DESAFÍO 4 Los siguientes ejercicios propuestos son problemas que se presentan en el curso de Matemáticas del primer semestre de la carrera de ingeniería civil. Estos problemas comprenden aplicaciones y uso de funciones integradas al modelamiento. La mayoría de ellos exige una clara comprensión lectora, esquema o dibujo de la situación planteada, modelamiento matemático, resolución y análisis de la(s) respuesta(s). Todos los problemas tienen solución al final de este documento, salvo los dos últimos ejercicios (23 y 24), que están resueltos. Una señora llevaba manzanas al mercado cuando se le cayó la cesta. Cuántas manzanas llevaba?, le preguntaron. No lo sé, recuerdo que al contarlas en grupos de 2,3,4 y 5, sobraban 1,2,3 y 4 respectivamente. Cuántas manzanas tenía la señora?
Ejercicios de Planteo y Modelamiento 1).- Un fabricante puede producir grabadores a un costo de US$20 cada una. Se estima que si éstas se venden a x dólares cada una, los usuarios comprarán 120 x grabadoras al mes. Exprese la utilidad mensual del fabricante como una función del precio, elabore la gráfica de esta función y utilícela para calcular el precio óptimo de venta. 2).- Una librería puede obtener un atlas de la editorial a un costo de US$5 por ejemplar y supone que si expende el atlas a x dólares el ejemplar, venderá aproximadamente 20(22 x) ejemplares cada mes. Exprese la utilidad mensual que obtiene la librería por la venta del atlas como una función del precio, elabore la gráfica de esta función y utilícela para calcular el precio óptimo de venta.
3) Se pretende vaciar una piscina con 600 m 3 de agua. Cada 3 minutos se eliminan 8 m 3 de agua. La tabla siguiente muestra el volumen de agua que permanece en la piscina por minuto. Determine: Tiempo (min) Volumen m 3 0 600 3 592 6 584 9 576 12 568 a) Un modelo lineal donde el volumen de agua que permanece en la piscina esté en función del tiempo de vaciado Cuál es la pendiente de la recta? b) El volumen de agua que permanece en la piscina transcurrido una hora desde que se inició el vaciado. c) El tiempo transcurrido hasta que se desagüe completamente la piscina. 4).- La tasa de crecimiento de los peces depende de la temperatura del agua en la cual habitan. Para los peces de un cierto lugar, la tasa de crecimiento G (en porcentaje por día) está dada por la función: G(T) = -0,0346(T 23)² - 0,0723 (T 23) + 3,77 a) Encuentre la temperatura del agua que genera la máxima tasa de crecimiento. Cuál es dicha tasa máxima de crecimiento? b) Cuando la temperatura del agua es de 15 C. Cuál es la tasa de crecimiento? c) A qué temperatura los peces dejan de crecer?
5).- Se desea cercar un terreno rectangular que tenga 400 m² de superficie con uno de los lados a lo largo de un río recto. Si no se necesita cerca para el lado que da al río. Qué dimensiones requiere la menor cantidad de cerca? 6).- Se desea construir una caja sin tapa y de base cuadrada, disponiendo de 60 m² de material. Halle las dimensiones para que el volumen sea máximo. 7).- Una ventana en forma de rectángulo coronado de un triángulo equilátero tiene 5 m de perímetro. Calcular sus dimensiones para que deje pasar la cantidad máxima de luz.
8).- Un prado rectangular de un jardín debe tener 72 m² de área. Debe rodearse de un paseo de un metro de ancho en los lados frontales y 2 m en los laterales. Si el área total del prado y del paseo es mínima. Cuáles son las dimensiones del prado? 2 m 1 m
9).- Un importador de café brasileño estima que los consumidores locales comprarán aproximadamente 4374 Qp kilogramos 2 p de café a la semana, cuando el precio sea p dólares por kilogramos. Se estima que dentro de t semanas el precio será p(t) = 0.04t² + 0.2t + 12 dólares por kilogramos. a) Exprese la demanda de consumo semanal de café como una función de t. b) Dentro de 14 días cuántos kilogramos de café comprarán los consumidores al importador? c) Cuándo alcanzará la demanda (Q) de café los 29,19 kilogramos?
