Facultad de Ingeniería Mecánica Universidad Nacional de Ingeniería Métodos Numéricos
Contenido 1 Métodos Directos Generalidades sobre Métodos Directos Eliminación Gaussiana Pivoteo Factorización LU
Generalidades sobre Métodos Directos Generalidades sobre métodos directos Encuentra una solución en un número finito de operaciones(en ausencia de errores de redondeo) transformando el sistema en un sistema equivalente que sea más fácil de solucionar. Triangulares (Superior o Inferior), Diagonales,.
Eliminación Gaussiana Eliminación Gaussiana Usando Operaciones Elementales por Renglones (OER), la matriz A es transformada en una matriz triangular superior (todos los elementos debajo de la diagonal son cero). Sustitución hacia atrás es usada para resolver un sistema triangular superior
Eliminación Gaussiana Eliminación Gaussiana Primer Paso de Eliminación
Eliminación Gaussiana Eliminación Gaussiana Segundo Paso de Eliminación
Eliminación Gaussiana Eliminación Gaussiana Sustitución Regresiva
Eliminación Gaussiana Ejemplo Ejemplo Utilizando Eliminación Gaussiana resolver: 3x 1 + 2x 2 + 4x 3 = 1 x 1 + x 2 + 2x 3 = 2 4x 1 + 3x 2 2x 3 = 3
Eliminación Gaussiana Ejemplo Método de Eliminación Gaussiana Sistema equivalente: 3x 1 2x 1/3x 2 2 4x 2 / 3x 8x 3 3 3 1 5/ 3 0 Solución: x* 3 5 0
Pivoteo Pivoteo Computadoras usan precisión aritmética finita. Pequeños errores son introducidos en cada operación aritmética, propagación de errores Cuando los elementos pivotales son muy pequeños, los multiplicadores podrían ser muy grandes. La adición de números de magnitud diferente puede conducir a la pérdida de significación. Para reducir el error, se realiza intercambio de filas para maximizar la magnitud del elemento pivotal.
Pivoteo Pivoteo Ejemplo (Sin Pivoteo)
Pivoteo Pivoteo Ejemplo (Con Pivoteo)
Pivoteo Procedimiento con Pivoteo
Pivoteo Pivoteo por Filas Más comúnmente llamado procedimiento de pivoteo parcial. Busque la columna pivotal. Encuentre el mas grande elemento en magnitud. Luego intercambie esta fila con la fila pivotal.
Pivoteo Pivoteo por Filas
Pivoteo Ejemplo de Pivoteo por Filas En la etapa k, escoger para pivote el elemento de mayor módulo entre a ik, i=k,k+1,...,n; Para n 4, k 2, tenemos max ai 2 3 i2 pivote a32 3 3 2 1-1 5 (1) (1) 0 1 0 3 6 A b 0-3 -5 7 7 0 2 4 0 15 A (1) b (1) 3 0 0 0 2-3 1 2 1-5 0 4-1 7 3 0 5 7 6 15
Pivoteo Pivoteo Completo
Pivoteo Ejemplo de Pivoteo Completo Para n 4 e k 2, tenemos max aij 7 pivo a34 A (1) b (1) 3 2 0 1 0-3 0 2 5 6 7 15 Luego, intercambiamos las filas 2 y 3 y las columnas 2 y 4: A (1) b (1) 3 0 0 0-1 7 3 0 1 0-5 i, j2 4 1-1 3 7 0 2-5 -3 0 4 1 2 5 7 6 15 7
Factorización LU Algoritmo de la factorización LU Descomposición de una matriz como producto de dos triangulares Supongamos que la matriz de un sistema Ax = b se puede descomponer como A = LU, con L triángular inferior y U triangular superior. LUx = b, Ly = b, Ux = y Teorema Una matriz cuadrada A es factorizable LU si y solo si en el algoritmo de Gauss para encontrar una matriz escalonada por filas que sea equivalente por filas a la matriz A no es necesario aplicar operaciones elementales ( de filas).
Factorización LU Diferentes Formas de Factorización
Factorización LU Forma de Crout Cálculo de la primera columna de L l i1 = a i1 Cálculo de la primera fila de U u 1j = a 1j l 11 Cálculo alternado de las columnas de L y filas de U j 1 l ij = a ij l ik u kj j i, i = 1, 2,..., n u ij = k=1 i 1 a ij l ik u kj k=1 l ii i j, j = 2, 3,..., n
Factorización LU
Factorización LU Descomposición de Cholesky Descomposición de Cholesky. Sea A una matriz simética y definida positiva, existe una única matriz triangular inferior L con l ii > 0 tal que A = LL T Esto es a 11 a 12... a 1n a 21 a 22... a 2n...... = l 11 0 0 0 l 21 l 22... 0...... l 11 l 12... l 1n 0 l 22... l 2n...... a n1 a n2... a nn l n1 l n2... l nn 0 0... l nn
Factorización LU Descomposición de Cholesky Note que a 11 = l 2 11 l 11 = a 11 l 11 es un número real positivo ya que a 11 > 0 por que A es definida positiva. a i1 = l i1 l 11 l i1 = a i1 l 11
Factorización LU Descomposición de Cholesky Como luego a ij = l i1 l j1 + l i2 l j2 +... + l ij l jj ; j = 1, 2,..., i 1 l ij = j 1 a ij l ik l jk k=1 l jj ; j = 1, 2,..., i 1
Factorización LU Descomposición de Cholesky Además lo que implica a ii = li1 2 +... + lii 2 [ i 1 l ii = a ii k=1 l 2 ik ] 1 2
Factorización LU Descomposición de Cholesky-MatLab
Factorización LU Ejemplo: Ejemplo Dada la matriz A A = 6 15 55 15 55 225 55 225 979 Factorizar utilizando descomposición de Cholesky. Solución: A es simetrica y definida positiva, en efecto: det(6) ( > 0; ) 6 15 det = 105 > 0 15 55 det(a) = 3920 > 0
Factorización LU