ELEMENTO DE COMPETENCIA 2: ÁLGEBRA Semanas: 4 CONTENIDO Competencia específica de la unidad... 4 2.1 Expresión algebraica... 4 2.1.1 Reducción de términos semejantes... 5 Ejercicios 2.1... 6 2.1.2 Operaciones con expresiones algebraicas... 6 Suma y resta... 6 Ejercicios 2.2... 7 Producto... 8 Ejercicios 2.3... 10 Cociente... 10 Ejercicios 2.4... 13 2.2 Productos notables... 13 2.2.1 Binomios conjugados... 14 Ejercicios 2.5... 14 2.2.2 Binomio al cuadrado... 14 Ejercicios 2.6... 5 2.2.3 Binomio al cubo... 5 Ejercicios 2.7... 5 2.2.4 Triángulo de Pascal... 5 2.2.5 Binomios con término común... 6 Ejercicios 2.8... 7 2.3 Factorización... 7 2.3.1 Factor común de un polinomio... 7 Ejercicios 2.9... 8 2.3.2 Factorización por agrupación... 9 Ejercicios 2.10... 10 2.3.3 Factorización de una diferencia de cuadrados... 10 Ejercicios 2.11... 11 2.3.4 Factorización del trinomio cuadrado perfecto (TCP)... 11 Ejercicios 2.12... 13 2.3.5 Factorización de un cubo perfecto... 14
Ejercicios 2.13... 15 2.3.6 Factorización de un trinomio de la forma x 2 +bx+c... 16 Ejercicios 2.14... 19 2.3.7 Factorización de un trinomio de la forma ax 2 +bx+c... 19 Ejercicios 2.15... 20 2.3.8 Factorización por fórmula general... 21 Ejercicios 2.16... 22 2.3.9 Factorización de una suma o diferencia de cubos perfectos... 22 Ejercicios 2.17... 25 2.4 Ecuaciones... 25 Reglas para la resolución de ecuaciones... 26 2.4.1 Ecuaciones lineales... 26 Solución de ecuaciones lineales... 26 Ejercicios 2.18... 27 Aplicaciones... 28 Ejercicios 2.19... 29 2.4.2 Sistemas de ecuaciones simultáneas con 2 incógnitas... 30 Método de suma y resta... 30 Ejercicios 2.20... 32 Aplicaciones... 33 Ejercicios 2.21... 34 2.4.3 Ecuaciones cuadráticas... 34 Factorización... 35 Ejercicios 2.22... 35 Fórmula General... 36 Ejercicios 2.23... 36 Aplicaciones... 37 Ejercicios 2.24... 38 2.5 Inecuaciones... 38 2.5.1 Definición... 38 2.5.2 Ejemplos... 38 Soluciones a ejercicios propuestos... 40 Referencias... 50
ELEMENTO DE COMPETENCIA 2: ÁLGEBRA Semanas: 4 Competencia específica de la unidad Comprender el concepto de expresión algebraica y realizar operaciones entre expresiones algebraicas. Comprender el concepto de ecuación, así como encontrar su solución, y plantear posteriormente ecuaciones o sistemas de ecuaciones para representar situaciones prácticas. 2.1 Expresión algebraica La parte de las matemáticas que estudia las operaciones en las que hay cantidades conocidas, representadas por números, y cantidades desconocidas, representadas por letras o símbolos, se conoce como Álgebra. La representación de un símbolo algebraico o de una o más operaciones algebraicas se conoce como Expresión algebraica. Dependiendo de la cantidad de términos que contenga la expresión algebraica (números o letras separados entre sí por los signos + o -), ésta recibirá un nombre específico, TABLA 2. 1. TABLA 2. 1 Denominación de expresiones algebraicas TÉRMINOS NOMBRE EJEMPLO Uno Monomio 3x 2 z Dos Binomio 5a + 3b 2 c Tres Trinomio 2xy 5x 2 y + 3y 3 General para dos o más Polinomio 4xy 2 5xy + 3z 2 + 4y 2 z z Cada término se compone de varios elementos, como lo muestra la Fig. 2. 1. Fig. 2. 1 Término algebraico Cuando los números (o factores numéricos) se representan con letras reciben el nombre de literales. Por lo general, con las primeras letras del alfabeto se representan valores constantes, y con las últimas se indican valores que pueden cambiar llamados incógnitas o variables. Cuando los factores son números, éstos reciben el nombre de coeficientes. El grado relativo de un monomio está dado por el exponente de la literal que se esté tomando en cuenta. El grado absoluto de un monomio está dado por la suma de los exponentes de las literales. El grado de un polinomio que contenga una sola literal está dado por el mayor de sus exponentes. Cuando un polinomio tiene varias literales, el grado dependerá de la literal que se considere. Lo anterior se ilustra en la TABLA 2. 2. 4
TABLA 2. 2 Grado de una expresión MONOMIO GRADO POLINOMIO GRADO 3a 2 b 3 c Relativo Respecto de a es 2 Respecto de b es 3 Respecto de c es 1 Absoluto 2 + 3 + 1 = 6 Sexto grado 2a 3 4a 2 3a + 5 xy 3 + 3y 2 x 3 yz 4 3 Tercer grado Respecto de x es 3 Respecto de y es 3 Respecto de z es 4 2.1.1 Reducción de términos semejantes Reducir una expresión algebraica significa hacerla más pequeña (menos términos), sumando o restando aquellos términos cuya literal y potencia son idénticas. Ejemplo 2.1 Ejemplo 2.2 3a + 2a + a + a = 7a 5x 2 x 2 = 4x 2 Para la reducción de términos semejantes en una expresión algebraica, en la que se utilizan signos positivos y negativos en sus términos, se deben aplicar las mismas reglas que se utilizan en la suma algebraica de números reales. Cuando la reducción se aplica en términos con mismo signo, sus coeficientes se suman, se escribe la parte literal (debe ser idéntica), y al resultado le corresponde el signo que tienen. Ejemplo 2.3 Ejemplo 2.4 Ejemplo 2.5 3x + 2x + 2x + x + x = (3 + 2 + 2 + 1 + 1)x = 9x 2a 3a a 4a = (2 + 3 + 1 + 4)a = (10)a = 10a 6x 2 y xy 2 2xy 2 3x 2 y = (6 + 3)x 2 y (1 + 2)xy 2 = 9x 2 y 3xy 2 Cuando la reducción se aplica en términos con diferente signo, sus coeficientes se restan, se escribe la parte literal (debe ser idéntica), y al resultado le corresponde el signo del término con coeficiente mayor. Ejemplo 2.6 9x + 2x = (9 2)x = (7)x = 7x 5
Ejemplo 2.7 7ab 3ab = +(7 3)ab = +(4)ab = 4ab Ejemplo 2.8 5x + 3y + z + 2x y 2z = (5 2)x + (3 1)y (2 1)z = 3x + 2y z Si hay varios términos con el mismo signo, primero se reducen éstos, y después los de signo contrario. Ejemplo 2.9 3x + 2x 4x 2x 5x = +(3 + 2)x (4 + 2 + 5)x = 5x 11x = (11 5)x = 6x Ejercicios 2.1 Realizar la reducción de términos semejantes. a) 2 3 x2 + 1 2 x2 5 4 x2 b) 7 8 abc + 2 3 abc + 1 3 abc c) 20m + 40m 10m 10m d) 20t + 10t 8t 5t e) 2a 4b + 3b + 4a 2a b f) 3f 5f f 6f g) 3y + 5x + x 3y x 2x 2x h) 3a 2 + 3a 2a 2 + a 5a + 2a 2 i) 3x 4y 2x + 5x + y 6x + 3y j) 3x 3 y 2 5x 3 y + x 3 y + 5x 3 y 2 2.1.2 Operaciones con expresiones algebraicas Suma y resta Las sumas y restas (o sumas algebraicas) solo pueden realizarse entre términos que sean semejantes. Sumar significa respetar el signo de cada término que se coloca después del símbolo de suma. 6