10).- a) Conforme el aire seco se eleva, se expande y enfría. Si la temperatura a nivel del suelo es de 20 C y a una altitud de 1 Km., es de 10 C, exprese la temperatura T (en C) en función de la altitud h (en kilómetros). (Suponga que la expresión es lineal.) b) Cuál es el valor y qué representa su pendiente? c) Cuál es la temperatura a una altitud de 2.5 Km.? 11).- Al nivel del mar, la presión del agua es la misma que la del aire por encima del agua, 15 lb/pie². Por debajo de la superficie, la presión aumenta en 4.34 lb/pie² por cada 10 pies de profundidad. a) Obtenga una ecuación para la relación entre presión y profundidad por debajo de la superficie del océano. b) A qué profundidad es la presión igual a 100 lb/pie²?.
12).- Un jet voló de Arica a Punta Arenas una distancia de 4200 kms. La rapidez del viaje de regreso fue de 100 km/hr más rápido que la rapidez del vuelo de ida,. Si el viaje total duró 13 horas cuál fue la rapidez del jet de Arica a Punta Arenas? 13).- Según la teoría de la Relatividad, la longitud L de un cuerpo es una función de su velocidad v con respecto a un observador. Para un cuerpo cuya longitud en reposo es 10 m, la función está dada por L v 10 1 2 donde c es la velocidad de la luz ( 300.000 kms/s) v c 0 0 2 a) Calcule L, 5c, L, 75c y L 0, 9c. b) Cómo cambia la longitud de un cuerpo cuando aumenta su velocidad?
14).- El dueño de una tienda vende pasas a $3.20 la libra y nueces a $2.40 la libra. Decide mezclar éstas y vender 50 libras de la mezcla a $2.72 la libra. Qué cantidades de pasas y nueces debe utilizar? 15).- La distancia aproximada d (en metros) que recorre un conductor después de darse cuenta que debe detenerse súbitamente está dada por la fórmula siguiente, donde x es la rapidez del automóvil (en metros s por segundo): d x 2 x 20 Si un automóvil recorre 75 metros antes de detenerse. cuál es su rapidez antes de la aplicación de los frenos?
16).-Las poblaciones de animales no son capaces de crecimiento no restringido debido a que el hábitat y la disponibilidad de alimentos son limitados. Bajo estas condiciones la población sigue un modelo de crecimiento logístico siguiente: t 1200 111e P 0, 2t donde t es el tiempo en años y P(t) es el número de peces. a).- Cuántos peces fueron introducidos originalmente en el estanque? b).- Qué población de peces hay al cabo de 10, 20 y 30 años? c).- Cuántos años pasan para que la población alcance los 1195 peces? 17).- El flete aéreo de una libra de mercadería cuesta $58 transportándola 832 millas y $120 transportándola 2.040 millas. Encontrar: a).- Una función lineal que determine el costo de transporte aéreo, si los datos representan la política usual de costos. b).- El costo de transportar una libra por 1.750 millas.
18).- La compañía MULTIGAS distribuidora de gas natural ha modificado la modalidad para el cobro de suministro de su servicio, informando lo siguiente: Cargo Fijo: $2300 $450 por cada Kg. entre 0 y 12 $ 30 de recargo por consumo entre 12 y 20 Kg. $ 90 de recargo por consumo sobre los 21 Kg. a).- Confeccione la función que representa los cobros por consumo. b).- Determine cuánto ha de pagar una persona que consume 19 Kg. c).- Determine cuánto ha de pagar una persona que consume 133 Kg.
