DEARAMENO DE CIENCIA Y ECNOLOGÍA UNIVERSIDAD NACIONAL DE QUILMES Roque Sáenz eña 8 (B876BXD) Bernal Bueno Aire Argentina EORÍA DE LAS ELECOMUNICACIONES MODULACIÓN DIGIAL (SEGUNDA ARE) Durante el dearrollo de la primera parte del tema Modulación Digital e han vito ditinto equema de modulación y u repectiva repreentacione en epacio vectoriale. Sin emargo, reta hacer el análii má importante: cuále de lo itema preentan una mejor performance en cuanto a proailidad de error e refiere y cuále on lo epectro de frecuencia de dicho itema. Ete análii no permitirá encontrar la olución de compromio, a la hora del dearrollo, entre ancho de anda y proailidad de error. En general, al halar de proailidad de error, deemo decir proailidad de error de ímolo, E. Eto implica que, dado un vector de eñal que e ha tranmitido, y fue afectado por un vector de ruido n, deemo hallar la proailidad de que el vector reultante o vector reciido caiga fuera de la región. ara itema inario la proailidad de error de ímolo e igual a la proailidad de error de it, ya que cada ímolo e repreentado por un it. ara itema donde M > la proailidad de error de it y de ímolo on diferente. Sin emargo, mucha vece conviene tratar el tema dede el punto de vita de la proailidad de error de it B, aún para M >. roailidad de error de it en BSK ara ete cao de modulación inaria la proailidad de error de it e entonce igual a la proailidad de error de ímolo. Supongamo que la do eñale on igualmente proale. Supongamo ademá que la eñale tranmitida on i (t) con i y, y la eñale reciida on r(t) i (t) + n(t). La eñale antipodale i (t) e pueden repreentar, como e ha dicho ya anteriormente, en un epacio de eñal de una dimenión: Eψ Eψ () iendo t. La etapa de deciión del detector elegirá la eñal i (t) que produzca el mayor valor z() a la alida del correlador. ara el cao de eñale antipodale de igual energía el detector decidirá por una eñal u otra egún la eñal a la alida del correlador ea mayor o menor que el valor umral γ. Similarmente al cao de eñale antipodale en anda ae, un error e puede manifetar de do manera ditinta. Un error puede ocurrir i (t) fue tranmitido y el detector adopta la hipótei H (e decir, (t) fue reciido). Y un error puede ocurrir i (t) fue tranmitido y el detector decide que fue (t). Similarmente que para el cao de detección de eñale inaria en anda ae tenemo: B ( H ) ( ) + ( H ) ( ) () Y i la proailidade a priori on iguale, e decir, ( ) ( ) ½, podemo ecriir: Modulación digital II
B ( H ) + ( H ) (3) Y, deido a la imetría de la funcione de denidad de proailidad tenemo: B ( H ) ( H ) (4) or lo tanto, y como ya e ha vito ante, la proailidad de error de it e numéricamente igual al área deajo de la curva correpondiente al lado incorrecto del umral de deciión γ. Repitiendo lo dearrollo matemático vito oportunamente tenemo: γ B p( z ) dz (5) B u a a exp du Q (6) σ π σ u u ( a a ) / donde a y a on lo valore otenido a la alida del correlador (correpondiente a la eñal olamente, in ruido). Como e aido, σ e la deviación etándar del ruido a la alida del correlador. Y como tamién e aido, Q(x) e la función de error. Ahora ien, para el cao de BSK, y en virtud de la ecuacione (), a y a repreentan ademá la componente de y ore la función generadora ψ (t). ero atención, eto e para el cao en que lo correladore que e uan en la detección, previamente multiplican la eñal r(t) por la eñal normalizada ψ (t). Recordemo que, un detector lo podemo contruir con M correladore que multiplican a r(t) por i (t) (i,,..., M), o ien con N correladore que multiplican a r(t) por ψ j (t) (j,,...,n). En la dicución que igue conideraremo ete último cao. Ademá, para ete cao, e decir correladore con funcione ae ortonormale, e puede demotrar (aunque no lo haremo en ete texto) que i una eñal de ruido n(t), con denidad epectral N / Watt/Hz, e preenta a la entrada de un correlador de ete tipo, la potencia de ruido σ a la alida de tal correlador e de N/ Watt. La reolución de eta demotración urge de plantear: n j n ψ j dt donde n j e la proyección de la eñal de ruido ore la función generadora ψ j. or lo tanto, por lo dicho en lo do último párrafo, la ecuación (6) e ecrie de la iguiente manera, luego de reemplazar a, a y σ por lo valore correpondiente: B E / N π u exp du (7) Q E N (8) Ete reultado tamién puede expreare en función de la diferencia de energía entre vectore o, dicho de otro modo, en función de la ditancia entre vectore. Recordemo que haíamo vito que: Modulación digital II
