1 UNIVERSIDAD NACIONAL AUTONOMA DE HONDURAS FACULTAD DE INGENIERIA ESCUELA DE INGENIERIA MECÁNICA Y ELECTRICA DEPARTAMENTO DE INGENIERIA MECÁNICA Transferencia de Calor IM-414 Deducción de la Ecuación General de Calor por Conducción Coordenadas Rectangulares y Curvilíneas Ing. Jorge Gallo Navarro ME., MSc., MBA. Ing. Fernando José Zorto Aguilera ME. Resumen En el Estudio de transferencia de calor, uno del mecanismo más utilizado en la ingeniería y como primer tema de cualquier curso de transferencia calor, se estudia a fondo lo que es la transferencia de calor por conducción, en este caso, analizamos un cuerpo rectangular para poder definir la ecuación general de calor en coordenadas cartesianas, es decir, que el vector del flujo de calor será y de este deduce dicha ecuación general de calor por conducción. Se plantea también que en algunos casos especiales un espacio euclidiano es muy complicado para poder resolver ciertos problemas en la transferencia por conducción, en este caso, se expone la solución general para el cambio de coordenadas rectangulares a cualquier Espacio no Euclidiano en coordenadas curvilíneas.
2 Introducción: En el presente trabajo se deducirá la ecuación general de calor por conducción para cualquier tipo de espacio vectorial, recordando, que el flujo de calor es un vector y que la resolución de dicha ecuación será determinada por la forma geométrica del solido que transfiere energía mediante la conducción en su medio. Objetivos: 1. Definir una ecuación que generalice el fenómeno físico de la transferencia de calor a través de la conducción y los fenómenos adicionales de energía que ocurren en el cuerpo en coordenadas rectangulares. 2. Definir una solución general para la transformación de espacio de uno euclidiano con base canónica a otro espacio curvilíneo ortonormal u ortogonal. 3. Definir la ecuación que generalice el fenómeno físico de la transferencia de calor a través de la conducción y los fenómenos adicionales de energía que ocurren en un cuerpo curvilíneo. ANALISIS Ecuación General de Calor por Conducción La ecuación de calor general en coordenadas rectangulares por conducción resulta de un balance de energía del vector de flujo calor, la energía generada y la energía que se almacena en dicho sistema. Esto es expresado de la siguiente manera: (1.1) (1.2.) Aplicando la serie de Taylor tendremos que los son iguales a lo indicado en la ecuación 1.3, donde i representa cualquiera de las variables independientes coordenadas, tal como se indica en las ecuaciones 1.4 a la 1.6 respectivamente para x, y y z: (1.3.) Por lo tanto: (1.4.) (1.5.) (1.6.) Sustituyen las ecuaciones 1.3. a la 1.6 en 1.2 Tendremos que (1.7.)
3 Acomodando los términos, se tiene que: (1.8.) Se cancelan los flujos de calor en la dirección x, y y z, con lo cual obtenemos la nueva ecuación: (1.9.) Al desarrollar un poco más la igualdad anterior, se observa lo siguiente: ( (1.10.) Ahora se debe recordar cómo se define el flujo de calor dado que en este caso, es decir que el flujo de calor es un vector en un espacio coordenado Cartesiano. Al encontrarse en un espacio rectangular se dice que la base que define dicho espacio se encuentra conformada por los vectores, que se denominan base canónica. Planteando lo anterior el flujo de calor por medio de la ley de Fourier: Donde ( ) (1.11.) (1.12.) (1.13.) (1.14.) Retornemos a la ecuación 1.9 y sustituir los flujos de calor respectivos de las ecuaciones de la 1.12 hasta 1.14 : (1.15.) (1.16.) Pasamos a multiplicar el signo negativo a fuera de los paréntesis: (1.17.) En los siguientes pasos se encontrará la ecuación general de calor por conducción. Ahora se debe determinar los diferenciales de área y volumen involucrados en la ecuación. (1.18.) (1.19.) (1.20.) (1.21.) Hay que hacer una mención de donde salen estos términos de las diferenciales áreas, es el área transversal del flujo de calor de un cubo infinitesimal y el dv se relaciona al volumen
