1. [ANDA] [SEP-B] El peso de las calabazas de una cierta plantación sigue una le Normal con desviación típica 1200 g. a) Halle el tamaño mínimo de la muestra que se ha de elgir para, con un nivel de confianza del 95%, estimar el peso medio con un error menor de 450 g. b) Para el mismo nivel de confianza, indique, razonando la respuesta, si el error aumenta o disminuye al aumentar el tamaño de la muestra. 2. [ANDA] [SEP-A] En una caja de ahorros se sabe que el porcentaje de los nuevos clientes que contraen unplan de pensiones no supera el 23%. El director de una de las sucursales decide hacer un regalo a cualquier nuevo cliente que contrate uno de esos planes y, tras un mes, comprueba que 110 de los 470 nuevos clientes ha contratado un plan de pensiones. a) Plantee un contraste de hipótesis, H 0 : p 0.23, para decidir si, con los datos dados, se puede afirmar que la medida del director ha aumentado la contratación de estos planes de pensiones. Halle la región de aceptación de este contraste de hipótesis para un nivel de significación del 5%. b) Según el resultado del apartado anterior, qué conclusión podemos obtener sobre la medida tomada por el director de esta sucursal? 3. [ANDA] [JUN-B] Se considera que, a lo sumo, el 5% de los artículos guardados en un almacén son defectuosos. Pasado un tiempo, la persona encargada del mantenimiento del almacén decide investigar si esa estimación es adecuada. Para ello escoge aleatoriamente 300 artículos de los que 35 están defectuosos. a) Plantee un contraste de hipótesis H 0 : p 0.05 para determinar si ha aumentado la proporción de artículos defectuosos. Obtenga la región crítica del contraste para un nivel de significación del 5%. b) Qué conclusión se obtiene con los datos muestrales observados? 4. [ANDA] [JUN-A] Una muestra aleatoria de 120 alumnos presentados a las Pruebas de Acceso, sólo 15 han resultado no aptos. a) Calcule un intervalo de confianza, al 99%, para estimar la proporción de alumnos que han resultado aptos en dicha prueba. b) Manteniendo la misma confianza, cuál debe ser el tamaño mínimo de la muestra para estimar la proporción de alumnos aptos, cometiendo un error inferior al 5%? 5. [ARAG] [SEP-B] La cantidad de refresco que se sirve en cada vaso a la entrada de unos cines está normalmente distribuida con una desviación típica de 15 ml. Hemos medido las cantidades en los vasos de los 25 asistentes de una determinada sesión que compraron un refresco y hemos obtenido un promedio de 200.8 ml. Fijado un nivel de confianza del 90%, calcular el intervalo de confianza para la media de la cantidad de refresco que se sirve en cada vaso. Detallar los pasos realizados para obtener los resultados. 6. [ARAG] [JUN-A] La cantidad de horas que duermen los vecinos de un pueblo de Zaragoza se puede aproximar por una distribución normal con una desviación típica de 0,64. Se toma una muestra aleatoria simple y se obtienen los siguientes datos (en horas que duermen cada noche): 6,9 7,6 6,5 6,2 7,8 7,0 5,5 7,6 7,3 6,6 7,1 6,9 6,7 6,5 7,2 5,8 a) Calcular la media muestral del número de horas que se duerme cada noche. b) Determinar el nivel de confianza para el cual el intervalo de confianza para la media de horas que se duerme cada noche es (6,65, 7). Detallar los pasos realizados para obtener los resultados. 7. [ASTU] [SEP-B] Un canal de televisión considera que un programa es rentable cuando más del 16% de los televisores encendidos están sintonizando dicho canal durante su emisión. Coincidiendo con el episodio piloto de una nueva serie, se seleccionan aleatoriamente 4000 de los televisores encendidos y se obtiene que 720 de ellos están sintonizando el canal. a) Plantea un test para contrastar que el episodio piloto no ha sido rentable, frente a la alternativa de que sí lo ha sido, tal como parecen indicar los datos. b) A qué conclusión se llega con el contraste anterior para un nivel de significación del 5%? F(3'45) = 1'000, F(1'96) = 0'975, F(1'64) = 0'95, F(0'95) = 0'83, F(0'05) = 0'52.) 8. [ASTU] [SEP-A] Se ha entrevistado a 400 mujeres elegidas de forma aleatoria y se ha obtenido que el tiempo medio semanal que Página 1 de 5
