1 38. CUERPOS SÓLIDOS: DESARROLLOS Y TRANSFORMADAS. 38.1. Desarrollo de los Poliedros Regulares. 38.1.1. Tetraedro. Dado que los poliedros regulares tienen sus caras iguales, el desarrollo de los mismos estará formado por tantos polígonos regulares iguales como caras tenga el poliedro. Tenemos el tetraedro de la figura el desarrollo del mismos serán cuatro triángulos de lado l. Construimos un triangulo equilátero de lado l igual al lado del tetraedro a continuación sobre cada lado de este triangulo construimos otros tres triángulos iguales y tenemos el desarrollo del tetraedro. 38.1.2. Hexaedro o Cubo. Tenemos el hexaedro de la figura el desarrollo del mismos serán seis cuadrados de lado l. Construimos un cuadrado de lado l igual al lado del cubo a continuación vamos trazando el resto los cuadrados iguales tal como vemos en la figura o de otra forma y tenemos el desarrollo del Hexaedro, cubo o exaedro. 38.1.3. Octaedro. Tenemos el octaedro de la figura el desarrollo del mismos serán ocho triángulos de lado a. Construimos un triangulo de lado l igual al lado del Octaedro dado a continuación vamos trazando el resto de los triángulos iguales tal como vemos en la figura seis de forma alterna y los otros dos sobre uno de los lados pero a ambos
lados para que cierre el Octaedro. 38.1.4. Dodecaedro Tenemos el dodecaedro de la figura el desarrollo del mismos serán doce pentágonos de lado l. Construimos un pentágono de lado l igual al lado del dodecaedro dado a continuación trazamos sobre cada lado del pentágono otro pentágono con lo que tenemos seis, sobre uno de los lados construimos otro pentágono y volvemos a repetir la figura y tenemos otros seis pentágonos con lo que tenemos las doce caras del Dodecaedro. 38.1.5. Icosaedro Tenemos el icosaedro de la figura el desarrollo del mismos serán veinte triángulos de lado a = A -B = B -C = C -D = D -E = E -A = F -G. Construimos un triangulo de lado l igual al lado del Icosaedro dado a continuación sobre el lado de la base 2
prolongado vamos trazando otros cinco triángulos iguales tal como vemos en la figura, a continuación trazamos otros cinco de forma inversa seguidamente sobre las bases de estos diez triángulos construimos otros diez y tenemos los veinte triángulos que forman el Icosaedro. 38.2. Poliedros Irregulares Dentro de los poliedros irregulares podemos considerar tres grupos importantes: prismas, paralelepípedos y pirámides. 38.3. Desarrollo de la superficie prismática. Dentro de las superficies prismáticas tenemos que diferenciar dos tipos de prismas; prismas rectos y prismas oblicuos y dentro además atendiendo a sus bases según sean un polígono regular o irregular el prisma será; prisma regular o prisma irregular. 38.3.1. Superficie prismática recta regular. Sea el prisma hexagonal recto de la figura de lado l y altura h. El desarrollo de un prisma regular recto se compone de dos polígonos iguales a las bases y tantos rectángulos como lados tiene el polígono de la base. Trazamos dos rectas paralelas a una distancia h igual a la altura del prisma, trazamos un rectángulo de lado menor l igual al lado del polígono de la base y a continuación llevamos sobre las paralelas la distancia l tantas veces con lados tiene la base y obtenemos el desarrollo del prisma recto sea cual sea la base. 3
38.3.2. Superficie prismática recta irregular. Sea el prisma pentagonal recto de la figura de lados a, b, c, d, e y altura h. El desarrollo de un prisma regular recto se compone de dos polígonos iguales a las bases y tantos rectángulos como lados tiene el polígono de la base. Trazamos dos rectas paralelas a una distancia h igual a la altura del prisma, trazamos un rectángulo de lado menor a igual al lado A-B del polígono de la base y a continuación llevamos sobre las paralelas las distancias b, c, d, e que son los lados de las bases y obtenemos el desarrollo del prisma recto sea cual sea la base. 38.3.3. Paralelepípedo Sea el paralepípedo recto de la figura de lados a, b y altura h. El desarrollo de un paralepípedo recto se compone de seis rectángulos cuatro de lado la altura h y lados a y b lados del rectángulo o cuadrilátero de la base y otros dos iguales a la base. Trazamos dos rectas paralelas a una distancia h igual a la altura del prisma, trazamos un rectángulo de lado menor a igual al lado (A-B) del polígono de la base y a continuación llevamos sobre las paralelas las distancia b, que es el otro lado de la base (B-C) a continuación volvemos a llevar la distancia a (C-D) y volvemos a llevar la distancia b (D-A), a continuación trazamos las bases en un lado de los rectángulos de las caras 4
