División algebraica I (Método de Horner)

División algebraica I (Método de Horner) División por Horner: División no algebraica de polinomios Esta división exige condiciones especiales: a. Aplicamos el método de Horner con el ordenamiento de los polinomios ascendentemente. b. El cociente obtenido posee infinitos términos. c. El resto se hace tender a cero. d. Dicha división es válida para ciertos intervalos de la variable. - Dividir 1 entre (1 - x) - Dividir (x - 3x + 3) entre (4x 3 - x + 1) Resolución: Por Horner 1 3-3 0 0... 1 3 0-1 0 0 0 0-4 0-8 3 0-10... Resolución: Por Horner x 3x 3 4x 3 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 x x x 3...; x < 1 0... 1... 1 3 x 10x 3... Es la operación que tiene como objetivo calcular una expresión llamada cociente (q) y otra llamada residuo (R), conociendo otras denominadas dividendo (D) y divisor (d). Esquema clásico - Dividir 1 entre (1-4x + 4x ) Resolución: Por Horner D R d q Se conoce : D y d Por conocer: q y R 1 1 0 0 0 0... Se cumple: D = dq + R 4 4-4... -4 16-16 Propiedades 1 4 48 1 3-48... menos el grado del divisor. 1 1 4x 4x 1 4x 3x 3...; x 1 q = D - d. El grado máximo del resto es el grado del divisor disminuido en uno. R MÁX. = dº - 1 ; Rº MÁX. Grado máximo del resto 3 AÑO

3. La propiedad fundamental de la división en el Álgebra forma una identidad. D = d.q + R D (x) = d (x). q (x) + R (x) 4. Si la división es exacta, el resto es un polinomio idénticamente nulo. R (x) 0 Problemas resueltos 1. Dividir: 10x 5 4x 4 8x 3 6x 51 Solución: Aplicando Horner: x x 4 10-4 8 6-5 11 D (x) x 8 + x 4 + x - 3 q = 8-5 = 3 10-0 - 4 6-1 5º MÁX. División entre polinomios Para todos los métodos es necesario que el dividendo y el divisor estén ordenados y completos (o al menos tenga esa forma). Método de Horner Para este método sólo se utilizan coeficientes, empleando el siguiente esquema: con su mismo signo Con cambiado Observación: d D I V I D E N D O i v i s o r C O C I E N T E RESTO - Los lugares en que se indica dividendo y divisor se colocan sólo coeficientes. En el caso del divisor la letra d simboliza al primer coeficiente del divisor, las demás letras representan a los demás coeficientes, que se colocan con signo cambiado. Igualmente del cociente y el resto sólo se obtienen coeficientes. - La línea que separa el cociente del resto se traza de acuerdo al grado del divisor. Es decir, se cuenta de derecha a izquierda tantos lugares como lo indica el número que representa el grado del divisor. 6 5-6 33-6 3-1 9-3 1-7 - 6 1-1 4 1-7 3 7-4 7 3-1 - 1 4 5 3-3 - 6-5 35 Coef. del cociente Coef. del resto La variable se agrega de acuerdo al grado del cociente y del resto. Se tiene: qº = 3 ; Rº MÁX. = 1. Dividir: q = 5x 3 + 3x - 3x - 6 R (x) = - 5x + 35 1x 4 14x 3 15x 6x 4 4x Colocando los coeficientes: 4 1-1 * Cociente: 3x - x + * Resto: 0x + 3. Efectuar la división: 3-14 15-6 4 6-3 -4 4 - - 0 + 6x 5 5x 4 6x 3 33x x 6 x 3 * Cociente: 3x 3 + 7x - 4x + 7 * Resto: 3x - 1

4. Calcular "A + B", si la división es exacta. Resolución: Resolución: 3-4 -A -B 1 6 1 6 * Si la división es exacta: Residuo = 0; entonces: x 4 3x 3 4x Ax B x x 6 1 1 1 (14 - A) (1 - B) 14 - A = 0 A = 14 1 - B = 0 B = 1 5. Dividir y hallar "m + n", si la división: x 4 4x 3 6x (m )x n 3 x deja como resto: -7x - 11 Rpta.: A + B = 6 Al invertir los coeficientes, la división seguirá siendo exacta. 1 1 1 3 B A - - -3-3 3-4 -6 B - 1 = 0 A - 6 = 0 B = 1 A = 6 1-1 (B - 1) (A - 6) Como la división es exacta (R = 0), entonces: Bloque I A + B = 7 Problemas para la clase 1. Hallar el cociente de la siguiente división: x 3 5x 6x 7 x 3 Rpta.: 7 Resolución: a) x - b) x + c) x - 1 d) x - 3 e) x + 3 1 1-4 6 - m - n+3 - - -1. Al efectuar la siguiente división: -1 Igualando los restos: 1 6-34 -17 1-6 17 (-m - 30) (n - 14) -7x - 11 (-m - 30)x + (n -14) -7 = -m - 30 m = -3-11 = n - 14 n = 3 6. Calcular "A + B", en la división exacta: Ax 4 Bx 3 3x 3x Rpta.: m + n = 0 Indicar el cociente. 4x 4 4x 3 5x 9x 6 x 3x 5 a) x + x - 1 b) x - 1 c) x + x - 1 d) x + 11 e) x + x - 1 3. Hallar el residuo de la siguiente división: 3x 5 x 4 5x 4 x 3 x 1 a) x + 3x + 1 b) x + 3x c) x - 3x d) x + 5x e) x - 5x + 1 4. Al dividir: 6x 6 13x 5 7x 4 11x 8x 5 x 3 3x 5