[ ( t) ( t ] dt Ed ) d (9) y que eta ecuación lleva al iguiente reultado en función de la energía de it (uponiendo energía iguale para (t) y (t)) y del coeficiente de correlación entre vectore de eñal: d E E E ρ E ( ρ ) d () iendo ρ el coeficiente de correlación entre ama eñale BSK. Como la proailidad de error de it e puede ecriir como reemplazando () en () queda: Ed B Q () N B Q E ( ρ) N () Indudalemente, para el cao preente, BSK, como la eñale on antipodale, reulta que on anticorrelada. Entonce ρ - y la () e convierte en la ecuación (8). odemo concluir aquí que la proailidad de error de it para eñale paa anda antipodale e igual que para eñale antipodale de andaae. El parámetro E /N en la ecuación (8) puede er expreado como la relación de la potencia media de eñal a la potencia media de ruido, S/N (o SNR en inglé). Introduciendo el ancho de anda B de la eñal, podemo ecriir la iguiente identidade que muetran la relación entre E /N y SNR para eñale inaria: E N S N S N S RN SB RN B S B N R (3) donde S potencia media de la eñal modulada tiempo de duración del it R / taa de it N N B En la Figura de la página iguiente e muetra la curva de proailidad de error, en forma de cacada, que adoptan en general la mayoría de lo itema de comunicacione digitale. La curva decrie la proailidad de error de un itema en función de la relación E /N diponile. ara E /N x, reulta E. E /N e una medida de la calidad de un itema de comunicacione digitale. ara una dada proailidad de error, el itema e má eficiente cuanto menor e la relación E /N. (En la Figura, W repreenta el ancho de anda, en lugar de B) Ejemplo. Un itema BSK tiene una taa de it de Mit/. La eñale tranmitida, A co t y A co t, on detectada coherentemente con un filtro adaptado. El ω ω Modulación digital II 3
valor de A e de mv. La denidad epectral de potencia de ruido (anda lateral) e N - W/Hz. La potencia de eñal y la energía de it etán normalizada a una carga de Ω. Solución: A E V 6 R E A 5 E J y 3, 6 N E Q Q( 3, 6) N B or tala reulta: B 8 4 Figura. Apecto general de la curva E veru E /N. ara el dearrollo de la olución anterior hay que tener en cuenta que: E co ω t A co ω t donde A e el valor pico de la eñal. eniendo en cuenta que el valor pico e valor rm, e puede ecriir: vece el 4 Modulación digital II
Arm co ωt ( t) Arm coωt donde A rm repreenta la potencia media (normalizada a Ω). Entonce tenemo, co ωt y finalmente, reemplazando watt por E joule dividido egundo queda: ( t) E co ωt Epectro de BSK Una eñal BSK puede er penada como una ecuencia de it (t), con do nivele de tenión ±V, que modula a una portadora de frecuencia ω. De eta manera, la eñal BSK e puede ecriir matemáticamente como: ( t) co ω t (4) De manera que, cuando (t) vale, por ejemplo V, entonce e tiene una eñal modulada de frecuencia ω y fae por ejemplo, y cuando (t) vale V entonce e otiene la eñal modulada con la mima frecuencia y fae opueta. ara analizar qué tipo de epectro tiene la eñal BSK, pretemo atención al hecho de que la eñal (t) ecrita en (4) tiene una forma imilar al de un equema de modulación AM. E decir, una eñal en anda ae, en ete cao (t), multiplicando a una eñal portadora. Como e vio oportunamente, el efecto de multiplicar una eñal en anda ae por una eñal inuoidal (conocido mucha vece como efecto de atido entre eñale), e el de una tralación en frecuencia del epectro original en anda ae hacia la frecuencia de la eñal portadora. Dicho de otro modo, i comparamo BSK con AM analógico entonce (t) ería la eñal moduladora y co ω t ería la eñal portadora o eñal modulada. De manera que, para hacer el análii de cuál e el epectro de BSK deeremo ver cuál e el epectro de la eñal (t). Como (t) e una eñal NRZ reulta entonce que u denidad epectral de potencia queda repreentada, como tamién e vio oportunamente, por una función inc. Entonce, el epectro de la eñal NRZ e: inπf G( f ) (5) πf Al ecriir la (5) e ha coniderado que la amplitud de la eñal NRZ e ± y e el tiempo de it. Cuando eta eñal NRZ, con un epectro como el decripto en (5), multiplica a la eñal co ω t, e otiene finalmente el epectro BSK ucado: G BSK ( f f ) ( f f ) π ( f + f ) ( ) f + f inπ in ( f ) + (6) π π Modulación digital II 5
