CONJUNTOS DE NIVEL Y SUS APLICACIONES A LA OPTIMIZACIÓN DE LA FUNCIÓN DE UTILIDAD DEL CONSUMIDOR Luisa Lucila Lazzari - Andrea Parma Facultad de Ciencias Económicas Universidad de Buenos Aires Palabras claves: cálculo, aplicaciones, optimización, conjunto de nivel, utilidad. 1- INTRODUCCION En este trabajo se estudia el concepto de conjuntos de nivel de una función sus aplicaciones económicas. En primer lugar se propone la visualización de las gráficas de conjuntos de nivel en el plano en el espacio, empleando el software Mathematica. Luego se presentan gráficas de curvas superficies de nivel relacionadas con algunas funciones económicas, se analizan sus significados sus características principales. Finalmente se desarrolla el problema de optimización de funciones de utilidad 4 del consumidor en R R en base a restricciones presupuestarias fijas al determinar el óptimo a partir del punto de tangencia entre curvas o superficies de nivel.. CONJUNTOS DE NIVEL DE UNA FUNCIÓN.1 Definición Dada una función f : S R donde S R n. Se consideran aquellos puntos ( 1,,..., n ) S para los que f (,,..., n ) f ( 1,,..., n ) = k. El conjunto L( k) función f se define L( k) = {(,... n ) S / f ( 1,,..., n ) = k} En R L ( k) = {( 1 ) S / f ( 1, ) = k} L ( k) {(, ) S / f (, ) = k} 1 tiene un valor constante, es decir se denomina conjunto de nivel k de la 1., se llama curva de nivel; en = 1, 1, se denomina superficie de nivel... Curvas de nivel Eisten muchas aplicaciones donde se presentan familias de curvas de nivel. 1, 1,, las curvas de nivel de f (curvas de temperatura constante) se llaman isotermas, las isobaras Por ejemplo, si f ( ) representa la temperatura en ( ) R 1
(curvas de nivel para presión atmosférica constante). También en economía se estudian las llamadas curvas de indiferencia (curvas de nivel de utilidad constante), las isocuantas (curvas de nivel de producción constante), isocostos (curvas de nivel de costo constante) e isoingreso (curvas de nivel de ingreso constante). Geométricamente se define las curvas de nivel como las proecciones sobre el plano ( 1, ) de las intersecciones de la superficie f ( 1, ) paralelos al plano ( 1, ). z = con planos z = k Por ejemplo, se consideran las curvas de nivel del paraboloide elíptico z = +. Para z=k, radio k con k >. k = + representan circunferencias de centro (; ) z = z = 1 z = 4 z = z = 7 = + 1 = + 4 = + = + 7 = + Utilizando el Mathematica, se realiza el gráfico del paraboloide z = + interceptado con los planos z = z = 7. Figura 1. Secciones del paraboloide Se observa que los cortes o secciones son circunferencias de diferente radio.
Al proectar dichas secciones sobre el plano z = obtenemos las curvas de nivel de la superficie que se pueden representar con el Mathematica a partir del siguiente comando: 7.. -. - -7. -7. - -.. 7. Figura. Curvas de nivel del paraboloide.. Superficies de nivel. Se considera a continuación la hipersuperficie u = + z interceptada por hiperplanos u=1 u=6. Se obtienen superficies de nivel. u = 1 u = 6 1 = + z 6 = + z Para valores positivos de k, se obtienen hiperboloides elípticos de una hoja. - z - - Figura. Superficies de nivel de u = + z para u > Para valores negativos de k, se obtienen hiperboloides elípticos de dos hojas.