Ejemplo 2.10 (4x) + ( 5x) + (3x) + ( x) = 4x 5x + 3x x = 7x 6x = x Ejemplo 2.11 (ab) + (2ab) + ( 4ab) + ( 3ab) = ab + 2ab 4ab 3ab = 3ab 7ab = 4ab Ejemplo 2.12 (2x + y) + ( 3x 2y) = 2x + y 3x 2y = x y Restar significa cambiar por el inverso aditivo el coeficiente del término que está después del símbolo de resta. Ejemplo 2.13 Ejemplo 2.14 (4x) ( 5x) (3x) ( x) = 4x + 5x 3x + x = 6x 7x = x (ab) (2ab) ( 4ab) ( 3ab) = ab 2ab + 4ab + 3ab = 3ab + 7ab = 4ab Ejemplo 2.15 (2x + y) ( 3x 2y) = 2x y + 3x + 2y = x + y Al realizar una suma algebraica, los coeficientes se suman o restan, y las literales se conservan. Ejemplo 2.16 2a + 3a a = 5a a = 4a Coeficientes: 2 + 3 1 = 5 1 = 4. Literales: a más a = a. (metros más metros = metros, gramos más gramos = gramos) Es decir, los coeficientes se suman algebraicamente y la literal queda igual. Ejercicios 2.2 Efectuar las operaciones indicadas. Ordene alfabéticamente la expresión resultante. a) (4mn 6nm + 2p) + ( 5p 3mn) b) ( 3x 3 + 5x 2 x) + (5x 3 6x 2 ) c) (4a 2 b 2ab + 3b 2 ) ( 2b 2 + a 2 b 2ab) d) ( 2m 3 + 5m 2 6) ( m 2 + 2 5m 3 ) 7
Producto Al llevar a cabo un producto (multiplicación), los coeficientes se multiplican aplicando la Ley de los signos, TABLA 2. 3, y los exponentes de las literales se suman algebraicamente (cuando la base o literal es la misma). Ejemplo 2.17 (2a)(3a 2 )( a 5 ) = (2)(3)( 1)a 1 2+5 = 6a 4 Coeficientes: (2) (3) (-1) = - 6. Literales: 1 + (- 2) + (5) = 1 2 + 5 = 4 a 4. Es decir, los coeficientes se multiplican y los exponentes de las literales se suman algebraicamente. TABLA 2. 3 Ley de los signos MULTIPLICACIÓN O DIVISIÓN RESULTADO + + + + - - - + - - - + Cuando se realiza una multiplicación entre monomios, se efectúan los pasos siguientes. 1. Se multiplican los coeficientes aplicando la Ley de los signos. 2. Al multiplicar potencias de bases iguales se suman sus exponentes. Si hay bases que no se repiten, se conserva su potencia. Ejemplo 2.18 Ejemplo 2.19 ( xy)(3z) = ( 1)(3)(xy)(z) = 3xyz ( 3ab)( 2a 2 ) = ( 3)( 2)(ab)(a 2 ) = 6a 3 b 3. Cuando el coeficiente no está explícito (no está escrito), le corresponde el número 1 con el signo que tiene, pero éste no se escribe. Ejemplo 2.20 1xy = xy 4. Cuando el coeficiente de la literal no está explícito, le corresponde el número 1, pero éste no se escribe. Ejemplo 2.21 m 1 = m 8
Cuando se realiza una multiplicación entre un monomio y un polinomio, se efectúan los pasos siguientes. 1. Se identifican los términos del polinomio. 2. El monomio se multiplica por cada uno de los términos del polinomio, ya ordenado en forma descendente respecto a una literal. Cada multiplicación hecha genera un nuevo término. - Se multiplican los coeficientes, aplicando la Ley de los signos. - Se multiplican las literales, y si son potencias de bases iguales, sus exponentes se suman algebraicamente. Ejemplo 2.22 Ejemplo 2.23 a 2 b ( 3a + 5ab 2 c) = ( a 2 b )( 3a) + ( a 2 b )(5ab 2 ) + ( a 2 b )( c) = 3a 3 b 5a 3 b 3 + a 2 bc ( 1 3 x2 y) ( 2 5 x3 y 2 + x 2 y 3x) = ( 1 3 x2 y) ( 2 5 x3 y 2 ) + ( 1 3 x2 y) (x 2 y) + ( 1 3 x2 y) ( 3x) = 2 15 x5 y 3 + 1 3 x4 y 2 x 3 y Cuando se realiza una multiplicación entre un polinomio y otro polinomio, se efectúan los pasos siguientes. 1. Se toma el primer término del primer polinomio y éste se multiplica por cada uno de los términos del otro polinomio. Se aplica la Ley de los signos, y si son potencias de bases iguales, se suman sus exponentes. 2. El proceso anterior se repite para cada término del primer factor. 3. Se efectúa una suma de términos semejantes si los hay. - Por lo general se acomoda como primer factor el polinomio con menor cantidad de términos. Ejemplo 2.24 (2x 3y)(x 2 2xy 3y 2 ) = (2x)(x 2 ) + (2x)( 2xy) + (2x)( 3y 2 ) + ( 3y)(x 2 ) + ( 3y)( 2xy) + ( 3y)( 3y 2 ) = 2x 3 4x 2 y 6xy 2 3x 2 y + 6xy 2 + 9y 3 = 2x 3 7x 2 y + 9y 3 9
Ejemplo 2.25 (a 2 4a + 6)(7a 2 5a 2) = (a 2 )(7a 2 ) + (a 2 )( 5a) + (a 2 )( 2) + ( 4a)(7a 2 ) + ( 4a)( 5a) + ( 4a)( 2) + (6)(7a 2 ) + (6)( 5a) + (6)( 2) Ejercicios 2.3 = 7a 4 5a 3 2a 2 28a 3 + 20a 2 + 8a + 42a 2 30a 12 = 7a 4 33a 3 + 60a 2 22a 12 Efectuar las siguientes operaciones. Si es posible, simplificar las fracciones. a) ( 6x 3 y 4 z)(4x 2 yz 3 ) b) (4a 5 b 2 )( 2c 7 d) c) ( 4m 2 n 3 )(3mn 3 ) ( 1 6 m) d) ( 2m 2 n 4 )( 3mn 2 + 5m 3 n) e) ( 2a 2 b)( 3a 3 + 4ab 2 5) f) ( 2 3 x2 ) ( 1 6 x3 y 2 4 9 x2 + xy 2 ) g) ( 3 2 ab2 ) ( 2 5 a2 b 4 ab 4) 3 h) (x 2 y 8 z 6 )( xy 3 z 2 + 3x 2 z 5y 4 z 2 ) i) (3x 3 + 2x 2 )( 4x 2 + 3x) j) ( 2a 2 + 5b 3 )( 2a 2 + 5b 3 ) Cociente Al obtener el cociente (división) de expresiones algebraicas se deben realizar los pasos siguientes. 1. Si la división es de monomio entre monomio o de polinomio entre monomio, ésta deberá ser expresada en forma de fracción. 2. Se aplica la Ley de los signos. 3. Se dividen los coeficientes, y si la división no es exacta, se expresa como fracción simplificada. 10
4. Se dividen las literales. Si son bases iguales, sus exponentes se restan. Si no son bases iguales, entonces se quedan como están. Los exponentes se deben expresar como positivos. Para efectuar una división de monomio entre monomio, es conveniente que se exprese en forma de fracción y después aplicar los pasos 2, 3 y 4. Ejemplo 2.26 Ejemplo 2.27 Ejemplo 2.28 8x 5 y 2 z 3 4x 3 y 2 z = ( 8 4 ) (x5 3 )(y 2 2 )(z 3 1 ) = 2x 2 y 0 z 2 = 2x 2 z 2 4a 2 b 4 c 6a 3 b 2 c 4 = ( 4 6 ) (a2 3 )(b 4 2 )(c 1 4 ) = 4 6 a 1 b 2 c 3 = 2b2 3ac 3 2 5 x3 y 2 z 4 2 4 = ( 5 9 x2 z 4 ) (x 3 2 )(y 2 )(z 4 1 ) = 18 20 x1 y 2 z 3 = 9 10 xy2 z 3 9 Para efectuar una división de polinomio entre monomio, es conveniente que se exprese en forma de fracción y después aplicar los pasos 2, 3 y 4. Al resolver en forma de fracción será necesario separar cada uno de los términos del polinomio entre el monomio, aplicando la Ley de los signos. Ejemplo 2.29 2x 3 y 2 z 4 + 6x 2 yz 3 3x 2 y 3 z 2 = 2x3 y 2 z 4 3x 2 y 3 z 2 + 6x2 yz 3 3x 2 y 3 z 2 = ( 2 3 ) (x3 2 )(y 2 3 )(z 4 2 ) + ( 6 3 ) (x2 2 )(y 1 3 )(z 3 2 ) = 2 3 x1 y 1 z 2 + 2x 0 y 2 z 1 Ejemplo 2.30 6a 4 b 2 c a 3 b 4 c 2 12a 2 bc 3 4a 2 b 3 c 4 = 2xz2 3y + 2z y 2 = 6a4 b 2 c 4a 2 b 3 c 4 + a3 b 4 c 2 4a 2 b 3 c 4 + 12a2 bc 3 4a 2 b 3 c 4 = ( 3 2 ) (a4 2 )(b 2 3 )(c 1 4 ) + ( 1 4 ) (a3 2 )(b 4 3 )(c 2 4 ) + (3)(a 2 2 )(b 1 3 )(c 3 4 ) = 3 2 a2 b 1 c 3 + 1 4 a1 b 1 c 2 + 3a 0 b 2 c 1 = 3a2 2bc 3 + ab 4c 2 + 3 b 2 c 11