dedican a trabajos domésticos es de 1815 minutos. Hace un par de décadas, dicho tiempo era de 2000 minutos. Si el tiempo semanal dedicado por las mujeres a trabajos domésticos sigue una distribución normal con desviación típica 950 minutos, a) Plantea un test para contrastar la hipótesis de que el tiempo medio semanal sigue siendo de 2000 minutos, frente a la alternativa de que se redujo. b) A qué conclusión se llega en el contraste anterior para un nivel de significación del 1%? F(3'89) = 1'000, F(2'58) = 0'995, F(2'33) = 0'99, F(0'99) = 0'84, F(0'01) = 0'50.) 9. [ASTU] [JUN-B] Para determinar si más de un 50% de la población está de acuerdo con una nueva medida del gobierno, se tomó una muestra aleatoria de 900 personas, de las cuales 495 declararon estar de acuerdo con dicha medida y el resto declararon no estar de acuerdo. a) Plantea un test para contrastar que el porcentaje de la población que está de acuerdo no es mayor del 50%, frente a la alternativa de que sí es mayor, tal como parecen indicar los datos. b) A qué conclusión se llega con el contraste anterior para un nivel de significación del 5%? F(3) = 00999, F(1064) = 0095, F(1095) = 00975, F(0095) = 0083, F(0005) = 0052.) 10. [C-LE] [JUN-B] En un determinado municipio, los ingresos mensuales de sus habitantes siguen una distribución normal de media y desviación típica 200. Se seleccionó al azar una muestra de 100 personas cuya media de ingresos mensuales resultó de 1060. a) Para un nivel de confianza del 95%, calcula un intervalo de confianza para el ingreso medio mensual en ese municipio. b) Si se toma un nivel de significación de 0.01, calcula el tamaño muestral mínimo necesario para estimar el ingreso medio mensual con un error menor de 30. 11. [C-MA] [SEP-B] En un establecimiento de comida rápida se sabe que el tiempo que emplean en comer sus clientes sigue una distribución normal de media desconocida y desviación típica 7 minutos. El tiempo que emplearon 10 clientes elegidos aleatoriamente fue de 15, 20, 28, 21, 26, 30, 16, 18, 35 y 27 minutos respectivamente. Se pide: a) Halla el intervalo de confianza para la media del tiempo que tardan en comer los clientes del establecimiento con un nivel de confianza del 97%. b) Cuál debería ser como mínimo el tamaño de la muestra para que el error de estimación de la media sea inferior a 2 minutos con el mismo nivel de confianza? 12. [C-MA] [SEP-A] Se sabe que "la cantidad de glucosa en sangre" en individuos adultos y sanos sigue una ley normal de media desconocida y desviación típica 20 mg/dl. Se elgió aleatoriamente una muestra de 100 personas, siendo la media de la cantidad de glucosa en sangre para esta muestra de 85 mg/dl. Se pide: a) Halla el intervalo de confianza del 95% para la media poblacional de "la cantidad de glucosa en sangre". b) Discute razonadamente el efecto que tendría sobre el intervalo de confianza el aumento o disminución del nivel de confianza. 13. [C-MA] [JUN-B] Se estudió el cociente intelectual de 10 estudiantes de 2º de Bachillerato elegidos aleatoriamente de un determinado centro escolar, siendo estos valores: 80, 96, 87, 104, 105, 99, 112, 89, 90 y 110. Sabiendo que el cociente intelectual se distribuye según una normal de desviación típica 15, se pide: a) Halla el intervalo de confianza al nivel del 95% para la media del cociente intelectual de los estudiantes de 2º de Bachillerato de dicho centro escolar. b) Razona y explica qué se podría hacer para que el intervalo de confianza tuviera menor amplitud con el msimo nivel de confianza. 14. [C-MA] [JUN-A] Se sabe que "el peso de los paquetes de harina", que se producen en una fábrica, sigue una distribución normal de media desconocida y desviación típica 20 gramos. Se seleccionan al azar 50 paquetes de harina y se observa que tienen un peso medio de 745 gramos. a) Halla el intervalo de confianza para el peso medio de los paquetes de harina de dicha fábrica con un nivel de confianza del 97%. b) Explica, razonadamente, cómo podríamos reducir la amplitud del intervalo de confianza. 15. [CANA] [SEP-B] Para una muestra de 49 pisos de dos habitaciones de una gran ciudad, el alquiler medio resultó igual a 425 euros. Página 2 de 5