19).- Se estima que dentro de t años, la población de cierta comunidad suburbana será P t 20 t 6 1, miles de habitantes. a).- Cuál será la población de la comunidad dentro de 9 años? b).- Cuánto crecerá la población durante el noveno año? c).- Qué le sucederá al tamaño de la población a largo plazo? 20).- Suponga que durante un programa nacional para inmunizar a la población contra cierto tipo de gripe, los funcionarios de salud encontraron que el costo de vacunar al x% de la población era 150 x aproximadamente f x millones de pesos. 200 x a).- Para qué valores de x tiene f(x) una interpretación práctica en este contexto? b).- Cuál fue el costo de vacunación del 50% de la población? c).- Qué porcentaje de la población se había vacunado después de una inversión de 67,5 millones de pesos? d).- Si el presupuesto máximo disponible para vacunación es de 120 millones, es posible vacunar al total de la población? Justifique.
21).- En cierta industria, el costo total de producción de q unidades durante 2 el período diario de producción es Cq q q 900 dólares. En un día normal de trabajo, se fabrican q(t) = 25t unidades durante las primeras horas de un período de producción. a).- Exprese el costo total de la producción como una función de t. b).- Cuánto se habrá gastado en producción al final de la tercera hora? c).- Cuándo alcanzará el costo total de producción los US$11,000? 22).- Un fabricante puede producir radios a un costo de US$10 cada uno y estima que si se venden a x dólares cada uno, los consumidores comprarán aproximadamente 80 x radios cada mes. Exprese la utilidad mensual del fabricante como una función del precio x, elabore la gráfica de esta función y determine el precio al cual la utilidad del fabricante será la mayor.
23) Una empresa de joyas debe proporcionar a su representante de ventas un automóvil de lujo para uso oficial. La empresa debe decidir entre comprar o bien rentar un automóvil. Después de analizar diferentes propuestas de empresas automotrices, tiene las dos opciones siguientes: Plan I) Comprar un automóvil con un desembolso inicial de $60.600, más 24 mensualidades fijas de $ 4.700, incluye el pago de un seguro para automóvil. Al término de los 24 meses, el automóvil se puede vender en $ 70.000, a este se le conoce como valor de rescate. Plan II) Rentar un automóvil, por $ 3.000 mensuales, más $ 0,6 por km recorrido y un pago único de $ 5.000 por concepto de seguro para automóvil con vigencia de dos años. a) Cuál es el costo total de cada plan considerando un plazo máximo de dos años? b) Cuál es el número de kilómetros promedio mensuales que debe viajar a lo más el representante de ventas para que sea mejor el plan II que el plan I? c) Si el pago mensual para la compra del automóvil, del plan I, se reduce a $4500 mensuales cada mes, y el precio por km recorrido del automóvil del plan II aumenta a 0,8 $ a lo más cuántos kilómetros debe recorrer el representante de ventas para que sea mejor el plan I que el plan II?
23) Solución: a) El costo del plan I, al cabo de dos años, es: (Pago inicial) + (24 mensualidades de $4700 cada una) - (Valor de rescate) = $ 103,400 60,600 + (24 X 4700) - 70,000 = $103,400. Denotemos por k el número de kilómetros recorridos por el automóvil de la opción II. Entonces cada mes el costo de rentar el automóvil, en la opción II, sería de: 3000 + 0,6k Puesto que son 24 meses, el costo total de rentar el automóvil sería igual a: (Costo del seguro) + (Costo de renta y uso del automóvil por 24 meses),es decir, 5000 + (3000 + 0,6k ) x 24 El costo del plan II, al cabo de dos años, es: 5000 + 24 X (3000 + 0,6 k) b) Lo que necesitamos es determinar el número de kilómetros para el cual el costo del plan II sea menor o igual al costo con el plan I, es decir, 5000 + 24 X (3000 + 0,6k) 103,400 k 1833,33. Quiere decir que para 1833,333 kilómetros recorridos ambos planes tienen el mismo costo, pero si el automóvil del plan II recorre un número inferior a 1833, 33 kilómetros, entonces el plan II es superior al plan I, porque su costo es más bajo. c) Costo plan I nuevo < Costo plan II nuevo 60,600 + (24 X 4500) - 70,000 < 5000 + 24 X (3000 + 0,8k) 98600 < 77000 + 19,2k k > 1125 Si el representante recorre mensualmente más de 1125 kms, entonces, es más conveniente el automóvil del plan I
24) Una línea aérea cobra en un vuelo US$2150 por pasajero, pero si son más de 90 pasajeros, la empresa cobra US$15 menos por pasajero por cada persona adicional a las 90 y en el vuelo pueden viajar un máximo de 200 pasajeros. a) Escriba una función D que represente la cantidad de dinero que recibe la línea aérea por vuelo como una función del número de pasajeros. a) Si la línea aérea recibió 100 pasajeros, cuánto dinero recibió?, cuánto pagó cada pasajero?