Ejemplo 2.31 5x 3 y + 9x 2 y 3 z 2 6xy 2 z 9x 2 y 3 z 2 = 5x3 y 9x 2 y 3 z 2 + 9x2 y 3 z 2 9x 2 y 3 z 2 6xy2 z 9x 2 y 3 z 2 = ( 5 9 ) (x3 2 )(y 1 3 )(z 0 2 ) + (1)(x 2 2 )(y 3 3 )(z 2 2 ) ( 2 3 ) (x1 2 )(y 2 3 )(z 1 2 ) = 5 9 x1 y 2 z 2 + x 0 y 0 z 0 2 3 x 1 y 1 z 1 = 5x 9y 2 z 2 + 1 2 3xyz = 5x 9y 2 z 2 2 3xyz + 1 Para resolver una división de un polinomio entre otro polinomio es necesario el uso de la galera ( casita ). Se deben efectuar los siguientes pasos. 1. Ordenar dividendo (adentro de la galera) y divisor (afuera de la galera), según las potencias descendentes (de mayor a menor) de una misma literal que aparezca en ambos polinomios. 2. Si el dividendo no cuenta con todas sus potencias continuas, se debe dejar un espacio en blanco en donde éstas falten. 3. Para obtener el primer término del cociente, se divide el primer término del dividendo entre el primer término del divisor. 4. Se multiplica este primer término del cociente por todo el divisor, y se resta algebraicamente del dividendo. 5. El residuo obtenido se trata como un nuevo dividendo y se repiten los pasos 3 y 4. 6. Se continúa con el mismo proceso, hasta que en el residuo el exponente de la literal escogida sea menor que el exponente de la misma literal en el divisor. 7. El resultado de la división se expresa como el cociente más/menos el residuo entre el divisor. Ejemplo 2.32 x + 2 Cociente 1. Ya están ordenados de mayor a menor. x + 1 x 2 + 3x 1 2. Las potencias son continuas. (x 2 + x) 3. x 2 x = x, primer término del cociente. 0 2x 1 4. (x)(x + 1) = x 2 + x. Se resta al dividendo. (2x + 2) 5. 2x x = 2, segundo término del cociente. 3 Residuo 6. (2)(x + 1) = 2x + 2. Se resta al dividendo, y termina la división pues en el residuo no aparece la literal seleccionada. x 2 + 3x 1 x + 1 = x + 2 3 x + 1 12
Ejemplo 2.33 4x 2 2x + 6 1. Ya están ordenados de mayor a menor. x + 3 4x 3 + 10x 2 + 3 2. Se deja espacio para la potencia 1 faltante. (4x 3 + 12x 2 ) 3. 4x 3 x = 4x 2, primer término del cociente. 0 2x 2 4. (4x 2 )(x + 3) = 4x 3 + 12x 2. Se resta al dividendo. ( 2x 2 6x) 5. 2x 2 x = 2x, segundo término del cociente. 0 6x + 3 6. ( 2x)(x + 3) = 2x 2 6x. Se resta al dividendo. (6x + 18) 7. 6x x = 6, tercer término del cociente. 15 8. (6)(x + 3) = 6x + 18. Se resta al dividendo, y termina la división. Ejercicios 2.4 4x 3 + 10x 2 + 3 x + 3 Efectuar las siguientes divisiones. a) 4m 2 n 3 8mn 4 b) 9r 4 st 2 ( 3r 2 st) c) 2x 2 y 3 z 6x 2 y 3 z d) ( 4m 3 n 4 + 10m 2 n 3 8mn) ( 2mn) e) (12p 5 q 3 r 2 6p 3 q 4 r 3 ) ( 3p 2 q 3 r) f) ( 4x 5 y 3 z 2 + 6x 3 y 2 z 8) ( x 3 y 2 ) g) (3a 2 b 3 6ab 4 + 9) 9a 2 b 3 h) (8x 2 + 6x + 4) (x + 2) i) (x 2 7x + 3) (x 4) j) (2y 3 + 5y 2 + 2y 1) (y + 3) 2.2 Productos notables = 4x 2 2x + 6 15 x + 3 Es el nombre que reciben las multiplicaciones con expresiones algebraicas que cumplen ciertas reglas fijas, cuyo resultado se puede escribir mediante simple inspección, sin realizar las operaciones. Cada producto notable corresponde a una fórmula de factorización. 13
2.2.1 Binomios conjugados El producto de la suma de dos términos por su diferencia es igual al cuadrado del término positivo (de cualquier factor) menos el cuadrado del término negativo. (x + y)(x y) = x 2 xy + xy y 2 = x 2 y 2 Ejemplo 2.34 (x + 2)(x 2) = x 2 4 (x + 2)(x 2) = x 2 2x + 2x 4, donde se eliminan 2x y +2x quedando x 2 4. Ejemplo 2.35 (x + 2 3 ) (x 2 3 ) = x2 4 9 Ejercicios 2.5 Por simple inspección determinar el resultado de los siguientes ejercicios. a) (m n)(m + n) b) (a x)(a + x) k) (4m 2 n 5 )(4m 2 + n 5 ) l) (ab 3 x 4 y)(ab 3 + x 4 y) c) ( 1 2 x2 3 4 a2 ) ( 1 2 x2 + 3 4 a2 ) d) (2a 1)(1 + 2a) e) (1 3ax)(3ax + 1) f) (2m + 9)(2m 9) g) (a 3 b 2 )(a 3 + b 2 ) h) (1 8xy)(8xy + 1) i) (a m + b n )(a m b n ) j) (a x+1 2b x 1 )(2b x 1 + a x+1 ) m) ( 3 7 a2 b 3 ) ( 3 7 + a2 b 3 ) n) (5a 6 2)(5a 6 + 2) o) (m 3 n 7 4xy 5 )(m 3 n 7 + 4xy 5 ) p) (8 + a 3 b 4 c 5 )(8 a 3 b 4 c 5 ) q) (9a 10 2b 3 c 3 )(9a 10 2b 3 c 3 ) r) (xy 9 7z 7 )(xy 9 + 7z 7 ) s) (2a 4m + 6b 3n )(2a 4m 6b 3n ) t) (5a 2x+1 b 3x 1 )(5a 2x+1 + b 3x 1 ) 2.2.2 Binomio al cuadrado A la multiplicación de un binomio por sí mismo se le conoce como binomio al cuadrado. El resultado es igual al cuadrado del primer término, más el doble producto del primer término por el segundo, más el cuadrado del segundo término. El desarrollo de un binomio al cuadrado se conoce como trinomio cuadrado perfecto (TCP). (a + b) 2 = (a + b)(a + b) = a 2 + ab + ba + b 2 = a 2 + 2ab + b 2 14
Ejemplo 2.36 (x + 3) 2 = x 2 + (2)(x)(3) + 9 = x 2 + 6x + 9 (x + 3) 2 = (x + 3)(x + 3) = x 2 + 3x + 3x + 9, se suman los términos semejantes 3x + 3x = 6x, y finalmente se obtiene x 2 + 6x + 9. Ejemplo 2.37 (x 5) 2 = x 2 + (2)(x)( 5) + 25 = x 2 10x + 25 Ejercicios 2.6 Por simple inspección determinar el resultado de los siguientes ejercicios. a) (m + n) 2 b) (5 + x) 2 c) (9 + 4m) 2 d) ( 4 2 5 + 3x2 ) e) ( 2 3 x + 3y) 2 f) (a 2 x + by 2 ) 2 g) (3a 2 + 8b 4 ) 2 h) (4m 5 + 5n 6 ) 2 i) (a m + a n ) 2 j) (x a+1 + y x 2 ) 2 k) (3m 2 4n 7 ) 2 l) (12 5x 3 y 5 ) 2 m) ( 9 2 4 m3 4n 4 ) n) ( 7 2 3 x3 3y 5 z 5 ) o) (7x 8 5y 9 ) 2 p) (8a 3 x 10 3b 4 y 7 ) 2 q) (12a 4 7b 9 c 6 ) 2 r) ( 3m 6 + 13n 13 ) 2 2.2.3 Binomio al cubo Cuando un binomio se multiplica por sí mismo tres veces se tiene un binomio al cubo. El resultado es el cubo del primer término, más el triple producto del cuadrado del primer término por el segundo, más el triple producto del primer término por el cuadrado del segundo, más el cubo del segundo término. El desarrollo de un binomio al cubo se conoce como cubo perfecto. (a + b) 3 = (a + b)(a + b)(a + b) = (a + b) 2 (a + b) = (a 2 + 2ab + b 2 )(a + b) (a + b) 3 = a 3 + a 2 b + 2a 2 b + 2ab 2 + ab 2 + b 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 Ejemplo 2.38 (x + 2) 3 = x 3 + 6x 2 + 12x + 8 5
(x + 2) 3 = (x + 2)(x + 2)(x + 2) = (x + 2) 2 (x + 2), y se desarrolla el binomio al cuadrado. (x + 2) 3 = (x 2 + 4x + 4)(x + 2) = x 3 + 2x 2 + 4x 2 + 8x + 4x + 8, y se suman los términos semejantes 2x 2 + 4x 2 = 6x 2 y 8x + 4x = 12x. (x + 2) 3 = x 3 + 6x 2 + 12x + 8 Ejemplo 2.39 (x 3) 3 = x 3 + (3)(x 2 )( 3) + (3)(x)(9) + ( 27) (x 3) 3 = x 3 9x 2 + 27x 27 Ejercicios 2.7 Por simple inspección determinar el resultado de los siguientes ejercicios. a) (a + 2) 3 b) (x 1) 3 c) (m + 3) 3 d) (n 4) 3 e) (2x + 1) 3 f) (2 + y 2 ) 3 g) (1 2n) 3 h) (4n + 3) 3 i) (a 2 2b) 3 j) (2x + 3y) 3 2.2.4 Triángulo de Pascal Es un número infinito de números enteros ordenado en forma de triángulo que expresan coeficientes binomiales. Es decir, permite la generación de los coeficientes de los binomios elevados al cuadrado, cubo y así sucesivamente. En la Fig. 2. 2 se muestra una representación del triángulo de Pascal. Fig. 2. 2 Triángulo de Pascal 5