El epectro original y el modulado e pueden ver en la Figura. Se ve entonce que el ancho de anda del lóulo principal de la eñal en anda ae e extiende hata f /. El epectro principal de la eñal modulada e extiende dede f f hata f + f. Figura. (a) Denidad epectral de potencia de (t). () Denidad epectral de potencia de BSK. Nótee que, en principio, el epectro G (f) e extiende en forma infinita, por lo que el epectro G BSK (f) tamién e extiende en forma infinita. De manera que i e quieren multiplexar eñale uando diferente portadora hará un olapamiento entre epectro. ara evitar ete fenómeno, lo que e hace primeramente e filtrar el epectro de la eñal NRZ de manera tal de conervar el lóulo principal del mimo que e el que concentra la mayor cantidad de potencia y luego í modular la eñal. or lo tanto, decimo que el ancho de anda de una eñal BSK e B BSK f. Generación de la eñal QSK. Epectro Vamo a ver ahora cómo e la denidad epectral de potencia de una eñal modulada en formato QSK. ara formar la eñal QSK lo it e toman de a do, e decir k y M 4. rimeramente vamo a etudiar de qué manera traaja un tranmior de ete tipo. Y para ello ademá, vamo a recordar de qué manera traaja un flip-flop tipo D. Flip-flop tipo D. Un flip flop de ete tipo conta de un terminal de entrada (D) por donde ingrean lo dato o ecuencia de it d(t), un terminal de clock, y do terminale de alida, Q y Q. Báicamente lo que hace ete flip-flop e producir un retardo (Delay, por eo e tipo D) de un ciclo de reloj en u alida, de la eñal de entrada D. Q y Q on eñale complementaria. La frecuencia de lo dato y del reloj on iguale y el itema e activado por flanco del reloj. Eto e puede ver en la Figura 3, donde e ha upueto que el flip-flop e activa por el flanco de ajada de la eñal de clock. En dicha figura e ve cómo la entrada d(t) tiene un retardo de un ciclo de reloj a la alida Q. 6 Modulación digital II
Figura 3. Símolo repreentativo del Flip-Flop D y diagrama de tiempo caracterítico. Ante de continuar, recordemo tamién cómo funciona un flip-flop oggle. Etá contruido a partir de un flip-flop JK al que e le han unido ama entrada J y K y e le ha forzado el nivel lógico. El flip-flop oggle tamién tiene do alida, Q y Q negado. Al etar J y K forzado a lógico, el efecto a la alida Q e la diviión por do de la frecuencia de reloj que activa al flip-flop. E decir, el etado de Q camia en cada tranición de reloj. eniendo preente lo dicho anteriormente acerca de eto do tipo de flip-flop, veamo cómo e, áicamente, un tranmior QSK. Luego veremo por qué etá dieñado de tal manera. (En rigor de verdad, el circuito que analizaremo a continuación no correponde exactamente a un itema QSK y ya veremo por qué). Oervemo la Figura 4 de la página iguiente. Lo dato o it (t) ingrean al circuito con una frecuencia f y e dividen en do rama, que podemo llamar rama impar y rama par. Cada rama alimenta la entrada de un flip-flop tipo D activado por flanco. (t) lo conideramo ±V. Simultáneamente, lo flip-flop tipo D tienen alimentado el clock con la alida Q y Q de un flip-flop oggle, que a u vez etá accionado con una frecuencia de clock f. E decir, cada flip-flop D etá activado con un clock de frecuencia f /, y, lo que e importante, cada clock e complementario del otro (pue alen de Q y Q del oggle). Ete equema de funcionamiento hace que la rama llamada par, capture preciamente lo it pare de (t) y la rama llamada impar capture lo impare. La alida de dato de lo flip-flop D la indicamo por p (t) y i (t) (lo uíndice hacen referencia a par e impar). Ademá, p (t) y i (t) tienen un tiempo de it y ama rama tienen un offet de egundo una repecto de otra. El diagrama de tiempo para ete tranmior e ve en la Figura 5. En virtud del offet de egundo entre la rama par y la rama impar, ete equema de modulación e llama en realidad OQSK (Offet Quadriphae hae Shift Keying). La única diferencia con QSK e el mencionado offet que ya veremo por qué e lo impone en ete circuito. Modulación digital II 7
Figura 4. ranmior OQSK. La rama uperior captura lo it pare y la inferior lo impare. La alida de cada flip-flop D multiplica (e decir, modula) a una portadora, una inuoidal y otra coenoidal y luego e uman ama multiplicacione, oteniéndoe la eñal modulada final a tranmitir. En término matemático eto e puede ecriir de la iguiente manera: v inω t + co t (7) m i p ω Se puede verificar que la potencia total normalizada e. La frecuencia f ω /π e un múltiplo entero del tiempo de ímolo. La Figura 5 muetra el diagrama de tiempo completo para ete itema. Figura 5. Diagrama de tiempo para el tranmior OQSK de la Figura 4. odríamo decir entonce que, cada rama genera una eñal modulada BSK con tiempo de it. Una rama modula a una portadora inuoidal y la otra a una portadora coenoidal. Ya que haíamo vito anteriormente que una eñal BSK, con tiempo de it, tiene un epectro de ancho de anda f, o lo que e lo mimo /, ahora en QSK o OQSK, dado que 8 Modulación digital II