4 infinitesimal del mismo cubo. Sustituyendo las ecuaciones 1.18 al 1.20 en la 1.17 se obtienen la ecuación 1.22 (1.22.) Los diferenciales que se encuentran dentro del paréntesis son constantes y se pueden pasar a multiplicar a fuera del mismo y ser divididos a ambos extremos de la igualdad, lo que da como resultado la eliminación del elemento diferencial de volumen (1.23.) (1.24.) Asumiendo una Conductividad Térmica constante, pasamos el término a fuera de los paréntesis y luego dividiéndolo a ambos lados de la igualdad, donde se tiene: (1.25.) Y, recordando que: (1.26.) (1.27.) Al sustituir la relación 1.27 en 1.26 donde corresponda para la variable independiente respectiva, se obtiene que: (1.28.) El término se conoce como, donde es la difusividad térmica que representa la velocidad de propagación del calor en el medio sólido. Al realizar todas estas operaciones matemáticas, la expresión resultante se conoce como Ecuación General de Conducción de Calor, en el caso que la conductividad térmica sea constante. La ecuación 1.28 también se conoce como la Ecuación de Fourier-Biot y, en condiciones específicas, se reduce a estas tres formas conocidas como Ecuación de Poisson, Ecuación de Difusión de Calor y Ecuación de Laplace respectivamente: 1) Régimen Estacionario: (Ecuación de Poisson ) 2) Régimen transitorio sin generación de calor: (Ecuación de difusión) (1.29.) (1.30.) 3) Régimen estacionario y sin Generación de calor: (Ecuación de Laplace) (1.31.)
5 Ecuación de Calor en Coordenadas Curvilíneas En los problemas reales de transferencia de calor existirán diversas maneras o métodos para poder darles alguna solución, esto conlleva que algunas formas geométricas por donde se manifiesta el fenómeno sea muy difícil analizarlas por coordenadas rectangulares, lo cual hace mucho más fácil su estudio si transformamos el espacio por donde existe el fenómeno de transferencia de calor. De esta manera, si se plantearán en otro espacio coordenado ajeno a un Espacio Euclidiano normal a uno no Euclidiano se logra generar una transformación curvilínea entre el espacio coordenado cartesiano al nuevo sistema curvilíneo ortonormal como son los ejemplos de los espacios esféricos y los cilíndricos (Tou, 2011). Así mismo, Esta transformación al nuevo espacio coordenado nos ayuda a expandir nuestra visión sobre el problema de transferencia de calor. Adicionalmente, se dice que un espacio vectorial no Euclidiano, donde un sistema coordenado curvilíneo se encuentra definido por la base conformada por los vectores,, caso contrario, lo que ocurre en un sistema Cartesiano, donde, la base canónica está definida por x, y, z, así como se observa en la figura 1.1, En este caso, los vectores curvilíneos se pueden expresar de la siguiente manera: (1.32.) (1.33.) Figura 1.1 Espacio Vectoriales a) Rectangular b) Espacio Curvilíneo (1.34.) Donde son las coordenadas de nuestro nuevo espacio coordenado, así mismo,,, se conocen como factores escalares, lo cuales se deben encontrar para realizar la transformación. La pregunta fundamental es como definir o realizar una Transformación de un Espacio a otro; Según Osizik (1993) se debe definir en primera instancia la distancia de un vector en la base canónica, ósea, en sus correspondientes coordenadas rectangulares. Esto se calcula según Grossman (2011) de la siguiente manera: (1.35.) Al determinar que el vector tiene características infinitesimales, dado que se mueve de un punto a otro, esa distancia sufre una pequeña variación en su posición, la cual matemáticamente puede ser expresada como una diferencial del vector V, esto también, diferenciará cada una de sus componentes rectangulares y curvilíneas: Donde la nueva distancia será: (1.36.) (1.37.) Ahora bien, si una componente se puede expresar en términos de otras componentes del nuevo espacio curvilíneo, podemos decir que cada componente cartesiana puede ser expresada como una diferencial total correspondiente a sus nuevas coordenadas: (1.38.) (1.39.)