laterales y obtenemos el desarrollo del paralelepípedo. 38.3.4. Superficie prismática oblicua regular. El desarrollo de un prisma hexagonal oblicuo frontal es decir paralelo al plano vertical se compone de seis paralelogramos correspondiente a las caras laterales y dos hexágonos correspondientes a las dos bases. Los lados de los paralelogramos serán la longitud de la aristas l y el lado de la base a. Lo primero que hacemos es hallar la sección recta 1-2-3-4-5-6, del prisma mediante el plano Δ 1 -Δ 2 perpendicular a las aristas del prisma. Hallamos la sección producida por dicho plano en el prisma 1-1 ; 2-2 ; 3-3 ; 4-4 ; 5-5 ; 6-6. Y a continuación determinamos la verdadera magnitud de esta sección (1)-(2)-(3)-(4)-(5)-(6). A continuación trazamos una recta y sobre esta vamos llevando las medidas de los lados de la sección en verdadera magnitud. A partir de un punto 1 llevamos la medida 1-6=(1)-(6), a continuación 6-5=(6)-(5); seguidamente 5-4=(5)-(4); después 4-3=(4)-(3); continuamos con 3-2=(3)-(2); para terminar con 2-1=(2)-(1). Por los puntos 1-2-3-4-5-6 trazamos perpendiculares a la línea 1-6. A continuación llevamos las medidas 1 -A ; hacia la parte superior y 1 -A hacia abajo se continúa con: 6 -F y 6 -F 5 -E y 5 -E 4 -D y 4 -D 3 -C y 3 -C 2 -B y 2 -B 1 -A y 1 -A; Unimos los extremos A-F-E-D-C-B-A y A -F -E -D -C - B -A y tenemos el desarrollo lateral. Que resulta ser la transformada de las bases. A continuación trazamos las bases en uno de los lados y tenemos el desarrollo buscado. Las bases se encuentran en verdadera magnitud. Las aristas laterales del prisma se encuentran en la proyección vertical en verdadera magnitud, 5
por lo que las distancias desde los puntos de la sección a los extremos correspondientes se encuentran también en verdadera magnitud por lo que se toman las distancias directamente sobre la proyección vertical. 38.3.5. Superficie prismática oblicua irregular y oblicua a los planos de proyección. El desarrollo de un prisma triangular oblicuo a los planos de proyección se compone de tres paralelogramos correspondientes a las caras laterales y dos triángulos correspondientes a las dos bases. Los lados de los paralelogramos serán la longitud de la aristas l y el lado de la base la longitud del lado correspondiente de la base. Lo primero que tenemos que hacer para realizar el desarrollo es conocer la verdadera magnitud de todas sus aristas, para ello colocaremos el prisma oblicuo dado en un prisma frontal mediante un cambio de plano para tener las aristas en verdadera magnitud. Realizamos el cambio de plano H-V 1 para hallar la sección recta 1-2-3, del prisma mediante el plano Δ 1 -Δ 2 perpendicular a las aristas del prisma. Hallamos la sección producida por dicho plano en el prisma 1-1 1 ; 2-2 1 ; 3-3 1. Y a continuación determinamos la verdadera magnitud de esta sección (1 1 )- (2 1 )-(3 1 ). A continuación trazamos una recta y sobre esta vamos llevando las medidas de los lados de la sección en verdadera magnitud. A partir de un punto 1 6
llevamos la medida 1-2=(1)-(2), a continuación 2-3=(2)-(3); seguidamente 3-1=(3)-(1). Por los puntos 1-2-3-1 trazamos perpendiculares a la línea 1-1. A continuación llevamos las medidas de la misma forma que en el apartado anterior 1 1 -A 1 ; hacia la parte inferior y 1 1 -D 1 hacia arriba se continúa con: 2 1 -C 1 2 1 -E 1 3 1 -B 1 3 1 -F 1 1 1 -A 1 1 1 -D 1 Unimos los extremos A-C-B-A y D-E-F -D y tenemos el desarrollo lateral. Que resulta ser la transformada de las bases. A continuación trazamos las bases en uno de los lados y tenemos el desarrollo buscado. Las bases se encuentran en verdadera magnitud. Las aristas laterales del prisma después del cambio de plano se encuentran en la proyección vertical en verdadera magnitud, por lo que las distancias desde los puntos de la sección a los extremos correspondientes se encuentran también en verdadera magnitud por lo que se toman las distancias directamente sobre la proyección vertical. 