cada rama tiene un tiempo de it de, el epectro modulado tiene una ancho de anda /, o dicho de manera equivalente un epectro de ancho de anda f. Concretamente: el ancho de anda del epectro de QSK e reduce a la mitad frente al ancho de anda del epectro de BSK. E importante aclarar que el offet que e introduce en el itema OQSK no implica una diferencia en el epectro repecto de QSK. La razón de ete dearrollo con offet e evitar que e produzcan alto de fae de 8º como ocurre en el item QSK común. ara darno cuenta de ello deemo oervar el diagrama faorial de la Figura 6. rimero tengamo en cuenta que al tratare de un itema cuaternario, M vale 4 y por lo tanto k vale. E decir, lo it de la ecuencia original de dato e van tomando de a do. La cuatro cominacione poile on,, y. A cada par de it le correponde un vector de eñal, cada uno de ello uicado en uno de lo cuadrante del epacio de eñal idimenional. El detalle a tener en cuenta aquí e que, entre do cuadrante adyacente, o ea, do vectore adyacente, hay una diferencia en un it olamente. Eto hace que durante un tiempo de it el máximo camio de fae que e puede producir e de 9º ya que no e poile que camien lo do it imultáneamente. Ete diagrama faorial tamién vale para QSK pero, al no exitir el offet entre la rama par y la impar, e poile que e dé un camio imultáneo en amo it, produciéndoe un alto de fae de 8º. La razón por la que e quieren evitar grande camio de fae e que durante la recepción la eñal e filtrada, y e puede demotrar que durante el filtrado lo camio ruco de fae producen alteracione en la amplitud de la eñal. Eta alteracione erán menore en OQSK que en QSK. La razón por la que no hay camio ruco de fae, de 8º, en OQSK, e deido al offet entre una rama y otra. En el tiempo de it como e dijo ante, el máximo camio de fae e de 9º. En camio en QSK la rama par e impar no tienen offet (podríamo decir que alen en paralelo) y e puede dar el cao de un camio imultáneo en ama rama, con lo cual el camio de fae intantáneo ería de 8º. Figura 6. Diagrama faorial para el tranmior de la Figura 4. La potenciale variacione de amplitud pueden cauar prolema en lo itema QSK que utilizan repetidore como por ejemplo en la comunicacione atelitale. Lo amplificadore de eto repetidore operan en forma no lineal, de manera intencional para otener un eneficio de eficiencia de rendimiento. Sin emargo, la conjunción de eta no linealidade con la poile variacione de amplitud, producen componente epectrale fuera del lóulo principal del epectro, con lo cual e puede etar interfiriendo canale adyacente. La proailidad de error de it en QSK e igual a BSK. Ete reultado puede intuire a partir del hecho de que, en QSK, la ditancia entre do vectore adyacente (e decir, aquello que difieren en un it olamente) e igual a la ditancia entre lo vectore antipodale de BSK. Eto urge dek hecho de que el tranmior QSK etá formado por do tranmiore BSK cuya eñale on umada a la alida para poder er tranmitida. or lo tanto, en QSK e reduce el ancho de anda de tranmiión a la mitad, repecto a BSK, pero e mantiene la proailidad de error de it B. Modulación digital II 9
SK M-ario El equema de modulación de fae puede extendere a itema M-ario, tomando k it a la vez de la ecuencia it a tranmitir. En ete cao tendremo k M eñale ditinta con M fae ditinta. Cada una de ella e puede repreentar como: E vi co( ω t + φi) (i,,...m - ) (8) y cada ímolo tiene la fae π φ i ( i + ) (9) M Otra vez, la eñale generadora on: ψ co( ω t) ψ in( ω t) lo eje on: Cada vector de eñal tiene longitud E. or lo tanto, la proyeccione ore co φ () i S S in φ () i Multiplicando () y () correpondientemente con la eñale generadora, tenemo: ( co φi ) co ω t ( inφi ) inω t v + () i La denidad epectral de potencia ante de modular viene dada por: inπf G( f ) (3) πf Al modular, el epectro anterior e tralada hacia la frecuencia f, quedando entonce un ancho de anda: f B f (4) k donde k e el conjunto de it que e toman del tream de it. or lo tanto, vemo que al aumentar k, o ea, el número de it que e toma de la ecuencia de dato a modular, diminuye el ancho de anda. or otro lado, la proailidad de error de it diminuye conforme diminuye la ditancia entre vectore. al ditancia e exprea por: ke d 4E in ( π / M) 4 in ( π / ) (5) k Modulación digital II
