándares de PISA INTENCION DE LA PREGUNTA 1 Identificar el periodo de una gráfica, observando y analizando cuándo el patrón se repite para poder encontrar el tiempo que toma. Criterio de evaluación para la pregunta 1 Código 1: C. 5 segundos. Código 0: Otras respuestas. Código 9: Sin respuesta. INTENCION DE LA PREGUNTA 2 A partir del periodo, encontrar cuántos segundos de luz se pueden observar en un minuto Criterio de evaluación para la pregunta 2 Código 1: D. 24. Código 0: Otras respuestas. Código 9: Sin respuesta. INTENCION DE LA PREGUNTA 3 Dibujar una gráfica a partir del periodo y del número de segundos de luz por minuto. Criterio de evaluación para la pregunta 3 Código 2: La gráfica muestra un patrón de luz y oscuridad con destellos por 3 segundos en cada 6, con un periodo de 6 segundos. Diversas combinaciones pueden resultar en una gráfica correcta. Código 1: La gráfica muestra un patrón de luz y oscuridad con destellos por 3 segundos cada 6 segundos, pero el periodo mostrado no es 6. Si se muestran dos periodos, el patrón debe de ser idéntico para cada periodo. Código 0: Otras respuestas. Código 9: Sin respuesta.
E) Solución comentada del problema según el proceso de matematización en el marco PISA. Identificación de un problema matemático. El problema consiste en representar gráficamente el patrón de destellos de luz y oscuridad de un determinado faro. Cuánto tiempo tarda en repetirse el patrón? Cuántos segundos por minuto se observan destellos de luz? Puedes dibujar una gráfica a partir del periodo y los segundos de luz por minuto? El problema pertenece al dominio de cambio y relación, el estudiante debe observar con atención la gráfica de manera que pueda encontrar el patrón y definir la relación entre destellos de luz y oscuridad y el tiempo. Identificación de los elementos matemáticos asociados al problema, reorganización del problema en términos de las matemáticas identificadas. El elemento matemático es la relación funcional que representa el plano cartesiano y relacionar esto con el concepto de periodo. El estudiante debe primero analizar e identificar la gráfica: en el eje horizontal se muestran diferentes tiempos en segundos y en el eje vertical si los destellos son de luz u oscuridad. En la primera pregunta se requiere analizar el patrón regular de destellos de luz y oscuridad de manera que pueda identificarse el periodo. Como apoyo al alumno el problema define el concepto de periodo como el tiempo que tarda un ciclo completo del patrón antes de comenzar de nuevo. Para la segunda pregunta, el alumno debe calcular el número de segundos de destellos de luz por minuto. En la gráfica se muestran los destellos durante los primeros doce segundos, a partir de esta el alumno deberá encontrar la cantidad de segundos correspondientes a 1 minuto. Será importante considerar que el tiempo debe tomarse en segundos, es decir 60 segundos. Para la tercera pregunta, se proporciona la razón de destellos de luz por minuto y con esta se solicita al alumno que sugiera una posible gráfica que cumpla con esta condición. Con esta eisten diferentes opciones de respuestas correctas. Abstracción matemática progresiva de la realidad Para la pregunta 1: Cuál de las siguientes opciones puede ser el periodo del patrón de este faro?, el alumno puede analizar el patrón utilizando una tabla como la siguiente: Tiempo Luz Oscuridad 0-2 XX 2-3 X 3-4 X 4-5 X 5-7 XX 7-8 X 8-9 X 9-10 X 10-12 XX 12-13 X Para la pregunta 2, Cuántos segundos en un minuto el faro envía destellos de luz?, en este caso el alumno puede encontrar la cantidad
de segundos de luz en el tiempo que se muestra en la gráfica. Observando la gráfica podemos observar que hay 2 segundos de luz en 5 segundos, por lo que podemos escribirlo como una proporción: 2segundosLuz 5segundos Para la pregunta 3, En el siguiente diagrama, dibuja una posible gráfica de un patrón de destellos de luz de un faro que los envía a una razón de 30 segundos por minuto. El periodo del patrón debe ser de 6 segundos. Se puede encontrar el número de segundos de luz en el periodo determinado y con esa dibujar un posible patrón: 6 segundos 30segundosluz Resolución del modelo matemático Para la pregunta 1,del análisis de la tabla siguiente, podemos observar que el patrón se repite cada 5 segundos: Tiempo Luz Oscuridad 0-2 XX 2-3 X 3-4 X 4-5 X 5-7 XX 7-8 X 8-9 X 9-10 X 10-12 XX 12-13 X Por lo tanto el periodo es de 5 segundos. Para la pregunta 2, podemos encontrar el número de segundos de luz en 1 minuto al despejar en la proporción planteada: 2segundosLuz 5segundos Por lo tanto hay 24 segundos de luz en un tiempo de 1 minuto. Para la pregunta 3, podemos resolver despejar de la proporción: 6 segundos 30segundosluz Uso de la solución del modelo matemático como herramienta para interpretar el mundo real. Por lo tanto debe dibujar 3 segundos de destellos de luz en un periodo de 6 segundos. Puede haber diferentes opciones de gráficas que con un periodo de 6 segundos, muestren 3 segundos de destellos de luz. Este problema presenta una situación del mundo real en donde se analiza un patrón periódico regular. El alumno puede encontrar este tipo de patrones en la naturaleza, por ejemplo para analizar las temperaturas promedio de una ciudad, las mareas en cierta región del planeta o el movimiento armónico simple.