- - - Figura 4. Superficies de nivel de u = + z para u < Para k=, se obtiene un cono elíptico Figura. Superficie de nivel de u = + z para u = Es interesante observar como con el Mathematica se pueden representar superficies de nivel de funciones más complejas como u = cos + + z para 1 u 1 u = u =. = cos + + z. = cos + + z 1. 1. -1 1 1 z -1 Figura 6. Superficies de nivel de u = cos + + z 4
. APLICACIONES ECONÓMICAS.1. Curvas de indiferencia La teoría de la demanda del consumidor moderna (fines del siglo XIX) se basa en la idea de que puede haber combinaciones alternativas de mercancías a las cuales el consumidor se mostrará indiferente. La curva de indiferencia se puede definir como el lugar geométrico de tales combinaciones de mercancías que proporcionan al consumidor el mismo grado de satisfacción. Un mapa de indiferencia es un conjunto de curvas de indiferencia que ofrecen al consumidor diferentes niveles de satisfacción..1.1. Preferencias regulares Se supone que f ( ; ) U = es continua, así como sus primeras segundas derivadas parciales, además las utilidades marginales son estrictamente positivas la función de utilidad es estrictamente cuasi-cóncava 1. Supuestos fundamentales a) Falta de saciedad Se supone que el consumidor valora las unidades adicionales de las mercancías. Es decir, que a maor cantidad de uno cualquiera o de ambos productos llevará al consumidor a una curva de indiferencia más alta hasta que llegue a la saciedad. Matemáticamente este supuesto se asocia a utilidades marginales estrictamente positivas. b) La curva de indiferencia tiene pendiente negativa Dada la función de utilidad del consumidor U = f ( ; ), K f ( ; ) = si K> representa una curva de indiferencia. Aplicando diferencial en ambos miembros de la última epresión se obtiene f d + f d = d f TMS ( Y / X ) = = < pues ambas utilidades marginales son positivas por el d f supuesto de falta de saciedad. Por lo tanto las curvas de indiferencia son decrecientes. La TMS describe la pendiente de la curva de indiferencia, es decir, la relación en la que el consumidor está dispuesto a sacrificar una pequeña cantidad del bien X a cambio de un pequeño aumento del consumo del bien. 1 f f f f f f f > ( ; ) Df
c) Transitividad Si el consumidor se muestra indiferente entre las compras A B lo mismo que entre B C, debe serlo también entre A C. Este supuesto es fundamental para el análisis de indiferencia, porque si no eistiera, las curvas de indiferencia se podrían interceptar un desplazamiento de una a otra curva no constituiría una mejora. d) Las curvas de indiferencia son estrictamente conveas respecto al origen El supuesto de que la función de utilidad f ( ; ) U = sea cuasi-cóncava restringe la forma de las curvas de indiferencia a estrictamente conveas. En efecto, d ( f f + f f f f f ) ' f = = f f d > debido a que f f f f f f f > (cuasi-concavidad de la función de utilidad) además f > (falta de saciedad). Las curvas de indiferencia son conveas si el consumidor compra un poco de cada mercancía, a diferencia de las que son lineales o cóncavas donde en general indican que alguna de las dos mercancías no se desea adquirir. e) Tasa marginal de sustitución decreciente De acuerdo con este supuesto, mientras más unidades de una mercancía tenga el consumidor menos será el valor que asigne a las unidades adicionales de esa mercancía respecto de otras. Es decir que el consumidor estará dispuesto a ceder cada vez menor número de Y a cambio de unidades adicionales de X. Esto se justifica matemáticamente a partir de la conveidad de la curva de indiferencia a que T.M.S ( Y / X ) ' ( ) f ( f f + f f f f f ) d = = <. d f f Por lo tanto la TMS (Y/X) decrece la curva de indiferencia tiende a ser cada vez más plana..1.. Algunos ejemplos de optimización de la función utilidad sujeta a restricción presupuestaria del consumidor a) Preferencias regulares Se considera la función de utilidad U = para > e > 6