La expreión (5) urge de conideracione geométrica imple y repreenta la ditancia entre do vectore adyacente. Una vez má, la aignación de it dentro del epacio vectorial, etá hecha de tal manera que do vectore adyacente cualequiera difieren olamente en un it. or eo, para el cálculo de la proailidad de error de it B importa olamente la ditancia entre vectore adyacente y no entre lo demá vectore, pue un error de it implica paar del vector original tranmitido a un vector adyacente (y no a cualquier otro del epacio de eñal). Eta aignación particular de lo it a lo vectore de eñal e llama codificación Gray y facilita el cálculo de B a partir de la frontera de deciión. Un tranmior MSK genérico e muetra en la Figura 7. E importante poner de manifieto aquí que lo equema de detección de eñale paaanda que venimo viendo on del tipo coherente. Lo equema de detección e dividen en do tipo: coherente y no coherente. En el primer cao, para realizar la detección de la eñal reciida e neceario conocer la fae de dicha eñal. En el egundo cao, dicha información no e necearia. Eto último caua una degradación en la performance de proailidad de error de it del itema a camio de una mayor implicidad del circuito de detección. Figura 7. ranmior SK M-ario. Detección coherente de FSK. roailidad de error de it. Recordemo que en FSK la información etá inmera en la frecuencia de la portadora. amién recordemo que el conjunto de eñale FSK puede er ecrito matemáticamente como: E i co( ω it + φ) definida entre y (6) E e la energía de la eñal o energía de ímolo y e el tiempo de duración de cada ímolo. La diferencia entre frecuencia (ω i+ -ω i ) e un múltiplo entero de π/. El término de fae, φ, e una contante aritraria y generalmente e la toma como cero. El conjunto de funcione ortonormale viene definido por ψ j coω jt con j dede hata N (7) Recordando ademá que la proyección de un vector de eñal ore uno de lo eje ortogonale viene dada por a ij ψ i j dt Modulación digital II
entonce, de la ecuacione anteriore podemo ecriir (teniendo en cuenta que, para ete cao, la proyección ore uno de lo eje coordenado e en realidad la longitud del vector de eñal): a ij E ω t) dt (8) co( it) co( ω j y eto da como reultado E para i j a ij (9) para otro cao Dicho de otro modo, cada i-éimo prototipo de eñal etá uicado ore la i-éimo eje coordenado y tiene una longitud ete tipo, la ditancia entre do vectore de eñal e E dede el origen del epacio de eñal. En un equema de Al igual que en el cao de SK, el número de regione de deciión en FSK e M. Si imagináramo un epacio de tre dimenione, e decir con M 3 (que en la práctica no e poile ya que 3 no e potencia de ; lo conideramo ólo a lo efecto de comprender la idea), entonce haría 3 regione de deciión, limitada en ete cao no por recta ino por plano. ara epacio de mayor dimenión ya no ería poile imaginar la frontera de deciión. La elección de la hipótei má proale e hace y calculando lo a ij y determinando a qué región del epacio vectorial pertenece. Luego, e elige como eñal etimada aquella que pertenece a ea región. La proailid de error de it B para FSK viene dada por la expreión general (para el cao inario): E. B ( ρ) E N π u exp du (3) Dado que la eñale on ortogonale, lo ángulo entre lo vectore de eñal on 9º y el coeficiente de correlación ρ e igual a cero. or lo tanto la (3) e tranforma en: B u E exp du Q π E N N (3) Ete mimo reultado puede otenere oervando que la ditancia entre do vectore, como vimo ante, e fórmula (3): d E, por lo tanto d E d E. Reemplazando eto último en la B Q E d N otenemo la expreión final de (3). La expreione (3) y (3) on válida olamente para BFSK. Como era de eperar, deido a la mayor cercanía entre vectore de eñal, la proailidad de error de it e peor para ete cao que para BSK. Vemo ademá que en BFSK, B e igual que para el cao unipolar de anda ae. Modulación digital II
Generación de la eñal BFSK La generación de la eñal modulada BFSK puede repreentare matemáticamente como: v t) co[ ω t + d( t) Ωt] (3) BFSK ( o, ecrito de una manera má clara: v co[ ( ω + d( t Ω) t] t) ) BFSK ( En eta expreión, d(t) e una ecuencia de + ó, correpondiente a lo nivele lógico y. La eñal tranmitida tiene una amplitud ditinta: v BFSK y puede tener do frecuencia co( ω + Ω) t (33) H v BFSK co( ω Ω) t (34) L egún d(t) valga + ó (e tranmite una u otra de la eñale, no la do imultáneamente) De eta manera, hay do valore de frecuencia angular, (ω + Ω) y (ω + Ω), iendo Ω una contante de offet de la frecuencia nominal ω. or lo tanto, e ve de inmediato que la frecuencia má alta e ω ( ω + Ω) y la frecuencia má aja e ω ( ω Ω. El equema de H L ) modulación e puede ver en la Figura 8. Se uan do moduladore, uno con una portadora ωh y otro con portadora ω L. Lo valore de tenión p H y p L etán relacionado con d(t) de la iguiente manera: d(t) p H (t) p L (t) +V +V V -V V +V De eta manera vemo que nunca imultáneamente p H (t) y p L (t) tienen el mimo valor. Figura 8. Repreentación de una manera de generación de eñal BFSK. Modulación digital II 3