Este triángulo se elabora con el número uno en la punta. A partir de la segunda fila, los números de cada cuadro se generan con la suma de los números de los cuadros directamente arriba del cuadro donde se colocará el número buscado. La Fig. 2. 3 muestra lo anterior aplicado a la fila cuatro (binomio al cubo). Fila 3 1 2 1 1 1+2 2+1 1 Fila 4 1 3 3 1 Fig. 2. 3 Triángulo de Pascal. Binomio al cubo Así, quedan comprobados los coeficientes de un binomio al cubo. (a + b) 3 = 1a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + 1b 3 De igual forma, se obtienen los coeficientes de binomios elevados a diferentes potencias. 2.2.5 Binomios con término común El producto de dos binomios del tipo (x + a) y (x + b), donde "x" es el término común es igual al cuadrado del término común, más el producto de la suma de los términos no comunes por el termino común, más el producto de los términos no comunes. Agrupando los términos: xb + ax = x(a + b) (x + a)(x + b) = x 2 + xb + ax + ab (x + a)(x + b) = x 2 + x(a + b) + ab = x 2 + (a + b)x + ab Ejemplo 2.40 (x + 2)(x + 3) = x 2 + 5x + 6 (x + 2)(x + 3) = x 2 + 3x + 2x + 6. Agrupando los términos semejantes 3x + 2x = 5x. (x + 2)(x + 3) = x 2 + 5x + 6 Ejemplo 2.41 Ejemplo 2.42 (x + 4)(x 7) = x 2 + (4 7)x + ( 28) = x 2 3x 28 (x 1)(x 5) = x 2 + ( 1 5)x + 5 = x 2 6x + 5 6
Ejercicios 2.8 Por simple inspección determinar el resultado de los siguientes ejercicios. a) (a + 1)(a + 2) b) (x 3)(x 1) c) (a 2 + 5)(a 2 9) d) (x 2 1)(x 2 7) e) (n 3 1)(n 3 6) f) (x 3 + 7)(x 3 6) g) (a 5 2)(a 5 + 7) h) (xy 2 9)(xy 2 + 12) i) (a 2 b 2 1)(a 2 b 2 + 7) j) (a x 3)(a x + 8) 2.3 Factorización La factorización es un proceso contrario a la multiplicación y su objetivo es simplificar las expresiones algebraicas. Factorizar significa encontrar los factores que pueden originar una cantidad. Es la representación de una cantidad o expresión algebraica como producto de dos o más factores, es decir, la descomposición en factores. Ejemplo 2.43 18 = (1)(18) = (2)(9) = (3)(6) = (2)(3)(3) 2.3.1 Factor común de un polinomio En este proceso se transforma una suma algebraica en un producto de factores, aplicando la propiedad distributiva. Para llevar a cabo este proceso, es necesario identificar el factor común (que se repite) en el polinomio. El factor común puede ser un número o literal, un monomio o un polinomio. Los pasos a seguir para realizar una factorización por factor común son los siguientes. 1. Identificar visualmente cuál o cuáles son los términos comunes en el polinomio. Éste será el factor común. 2. Dividir el polinomio entre el factor común para así obtener el otro factor. 7
Ejemplo 2.44 ax bx + cx x ax x bx x + cx x = a b + c ax bx + cx = x (a b + c) Expresión Factor común Segundo factor Factorización Ejemplo 2.45 x(a + b) (a + b) x(a + b) y(a + b) + z(a + b) (a + b) y(a + b) z(a + b) + = x y + z (a + b) (a + b) x(a + b) y(a + b) + z(a + b) = (a + b)(x y + z) Expresión Factor común Segundo factor Factorización Ejemplo 2.46 4x 2 y 2y 4x 2 y 8xy + 2y 2y 8xy 2y + 2y 2y = 2x2 4x + 1 4x 2 y 8xy + 2y = 2y (2x 2 4x + 1) Expresión Factor común Segundo factor Factorización Ejemplo 2.47 a 2 (x y) 3 (x y) a 2 (x y) 3 b 2 (x y) 2 + c(x y) b2 (x y) 2 (x y) (x y) c(x y) + (x y) = a2 b 2 + c Expresión Factor común Segundo factor a 2 (x y) 3 b 2 (x y) 2 + c(x y) = (x y)(a 2 b 2 + c) Factorización Ejercicios 2.9 Factorizar los siguientes polinomios. a) 7a 7b + 7c 7d b) 49x 4 35x 3 + 14x 2 c) m 2 (a + b) + n(a + b) 8
d) 8t2 5 + 12t 25 16 15 e) ( 1 3 a2 + 2 5 b) (4 5 x2 ) + ( 1 3 a2 + 2 5 b) (2 5 y) f) 44a 3 b 4 + 33a 2 b 3 11ab 2 g) (6x 7y)(a + b) 2 + ( 2x 5y)(a + b) 2 h) 9x 2 (3a + 2b 4c) 9x 2 ( 5a + 3b 6c) 2.3.2 Factorización por agrupación Cuando se tienen polinomios que no tienen un solo factor común pero algunas literales se repiten en él, se puede aplicar la propiedad asociativa y la propiedad conmutativa a estos términos semejantes y después factorizar. Ejemplo 2.48 ax + by cx + dx ey ax + by cx + dx ey (ax cx + dx) + (by ey) x (a c + d) + y (b e) Expresión Términos semejantes Agrupación Factorización Ejemplo 2.49 am an + bm bn am an + bm bn (am + bm) + ( an bn) m (a + b) n (a + b) (a + b)(m n) Expresión Términos semejantes Agrupación Primera Factorización Segunda Factorización Ejemplo 2.50 5a 2 + 3ax 10a + 6x 5a 2 + 3ax 10a + 6x Expresión Términos semejantes ( 5a 2 10a) + (3ax + 6x) 5a (a + 2) + 3x (a + 2) (a + 2)( 5a + 3x) = (a + 2)(3x 5a) Agrupación Primera Factorización Segunda Factorización 9
Ejercicios 2.10 Factorizar los siguientes polinomios. a) ax 2 + ay 2 bx 2 + cy b) 2am + 6bn 9cn + 5dm 3n c) 4a 2 + ab 4a b d) m 2 b 2 + m b 2 m e) 2x 2 3xy 4x + 6y 2.3.3 Factorización de una diferencia de cuadrados En el tema 2.2.1, se demostró que al multiplicar la suma de dos términos por su diferencia (binomios conjugados), se obtiene como resultado una diferencia de cuadrados. Ahora se invertirá ese proceso. Es decir, si se tiene una diferencia de cuadrados, cómo obtener el producto de una suma por su diferencia (binomios conjugados). Esto quiere decir que se encontrará el par de factores que originaron la diferencia de cuadrados. Para factorizar una diferencia de cuadrados (una vez verificado que se trata de ésta), se deben realizar los pasos siguientes. 1. Se extrae la raíz cuadrada al primer y segundo término. 2. Se multiplica la suma de estas raíces por su diferencia. - En la diferencia, el sustraendo debe ser la raíz cuadrada del sustraendo de la diferencia de cuadrados. Ejemplo 2.51 16m 2 25n 2 4m 5n (4m + 5n)(4m 5n) Diferencia de cuadrados Raíz cuadrada primer término Raíz cuadrada segundo término Binomios conjugados Ejemplo 2.52 8x 2 2y 2 = 2 (4x 2 y 2 ) Diferencia de cuadrados 2x Raíz cuadrada primer término y Raíz cuadrada segundo término 2 (2x + y)(2x y) Binomios conjugados 10
