MÉTODO DE DETERMINANTES Es una notación matemática formada por una tabla cuadrada de números y está formada por una Matriz Cuadrada. El orden de una determinante cuadrada es el número de elementos de cada fila o columna, por ejemplo: Determinante de segundo orden Determinante de tercer orden Diagonal principal ( ) a1, b2 Diagonal secundaria ( ) b1, a2 Solución del determinante: diagonal principal diagonal secundaria Ejemplo 1 Ejemplo 2 Para la solución de un determinante de tercer orden se utiliza la regla de Sarrus, donde se repiten las 2 primeras filas de la matriz debajo de la tercera.
2 Ejemplo 3 Para los determinantes de cuarto orden se selecciona la fila o la columna que tenga más ceros (0), si el determinante no tiene ceros (0) se selecciona la fila o columna que tenga los números más grandes. Al tomar el primer cero (0) se elimina la fila a la que pertenece y se implementa el producto de (0) por la matriz de tercer orden con las filas y las columnas restantes, el cero multiplica la matriz de tercer orden, así: Luego se toma el (-1) y se elimina la fila a la que pertenece y se implementa el producto de (-1) por la matriz de tercer orden con las filas y las columnas restantes, se continúa procedimiento de la misma forma con el cero y con el 5. Ahora, los signos de cada producto van alternados comenzando con el signo más (+). Si la fila o la columna elegida es par (2 o 4) el resultado se multiplica por (-1). 0 0 SOLUCIÓN DE ECUACIONES SIMULTÁNEAS Para resolver un sistema de dos o tres ecuaciones se utiliza la regla de Cramer en los determinantes y se enuncia así:
3 En la solución de un sistema de ecuaciones el valor de cada incógnita es una fracción cuyo denominador es el determinante del sistema formado por los coeficientes de las incógnitas y cuyo numerador es el determinante que se obtiene sustituyendo en el determinante del sistema los coeficientes de dicha incógnita por los términos independientes de las ecuaciones. Ejemplo 4 Ecuaciones: Ejemplo 5 Ecuaciones:
4 Ejemplo 6 Ecuaciones: 0 Como la columna elegida es la cuarta, la respuesta se multiplica por (-1), entonces D = 2742
5 0 0
6 0 0
+ V2 - + V2-7 SOLUCIÓN DE CIRCUITOS POR DETERMINANTES Ejemplo 7 Asignamos las corrientes en las mallas A y B en el sentido de las manecillas del reloj. R1=1k R4=2k + V1 - + V4 - VX 10V Ia 4k Ib VY 12V - V3 + - V5 + R3=2k R5= Aplicamos ley de Kirchhoff de voltaje en cada malla: Malla A: Como el resultado de Ib dio un valor negativo, significa que realmente la dirección es contraria a la asignada.
+ V2 - (1) I=0.00182978 + V2 - VX(+) I=0.000893724 + V2 - + V2 - + V4 - + V4-8 La asignación de las corrientes Ia e Ib tienen direcciones contrarias cuando pasan por, entonces se sustrae del valor mayor el valor menor y la dirección de la corriente es la del mayor valor. Como el resultado de la corriente I2 es positiva, la dirección es la asignada a la corriente Ia. R1=1k R4=2k + V1 - + V4 - VX 10V Ia 4k Ib VY 12V - V3 + - V5 + R3=2k R5= R5=(1) I=0.00093629 Ejemplo 8 Asignamos las corrientes en las mallas A, B y C en el sentido de las manecillas del reloj. R1= R5=1k + V1 - + V5 - VX 13V Ia Ib R4 Ic VY 9V - V3 + - V6 + R3=2k R6= 4k Aplicamos ley de Kirchhoff de voltaje en cada malla: Malla A:
9 Malla B: Malla C:
+ V2 - (1) I=0.000171446 + V2 - + V4 - R4(1) I=0.000285725 + V4 - VX(+) I=0.00242865 10 La corriente que circula por es la corriente Ia menos la corriente Ib y con la dirección de la corriente Ia. La corriente que circula por R4 es la corriente Ib la corriente Ic y con la dirección de la corriente Ib. R1= + V1 - R5=1k + V5 - R5=(1) I=0.00197149 VX 13V R4 VY 9V - V3 + - V6 + R3=2k R6= 4k Ejemplo 9 Asignamos las corrientes en las mallas A, B, C y D en el sentido de las manecillas del reloj.
11 R5 1k 4k R1 1k Ia R3 Ic R6 2k R4 12k VT 36V Ib R8 48k Id R10 9k R7 R9 1 Aplicamos ley de Kirchhoff de voltaje en cada malla: Malla A: Malla B: Malla C: Malla D:
12 0 0
13
R8(1) I=0.000500238 R10(1) I=0.000999749 R3(1) I=0.000749982 R1(1) I=0.00112578 14 1k R5 4k R5(1) I=0.000375007 R1 1k R3 R6 2k R4=(1) I=0.00037537 R4=12k VT 36V R8 48k R10 9k R7 R9 I=0.00150126 R7(2) 1 EJEMPLOS PROPUESTOS 1) Halle Ia, Ib, Ic, V1, V2, V3, V4, V8? Ia = 2,53mA; Ib = 2,32mA; Ic = 1,46mA, V1 = 2,53v; V2 = 4,28v; V3 = 0,63v; V4 = 1,72v; V8 = 11,68v VT 25V Ia R1 1k R3 4k Ib R6 6k R4 2k Ic R7 7k R8 8k R5 R1 2) Halle Ia, Ib, Ic, V2, V3, V4? 1k Ia = 2,25mA; Ib = 0,675mA; Ic = 0,728mA; V2 = 3,15v; V3 = 4,56v; V4 = 0,212v VT 10V Ia 2k Ib R4 4k R5 R3 Ic R6 6k
15 3) Halle Ia, Ib, Ic, Id, I2, I4, I7, V2, V3, V4, V7, V8? Ia = 2,46mA; Ib = 0,95mA; Ic = 0,16mA; Id = 0,94mA; I2 = 1,51mA; I4 = 0,79mA; I7 = 1,1mA; V2 = 7,55v; V3 = 1,9v; V4 = 4,74v; V7 = 3,3v; V8 = 0,8v R1 R3 2k R6 4k VX 15V R4 R7 Ia Ib Ic Id 6k VY 8V R5 1k R8 R9