Epectro de BFSK En término de p H y p L la eñal BFSK e puede ecriir como: v BFSK p ( ω t p co ω + co ) (35) H H Cada uno de lo término de la ecuación anterior luce como la expreión co ω t que haíamo vito en BSK y para la que haíamo calculado el epectro. Sin emargo hay una diferencia, y e que para el cao de BSK (t) e ipolar, e decir vale + ó, mientra que para el preente cao p H y p L on unipolare, e decir valen + ó. Sin emargo podemo recriir p H y p L como la uma de una contante má una eñal ipolar, eto e: p H L L ' + ph (36) ' pl( t) + pl( t) (37) En la ecuacione anteriore p H y p L on eñale ipolare que alternan entre + y y ademá on complementaria, e decir nunca tienen imultáneamente el mimo valor. Si reemplazamo (36) y (37) en (35) podemo ecriir entonce: v BFSK ' ' + H co ω Ht + + L co ω Lt (38) v BFSK ' ' co( ω Ht) + co( ω Lt) + ph co( ω Ht) + pl co( ω Lt) (38.) Lo do primero término de la ecuación (38.) producen una denidad epectral que conite en do impulo delta ituado en la frecuencia f H y f L. Lo do último término de la ecuación generan do epectro BSK (un epectro cada uno de lo término). Uno de eto epectro etá centrado en f H y el otro en f L. Eto e puede ver en la Figura 9. Allí, e ha elegido que cada epectro generado por lo do último término de la ecuación anterior etén eparado uno de otro por una ditancia f H f L f. ara eta eparación vemo que el olapamiento entre ama parte del epectro no e coniderale y erá poile ditinguir ama eñale in exceiva dificultad. El ancho de anda e, para ete cao, BBFSK 4f (39) que repreenta el dole del epectro producido por una modulación BSK. Recordemo que para que la eñale ean ortogonale la frecuencia de cada una de ella dee er elegida convenientemente. Como lo vectore generadore etán en función del tiempo de it, entonce la frecuencia f H y f L on múltiplo entero de f (ancho de anda de la eñal moduladora). 4 Modulación digital II
Figura 9. Denidad epectral de potencia para lo término individuale de la ecuación (38.). FSK M-ario Un itema FSK de M eñale puede er generado como e muetra en la Figura. Un grupo de k it llegan, a intervalo, a la entrada de un converor D/A. Cada it individual llega al converor a intervalo de tiempo. La alida de ete converor alimenta un modulador que genera portadora de frecuencia proporcionale a la tenión de alida. ara minimizar la proailidad de error la frecuencia deen er elegida de tal manera que la M eñale ean mutuamente ortogonale. Una manera común de hacer eto e elegir armónico pare de la frecuencia de ímolo f /. E decir, que la ditriución de frecuencia e f kf, f (k+)f, f (k+4)f, etc. De eta manera, la denidad epectral de potencia de cada eñal individual e olapa con lo otro epectro como e muetra en la Figura, que no e otra coa que una extenión del cao BFSK. Vemo de la figura que el ancho de anda e B Mf (4) aunque hay que tener en cuenta que a medida que aumenta k, i ien aumenta M a la vez diminuye f. Figura. Equema áico de un tranmior FSK M-ario. or lo tanto, teniendo en cuenta que f f /k y M k tenemo: Modulación digital II 5
k B f k (4) B k + f / k (4.) or ejemplo, i M 4, e decir k, tendríamo un ancho de anda B + f k B 8 f / 4f (4) e decir, e igual que para BFSK y el dole que BSK. Si M 8, k 3 y tenemo: 6 B FSK 3 + 8 f / 3 f 5, 3f 3 (43) Figura. Denidad epectral de potencia para FSK M-ario. Con lo cual aquí í el ancho de anda e má grande que para BFSK. Oviamente, a medida que e igue aumentando M el ancho de anda tamién igue aumentando. amién e ve que un itema MFSK tiene un ancho de anda atante mayor que MSK. or ejemplo, i huiéemo elegido M 8 para SK, el ancho de anda ería: f f B8 SK, 66f (44) k 3 Sin emargo, la proailidad de error de it de MFSK diminuye a medida que aumenta M y la performance e mucho mejor que en MSK. En cuanto a la ditancia geométrica de lo itema MFSK, teniendo en cuenta que cada vector tiene una longitud E, la ditancia entre do vectore e: ( E ) + ( E ) E d d E ke (45) Si calculamo d para k entonce no da d E ditancia e má pequeña, ya que para ete último cao la ditancia e. Comparado con BSK la E 4E. 6 Modulación digital II