24) Solución: a) Sabemos que si x, donde x es el número de pasajeros, es menor o igual que 90, entonces, D(x) = 2.150x. Pero si son: 91 pasajeros, el precio por pasajero es 2.150 (1)15 = 2.150 (91-90)15 = US$2135. 92 pasajeros, el precio por pasajero es 2.150 (2)15 = 2.150 (92-90)15 = US$2120. 93 pasajeros, el precio por pasajero es 2.150 (3)15 = 2.150 (93-90)15 = US$2105 94 pasajeros, el precio por pasajero es 2.150 (4)15 = 2.150 (94-90)15 = US$2090. x pasajeros ( x > 90 ), el precio por pasajero es: 2.150 (x - 90)15. Luego, la función que representa la cantidad de dinero que recibe la empresa por x pasajeros es la siguiente función por partes : 2.150x D( x) 2.150 - x -9015 90 x 200 b) D(100) = [2.150 (100 90)15]100 = [2.150 (10)15]100 = [2.000]100 = 200.000 x x 90 La empresa recibe US$200.000 por 100 pasajeros y cada uno pagó US$2.000
Soluciones: y 8 x 600 3
5) 10 2 metros 11 6) Base = metros ; altura = metros 5 5 4 7) Lado triángulo = base rectángulo = metros Altura rectángulo = metros 8) Largo = 12 metros ; ancho = 6 metros 4374 25 5 22 9) a) b) 27,73 kg c) 10 semanas 2 0,04t 0,2t 12 2 h( T) T 2 10 3 10) a), donde h es la altitud y T la temperatura en ºC b) La pendiente es -0,1. Representa que por cada km de aumento en la altitud, la temperatura disminuye en 10ºC. c) -5ºC 5 33 6 3
11) a) P(h) = -0,434h + 15, donde P es la presión del agua en lb/pie² y h la profundidad en pies. b) h = 195,8 lb/pie². 12) 600 km/hr. 13) a) 8,66 m, 6,61 m y 4,36 m b) parecerá acortarse. 14) Debe utilizar 20 kilos de pasas y 30 kilos de nueces. 15) 30 m/s 16) a) 100 peces b) 482, 999 y 1168 peces c) 40 años. 17) a) C( m) m, donde C(m) es el costo de transportar 1 libra de 18) b) $105,11. 31 604 9240 604 mercadería en m millas. 2300 450k, 0 k 12 7940 90( k 20), k 20 a) Ck 7700 30( k 12), 12 k 20 b) $ 7910 c) $ 18110
19) a) 19400 habitantes b) 54,5 habitantes/año c) No sobrepasará los 20000 habitantes. 20) a) 0 < x 100 b) $50 millones c) 62% aproximadamente c) No, pues costaría $150 millones vacunar al 100% de la población. 2 21) a) C( t) 625t 25t 900 b) US$6600 c) En 4 horas. 22) U( x) x 2 90x 800 Para x = US$45 hay utilidad máxima