Ejemplo 2.53 9a 3 x 4 16a 3 y 2 = a 3 (9x 4 16y 2 ) 3x 2 4y a 3 (3x 2 + 4y)(3x 2 4y) Diferencia de cuadrados Raíz cuadrada primer término Raíz cuadrada segundo término Binomios conjugados Ejercicios 2.11 Factorizar las siguientes diferencias de cuadrados. a) 9x 4 4y 2 b) 25a 2 x 16b 6 x c) 81m 8 1 d) 25x 6 100 e) 18m 2 50n 2 f) 16a 4 b 2 9c 6 g) 9a 4am 10 h) 64x 8 y 4 1 i) 1 4 a4 4 25 b6 j) 81xy 6 9 4 x k) 4 49 x6 1 9 y4 2.3.4 Factorización del trinomio cuadrado perfecto (TCP) En el tema 2.2.2 se desarrolló un binomio al cuadrado obteniendo como resultado un trinomio que recibe el nombre de trinomio cuadrado perfecto. Ahora se factorizará el trinomio cuadrado perfecto, es decir, se tendrá que encontrar los factores que lo originaron. Antes de factorizar un trinomio cuadrado perfecto se debe identificar que realmente lo es. Para que el trinomio sea cuadrado perfecto, deberá estar ordenado en forma descendente respecto a una literal y debe cumplir las condiciones siguientes. 1. El primer y último término deben tener raíz cuadrada exacta y ser positivos. 2. El segundo término debe ser el doble del producto de las raíces de ambos términos. 11
Ejemplo 2.54 9x 4 + 12x 2 y + 4y 2 9x 4 = 3x 2 Raíz cuadrada exacta 4y 2 = 2y 2 (3x 2 )(2y) = 12x 2 y Ejemplo 2.55 SÍ es un TCP 49x 6 + 70x 2 + 25 49x 6 = 7x 3 Raíz cuadrada exacta 25 = 5 2 (7x 3 )(5) = 70x 3 70x 2 NO es un TCP Una vez que se ha identificado sin error un trinomio cuadrado perfecto, se deben realizar los pasos siguientes para llevar a cabo el proceso de factorización. 1. Se extrae la raíz cuadrada al primer y tercer término del trinomio. 2. Con estas raíces se forma un binomio que tendrá el signo del segundo término del trinomio, es decir, será una suma o diferencia. 3. Deberá colocarse al cuadrado para finalizar la factorización (ya que este binomio es la raíz cuadrada del trinomio). En los siguientes ejemplos no se efectuará la identificación del TCP, ya que todos serán trinomios cuadrados perfectos. Ejemplo 2.56 9a 2 + 6ab + b 2 3a Trinomio cuadrado perfecto Raíz cuadrada primer término + Signo del segundo término b (3a + b) 2 Raíz cuadrada tercer término Binomio al cuadrado 12
Ejemplo 2.57 16m 6 24m 3 y 2 + 9y 4 4m 3 3y 2 (4m 3 3y 2 ) 2 Trinomio cuadrado perfecto Raíz cuadrada primer término Signo del segundo término Raíz cuadrada tercer término Binomio al cuadrado Ejemplo 2.58 50ax 2 20axy + 2ay 2 2a (25x 2 10xy + y 2 ) 5x y 2a (5x y) 2 Trinomio cuadrado perfecto Reescritura Raíz cuadrada primer término Signo del segundo término Raíz cuadrada tercer término Binomio al cuadrado Ejercicios 2.12 Factorizar los siguientes trinomios cuadrados perfectos. a) x 2 2x + 1 b) a 4 + 4a 2 b + 4b 2 c) 64x 48ax + 9a 2 x d) 25x 6 + 30x 3 y 2 + 9y 4 e) 50x 6 + 60x 3 + 18 f) 25 20x 2 y 3 + 4x 4 y 6 g) 4a 4 b 6 + 12a 2 b 3 x 3 y + 9x 6 y 2 h) 9 25 y6 8 5 y3 + 16 9 i) 1 25 x2 + 4 15 x + 1 9 j) x 6 10 7 x3 y 2 + 25 49 y4 13
2.3.5 Factorización de un cubo perfecto En el tema 2.2.3 se demostró que un binomio al cubo da como resultado un polinomio de cuatro términos que recibe el nombre de cubo perfecto. Ahora, corresponde invertir el proceso, es decir, si se tiene un cubo perfecto (polinomio de cuatro términos), cómo obtener el cubo que lo generó. Antes de factorizar un polinomio de cuatro términos como un cubo perfecto, se debe verificar que en realidad lo sea. Para comprobar si es un cubo perfecto, se utiliza el siguiente procedimiento. 1. El primero y el cuarto términos deben ser cubos perfectos. Esto quiere decir que deben tener una raíz cúbica exacta. 2. El segundo término debe ser el triple del cuadrado de la raíz cúbica del primer término por la raíz cúbica del último término. 3. El tercer término debe ser el triple de la raíz cúbica del primer término por el cuadrado de la raíz cúbica del último término. Ejemplo 2.59 27a 3 54a 2 b + 36ab 2 8b 3 3 27a 3 3 = 3a Raíz cúbica exacta 8b 3 = 2b 3 (3a) 2 ( 2b) = 54a 2 b 3 (3a)( 2b) 2 = 36ab 2 Ejemplo 2.60 SÍ es un cubo perfecto x 6 9x 4 + 27x 2 + 27 3 x 6 = x 2 3 Raíz cúbica exacta 27 = 3 3 (x 2 ) 2 (3) = 9x 4 9x 4 3 (x 2 )(3) 2 = 27x 2 NO es un cubo perfecto 14
Una vez que se ha identificado un cubo perfecto, se puede realizar su factorización siguiendo los pasos que a continuación se enumeran. 1. Se extrae la raíz cúbica del primero y último términos. 2. La factorización será el cubo de la suma algebraica de las raíces cúbicas obtenidas en el punto anterior. En los siguientes ejemplos no se efectuará la identificación del cubo perfecto, ya que todos serán cubos perfectos. Ejemplo 2.61 27a 3 54a 2 b + 36ab 2 8b 3 3a 2b (3a 2b) 3 Cubo perfecto Raíz cúbica primer término Raíz cúbica último término Binomio al cubo Ejemplo 2.62 x 3 + 3x 2 + 3x + 1 Cubo perfecto x Raíz cúbica primer término 1 Raíz cúbica último término (x + 1) 3 Binomio al cubo Ejemplo 2.63 8a 3 c 12a 2 bc + 6ab 2 c b 3 c c (8a 3 12a 2 b + 6ab 2 b 3 ) 2a b c (2a b) 3 Cubo perfecto Reescritura Raíz cúbica primer término Raíz cúbica último término Binomio al cubo Ejercicios 2.13 Factorizar los siguientes cubos perfectos. a) 125 75x 2 + 15x 4 x 6 b) m 6 + 3m 4 n + 3m 2 n 2 + n 3 c) 8a 3 b 36a 2 b + 54ab 27b d) a 9 + 12a 6 b + 48a 3 b 2 + 64b 3 15
e) xy 15 3xy 10 z 6 + 3xy 5 z 12 xz 18 f) 64x 6 y 3 96x 4 y 2 z + 48x 2 yz 2 8z 3 g) 27a 6 b 9 + 27a 4 b 6 + 9a 2 b 3 + 1 h) 64x 6 144 5 x4 + 108 25 x2 27 125 i) 1 8 a3 + 1 2 a2 + 2 3 a + 8 27 2.3.6 Factorización de un trinomio de la forma x 2 +bx+c En el tema 2.2.5 se desarrolló el producto de binomios con término común para obtener un trinomio de la forma x 2 + bx + c, Fig. 2. 4. Ahora corresponde factorizar el trinomio de esa misma forma, es decir, encontrar el par de binomios que lo originaron. Fig. 2. 4 Trinomio de la forma x 2 + bx + c Para factorizar un trinomio de la forma x 2 + bx + c, se realiza el procedimiento siguiente. 1. El primer término de ambos factores será la raíz cuadrada del primer término del trinomio. 2. Los dos términos que faltan deben cumplir las condiciones que siguen: - Su producto debe ser igual al tercer término del trinomio (c). - La suma algebraica de éstos ha de ser igual al coeficiente del segundo término del trinomio (b). Nota uno: Si el término independiente c es positivo, entonces ambos factores serán sumas, o ambos diferencias. Si el término independiente c es negativo, entonces un factor será suma y el otro factor será diferencia. Nota dos: Si el coeficiente b es positivo, y se tiene un factor suma y un factor diferencia, el número mayor va en la suma. Si el coeficiente b es negativo, y se tiene un factor suma y un factor diferencia, el número mayor va en la diferencia. Nota tres: Si el coeficiente b es positivo, ambos factores deberán ser suma. Si el coeficiente b es negativo, ambos factores deberán ser diferencia. 16