Si calculamo d con la (45) para el cao M 4, e decir k, otenemo d E 4E que e igual que en BSK y QSK. Ya para valore má grande de k la ditancia en MFSK e hace mayor que en MSK, lo que da una pauta de una mejor performance en la taa de error. or ejemplo i k 3 entonce tenemo 8FSK, e decir, M 8 y la ditancia d calculada con (45) reulta: d 3 E 6E 8 FSK Comparando con la ditancia de 8SK, para la cual deemo aplicar la (5): d 8SK 4kE in π k ( ) d 3 ( ) 8SK 4 3 E in π 8SK E in π d d E 8SK ( 8) (. º ) in 5 finalmente, d 8. 46 SK E d 75 8 SK. E 8FSK. ara ete cao ya e ve entonce que la ditancia en 8SK e mucho menor que en Concluyendo entonce, al aumentar M la performance de proailidad de error de it de FSK e mejor que SK, como e dijo anteriormente. Al mimo tiempo, aumenta el ancho de anda en FSK y diminuye en SK. Quadrature Amplitude Shift Keying (QASK) En lo itema MSK, e tranmite, en cada intervalo de ímolo, una eñal que e ditingue de la demá por u fae. Sin emargo, e conervan la amplitude de la eñale. Gráficamente, lo extremo de lo vectore que repreentan a eta eñale etán uicado ore una circunferencia. Como ya hemo repetido varia vece, la poiilidad de ditinguir entre do eñale que etán inmera en ruido, depende de la ditancia entre lo vectore de eñal. or lo tanto, al aumentar M en un itema MSK e otiene una coniderale reducción del ancho de anda pero a cota de aumentar B como conecuencia de la diminución de la ditancia entre vectore. or lo tanto, parece razonale poder mejorar la inmunidad al ruido de eto itema i lo vectore no ólo varían en fae ino que tamién varían en amplitud, de manera de evitar que la eñale e vayan amontonando ore un círculo. Decriiremo entonce un itema denominado (en Inglé) Amplitude and hae Shift Keying (AK). Al igual que QSK ete itema involucra la modulación de portadora en cuadratura (o ea, coω t y enω t) y mucha vece e areviado como QASK o má aún como QASK. amién e llamado, cuando la contelación de eñale preenta imetría, QAM. ara ejemplificar QASK conideremo que queremo tranmitir ímolo formado por 4 it. or lo tanto tenemo 4 6 ímolo diferente, lo que implica entonce tener que generar 6 eñale diferente. Una poile repreentación geométrica de eta 6 eñale e muetra en la Figura. En dicha configuración cada eñal e encuentra equiditante de Modulación digital II 7
cualquier eñal adyacente, iendo la ditancia d a. La dipoición de la eñale e ha pueto en forma imétrica alrededor del origen del epacio de eñal por conveniencia. Figura. Repreentación geométrica de 6 eñale de un itema QASK. Aumamo que la 6 eñale on igualmente proale. En virtud de la imetría del equema, podemo calcular la energía media aociada a cada eñal a partir de la cuatro eñale del primer cuadrante. La energía media normalizada de una eñal e: or lo tanto, [( a + a ) + ( 9a + a ) + ( a + 9a ) + ( 9a + 9a )] a E (46) 4 a. E (47) d a. (48) E En el preente ejemplo, ya que cada ímolo etá repreentado por 4 it, la energía normalizada de ímolo e E 4E, iendo E la energía normalizada de it. or lo tanto, a. E. 4E (49) d. 4E (5) Se oerva que la ditancia e mayor para 6QASK (6QAM) que para 6SK, donde, de la ecuación (5) tenemo: π d 6E in. 5E 6 (5) 8 Modulación digital II
or lo tanto, e puede ver intuitivamente en función de la ditancia entre eñale, que 6QAM tiene menor taa de error que 6SK. Una manera conveniente de exprear la eñal QASK e: k aψ + k a v QASK ψ (5) en donde k y k on iguale a ± ó ±3. Como tenemo ψ inω t, mientra que a. E, podemo ecriir la (5) como y, dado que E / tenemo v ψ co ω t y E E k. co ω t + k. inω t (53) QASK v k. co ω t + k. inω t (54) QASK Un generador de eñal QASK (o QAM) para ímolo de 4 it e muetra en la Figura 3 de la página iguiente. Lo 4 it que forman el ímolo e almacenan en un regitro de 4 it hecho con flip-flop. Un nuevo ímolo e preenta a cada intervalo 4 y el contenido del regitro e actualiza con cada flanco activo del clock que tamién tiene período. Do it alimentan a un converor D/A y otro do it hacen lo mimo con otro converor D/A. La alida A e (t) de un converor modula la portadora coenoidal, mientra que la alida A o (t) del otro converor modula la portadora enoidal. or lo tanto, la eñal tranmitida e: v A co ω t + A in t (55) QASK e o ω Si comparamo (54) con (55) vemo que A e, A ±. ó ± 3 (56). que, amién, dado que lo 4 valore de A e y A o on igualmente proale podemo verificar e o A A (57) Aí, cada uno de lo término en cuadratura de (55) tranmite en promedio la mitad de la potencia media total. El equema de tranmiión vito en la figura e puede generalizar para dimenione mayore. Normalmente lo que e hace e tomar grupo pare de it (e decir, k par) y dividir el grupo en do loque de k/ it. Cada loque alimenta a un converor D/A. En el receptor cada eñal e detecta en forma independiente uando do filtro adaptado, cada uno con u correpondiente loque de deciión y finalmente un converor de paralelo a erie. La ditriución de la eñale a lo largo de cada eje coordenado e ±, ±3, ±5...±( k -). Modulación digital II 9