señalar el cociente. a) 3x 3 + x + x + b) x 3 + x + x + c) x 3 + x + x + 1 d) x 3 - x + 3x - e) 8x + x + 3 * Del problema anterior: 5. Señalar el residuo : a) x + x + b) 3x 3 + x + x + c) 8x + x + 3 d) x - x + 1 e) 6. El coeficiente del término lineal del cociente es: a) 1 b) c) 3 d) 0 e) 4 7. La suma de coeficientes del cociente: a) 4 b) 7 c) 6 d) 5 e) 8 8. Hallar el residuo de la siguiente división: y 3 5y 7y 5 y y 3 a) y + 5 b) y + 3 c) y + 3 d) -10y + 14 e) 10y + 14 9. Hallar el residuo de la división: z 4 3z 3 z z 5 z 3z 1 a) b) 18 c) 17 d) 5 e) 8 1.En la siguiente división exacta: calcular "a + b" m 4 4m 3 am 5m b m m a) b) 13 c) 9 d) 8 e) 19 13.Determinar "a + b"; si la división: 3x 4 5x 3 ax b x deja como residuo: 5x + 7 a) 8 b) 4 c) 0 d) 16 e) 1 14.En la siguiente división: x 4 7x 3 16x Ax B x 3x 4 deja como resto: x + 30. Hallar "A. B" a) 1 b) 0 c) 1/ d) 1/3 e) 30 15.Hallar el residuo luego de dividir: a) z + 1 b) - c) 4z d) -6 e) 4z - 6 10.Hallar "A + B", si la siguiente división: es exacta. x 4 3x 3 x Ax B x 3 8x 6 9x 4 x 4 x a) 10 b) 0 c) 30 d) 40 e) 60 16.Determinar "m + n", para que la división: a) 1 b) c) 3 6x 4 16x 3 5x mx n d) 4 e) 5 3x Bloque II 11.Calcular "m + n + p" si la división: sea exacta. a) 17 b) 18 c) 19 d) 0 e) 1 es exacta. 6y 5 17y 4 7y 3 my ny p 3y 3 4y 5y 7

17. Determine "p - q", si la división:.hallar el valor de "m. n" si la división: es exacta. 6x 4 8x px q 3x 3x 7 x 4 mx n () ; es exacta a) 15 b) 14 c) 13 d) 1 e) 11 a) 1 b) c) 3 d) 4 e) 5 18.Calcule "A + B", si la división: 1x 4 1x 3 13x Ax B deja como resto: 4x + 5. x 3x 5 a) 45 b) 46 c) 47 d) 48 e) 49 19.Calcular "A + B - C", si la división: 8x 5 4x 3 Ax Bx C x 3 x 3 deja como resto: 5x + 11x + 7 a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 e) 1 0.Si al dividir: 4x 4 6x 3 x ax b x deja un resto: -5x + 1. Hallar "a - b" a) - b) 0 c) d) 1 e) -1 3.Determine "r + s" de manera que el polinomio P(x) = x 3 + rx + s; sea divisible por: x - x + 1 a) -1 b) - c) -5 d) 5 e) 1 4.Hallar "a + b", en la siguiente división exacta: ax 4 bx 3 3x 3x a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9 5.Hallar el resto al dividir: 6x 4 4yx 3 4x y y 4 4xy 3 3x 3 x y xy y 3 a) x + y b) x + xy c) -x d) x + y e) 0 6.Hallar el cociente luego de dividir: 1x 4 14x 3 y 15x y 4y 4 4x yx y a) 3x + y b) 3x - xy + y c) 3x + xy + 4y d) 3x + xy - y e) 3x + xy + y 7. Hallar el valor de "a + b + c", si el resto de la división indicada siguiente: Bloque III ax 5 bx 4 cx 3 5x 3 ; es: 7x + 8x - 3 x 3 x 1.La siguiente división: a) 1 b) 0 c) 30 d) 40 e) 50 x 4 (m 3)x n 3 x ; es exacta. Hallar (m + n) 8.Si en la siguiente división: a) -1 b) 1 c) d) - e) 8 5x 3 6x 4 1 x 3x se obtiene un resto de la forma: mx + n - 3. Calcular "m - n" a) -1 b) - c) -3 d) 4 e) 3