6 La diferencial total se determina de la siguiente manera. ( ) ( ( ) ) ( ) (1.40.) Desarrollando la serie de Taylor para los primeros términos, en forma genérica se tiene la igualdad dada en la ecuación 1.41: Y sustituyendo ésta en la ecuación 1.40, el vector queda: (1.41.) ( ) ( ) (( ) ) (1.42.) Eliminando los primeros tres pares de términos semejantes del respectivo vector, se obtiene: (1.43.) Reagrupando la expresión anterior como sumatorias tendremos lo siguiente: Dado que: (1.44.) (1.45.) (1.46.) (1.47.) Los diferenciales de x, y, z son vectores con coordenadas curvilíneas así como lo muestra la ecuación 1.32 a la 1.34, por lo tanto, podemos sustituir estas expresiones en 1.36, así que, (1.48.) (1.49.) (1.50.) (1.51.) (1.52.) (1.53.)
7 Sustituyendo en la ecuación 1.37 = (1.54.) Agrupando términos semejantes: ( ) ( ) Entonces: ( ) (1.55.) (1.56.) Dónde: ( ) (1.57.) ( ) (1.58.) ( ) (1.59.) De esta manera se encuentran los factores escalares para hacer la transformación, ahora el nuevo vector transformado tendrá las siguientes coordenadas: (1.60.) Coordenadas Cilíndricas Esta es la manera general para cambiar el espacio coordenado para un sistema ortonormal curvilíneo, ahora se analizara que es lo que ocurre en una figura geométrica igual a un cilindro, las coordenadas internamente de un vector en cualquier cilindro se definen de la siguiente manera: (1.61.) Por lo tanto se debe definir como se expresan sus coordenadas rectangulares a coordenadas cilíndricas: (1.62.) Figura 2.2 Espacio Cilíndrico Adicionalmente, se debe de recordar que analizamos este caso para determinar el vector de flujo de calor en coordenadas cilíndricas en ese caso tenemos entonces lo siguiente: (1.63.) Si analizamos el flujo de calor en una sección infinitesimal de un cilindro, en el cual, existe flujo de calores entrantes, como, salientes donde se generé calor y se almacena parte de la energía, se podría deducir una Ecuación que nos ayude a definir la transferencia de calor en coordenadas cilíndricas. En este caso determinemos con un balance de energía cual sería dicha ecuación: (1.64.)
8 (1.65.) Aplicando la serie de Taylor tendremos que los son iguales a: Por lo tanto: (1.66.) (1.67.) (1.68.) (1.69.) Sustituyen las ecuaciones 1.66 hasta la 1.68 en 1.64 se tendrá que. (1.70.) Acomodando los términos se tiene: (1.71.) Se cancelan los flujos de calor de los primeros tres pares de términos y se obtiene la nueva ecuación diferencial parcial: Al desarrollar un poco más la igual anterior tendríamos la expresión 1.73: (1.72.) (1.73.) Ahora bien debemos determinar en este caso el vector del flujo de calor como función de las coordenadas cilíndricas: ( ) (1.74.) Donde los diferenciales de área y de volumen son los siguientes: (1.75.) (1.76.) (1.77.) (1.78.) En este caso determinemos el cambio de variables, para ello se necesita deducir los Factores escalares obtenidos anteriormente en ecuaciones 1.57 a la 1.58 respectivamente; de igual manera, sustituyendo sus equivalentes en coordenadas cilíndricas dadas en ecuación 1.62, haciendo las derivadas parciales respectivas y considerando la unidad trigonométrica definida por, se obtienen las ecuaciones 1.79 a la 1.81 ( ) (( ) ( ) ( ) ) (1.79.) ( ) (( ) ( ) ( ) ) (1.80.)
