Vector de Poynting Campos y Ondas FACULTAD DE INGENIERÍA UNIVERSIDAD NACIONAL DE LA PLATA ARGENTINA
H J E S P
µ ε d dv dv t 2 2 2 2 ( E H) S+ ( E J) = H + E SC
Vector de Poynting Onda Plana Progresiva, linealmente polarizada Ey = E0 sen( ωt β x) Hz = Ho. sen( ωt βx + ϕ) ExH = Ey. Hz = Ey. sen( ωt βx) Ho. sen( ωt βx + ξ) t+ T t+ T 1 1 Eo. Ho ( ExH) = Ey. Hz. dt Eosen( ωt βx) Hosen( ωt βx ξ) dt cos( ξ) T = + = T 2 t t
Vector de POYNTING en una ONDA PROGRESIVA. E H S µ ε d d t 2 H 2 E l. S 2 2 ( ) d = + SC ( E H) µ H + ε E 2 2 2 2 = v dl ds
Vector de POYNTING en una ONDA PROGRESIVA. E H µ = ε 1 2
Vector de POYNTING en una ONDA PROGRESIVA.
Vector de POYNTING en una ONDA PROGRESIVA. Vector de POYNTING en una ONDA PROGRESIVA.
Vector de POYNTING en una ONDA PROGRESIVA.
VECTOR DE POYNTING EN UNA ONDA ESTACIONARIA.
VECTOR DE POYNTING EN UNA ONDA ESTACIONARIA.
VECTOR DE POYNTING EN UNA ONDA ESTACIONARIA.
VECTOR DE POYNTING EN UNA ONDA ESTACIONARIA. La expresión del vector de Poynting para esta onda estacionaria pura es la siguiente: Px = 4E 2 H 2 cos ωtsen ωt cosβx senβx
VECTOR DE POYNTING EN UNA ONDA ESTACIONARIA.
Max( E) = (2n + 1) λ 4 Max( H) = ( n) λ 2 Max( P) = (2n + 1) λ 8 2 1.5 1 0.5 λ 2 λ E H P P 0 Min( E) = ( n) λ 2 Min( H) = (2n + 1) λ 4 Min( P) = ( n) λ 8-0.5-1 -1.5-2 0 100 200 300 400 500 600 700
Vector de POYNTING en un cable coaxial. J ds = I = J ds = Hϕ = C H dl I = 2πrH I 2π r P= E H Pz = Er. Hϕ V = λ b ln 2πε a Er = E = λ 1 2πε r V b r ln a W b = V I VI b 2πr 2π b SC a r ln ln a a a dr r ( E H) da = rdr = = VI b
VECTOR DE POYNTING EN UN HILO CONDUCTOR. En un conductor, con conductividad finita, circula una corriente continua, se desarrollará un campo eléctrico dentro de dicho conductor. Este campo tendrá la misma dirección que la corriente, ya que: E = J VL = Ez L σ P r J E H a El vector intensidad de campo magnético será concéntrico con el conductor, y en la superficie del mismo tendrá el siguiente valor: H ϕ = I P = EHr 0 0 z φ + φ + 2πa z sc L L I z φ z φ2π L L 0 0 W = E H ds = E H adz = V dz = VI
VECTOR DE POYNTING EN UN HILO CONDUCTOR. H.dl I int erior I = Hϕ.2 π. r = π. r 2 π. a = πr 2 I πa 2 2 Hϕ int erior 2 P = r 2π a E I Hϕ = r 2π a 2 I La potencia que fluye hacia adentro del conductor, a través de una capa cilíndrica, de radio r<a, será: L W = V. r I.2π rl= V I r L 2π a a 2 L 2 2
APLICACIÓN DEL VECTOR DE POYNTING A CIRCUITOS. V = E dl I = H dl Circuito Potencia P = P ds= S ds Se considera ahora un circuito una batería conectada, a través de un par de conductores perfectos una carga de resistencia R. Se supone que toda la f.e.m. está concentrada en la batería, y que toda la resistencia esta concentrada en la carga. En cualquier punto el vector de Poynting P P= E H
APLICACIÓN DEL VECTOR DE POYNTING A CIRCUITOS. Alrededor de la batería el vector de Poynting es hacia afuera (positivo). Alrededor de la resistencia (carga) el vector de Poynting es hacia adentro (negativo). En un plano imaginario ubicado a mitad del circuito, el vector de Poynting va de izquierda (batería) a derecha (carga). En la superficie de integración que encierra a la carga, un cilindro conductor ( E H) s (. z ). ϕ 1 2 P = d = E H dl dl P d d VI = E l 1 H l2 =
APLICACIÓN DEL VECTOR DE POYNTING A CIRCUITOS. Se obtiene la misma potencia en la carga predicha por la teoría de circuitos En la teoría de campo, esta potencia es negativa, ya que se dirige hacia el interior de la superficie de integración que encierra a la carga. El flujo de potencia se desarrolla en el espacio circundante al circuito, actuando los conductores del circuito como guías para dicha potencia. En la anterior figura del circuito se muestran algunas líneas de flujo del vector de Poynting. Resulta evidente que el flujo de potencia se desarrolla en el espacio circundante al circuito, actuando los conductores del circuito como guías para dicha potencia. Desde el punto de vista de la teoría circuital, usualmente se dice que los conductores transportan la potencia o que la potencia fluye por los conductores, pero esto no es mas que una simplificación del problema y no representa la situación real.
APLICACIÓN DEL VECTOR DE POYNTING A CIRCUITOS. Densidad del vector de Poynting muy intenso Toda la energía que va a la carga atraviesa las rendijas por donde pasa el coductor