9.En el esquema de Horner mostrado: Autoevaluación Determinar el valor de: 1 3 a 1 b c m 9 d e f g h n - p 4-3 3 a b c m n p 1. Dividir, hallar el cociente: x 5 x 4 x 3 x x 4 a) x b) x + 1 c) x - 1 d) x - 3 e) x + 3. Hallar el resto en: x 4 3x 3 8x 1 4x x () a) 1 b) -1 c) 3 a) x + 5x - 1 b) x - 1 c) 1 d) 4 e) d) 0 e) 5 30.En la división siguiente: x 5 3x 4 bx 3 6bx x a x x b Se sabe que el resto es "x + 3", además la suma de coeficientes del cociente es mayor que 15, calcular "a.b" a) 4 b) 9 c) 7 d) e) 8 3. Hallar el resto en: 5x 3 6x 4 1 x 3 a) x + 1 b) x - 1 c) 1 d) x + 3 e) x - 4. Hallar "m + n", si el residuo de dividir: 3x 5 mx 3 nx x 3 es: 5x - 10 a) 11 b) 5 c) 1 d) 7 e) 4 5. Sea: Q = ax + bx + c; el cociente de la división de: (x) (x 4 + 3x 3-8x + 1-4x) entre (x - x - 1) Calcular: (a - b + c) a) -4 b) 16 c) 4 d) 1 e) 5 Claves 1. b. d 3. a 4. a 5. b

División algebraica II (Método de Ruffini - Teorema del Resto) Método de Ruffini Se aplica cuando el divisor es un binomio de primer grado de la forma: ax + b; a 0 Al igual que en Horner, utilizaremos sólo coeficientes, cumpliendo el siguiente esquema: Ejemplo: Dividir: Solución: Por Ruffini: 3x 4 5x 3 17x 8x 7 3 Ejemplo: N D I V I D E N D O C O C I E N T E R Valor de x al igualar el divisor a cero. 3x - 1 = 0 3 5-17 8 7 1/3 1-5 1 3 6-15 3 8 3 1-5 1 Dividir: Solución Por Ruffini: 3x 5 x 4 7x 3 11x 5 x - = 0 3-7 - 11 5 1 6 8 30 38 86 Resto Como: 3 4 15 19 43 87 Coeficientes del cociente qº = 5-1 = 4 q = 3x 4 + 4x 3 + 15x + 19x + 43 R = 87 Observación: Si en el divisor : ax + b, a 1, luego de dividir por Ruffini, los coeficientes del cociente deben dividirse entre a para obtener el cociente correcto. Como: qº = 4-1 q = x 3 + x - 5x + 1 R = 8 Coeficientes del cociente Teorema del Resto Se utiliza para calcular el resto sin tener que efectuar la división, se aplica cuando el divisor es un binomio de primer grado de la forma : ax + b y en algunos casos especiales. Regla: Para calcular el resto, se iguala el divisor a cero, se calcula el valor de la variable (siempre que el divisor sea de primer grado) y el valor obtenido se reemplaza en el dividendo. El resultado obtenido es el resto. Ejemplo: Calcular el resto en: Solución: x 5 3x 5 T. Resto: x - = 0 x = R = 5 + 3() - 5 R = 33 AÑO

Problemas resueltos Problemas para la clase 1. Dividir y dar el cociente y residuo. Bloque I 5x 4 16x 3 8 x 3 Solución: Colocando los coeficientes: 5 16-3 -15 5 1 3 * Cociente: 5x + x * Residuo: -1. Dividir: - 3x + 1 0-8 -3 9-3 -3 1-1 6x 4 4x 3 x 10 3 1. Señalar el residuo en la siguiente división: (x 3 + 3x - 7x - 5) entre (x - 1) a) -5 b) -7 c) 8 d) -8 e) -9. Efectuar la división: dar el residuo. x 4 7x 5x 3 a) 9 b) -9 c) 8 d) 7 e) -8 3. Dada la división: 5x 4 x 3 7x 9 hallar el residuo. Solución: 6-4 1 10 a) 1 b) c) 3 d) 4 e) 5-1/3 - -1-3 4. Hallar el cociente en la división 3 6-6 3 9-1 4x 3 4x 3x 9-1 3-1 * Cociente: x 3 - x + x + 3 * Resto: -1 3. Calcular el resto: a) x - 3x + 3 b) 4x - 6x + 6 c) x - x + 1 d) x + x - 1 e) x + 3x + 3 5. En el siguiente esquema de Ruffini: Solución: (x 3) 7 (x x 7) 8 * Aplicando el Teorema del Resto. x + = 0 x = - * Reemplazando en el dividendo: (- + 3) 7 + [(-) - (-) - 7] 8 - (-) - = R (1) 7 + [-1] 8 + - = R = R 4? 6? 8? -4? -15????? 16 hallar la suma de coeficientes del cociente. a) 1 b) c) 3 d) 4 e) 5 6. Si los coeficientes del cociente entero de dividir: 8x 4 18x 3 ax bx c x 3 son números consecutivos y el residuo es -8 ; calcular "a + b + c" a) 16 b) 8 c) 0 d) e) 3