9 ( ) (( ) ( ) ( ) ) (1.81.) Por tanto tenemos que: Sustituyendo en la ecuación 1.11, obtenemos que: (1.82.) (1.83.) (1.84.) ( ) (1.85.) Dónde: (1.86.) (1.87.) (1.88.) Por tanto: (1.89.) ( ) (1.90.) Dónde: ; ; (1.91.) Este sería el vector del flujo de calor según la ley de Fourier en coordenadas Cilíndricas ahora sustituyendo las ecuaciones 1.90 en la ecuación 1.72: (1.92.) Sacando los términos constantes de las respectivas derivadas parciales: (1.93.) Sustituyendo la ecuación 1.89 en la 1.92: ( ) (1.94.) Dividiendo por el término que corresponde al diferencial de volumen y eliminando el producto de los signos menos, se obtiene: (1.95.) Aunque la conductividad térmica no es constante, para el caso ideal y deducción de la ecuación de transporte de calor, se asumirá constante, con lo que se obtiene la ecuación 1.96: (1.96.)
10 Esta expresión es la Ecuación General de Calor por conducción en coordenadas cilíndricas. Así como las coordenadas Rectangulares vamos otras variaciones para este determinado espacio curvilíneo: 1. Régimen Estacionario: (Ecuación de Poisson en coordenadas cilíndricas) 2. Régimen transitorio sin generación de calor: (Ecuación de difusión coordenadas cilíndricas) 3. Régimen estacionario y sin Generación de calor: (Ecuación de Laplace en coordenadas cilíndricas) (1.97.) (1.98.) (1.99.) Coordenadas Esféricas Ya analizado el método de transformación de espacio podemos analizar un nuevo conjunto de coordenadas curvilíneas, ahora se realizará el en una figura geométrica igual a una esférica, las coordenadas internamente de un vector en cualquier cilindro se definen de la siguiente manera: (1.100.) Por lo tanto se debe definir como se expresan sus coordenadas rectangulares a coordenadas cilíndricas: (1.101.) Adicionalmente, se debe de recordar que analizamos este caso para determinar el vector de flujo de calor en coordenadas cilíndricas en ese caso tenemos entonces lo siguiente: (1.102.) Figura 3.3 Espacio Esférico Si analizamos el flujo de calor en una sección infinitesimal de un cilindro, en el cual, existe flujo de calores entrantes, como, salientes donde se generé calor y se almacena parte de la energía, se podría deducir una Ecuación que nos ayude a definir la transferencia de calor en coordenadas cilíndricas. En este caso determinemos con un balance de energía cual sería dicha ecuación: (1.103.) (1.104.) Aplicando la serie de Taylor tendremos que los son iguales a: (1.105.)
11 Por lo tanto: (1.106.) (1.107.) (1.108.) Sustituyen las ecuaciones 1.106 a la 1.108 en 1.104 y agrupando loe términos, se obtiene: (1.109.) Cancelando los primeros tres pares de términos correspondientes al flujo de calor, se obtiene la nueva ecuación: (1.110.) Al desarrollar un poco más la igual anterior tendríamos lo siguiente: * (1.111.) Ahora bien debemos de determinar en este caso el vector del flujo de calor como función de las coordenadas cilíndricas Donde los diferenciales de área y de volumen son los siguientes: ( ) (1.112.) (1.113.) (1.114.) (1.115.) (1.116.) De igual manera al caso cilíndrica, se necesita determinar el cambio de variables, para esto necesitamos deducir los Factores escalares obtenidos anteriormente en ecuaciones 1.57 a la 1.58 respectivamente. Sustituyendo sus equivalentes en coordenadas esféricas dadas en ecuación 1.101, haciendo las derivadas parciales respectivas y considerando la unidad trigonométrica definida por, se obtienen las ecuaciones 1.117 a la 1.119 ( ) (( ) ( ) ( ) ) (1.117.) ( ) (( ) ( ) ( ) ) (1.118.) ( ) (( ) ( ) ( ) ) (1.119.)
