IX Congeso de Ingenieía de Oganización Gión, 8 y 9 de septiembe de 2005 Modelo de Pogamación Matemática del Poblema de Equilibado de Líneas con Subgafos de Montae Altenativos * Liliana Capacho Betancout 1, Rafael Pasto Moeno 2 1 Dpto. de Investigación de Opeaciones, EISULA y CESIMO Univesidad de Los Andes, Méida, Venezuela. liliana.capacho@upc.edu 1,2 Instituto de Oganización y Contol de Sistemas Industiales, Univesidad Politécnica de Cataluña, Bacelona, España. 2 afael.pasto@upc.edu. Resumen El poblema clásico de equilibado de líneas de montae (ALBP) consiste, básicamente, en asigna un conunto de taeas a un conunto de estaciones de tabao, consideando un diagama de pecedencias pedeteminado. El poblema de equilibado de líneas con subgafos de montae altenativos (ASALBP), pesentado en Capacho y Pasto (2005), es un ALBP que considea subgafos de pecedencias altenativos los cuales epesentan vaiantes del poceso de montae. Además, se considea que los tiempos de poceso y/o las elaciones de pecedencia de las taeas dependen del subgafo de montae seleccionado. De esta manea, el ASALBP implica esolve simultáneamente dos poblemas: uno, selecciona el subgafo de montae, el cual detemina el oden y duación de las taeas; y dos, equiliba la línea, es dec, asigna las taeas a las estaciones de manea que se optimice cieto obetivo, como po eemplo, minimiza el númeo de estaciones dado un tiempo ciclo o minimiza el tiempo ciclo dado el númeo de estaciones. En este tabao se pesenta un modelo de pogamación matemática desaollado paa esolve el ASALBP. Palabas clave: Equilibado de líneas de montae. 1. Poblema de Equilibado de Líneas con Subgafos de Montae Altenativos El poblema clásico de equilibado de líneas de montae (ALBP) consiste en asigna un conunto de taeas a un conunto de estaciones de tabao, manteniendo las elaciones de pecedencia ente las taeas. Tadicionalmente, los ALBPs considean que el poceso de montae esta caacteizado po un diagama de pecedencias que detemina las elaciones ente las taeas equeidas paa ensambla un poducto. Sin embago, en algunos casos se pueden pesenta poblemas en los que se dispongan vaiantes del poceso de montae de un poducto, que son altenativas ente sí. El poblema de equilibado de líneas con subgafos de montae altenativos ASALBP, pesentado en Capacho y Pasto (2005), es un ALBP en el que se considean altenativas de poceso, en donde cada altenativa esta epesentada po un subgafo de pecedencias (denominado subgafo de montae). El poblema ASALBP también considea que los tiempos de poceso de las taeas no son fios, como se establece en la mayoía de los poblemas tatados en la liteatua, sino que dependen del oden en el que las taeas son pocesadas, es dec, dependen del subgafo de montae seleccionado. * Este tabao se deiva de la paticipación de sus autoes en un poyecto de investigación financiado po MCYT con efeencia DPI2004-03472, cofinanciado po FEDER.