Ejemplo 2.64 x 2 + 3x 10 Trinomio 2 5 Números propuestos ( 2)(5) = 10 2 + 5 = 3 (x 2)(x + 5) = (x + 5)(x 2) Multiplicación (c) Suma algebraica (b) Factorización Para encontrar los dos números que cumplan las condiciones del punto 2, y poder llegar a la factorización, se propone lo siguiente. - Descomponer en factores primos el término independiente. Para esto, se puede aplicar una de las técnicas utilizadas para encontrar el máximo común divisor, o el mínimo común múltiplo, pero ahora solo con un número (término independiente, con signo positivo, ya que el arreglo de signos se considera más adelante). Este proceso consiste en ir dividiendo la cantidad original entre números enteros hasta llegar a la unidad. Inicio 10 1 10 1 = 10 10 2 10 2 = 5 5 5 5 5 = 1 1 } 10 = (1)(2)(5) - Encontrar las posibles combinaciones de números que irán en los factores, combinando los factores primos del paso anterior. (1)[(2)(5)] = (1)(10) [(1)(2)](5) = (2)(5) - De acuerdo a la Nota 1, como el término independiente ( 10) es negativo, entonces una factor es suma y otro diferencia. Por tanto, existen cuatro posibles soluciones. (x + 1)(x 10) (x + 10)(x 1) (x + 2)(x 5) (x + 5)(x 2) Primer par de números Segundo par de números - De acuerdo a la Nota 2, como el coeficiente b es positivo, el número mayor del par de números encontrados debe ir en el factor suma. (x + 10)(x 1) (x + 5)(x 2) Primera opción Segunda opción 17
- Realizar la suma algebraica de los términos no comunes (números) en cada par de binomios y comprobar cuál de ellos arroja el coeficiente b (que es igual a 3). Ejemplo 2.65 10 + ( 1) = 10 1 = 9 3 NO CUMPLE 5 + ( 2) = 5 2 = 3 CUMPLE x 2 + 5x + 6 (x + 5)(x 2) Factorización Trinomio 2 3 Números propuestos (2)(3) = 6 Multiplicación (c) 2 + 3 = 5 Suma algebraica (b) (x + 2)(x + 3) Factorización - Descomponer en factores primos el término independiente. Inicio 6 1 6 1 = 10 6 2 6 2 = 3 3 3 3 3 = 1 1 } 6 = (1)(2)(3) - Encontrar las posibles combinaciones de números que irán en los factores, combinando los factores primos del paso anterior. (1)[(2)(3)] = (1)(6) [(1)(2)](3) = (2)(3) - De acuerdo a la Nota 1, como el término independiente (6) es positivo, entonces ambos factores son suma o ambos son diferencia. Por tanto, existen cuatro posibles soluciones. (x + 1)(x + 6) (x 1)(x 6) (x + 2)(x + 3) (x 2)(x 3) Primer par de números Segundo par de números - De acuerdo a la Nota 3, como el coeficiente b es positivo, ambos factores deberán ser suma. (x + 1)(x + 6) (x + 2)(x + 3) Primera opción Segunda opción 18
- Realizar la suma algebraica de los términos no comunes (números) en cada par de binomios y comprobar cuál de ellos arroja el coeficiente b (que es igual a 5). Ejercicios 2.14 1 + 6 = 7 5 NO CUMPLE 2 + 3 = 5 CUMPLE (x + 2)(x + 3) Factorizar los siguientes trinomios de la forma x 2 + bx + c. a) y 2 12y + 32 b) x 2 + 16x + 63 c) n 2 2n 80 d) m 2 + 6m 40 e) y 2 11y + 24 f) z 2 7z 18 g) x 2 7x + 6 h) a 2 + 4a 45 i) a 2 14a + 45 j) a 2 4a 45 Factorización 2.3.7 Factorización de un trinomio de la forma ax 2 +bx+c Los trinomios de la forma ax 2 + bx + c son originados por un par de binomios con términos semejantes. Esto quiere decir que tienen la misma literal, pero su coeficiente puede ser diferente de uno. Ejemplo 2.66 (12x 2 5x 2) = (3x 2)(4x + 1) La diferencia entre este trinomio y el estudiado en el tema anterior, es que el coeficiente del término cuadrático en un trinomio de la forma ax 2 + bx + c es diferente de uno (y cero). Factorizar un trinomio de la forma ax 2 + bx + c significa encontrar el par de factores que le dieron origen. Uno de los procesos para realizar una factorización en este tipo de trinomios se muestra a continuación. 19
1. Se multiplica el coeficiente del primer término (a) por el tercer término (c). 2. Se buscan dos número que, multiplicados den dicho número encontrado en el paso 1, pero que al sumarlos algebraicamente, den por resultado el coeficiente del segundo término del trinomio (b). Se puede utilizar el mismo procedimiento aplicado en el tema 2.3.6 para encontrar estos dos números. 3. Se sustituyen estos dos números encontrados por el coeficiente del segundo término (b). 4. Se realiza una factorización por agrupación, agrupando los términos de dos en dos, de manera que sus coeficientes puedan factorizarse. 5. Se factoriza nuevamente por factor común (el factor común es un binomio). Estos factores resultantes son los que originaron el trinomio. Ejemplo 2.67 5x 2 8x + 3 Trinomio (5)(3) = 15 Paso 1 3 5 ( 3)( 5) = 15 3 + ( 5) = 3 5 = 8 } Paso 2 5x 2 + ( 3 5)x + 3 = 5x 2 3x 5x + 3 Paso 3 5x 2 3x 5x + 3 = 5x(x 1) 3(x 1) Paso 4 (x 1)(5x 3) Paso 5 Ejemplo 2.68 Ejercicios 2.15 4y 2 + 16y + 7 Trinomio (4)(7) = 28 Paso 1 2 14 (2)(14) = 28 2 + 14 = 16 } Paso 2 4y 2 + (2 + 14)y + 7 = 4y 2 + 2y + 14y + 7 Paso 3 4y 2 + 2y + 14y + 7 = 2y(2y + 1) + 7(2y + 1) Paso 4 (2y + 1)(2y + 7) Paso 5 Factorizar los siguientes trinomios de la forma ax 2 + bx + c. a) 2x 2 + x 15 20
b) 3x 2 10x 8 c) 4y 2 + 9y + 2 d) 3x 2 16x + 16 e) 5x 2 + 8x + 3 f) 2y 2 y 6 2.3.8 Factorización por fórmula general Otro método para la factorización de trinomios de la forma vista en el tema 2.3.6 y 2.3.7, es la aplicación de la fórmula general para resolución de ecuaciones cuadráticas. Este método consiste en lo siguiente. x = b ± b2 4ac 2a 1. Identificar en el trinomio las variables a, b y c, las cuales son los coeficientes de cada término del trinomio. 2. Sustituir los valores de a, b y c en la fórmula general, y obtener las dos soluciones. Cabe señalar que la fórmula general tiene tres posibles casos: Tiene dos soluciones reales, una solución real única, o no tiene solución real. En los ejemplos y ejercicios siguientes se presentará solamente el caso de dos soluciones reales. 3. Reacomodar las soluciones en forma de factores, como se muestra en la Fig. 2. 5. Fig. 2. 5 Fórmula general. Solución Factor Ejemplo 2.69 5x 2 8x + 3 x = b ± b2 4ac 2a a = 5, b = 8, c = 3 = ( 8) ± ( 8)2 4(5)(3) 2(5) 21 = 8 ± 64 60 10 x = 8 + 2 10 = 10 = 1 x = 1, (x 1) 10 = 8 ± 4 10 = 8 ± 2 10