Tomando una desviación típica igual a 50 euros, a) Construir un intervalo de confianza, del 97%, para la media del alquiler de los pisos de dos habitaciones de esa gran ciudad. b) Se puede aceptar, con una significación del 2,5%, que la media del alquiler de los pisos de dos habitaciones de esa gran ciudad es, como máximo, igual a 415 euros? 16. [CANA] [SEP-A] En un grupo de 650 jóvenes, de entre 18 y 25 años, 400 tienen un contrato de trabajo. a) Construir un intervalo de confianza, al 98%, para la proporción de jóvenes, de entre 18 y 25 años, que no tienen contrato de trabajo. b) Se puede aceptar, con un nivel de significación del 1%, que al menos el 64% de jóvenes, de entre 18 y 25 años, tiene contrato de trabajo? 17. [CANA] [JUN-B] Se realiza una encuesta a 100 trabajadores, de un determinado sector, sobre los ingresos mensuales que se obtienen después de los recortes y la subida de impuestos, obteniéndose una media de 920 con una desviación típica de 140. a) Con un nivel de confianza del 95%, cuál es el intervalo de confianza para la media de ingresos de los trabajadores de ese sector? b) Cuál es el tamaño de la muestra necesario para estimar la media de ingresos mensuales con un error menor de 20, con una confianza del 97%? 18. [CANA] [JUN-A] Hace unos años se hizo un estudio en el que se concluyó que los niños de primaria veían una media de 17 horas semanales de televisión. Este año se ha hecho un seguimiento a una muestra de 30 niños de primaria y se observó que, por término medio, ven 17.8 horas de televisión a la semana, con una desviación típica de 2.8 horas. a) Con una significación del 10%, se acepta que la media de horas semanales que ven la televisión los niños de primaria sigue siendo 17 horas o, por el contrario, hay evidencias de que ha aumentado? b) Si la misma información se hubiese obtenido de una muestra de 15 niños, con una significación del 10%, se acepta que la media de horas semanales que ven la televisión los niños de primaria es 17 horas o por el contrario hay evidencias de que ha aumentado? 19. [EXTR] [SEP-A] En un estudio realizado por un laboratorio, sobre una muestra de 500 cigarrillos, se ha obtenido que 500 i=1 x i = 5000, siendo x i el número de miligramos de nicotina del i-ésimo cigarrillo. Se sabe, además, que el número de miligramos de nicotina por cigarrillo sigue una distribución normal con varianza 16. Con un nivel de confianza del 90%, podríamos rechazar la hipótesis propuesta por el fabricante, de que el número medio de miligramos de nicaotina en un cigarro es 9? Justificar la respuesta. 20. [EXTR] [JUN-B] Una muestra de 2000 familias es seleccionada aleatoriamente en cierta ciudad. Se comprueba que 300 de ellas disponen de acceso a internet desde su domicilio. Determinar justificando la respuesta: a) El intervalo de confianza al 99% para el porcentaje de familias de esa ciudad que disponen de acceso a internet desde su domicilio. b) El error máximo que cometeríamos, con una confianza del 99%, si estimamos que dicho porcentaje es un 15%. 21. [MADR] [SEP-B] El tiempo de espera para ser atendido en un cierto establecimiento se puede aproximar por una variable aleatoria con distribución normal de media desconocida y desviación típica igual a 3 minutos. Se toma una muestra aleatoria simple de tamaño 121. a) Calcúlese la probabilidad de que el valor absoluto de la diferencia entre la media de la muestra y sea mayor que 0,5 minutos. b) Determínese un intervalo de confianza con un nivel del 95% para, si la media de la muestra es igual a 7 minutos. 22. [MADR] [SEP-A] La duración en kilómetros de los neumáticos de una cierta marca se puede aproximar por una variable aleatoria con distribución normal de media desconocida y desviación típica igual a 3000 kilómetros. a) Se toma una muestra aleatoria simple de 100 neumáticos y se obtiene una media muestral de 48000 kilómetros. Determínese un intervalo de confianza con un nivel del 90% para. b) Calcúlese el tamaño mínimo que debe tener la muestra para que el valor absoluto de la diferencia entre la media de la muestra y sea menor o igual a 1000 kilómetros con probabilidad mayor o igual que 0,95. Página 3 de 5