7. Hallar el resto en la siguiente división: 13.Al dividir: x 3 35 a) 5 b) -5 c) 0 d) 1 e) -1 8. Calcular el resto en: () 8 () 4 16 a) 0 b) c) 3 d) 16 e) 1 9. Hallar la suma de coeficientes del cociente en la siguiente división: x(x 1) 3x () a) -8 b) -7 c) 8 d) 6 e) -4 10.Calcular el resto en: además "n" es impar. () n () n 3 a) -1 b) 1 c) - d) e) 0 Bloque II 11.Hallar "a" en la división exacta: 5x 4 16x 3 8x a x 3 a) 4 b) -4 c) 3 d) -3 e) - 1.Hallar el resto en: (x 4) 80 (x 4) 60 1 x 5 a) 1 b) 3 c) d) -1 e) 0 6x 4 4x 3 x 10a 3 obtengo como resto -1: hallar "a". a) 3 b) 1 c) -1 d) 5 e) 5 14.En la división: x 4 3x 3 ax 3a el resto es dos, hallar "a". a) 3 b) c) 1 d) - e) -1 15.Hallar el coeficiente lineal del cociente, en la división: x 5 4x 3 x 5 x 3 a) 50 b) -60 c) -66 d) 66 e) -50 16.Hallar el coeficiente cuadrático del cociente, en: x 5 x 3 x a) 3 b) 1 c) 0 d) e) - 17. Hallar el resto, en: x 9 3x 6 x 3 1 x 3 1 a) 1 b) c) 0 d) -1 e) - 18.Hallar el residuo, en: 3x 15 6x 10 3 x 5 1 a) 5 b) 4 c) 10 d) 6 e) 8

19.Hallar el resto de la división: 5.Hallar el resto en: () 35 7() 8 3() 17 3 x a) x b) x - 1 c) x + 5 d) x + 1 e) x + 7 0.Determinar la suma de coeficientes del cociente que se obtiene al dividir: 4x 80 x 79 x b a) 165 b) 16 c) 163 d) 164 e) 161 Bloque III 1.Hallar el resto de la división: x 3 ()() a) 7x + 5 b) 76x + c) 7x + 6 d) 6x - 1 e) 3x - 1.En la división: x n 1 (n )x n 1 el término independiente del cociente es -10, de qué grado es el dividendo? a) 13 b) 9 c) 7 d) 3 e) 8 3.Dado el polinomio: F(x) ( 3 )x 4 (1 3)x 3 Hallar su valor numérico en: x 6 (4 6)x 3 y 8 y 4 1 y y 1 a) 1 b) 0 c) 8 d) 7 e) 16 6.Hallar el resto en: (x 5)(x 4)(x 3)()...()() a) 1 b) c) 0 d) 16 e) 18 7. Hallar el resto en: (x 3)(x 7) 90 7 x 6 a) 7 b) - c) d) 4 e) 16 8.Hallar el resto en: x 60 x 80 x 90 x 0 4 x 10 1 a) b) 4 c) 10 d) 8 e) 6 9.Hallar el resto: 7x 45 81x 44 59 x 3 a) - b) 3 c) -4 d) 1 e) 0 30.En la siguiente división: (x 40 n)x 5 ; a) 1 b) 5 c) 3 determinar el resto, para que la suma de coeficientes d) 6 e) 5 6 del cociente sea 93. 4. Hallar el resto en: a) b) -6 c) 18 d) 16 e) 4 4 (1 x) 1 x ; -1 a) 8x b) 8x + 8 c) 8x - 6 d) 8x + 11 e) 16

Autoevaluación 1. Dividir: 4. Dividir: 3x 4 5 7x 4 6x 5 3 hallar el residuo. a) 1 b) 4 c) 60 d) 8 e) -16. Dividir: hallar el resto. 3x 5 10x 1x x 3 15 x 3 a) 6 b) 3 c) 663 d) 441 e) 645 3. Hallar el término independiente del cociente de dividir. dar el término independiente del cociente. a) -3 b) -1 c) 0 d) 9 e) 1 5. Hallar el resto en: 8x 16x 45 44 59 a) 9 b) 9 c) -9 d) -9 e) y 4 14y y 3 5 y 3 a) 16 b) 4 c) 58 d) 169 e) 170 Claves 1. c. c 3. c 4. c 5. a