38.1.1.1. Transformada de un prisma. La transformada de una sección es colocar sobre el desarrollo del cuerpo los vértices del polígono generado por la sección producida por un plano sobre las aristas correspondientes y unirlas en orden. Tenemos un prisma hexagonal al que cortamos por el plano proyectante Δ 1 -Δ 2 que produce una sección vertical 1-2 -3-4 -5-6 ; llevamos sobre las aristas del desarrollo las medidas: A-1 = A-1; B-2 = B-2 C-3 = C-3; D-4 = D-4 E-5 = E-5; F-6 = F-6 Unimos los puntos 1-2-3-4-5-6 y tenemos la transformada de la sección. 38.4. Desarrollo de la superficie piramidal. 38.4.1. Superficie piramidal recta Tenemos la pirámide recta regular apoyada en el PH cuadrangular de lado l y altura h. 7
El desarrollo de una pirámide regular recta se compone de un polígono igual a la base y tantos triángulos como lados tiene el polígono de la base. Abatimos una cara lateral sobre el PH, construimos un triangulo isósceles de altura h y base a. Trazamos otros tres triángulos iguales, hacemos centro en V y radio V-C=V-B trazamos un arco de circunferencia y a continuación llevamos el lado a. Para la base aprovechamos la que tenemos dibujada. 38.1.1.2. Transformada Para hallar la transformada de la sección producida por el plano proyectantes Δ 1 -Δ 2 tenemos que determinar la verdadera magnitud mediante un giro de eje e -e, giramos la arista V-A hasta ponerla frontal. Trazamos por V una paralela a la LT y con centro en V y radio V -A que nos determina el punto A 1, a continuación hallamos A 1, unimos V con A 1 y tenemos la arista en verdadera magnitud, A continuación llevamos los puntos 1-2 -3-4 a la arista anterior obteniendo 1 1-2 1-3 1-4 1, con lo que tenemos en verdadera magnitud las distancias del vértice a los puntos. Se llevan las distancias al desarrollo y tenemos la transformada de la sección. 38.4.2. Superficie piramidal oblicua. Sea la pirámide oblicua irregular pentagonal apoyada en el PH y altura h. Resolvemos como en el ejercicio anterior solamente debemos de tener presente que las aristas laterales no miden normalmente lo mismo excepto coincidencia. Por lo tanto tenemos que hallar su verdadera magnitud en nuestro caso aplicamos un giro de eje e -e a cada una de ellas La base se encuentra en verdadera magnitud. 8
Trazamos el eje e -e que pase por el vértice V -V. Por e trazamos una paralela a la LT y con centro en e trazamos arcos de circunferencia que pasen por A ; B ; C ; D y E y obtenemos los puntos A 1 ; B 1 ; C 1 ; D 1 y E 1 a continuación hallamos A 1 ; B 1 ; C 1 ; D 1 y E 1 sobre la LT. A continuación unimos V con A 1 ; B 1 ; C 1 ; D 1 y E 1 y tenemos las aristas en verdadera magnitud Para hallar el desarrollo trazamos un punto cualquiera V y sobre el construimos triangulo el VAB. Trazamos una recta cualquiera V-A y llevamos sobre ella la distancia V-A=V - A 1 a continuación llevamos A-B=A -B y seguidamente V-B=V -B 1 y tenemos la primera cara lateral de la pirámide en verdadera magnitud, a continuación vamos obteniendo el resto de las caras laterales basándonos en la arista común con la anterior. La base se traza en un lado de la arista lateral común teniendo presente que esta se encuentra en verdadera magnitud: A -B =A-B C -D =C-D D -A =D-A B -C =B-C D -E =D-D 38.1.1.3. Transformada La transformada de la sección producida en la pirámide por el plano Δ 1 -Δ 2 se resuelve determinando la distancia en verdadera magnitud del vértice de la pirámide a los vértices del polígono de la sección. Lo primero que tenemos que hacer es determinar la sección que produce el plano Δ 1-9