U = U = 7. U = = / = 7. / = / ( 1;) ( ;1) ( 1;7.) ( 7.;1 ) ( ;) ( 1;) U ( 1 ; ) < U ( 1; 7. ) < U ( ; ) pues < 7.< Cada punto de una curva de nivel representa una compra. Las compras que están en la misma curva (por ej. U = ), son indiferentes para el consumidor (igual nivel de satisfacción). Se observa que las curvas de indiferencias (Figura 7) cumplen con los supuestos de preferencias regulares. A su vez se puede obtener la canasta de compra de máima utilidad del consumidor, si se conocen los precios de ambos productos la renta del consumidor (que gasta en su totalidad). Por ejemplo, si se desea maimizar la función U =, siendo los precios unitarios de los bienes p = 4, p = 6 la renta R = 6 U = Maimizar 4 + 6 = 6 Ecuación presupuestaria 1 1 8 6 4 U= U= U=7. U= 4+6=6 Z= (7,; ) 1 1 Figura 7. Elección óptima en preferencias regulares La posición óptima de consumo es aquella en la cual la curva de indiferencia es tangente a la recta de restricción presupuestaria. Para obtener dicho punto se iguala la pendiente de la recta balance 4+6=6 con la pendiente de la curva de indiferencia K =, obteniéndose el óptimo Z= (7,; ) para K = 7,. b) Sustitutos perfectos Eisten tres posibilidades para obtener el óptimo, dependiendo de la relación entre los precios. Si p < p la cesta óptima es aquella en la que el consumidor 7
gasta todo su dinero en el bien X: El óptimo es el punto Z = ( R / p ; ), siendo R la renta del consumidor (Figura 8). Si p > p la cesta óptima es aquella en la que el consumidor gasta todo su dinero en el bien Y. El óptimo es el punto ( ) =. Si p = p la elección óptima es cualquier cantidad de los bienes Z ; R / p X e Y que satisfagan la restricción presupuestaria. Por ejemplo, se desea maimizar la función de utilidad U = + siendo los precios de ambos bienes p =, p =, la renta del consumidor R = 6 u.m. Para ello se representan las curvas de indiferencia la recta presupuestaria + = 6. Como p < p el óptimo se encuentra en el punto ( R / p ;) = ( ;) Z =. 7 6 4 1 Recta presupuestaria Óptimo 1 Z 4 Figura 8. La elección óptima para bienes sustitutos perfectos c) Complementarios perfectos La elección óptima para bienes complementarios perfectos se encuentra en la diagonal, es decir donde =. Recta presupuestaria Z Óptimo Figura 9. Elección óptima para bienes complementarios perfectos 8
d) Preferencias cóncavas En este caso el consumidor tiene dinero para comprar dos bienes X e Y no le interesa consumirlos juntos. Por lo tanto la renta del consumidor se destinará a la compra de uno solo de los bienes (en este caso X). La elección óptima es el punto Z, no el punto de tangencia entre la curva de indiferencia la recta de restricción presupuestaria. Recta presupuestaria Óptimo Z Figura 1. Elección óptima para preferencias cóncavas.. La función utilidad f (,, z) U = las superficies de indiferencia Si se agrega un bien a la cesta de compra, la función de utilidad se convierte en una hipersuperficie de 4 dimensiones U f ( ; ; z) superficies de nivel de nivel están dadas por K f ( ; ; z) = para >, >, z > las =, para K.>. El mapa de indiferencia está representado por un conjunto de superficies de nivel en R. Cada superficie está formada por ternas (; ; z), que representan compras. Todas las ternas de una misma superficie de nivel son indiferentes al consumidor. Si la terna está en una superficie con maor nivel de utilidad la cestas es preferida por el consumidor. Para que las preferencias sean regulares se deben considerar superficies de indiferencia que sean estrictamente conveas, como por ejemplo las determinadas por la función de utilidad U = z. U = U = 64 U = 64 z = z = z = ( 1 ; 1; ) ( 1; 1, ) ( 1;64;1 ) ( ;;1 ) ( 1 ; ; 1) ( 1;, 4) U ( 1;;1 ) > U ( 1;64;1 ) > U ( 1;1;) pues < 64 < 9