x = 8 2 10 = 6 10 = 3 5 x = 3, (5x 3) 5 (x 1)(5x 3) Ejemplo 2.70 4y 2 + 16y + 7 y = b ± b2 4ac 2a Ejercicios 2.16 y = y = a = 4, b = 16, c = 7 = (16) ± (16)2 4(4)(7) 2(4) 16 + 12 8 16 12 8 y = 16 ± 12 8 = 16 ± 256 112 8 = 4 8 = 1 2 y = 1, (2y + 1) 2 = 28 8 = 7 2 (2y + 1)(2y + 7) 7 y =, (2y + 7) 2 = 16 ± 144 8 Factorizar los siguientes trinomios de la forma ax 2 + bx + c, utilizando la factorización por fórmula general. a) 14x 2 29x 15 b) 8x 2 10x 3 c) 6y 2 13y 15 d) 5m 2 18m 8 e) 2x 2 + x 28 2.3.9 Factorización de una suma o diferencia de cubos perfectos La suma o diferencia de cubos perfectos se originan con el producto de un par de factores que no tienen un nombre específico, pero es importante conocer. Al realizar el producto de (a + b) por (a 2 ab + b 2 ) se obtiene una suma de cubos perfectos. De igual forma, al multiplicar (a b) por (a 2 + ab + b 2 ) se obtiene una diferencia de cubos perfectos. 22
Ejemplo 2.71 (a + b)(a 2 ab + b 2 ) = a 3 a 2 b + ab 2 + a 2 b ab 2 + b 3 a 3 + b 3 Suma de cubos perfectos Ejemplo 2.72 (a b)(a 2 + ab + b 2 ) = a 3 + a 2 b + ab 2 a 2 b ab 2 b 3 a 3 b 3 Diferencia de cubos perfectos Antes de factorizar una suma o diferencia de cubos perfectos, se debe verificar que en realidad lo sea. Para comprobar si es una suma o diferencia de cubos perfectos, se debe verificar que ambos términos sean cubos perfectos, esto quiere decir que deben tener una raíz cúbica exacta. Ejemplo 2.73 27x 6 + 64 3 27x 6 = 3x 2 3 Raíz cúbica exacta 64 = 4 SI es una suma de cubos perfectos Ejemplo 2.74 8x 9 1 3 8x 9 = 2x 3 3 Raíz cúbica exacta 1 = 1 SI es una diferencia de cubos perfectos Ejemplo 2.75 x 12 + 20 3 x 12 = x 4 3 Raíz cúbica 20 = NO EXACTA NO es una suma de cubos perfectos Una vez que se ha identificado una suma o diferencia de cubos perfectos, se puede realizar su factorización siguiendo los pasos que a continuación se enumeran. Cabe recordar que 23
está factorización consistirá en la descomposición de la suma o diferencia de cubos perfectos en dos factores, el primero compuesto de un binomio, y el segundo de un trinomio. 1. Se extrae la raíz cúbica de cada uno de los términos de la suma o diferencia de cubos perfectos. 2. El primer factor será la suma algebraica de las dos raíces cúbicas obtenidas en el paso anterior. 3. Para obtener el trinomio correspondiente al segundo factor, se aplican las reglas siguientes a los términos del binomio del primer factor. - El primer término del trinomio (segundo factor) es el cuadrado del primer término del binomio (primer factor). - El segundo término del trinomio (segundo factor) es el inverso aditivo del producto de los dos términos del primer factor. - El tercer término del trinomio (segundo factor) es el cuadrado del segundo término del binomio (primer factor). Ejemplo 2.76 8x 3 + 27 Suma de cubos perfectos 2x 3 Paso 1 (2x + 3) Paso 2 (2x) 2 = 4x 2 [(2x)(3)] = 6x (3) 2 = 9 (4x 2 6x + 9) (2x + 3)(4x 2 6x + 9) } Paso 3 Factorización Ejemplo 2.77 64x 6 y 3 27z 3 Suma de cubos perfectos 4x 2 y 3z Paso 1 (4x 2 y 3z) Paso 2 (4x 2 y) 2 = 16x 4 y 2 [(4x 2 y)( 3z)] = 12x 2 yz ( 3z) 2 = 9z 2 (16x 4 y 2 + 12x 2 yz + 9z 2 ) (4x 2 y 3z)(16x 4 y 2 + 12x 2 yz + 9z 2 ) } Paso 3 Factorización 24
Ejercicios 2.17 Factorizar las siguientes sumas o diferencias de cubos. a) 8x 3 + 27 b) x 6 + 64y 3 c) 1 8b 3 d) 27x 3 y 12 e) 8y 6 + 1 f) 64ax 3 27ay 9 g) 16a 6 54b 3 h) 8 27 x9 + 125 i) 1 8 a 64 27 ax3 j) a 6 + b 9 2.4 Ecuaciones Una ecuación es una igualdad en la que hay una o varias cantidades desconocidas, llamadas incógnitas, y cuyo valor sólo se verifica con determinados valores de ellas. Esto quiere decir que el valor de la incógnita se debe encontrar siguiendo algunos procedimientos matemáticos. Para encontrar el valor de las incógnitas es importante reconocer los elementos de la ecuación. El grado de una ecuación, es el que determina el número de soluciones por encontrar. Este grado está dado por el mayor exponente de la incógnita. Es decir, si el mayor exponente de la incógnita es 2, ello significa que la incógnita tiene dos soluciones. La incógnita en una ecuación de primer grado (donde el exponente es 1) tiene una solución, es decir, sólo puede tener un valor. Estas ecuaciones también reciben el nombre de lineales. Las ecuaciones de segundo grado (donde el exponente es 2) reciben el nombre de cuadráticas y la incógnita tiene dos soluciones, es decir, puede tener dos valores que la resuelvan. En una igualdad se verifican dos partes llamadas: miembros de la igualdad (o ecuación), uno localizado a la izquierda, y en el que generalmente se ubica la incógnita, y otro a la derecha, en donde por lo regular están las cantidades conocidas. En este apartado se abordarán ecuaciones de primer y segundo grado con una incógnita, y sistemas de ecuaciones de primer grado con dos incógnitas. 25
Reglas para la resolución de ecuaciones 1. Si los dos miembros de una ecuación se suman o se restan con una misma cantidad, positiva o negativa, la ecuación o igualdad no se afecta. 2. Si los dos miembros de una ecuación se multiplican o dividen por una misma cantidad, positiva o negativa, la ecuación o igualdad no se afecta. 3. Si los dos miembros de una ecuación se elevan a la misma potencia, o se les extrae una raíz de mismo índice, la ecuación o igualdad no se afecta. 2.4.1 Ecuaciones lineales La forma general de una ecuación de primer grado, o ecuación lineal, con una incógnita está dada por ax = b, en donde a y b representan valores conocidos (a es un coeficiente, y b un término independiente) y x constituye la variable. Gráficamente, mediante este tipo de función se obtiene una línea recta. Una ecuación lineal con más de una incógnita se representa como a 1 x 1 + a 2 x 2 + + a n x n = b. Solución de ecuaciones lineales Una solución para una ecuación lineal es una sucesión de n números s 1, s 2 s n que satisfacen la igualdad, cuando se sustituyen en ella. Ejemplo 2.78 6x 1 3x 2 + 4x 3 = 13 Donde x 1 = 2, x 2 = 3 y x 3 = 4 son soluciones de la ecuación, ya que satisfacen la igualdad al sustituir los valores de las variables. 6(2) 3(3) + 4( 4) = 13 12 9 16 = 13 13 = 13 Para resolver ecuaciones de primer grado con una incógnita, se deben llevar a cabo algunos pasos. 1. Se efectúan las operaciones indicadas si las hay, en caso de tener signos de agrupación (paréntesis, corchetes, llaves), quitarlos de adentro hacia afuera. 2. Se agrupan los términos que contengan variables en un miembro de la ecuación (lado izquierdo), y en el otro miembro de la ecuación (derecho) las constantes. 3. Se reducen términos semejantes. 4. Se despeja la incógnita, determinando su valor. De ser posible, verificar el resultado, sustituyendo el valor encontrado en la ecuación original. 26