PROCESOS F) Comentarios al conteto y dominio del problema según el marco PISA. CLASIFICACION Conteto Educacional: El análisis de patrón y periodo de un faro permiten al estudiante entender funciones no típicas. Dominio Cambio y relación: buscar el patrón y relacionarlo con el periodo. G) Comentarios a los procesos matemáticos dominantes del problema según el marco PISA. Se marcan en amarillo las áreas dominantes: MACRO-PROCESOS Pensamiento y razonamiento Argumentación Comunicación, utilización de operaciones y lenguaje técnico (formal y simbólico). Construcción de modelos Planteamiento y solución de problemas Representación Uso de herramientas de apoyo. Reproducción Coneión Refleión Este es probablemente un problema difícil para un alumno típico de secundaria. Está en presencia de conceptos que probablemente ya conoce pero que se presentan en contetos inesperados. Su razonamiento de proporciones no es meramente reproductivo en el sentido de encontrar una variable en una proporción dada, sino que es importante que razone cómo se ha de construir la proporción. Esto significa que tiene que conectar adecuadamente el concepto de proporción con las características del problema. El modelo matemático es una representación cartesiana de los patrones de luz y oscuridad. No es una función matemática continua como el alumno tal vez pudiera estar acostumbrado a reproducir, sino una función discontinua de ceros y unos, aunque en este problema no se represente de tal manera eplícitamente. Tal construcción del modelo matemático no es refleiva porque el problema mismo ya está dando al alumno el conteto matemático de la representación. Un problema mucho más difícil hubiera sido pedirle al alumno que simplemente represente tal situación sin dar ningún ejemplo gráfico sobre cómo hacerlo.
H) H) CONEXIONES CURRICULARES DEL REACTIVO PISA CON EL PROGRAMA DE LA SEP. En el documento CurrMateSEPMaster obsérvense las siguientes coneiones curriculares. Para tener mayor detalle sobre los contenidos de cada coneión curricular véase Programa Mate SEP 1.1.6 Análisis de la Relaciones de proporcionalidad Identificar y resolver situaciones de proporcionalidad directa del tipo valor faltante en diversos contetos, utilizando de manera fleible diversos procedimientos. 2.2.6 Análisis de la Relaciones de proporcionalidad Resolver problemas de comparación de razones, con base en la noción de equivalencia. 2.3.1 Sentido numérico y pensamiento algebraico Significado y uso de las literales Patrones y fórmulas Construir sucesiones de números con signo a partir de una regla dada. Obtener la regla que genera una sucesión de números con signo. 3.1.7 Representación de la Gráficas Diseñar un estudio o eperimento a partir de datos obtenidos de diversas fuentes y elegir la forma de organización y representación tabular o gráfica más adecuada para presentar la. 3.3.1 Sentido numérico y pensamiento algebraico Significado y uso de las literales Relación funcional Reconocer en diferentes situaciones y fenómenos de las distintas disciplinas, la presencia de cantidades que varían en función de otra y representar la regla que modela esta variación mediante una tabla o una epresión algebraica. 3.3.5 Representación de la Gráficas Interpretar, construir y utilizar gráficas de relaciones funcionales no lineales para modelar diferentes situaciones o fenómenos. 3.4.5 Representación de la Gráficas Analizar la relación entre datos de distinta naturaleza, pero referidos a un mismo fenómeno o estudio que se presenta en representaciones diferentes, para producir nueva.