Po ota pate, cuando se pesentan altenativas de montae, el pocedimiento que el diseñado del sistema suele utiliza, paa esolve el poblema, es selecciona a pioi una de las altenativas y después equiliba la línea de montae. Este pocedimiento, no tiene en cuenta las epecusiones que podía tene un subgafo de montae altenativo, en el equilibado de la línea: el sistema se puede sub-optimiza ya que una altenativa puede se descatada po tene, po eemplo, un tiempo de poceso total mayo, cuando en ealidad puede popociona la meo solución del poblema, es dec, eque, menos estaciones de tabao. Considéese el eemplo de la figua 1 que epesenta un poceso de montae que consta de 4 taeas, las cuales pueden pocesase de dos fomas altenativas. 8 3 6 10 Altenativa 1 A B C D Altenativa 2 8 6 5 10 A C B D Figua 1. Altenativas de montae. En la tabla 1 se muestan los esultados al equiliba de manea óptima los dos poblemas altenativos esultantes de la figua 1, con un tiempo ciclo de 15 unidades de tiempo. Altenativa de montae Tabla 1. Resultados del eemplo de la figua 1 Actividades po estación (tiempo) I II III Tiempo total de poceso Númeo de estaciones 1 A,B (11) C (6) D (10) 27 3 2 A,C (14) B,D (15) - 29 2 Si se considea el pocedimiento de selecciona a pioi una de las altenativas disponibles, posiblemente se había seleccionado la altenativa 1, po se la que tiene el meno tiempo total de poceso; sin embago, si se considea el poceso de selección del subgafo de montae unto al poceso de equilibado de la línea, la altenativa 2 popociona una meo solución, puesto que sólo equiee dos estaciones en luga de las tes que equiee la altenativa 1. De esta foma, paa esolve el ASALBP, se deben esolve simultáneamente dos subpoblemas: uno, selecciona el subgafo de montae, que detemina el oden de poceso de las taeas y dos, equiliba la línea, lo que implica asigna las taeas a las estaciones de manea que se optimice cieta medida de eficiencia. Cuando el obetivo es minimiza el númeo de estaciones de tabao, dado un tiempo ciclo, el poblema se denomina ASALBP-1; en caso contaio, si el obetivo es minimiza el tiempo ciclo dado el númeo de estaciones, el poblema se denomina ASALBP-2. Existen vaias fomulaciones matemáticas paa el poblema simple, en paticula paa SALBP-1, que han sevido de efeencia paa muchos otos modelos. De acuedo con Ghosh y Gagnon (1989), la pimea fomulación analítica de este poblema fue ealizada po Helgeson et al. en 1954 y publicada po pimea vez en foma matemática po Salveson en 1955. Otos modelos incluyen el popuesto po Bowman (1960), el pimeo en contene vaiables enteas, modelo que fue meoado po White (1961), y luego po Thangavelu y Shety (1971), el de estos últimos, a su vez, meoado po Patteson y Albancht (1975). El modelo que se pesenta a continuación considea los paámetos, vaiables y esticciones que
se contemplan en los modelos matemáticos clásicos de SALBP, los cuales han sido adaptados paa contempla subgafos de montae altenativos. 2. Modelo del Poblema de equilibado de líneas con Subgafos de Montae Altenativos Paa facilita el uso de la teminología, en la siguiente fomulación, a cada altenativa de poceso se le denomina uta de montae, siendo cada uta epesentada po un diagama de pecedencias. En el modelo, se considea que se tienen tantas utas de montae como posibles combinaciones de los subgafos de montae altenativos disponibles. Considéese nuevamente el eemplo de la figua 1 que consiste de 4 taeas. En este caso, se dispone de dos subgafos de pecedencias altenativos, S1 y S2 (ve figua 2a), que epesentan las dos vaiantes del poceso de montae. Las combinaciones posibles de dichos subgafos esultan en dos utas de montae altenativas ente sí, como se muesta en la figua 2b. 8 A S1 S2 3 6 B C 6 5 C B 10 D 8 3 6 10 Ruta 1 A B C D Ruta 2 8 6 5 10 A C B D Figua 2a. Subgafos de pecedencias altenativos Figua 2b. Rutas de montae altenativas Consideando utas de montae altenativas, el poblema ASALBP se puede defin de la siguiente manea: se tienen n taeas que deben se asignadas a un conunto de m estaciones, y se conocen utas de montae posibles que especifican el oden (pacial) en el que se deben ealiza las taeas. Se considea que los tiempos de poceso de las taeas no son fios sino dependientes de la uta de montae seleccionada, de manea que se puede obtene un tiempo total de poceso de las taeas difeente paa cada altenativa. 2.1. Notación 2.1.1. Índices i paa las taeas paa las estaciones paa las utas 2.1.2. Paámetos n númeo de taeas (i = 1,,n). m min, cota infeio del númeo de estaciones ( = 1,,m max ). m max cota supeio del númeo de estaciones ( = 1,,m max ). númeo de utas altenatives ( = 1,,). C max cota supeio del tiempo ciclo. t duación de la taea i si se pocesa a tavés de la uta (i = 1,,n; = 1,,); in algunos casos este valo es independiente de la uta (t i ).