12 Considerando los respectivos diferenciales se tiene: (1.120.) (1.121.) (1.122.) Sustituyendo en la 1.112 las ecuaciones 1.120 a la 1.122: Dónde: ( ) (1.123.) (1.124.) (1.125.) (1.126.) (1.127.) Por tanto sustituyendo en 1.123 las ecuaciones 1.124 hasta la 1.127: Dónde: ( ) (1.128.) ; ; (1.129.) Este sería el vector del flujo de calor según la ley de Fourier en coordenadas Esféricas ahora sustituyámoslo en la ecuación 1.110: Sustituyendo la ecuación 1.127 en la 1.131 (1.130.) (1.131.) (1.132.) Dividiendo la ecuación 1.132 por el término, se obtiene: (1.133.) De igual manera que en los dos casos anteriores, se asume una conductividad térmica constante y eliminando el signo menos por el producto de los dos signos menos, se tiene que: (1.134.)
13 Esta expresión es la Ecuación General de Calor por conducción en coordenadas esféricas. Así como las coordenadas Rectangulares vamos otras variaciones para este determinado espacio curvilíneo: 1. Régimen Estacionario: (Ecuación de Poisson en coordenadas esféricas) (1.135.) 2. Régimen transitorio sin generación de calor: (Ecuación de difusión coordenadas esféricas) (1.136.) 3. Régimen estacionario y sin Generación de calor: (Ecuación de Laplace en coordenadas esféricas) Conclusiones (1.137.) 1. En el balance de Energía que existe en un cuerpo multidimensional, es afectado por un flujo de calor incidiendo en todas sus dimensiones; así mismo, se le aplica una generación calor y ocurre una almacenamiento de energía, se logra determinar que la ecuación de calor por conducción es una ecuación diferencial parcial; cuya solución será una función matemática de sus coordenadas en el espacio vectorial que sea estudiado. Adicionalmente esta solución determina la distribución de Temperatura en cualquier punto del espacio vectorial en el estudio. En este caso, se deben plantear las condiciones de frontera o las condiciones físicas para poder determinar la solución más adecuada para dicha ecuación. 2. Se puede realizar un cambio de espacio vectorial, con el simple hecho de realizar un cambio de base entre 2 espacios ortonormales u ortogonales, en este caso, trasladar un Espacio Euclidiano rectangular con base canónica a otro espacio vectorial no Euclidiano con base curvilínea. Esto se logra hacer simplemente observando la variación existente en desplazamiento de posición de un vector, esto se define como una diferencial total a las coordenadas curvilíneas que definen a las coordenadas rectangulares en el espacio rectangular. Por tanto, se puede concluir que la trasformación de un espacio a otro es una linealización del mismo con un factor de escala determinado, es decir que los términos son los factores escalares a 1,a 2,a 3, los cuales se multiplican a los vectores de la base canónica, lo que conlleva que la base nueva es una base linealmente independiente 3. La transferencia de calor para un espacio coordenado curvilíneo puede también encontrarse una expresión matemática que modele dicho mecanismo de intercambio de calor, haciendo las respectivas transformaciones de las coordenadas del espacio, se puede determinar cualquier ecuación general de calor para un sinfín de espacios curvilíneos, en nuestro caso los determinados en coordenadas Cilíndricas y esféricas. Bibliografía 1. Cengel, Y. A. (2007). Transferencia de Calor y Masa, un enfoque Práctico. Mexico D.F.: Mcgraw Hill. 2. Grossman, S. (2011). Algebra lineal. Mexico DF: McGraw-Hill. 3. Holman, J. P. (2010). Heat Transfer. New York: Mcgraw-Hill. 4. Osizik, N. (1993). Heat conduction. New York: John Wiley and Sons. 5. Prieve, D. C. (2000). A course in Fluid Mechanics with Vector Field Theory. Pittburgh: Carnegie Mellon University. 6. Tou, S. (2011). Visualization of Fields and Applications in Engineering. John Wiley & Sons.