Δ 2 con la pirámide. Hallamos la intersección de la arista V -A, V -A por medio de un plano proyectante. Por A trazamos una perpendicular a la LT que corta a Δ 1 en 1, por P punto de intersección de Δ 2 con V -A se traza una perpendicular a la LT obteniendo el punto P que uniendo con 1 nos da el punto 1 de intersección de la arista V -A con el plano a continuación trazamos una perpendicular a la LT y obtenemos el punto 1. Para los otros vértices se realiza la misma operación y obtenemos los puntos 2-2 ; 3-3 ; 4-4 ;5-5. Llevamos los puntos 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 sobre las aristas laterales giradas en verdadera magnitud y obtenemos los puntos 1 1 ; 2 1 ; 3 1 ; 4 1 ; 5 1 que nos da las medidas desde V a los puntos 1 1 ; 2 1 ; 3 1 ; 4 1 ; 5 1 en su verdadera magnitud la que llevamos sobre el desarrollo en V-1; V-2; V-3; V-4; V-5; V-1 obteniendo la transformada de la sección producida por el plano Δ 1 -Δ 2 sobre la pirámide. 38.4.3. Tronco de pirámide. Sea el tronco de pirámide oblicua irregular pentagonal apoyada en el PH y altura h. Resolvemos como en el ejercicio anterior solamente debemos de tener presente que se tiene que prolongar las aristas para obtener el vértice V de la pirámide, las aristas laterales no miden normalmente lo mismo excepto coincidencia. Por lo tanto tenemos que hallar su verdadera magnitud en nuestro caso aplicamos un giro de eje e -e a cada una de ellas La base se encuentra en verdadera magnitud. Prolongamos las aristas laterales del tronco de pirámide y determinamos el vértice V -V de la pirámide que genera el tronco de pirámide. 10
A continuación procedemos como en el caso anterior,trazamos el eje e -e que pase por el vértice V -V. Por e trazamos una paralela a la LT y con centro en e trazamos arcos de circunferencia que pasen por A ; B ; C ; D y E y obtenemos los puntos A 1 ; B 1 ; C 1 ; D 1 y E 1 a continuación hallamos A 1 ; B 1 ; C 1 ; D 1 y E 1 sobre la LT. A continuación unimos V con A 1 ; B 1 ; C 1 ; D 1 y E 1 y tenemos las aristas en verdadera magnitud. Hallamos la base superior del tronco F 1 ; G 1 ; H 1 ; I 1 y J 1 tal como vemos obteniendo el tronco de pirámide en verdadera magnitud. Para hallar el desarrollo trazamos un punto cualquiera V y sobre el construimos el triangulo VAB. Trazamos una recta cualquiera V-A y llevamos sobre ella la distancia V- A=V -A 1 a continuación llevamos A-B=A -B y seguidamente V-B=V -B 1 y tenemos la primera cara lateral de la pirámide en verdadera magnitud, a continuación vamos obteniendo el resto de las caras laterales basándonos en la arista común con la anterior. Lo mismo con las aristas ficticias V-F=V -F 1 y seguidamente V-G=V -G 1 y tenemos la primera cara lateral del tronco de pirámide en verdadera magnitud, a continuación vamos obteniendo el resto de las caras laterales basándonos en la arista común con la anterior. Las bases se traza en un lado de la arista lateral común teniendo presente que esta se encuentran en verdadera magnitud: A -B =A-B B -C =B-C C -D =C-D D -E =D-D D -A =D-A F -G =F-G G -H =G-H H -I =H-I I -J =I-J J -F =J-F 38.1.1.4. Transformada La transformada de la sección producida en el tronco de pirámide por el plano Δ 1 -Δ 2 se resuelve determinando la distancia en verdadera magnitud del vértice de la pirámide a los vértices del polígono de la sección. Lo primero que tenemos que hacer es determinar la sección que produce el plano Δ 1 -Δ 2 con el tronco de pirámide. Hallamos la intersección de la arista V -A, V -A por medio de un plano proyectante. Por A trazamos una perpendicular a la LT que corta a Δ 1 en 1, por P punto de intersección de Δ 2 con V -A se traza una perpendicular a la LT obteniendo el punto P que uniendo con 1 nos da el punto 1 de intersección de la arista V -A con el plano a continuación trazamos una perpendicular a la LT y obtenemos el punto 1. 11
Para los otros vértices se realiza la misma operación y obtenemos los puntos 2-2 ; 3-3 ; 4-4 ; 5-5. Llevamos los puntos 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 sobre las aristas laterales giradas en verdadera magnitud y obtenemos los puntos 1 1 ; 2 1 ; 3 1 ; 4 1 ; 5 1 que nos da las medidas desde V a los puntos 1 1 ; 2 1 ; 3 1 ; 4 1 ; 5 1 en su verdadera magnitud la que llevamos sobre el desarrollo en V-1; V-2; V-3; V-4; V-5; V-1 obteniendo la transformada de la sección producida por el plano Δ 1 -Δ 2 sobre la pirámide. 38.5. Desarrollo de un cuerpo situado en un plano oblicuo. Para trabajar con cuerpos situados en planos oblicuos lo que tenemos que hacer es mediante cambios de planos lograr que el cuerpo tenga la base situada sobre la nueva línea de tierra. 12