PD conunto de pedecesoes inmediatos de la taea i, si se pocesa a tavés de la uta (i = 1,,n; = 1,,). E, L pimea y última estación a la que se puede asigna la taea i si ésta se pocesa a tavés de la uta (i = 1,,n; = 1,,). T conunto de taeas potencialmente asignables a la estación, { i [ E, L ]}, si éstas se pocesan a tavés de la uta ( = 1,,m max ; = 1,,). 2.1.3. Vaiables de decisión: x = 1 si la taea i se asigna a la estación y ésta es pocesada a tavés de la uta ( i,, [ E, L ]). y = 1 si alguna taea es asignada a la estación min mmax ( = m + 1,..., ). 2.2. Modelo matemático del ASALBP-1 m max Minimiza Z = y (1) L = 1 = E = mmin + 1 x = 1 i (2) t x Cmax 1,..., mmin = 1 i T t x Cmax y m min 1,..., m max = 1 i T Lk L xk x, i, k PD = Ek = E L1 L x1 x ; i 2,..., = E1 = E = (3) = + (3 ) (4) = n (5) x {0,1} i,, [ E, L ] (6) y {0,1} = mmin + 1,..., mmax (7) La función obetivo (1) consiste en minimiza el númeo de estaciones. Las esticciones (2) gaantizan que cada taea i es asignada a una única estación, las esticciones (3) y (3 ) aseguan que el tiempo total de poceso asignado a la estación no exceda el tiempo ciclo disponible, las esticciones (4) imponen las esticciones de pecedencia ente las taeas, las esticciones de unicidad de uta (5) aseguan que todas las taeas sean asignadas a una misma uta. Finalmente, las esticciones (6) y (7) expesan la condición binaia de las vaiables de decisión. 2.3. Modelo matemático del ASALBP-2 El poblema ASALBP-2 se fomula de manea simila que el SALBP-1, en donde la vaiable que se desea minimiza es el tiempo ciclo tc (8); dado el númeo de estaciones de tabao. De
esta foma, como las vaiables y, de existencia de las estaciones, son conocidas (todas son iguales a 1) no son necesaias en la fomulación de las esticciones de este modelo. Minimiza Z = tc (8) Con el modelo ASALBP-1 peviamente pesentado, se ealizó un beve expeimento computacional usando ILOG CPLEX 8.1, ceando instancias de poblemas de equilibado de líneas que contemplasen utas de montae altenativas. Dicho expeimento mostó que poblemas de tamaño pequeño se pueden esolve de manea óptima en tiempo de cómputo azonable. 3. Conclusiones En este tabao se pesentó un modelo de pogamación matemática que ha sido desaollado paa esolve el poblema ASALBP, el cual decide simultáneamente sobe el subgafo de montae (la uta) y el equilibado de la línea (la asignación de las taeas a las estaciones). Cada altenativa de montae consideada en el modelo se obtiene combinando todos los subgafos de montae que estén disponibles. Se mostó a tavés de un eemplo numéico como un poblema se puede sub-optimiza si no se toman en cuenta las epecusiones que tienen en el equilibado de la línea los subgafos de montae altenativos; po lo que a pioi una solución puede se descatada po tene, po eemplo, un mayo tiempo total de poceso. Po ota pate, se desaollo una beve expeiencia computacional, cuyos esultados mostaon que poblemas pequeños pueden se esueltos de foma óptima en tiempos de cómputo azonable. Refeencias Bowman, E.H. (1960). Assembly line balancing by linea pogamming, Opeations Reseach, 8 (3), 385-389. Capacho, L. y Pasto, R. (2005). ASALBP: the Altenative Subgaphs Assembly Line Balancing Poblem. Technical Repot IOC-DT-P-2005-5. UPC. Bacelona, Spain. Patteson, J.H. and Albacht, J.J. (1975). Assembly line balancing: 0-1. Pogamming with Fibonachi Seach. Opeations Reseach, 23, 166-174. Thangavelu, S.R., and Shety, C.M. (1971). Assembly line balancing by zeo-one intege pogamming. AIEE Tansactions, vol. 3, pp. 61-68. White, W. (1961). Comments on a pape by Bowman. Opeations Reseach, Vol. 9, 274-276.