Figura 3. Generación de una eñal QASK (o QAM). Ancho de anda de QASK (QAM) La denidad epectral de potencia para la eñal QASK puede er calculada de manera imilar que para el cao de MSK, ya que la ecuación (55) e imilar a la ecuación (). La denidad epectral de potencia e: G QASK ( f f ) ( f f ) π ( f + f ) ( f + f ) inπ in ( f ) + (58) π π iendo k. El ancho de anda de la eñal QASK e B f / k (59) que e igual que para el cao de MSK. ara el cao recientemente analizado de QASK donde e ha tomado k 4 (6QASK ó 6QAM), tenemo B f. QASK( 6 ) / Ete tipo de epectro, como aí tamién el de MSK e llamado Dole Banda Lateral con ortadora Suprimida (en inglé, DSB-SC, Doule Sideand Suppreed Carrier), ya que el epectro e el dole al epectro original de anda ae y la portadora de frecuencia no etá preente luego de la modulación. La proailidad de error de it para QAM, aumiendo una contelación cuadrada, un canal de comunicación Gauiano y detección hecha con filtro adaptado e exprea como: B ( k ) log k Q 3log k k E N (6) Modulación digital II
donde, como iempre, k e el número de it que etoman imultáneamente para formar la eñal (en ete cao, tamién el número de punto ore cada eje). amién e ha aumido que la aignación de it a cada eñal fue hecha de acuerdo al código Gray (eto e, la eñale adyacente difieren ólo en un it). Nótee que i k e otiene la proailidad de error de it para QSK, ya que e un cao particular de QAM. E importante recalcar que lo dearrollo precedente e hicieron aumiendo que la detección de la eñal e coherente. Eto ignifica que al hacer la detección del ímolo e neceario conocer la información de la fae de la portadora. El otro método de detección e llama no coherente en cuyo cao no e ua la información de fae de la portadora. Ete último método de detección e má imple que el primero, in emargo, no e tan eficiente y la proailidad de error reulta er mayor. La complejidad en lo itema coherente aparece por el uo de lo lazo de enganche de fae (LL en inglé). Eto circuito toman una muetra de la eñal que llega al detector y engancha la fae del ocilador local con eta eñal. amién, hay que tener en cuenta que en lo itema coherente, i ien e conoce la información de fae de la portadora, no e puede lograr un incronimo perfecto, de manera que iempre hay una pequeña diferencia de fae en la incronización. or ejemplo, conideremo el cao de BSK. Supongamo que la eñale tranmitida on (t) y (t). El correlador en el detector podría etar hecho con una eñal generada localmente, (t) (t) Acoω t. En tal cao, la alida del correlador, uponiendo que no hay ruido, puede er A o -A. Supongamo ahora que el generador local no etá perfectamente en incronimo y que la eñal generada e Aco(ω t + φ). Se puede verificar entonce que en ete cao la alida del correlador erá ±Acoφ, e decir la eñal de alida e reduce en un factor coφ. Siendo aí, la energía de it E e reduce por ee mimo factor y e puede demotrar que la proailidad de error de it viene dad por: B Q E co N φ (6) Otro prolema que e preenta en la detección, y que hata aquí no fue coniderado, e la falta de exactitud en el incronimo de it. Idealmente, la detección comienza en t y termina en t. Sin emargo, podríamo decir por ejemplo, que en la práctica el intervalo de integración e extiende dede t τ hata t τ +. Ete corrimiento producido en el intante de comienzo de integración no afecta al ruido, ya que etadíticamente preenta la mima propiedade a lo largo del tiempo. En cuanto a la detección de lo it, i do it conecutivo tienen el mimo valor, tampoco e producen efecto advero con ete corrimiento. El prolema aparece cuando lo do it conecutivo on de ditinto valor lógico. Conideremo como ejemplo una eñal BSK, iendo Acoω t tranmitido en el intervalo [, ], y -Acoω t en el intervalo [, ]. Si hay un corrimiento τ en el incronimo de it, entonce pude demotrare que la proailidad de error de it viene dada por: B Q τ E N (6) Coniderando imultáneamente el error de fae y el error de incronimo, la proailidad de error de it para BSK queda: B Q τ co (63) ( φ ) E N Modulación digital II
donde, como e ve rápidamente, i tanto τ como φ valen cero, la expreión (63) e tranforma en la expreión haitual para la B en BSK. Curva de proailidad de error de it La gráfica de la Figura 4 muetran cómo varía la proailidad de error de it, en función de E /N para un itema de modulación ortogonal y para un itema multifae. Amo itema preentan comportamiento opueto. Lo itema ortogonale mejoran u B con el aumento de k, a cota de aumentar u ancho de anda. Lo itema multifae empeoran u B con el aumento de k pero a la vez e le reduce el ancho de anda. Figura 4. roailidad de error de it. (a) En itema ortogonale. () En itema multifae. Modulación digital II