. 7. 1 1 7. z.. 7. 1 Figura 11. Superficies de indiferencia para U= z Probamos que las superficies de nivel son estrictamente conveas a partir de la condición suficiente U = k 4 U = 4 U = U = U U 1 U > para e positivos = > U U 4 4 para e positivos..1. Optimización de la función utilidad U = f(; ; z) sujeta a restricción presupuestaria Se desea maimizar la función de utilidad U = z para p = p = pz = 1 si la renta disponible del consumidor es de 1 u.m., que debe emplear totalmente. U = z Maimizar + + z = 1 Ecuación presupuestaria 1. 7. 1 1. 1 7. 7. 7. z z... 7. 1 Figura 1. Intersección entre plano balance superficie = z. 7. 1 Figura 1. Intersección entre plano balance superficie = z 1
. 7. 1 1 7. z. Figura 14. Intersección entre plano balance superficie de nivel 64= z. 7. 1 Figura 1. Intersección entre plano balance las superficies de nivel La conveidad estricta de las superficies de nivel asegura que el óptimo se encuentre en el punto de tangencia entre la superficie el plano balance. La máima utilidad es U = 64 para la compra T = (4;4;4) (Figura 14). Para obtener el punto de tangencia se halla el vector gradiente a una superficie de nivel, que es normal al plano tangente. = z U = K U F( ; ; z) = z K = El vector gradiente a una superficie de nivel en el punto óptimo P = ( ) es: ( P ) = F i + F j + Fz k ( P ) = z i + z j + ( P ) = ( z; z; ) El plano tangente a una superficie en ( ) ternas ( ) ; ; z ; ; z R que satisfacen la ecuación. ( P ) [( ; ; z) ( ; ; z )] = ( z ; z ; ) [( ; ; z) ( ; z )] ; z + z + z z = k ; ; z P = está formado por todas las El plano (1) corresponde al plano balance ++z-1= () Por lo tanto igualando los términos semejantes de (1) () se obtiene: z = 1 z = 1 = 1 z = 1 = [1] 11
La solución del sistema anterior es el punto de tangencia = ( z ) ( 4; 4 4) P ; ; = ; que pertenece a la superficie de nivel U = 64. También se puede hallar el óptimo a partir del lagrangiano. 4. COMENTARIOS FINALES El empleo de utilitarios como el Mathematica en la enseñanza de contenidos del análisis matemático a nivel universitario, como por ejemplo, curvas superficies de nivel, brinda la posibilidad de visualizar soluciones óptimas a partir de la elaboración de gráficos. En especial para el caso de superficies de nivel, donde la representación geométrica es mu engorrosa, el uso de este tipo de tecnologías como recurso didáctico permite al alumno una maor comprensión, eploración construcción del conocimiento. Por lo tanto, resulta importante que el docente elabore secuencias de actividades donde estos utilitarios sean considerados como recursos didácticos necesarios /o facilitadores de la adquisición de conceptos matemáticos, aplicados a las necesidades específicas de los alumnos de cada universidad. Referencias bibliográficas ALLEN, R.G.D. (196). Mathematical Economics. Macmillan & Co LTD, Londres. APOSTOL, T. (1999). Calculus, Volumen II. Reverté, S. A., Barcelona. CALVO, M., ESCRIBANO, M., FERNÁNDEZ, G., GARCÍA, M., IBAR, R., ORDÁS, M. (). Problemas resueltos de Matemáticas aplicadas a la Economía a la Empresa. AC, Thomson, Madrid. CHIANG, A. (1999). Análisis Matemático para la Economía I. Cálculo diferencial. McGraw-Hill, Méico. HENDERSON, J., QUANDT, R. (198). Teoría microeconómica. Una aproimación matemática. Ariel, S. A., Barcelona. TAN, S. T. (1998). Matemáticas para la administración economía. Internacional Thomson Editores, Méico. WEBB, S.C. (1994). Economía de la empresa. Méico, Limusa. WOLFRAM, S. (1991). Mathematica. Addison-Wesle Publishing Compan, Inc., Illinois. 1