23. [MADR] [JUN-B] Se supone que el gasto que hacen los individuos de una determinada población en regalos de Navidad se puede aproximar por una variable aleatoria con distribución normal de media y desviación típica igual a 45 euros. a) Se toma una muestra aleatoria simple y se obtiene el intervalo de confianza (251,6; 271,2) para, con un nivel de confianza del 95%. Calcúlese la media muestral y el tamaño de la muestra elegida. b) Se toma una muestra aleatoria simple de tamaño 64 para estimar. Calcúlese el error máximo cometido por esa estimación con un nivel de confianza del 90%. 24. [MADR] [JUN-A] Se supone que el peso en kilogramos de los alumnos de un colegio de Educación Primaria el primer día del curso se puede aproximar por una variable aleatoria con distribución normal de desviación típica igual a 2,8 kg. Una muestra aleatoria simple de 8 alumnos de ese colegio proporciona los siguientes resultados (en kg): 26 27,5 31 28 25,5 30,5 32 31,5. a) Determínese un intervalo de confianza con un nivel del 90% para el peso medio de los alumnos de ese colegio el primer día de curso. b) Determínese el tamaño muestral mínimo necesario para que el valor absoluto de la diferencia entre la media muestral y la media poblacional sea menor o igual que 0,9 kg con un nivel de confianza del 97%. 25. [MURC] [SEP-B] Se sabe que en una población el nivel de colesterol en la sangre se distribuye normalmente con una media de 160 u. y una desviación típica de 20 u. Si una muestra de 120 individuos de esa población que siguen una determinada dieta, supuestamente adecuada para bajar el nivel de colesterol, tiene una media de 158 u. Se puede afirmar que el nivel medio de colesterol de los que siguen la dieta es menor que el nivel medio de la población en general, para un nivel de significación de 0,01? 26. [MURC] [SEP-A] Se supone que el número de horas semanales dedicadas al estudio por los estudiantes de una universidad sigue una distribución Normal de media desconocida y desviación típica 6. Para estimar la media de horas semanales de estudio se quiere utilizar una muestra de tamaño n. Calcular el valor mínimo de n para que con un nivel de confianza del 99%, el error en la estimación sea menor de 1 hora. 27. [MURC] [JUN-B] Hace 10 años, el 65% de los habitantes de cierta Comunidad Autónoma estaba en contra de la instalación de una central nuclear. Recientemente, se ha realizado una encuesta a 300 habitantes y 190 se mostraron contrarios a la instalación. Con estos datos y con un nivel de significación de 0,01 se puede afirmar que la proporción de contrarios a la central sigue siendo la misma? 28. [MURC] [JUN-A] La puntuación de un test psicotécnico para una determinada población sigue una Normal con una desviación típica conocida. Para hallar un intervalo de confianza para la media de la población se ha tomado una muestra aleatoria simple de 100 individuos, obteniéndose una puntuación media de 25 puntos. Si el intervalo de confianza con un nivel de significación 0,05 construido a partir de los datos anteriores es (24,02, 25,98), hallar el valor de. 29. [RIOJ] [SEP] Se quiere estimar el consumo (en litros) de refrescos por persona y año. Se conoce que dicho consumo sigue una normal con desviación típica 5 litros. i) Una muestra de 64 personas arroja un consumo medio de 30 litros. Calcula un intervalo de confianza para la media poblacional, con una probabilidad del 90%. ii) Si se sabe que la media de consumo de refrescos por persona y mes es de 31 litros, halla la probabilidad de que el consumo medio de una muestra de 25 personas sea mayor que 30 litros. 30. [RIOJ] [JUN] La valoración de las instituciones por parte de los ciudadanos se mide en unas unidades ficticias que denominaremos "u". Se sabe que, en el caso de los españoles, dicha valoreación sigue una normal con desviación típica 25 u. i) Se elige una muestra de 100 españoles, dando una media de 180 u. Calcula un intervalo de confianza para la media poblacional de la valoración de las instituciones, con una probabilidad del 90%. ii) Si conocemos que la media poblacional es 182 u, calcula la probabilidad de que una muestra de tamaño 100 tenga media inferior a 180 u. Página 4 de 5
Soluciones 1. 28; disminuye. 2. (-,0'262); no aumenta la contratación 3. (0'07,+ ); aumenta 5. (195'87,205'74) 6. a) 6'7625 b) 72'5% 7. a) H 0 : p 0'16; H 1 : p > 0'16 b) ha sido rentable 8. a) H 0 : 2000; H 1 : < 2000 b) se reduce 9. a) H 0 : p 0'5; H 1 : p>0'5 b) mayor de 50% 10. (1020'8,1099'2); 296 11. (18'8,28'4); 58 12. a) (81'08,88'92) b) aumenta o disminuye la amplitud 13. a) (87'9,106'5) b) aumentar el tamaño de la muestra 14. a) (738'86,751'14) 15. (408'83,441'17); se acepta 16. (0'58,0'66); se acepta 17. (889'62,950'38); 231 18. a) aumenta b) se acepta 19. se rechaza 20. (0'13,0'17); 0'02 21. 0'9664; (6'465,7'535) 22. (47506'5,48493'5); 35 23. a) 261'4, 81 b) 9'28 24. (27'37,30'63); 46 25. no es menor 26. 238 27. sigue igual 28. 5 29. (28'972,31'028); 0'8413 30. (175'875,184'125); 0'2119 Página 5 de 5