Ejemplo 2.79 (x 2) 2 (3 x) 2 = 1 Se desarrollan las operaciones, en este caso los binomios al cuadrado, y la eliminación de los signos de agrupación. (x 2 4x + 4) (9 6x + x 2 ) = 1 x 2 4x + 4 9 + 6x x 2 = 1 Se agrupan en el miembro izquierdo las variables y en el derecho las constantes. Se reducen términos semejantes. Se despeja el valor de la variable. x 2 x 2 4x + 6x = 1 4 + 9 2x = 6 x = 6 2 = 3 Sustituyendo el resultado en la ecuación original, se obtiene la verificación de que efectivamente la cantidad encontrada es la solución de la ecuación lineal. Ejercicios 2.18 (x 2) 2 (3 x) 2 = 1 (3 2) 2 (3 3) 2 = 1 (1) 2 (0) 2 = 1 1 = 1 Encontrar la solución de las siguientes ecuaciones. a) 5x = 8x 15 b) y 5 = 3y 25 c) 9y 11 = 10 + 12y d) 11x + 5x 1 = 65x 36 e) 8x (4 3x) = 7x + (x + 14) f) 5y + (6y 81) = 7y + 102 + 65y g) 16 + 7x 5 + x = 11x (3 + x) 27
h) 3x + 101 (4x + 33) = 108 (16x + 100) i) 14 (12x 39x + 18x) = 256 (60x + 657x) j) 8x (15x + 30x + 51x) = 53x + (31x 172) Aplicaciones Hay ecuaciones cuyo planteamiento deriva de problemas del lenguaje común. En tal caso, es necesario interpretarlas correctamente para encontrar la solución al problema. Es importante recordar que las respuestas a las preguntas planteadas en los problemas deben responder exactamente lo que se está solicitando. Ejemplo 2.80 Si Juan tiene el doble de dinero que Pedro, y entre ambos reúnen 60 pesos, cuánto dinero tiene cada uno?, cómo plantear la ecuación que represente este problema? - Para asignar la incógnita a alguna de las dos personas, en este caso, se hace la pregunta: quién tiene menos dinero? - Como Pedro tiene menos dinero, entonces a él le corresponde la incógnita x. Juan tiene el doble de dinero que Pedro, entonces le corresponde 2x, de esta manera la ecuación que representa el problema está dada por 2x + x = 60. - Una vez planteada la ecuación, se resuelve para encontrar el valor de la incógnita y así saber cuánto dinero tienen Juan y Pedro. 2x + x = 60 3x = 60 x = 60 3 = 20 Solución: Se sustituye el valor de la incógnita en los términos asignados a cada persona. A Pedro le corresponde x, por lo tanto tiene 20 pesos. A Juan le corresponde 2x, por lo tanto tiene 40 pesos. Ejemplo 2.81 20 + 40 = 60 Comprobación Encontrar las magnitudes de un terreno rectangular (largo y ancho). Los datos que se conocen son su perímetro igual a 390 metros, y que el ancho del terreno tiene 45 metros menos que el largo. - Por los datos que se proporcionan, se sabe que el ancho mide 45 metros menos que el largo, por lo que en este problema es conveniente asignar la incógnita x al largo. Para este tipo de problemas, es recomendable representar mediante alguna figura el problema planteado, como se muestra en la Fig. 2. 6. 28
Fig. 2. 6 Terreno rectangular - Se plantea la ecuación en base a los datos proporcionados y la incógnita asignada. Perímetro = P = 2 veces el largo + 2 veces el ancho = 390 metros P = 2(x) + 2(x 45) = 390 2x + 2x 90 = 390 4x = 480 x = 480 4 = 120 Solución: Se sustituye el valor de la incógnita en los términos asignados a dimensión. Al largo le corresponde x, por lo tanto mide 120 metros. Al ancho le corresponde x 45, por lo tanto tiene 75 metros. Ejercicios 2.19 2(x) + 2(x 45) = 2(120) + 2(75) = 240 + 150 = 390 Comprobación Resolver los siguientes problemas mediante la ecuación de primer grado que originan. a) Mi hermana tiene 16 pesos menos que yo. Si entre las dos tenemos 50 pesos, cuánto tenemos cada una? b) Gasté 27 pesos comprando un cuaderno, un bolígrafo y una goma de borrar. El cuaderno costó seis veces más que la goma y la pluma 12 pesos menos que el cuaderno, cuánto costó cada uno? c) A Mayté le doy cierta cantidad de dinero, y a su hermana Susana el doble de esta cantidad disminuida en 20 pesos. Si entre las dos se repartieron 280 pesos, cuánto dinero recibe cada una? d) Se compra un vestido, una blusa y una playera por 400 pesos. La playera costó la mitad de lo que cuesta la blusa, pero el vestido costó 100 pesos más que ésta, cuánto se pagó por cada prenda? e) Si tenemos 25 centímetros de listón y queremos formar un triángulo isósceles, cuya base mida la mitad de lo que miden sus lados iguales, cuánto debe medir la base y cuánto los lados iguales? 29
f) Las edades de tres niñas suman 35 años. La mayor tiene el doble de años que la menor, y la segunda tiene tres más que la pequeña, cuántos años tiene cada una? g) Dos costales de naranjas pesan 35 kilogramos y uno de ellos tiene las dos quintas partes del peso del otro, cuánto pesa cada costal? h) Necesitamos almacenar 24 toneladas de maíz en dos bodegas: una de ellas tiene una capacidad de tres quintas partes de la otra, cuánto maíz se almacena en cada bodega? 2.4.2 Sistemas de ecuaciones simultáneas con 2 incógnitas Un sistema de ecuaciones es un conjunto de dos más ecuaciones con dos o más incógnitas. Cuando en este conjunto de ecuaciones el mismo valor de cada una de las incógnitas satisface la igualdad, se tiene un sistema de ecuaciones simultáneas. Ejemplo 2.82 x + y = 5 x y = 1 El sistema planteado representa un sistema de ecuaciones simultáneas, ya que existen valores de x y y que satisfacen simultáneamente ambas ecuaciones. x = 3, y = 2 3 + 2 = 5 3 2 = 1 Un sistema de ecuaciones puede ser de tres tipos. - Determinado, cuando el sistema tiene una única solución. - Indeterminado, cuando el sistema tiene una cantidad infinita de soluciones. - Incompatible, cuando el sistema no tiene solución real. Para resolver un sistema de ecuaciones simultáneas con dos incógnitas existen los diversos métodos: suma y resta, igualación, sustitución, regla de Cramer, y método gráfico, sin embargo en este curso solamente se resolverán los sistemas mediante el método de suma y resta. Método de suma y resta Este método, también conocido como reducción, consiste en igualar los coeficientes de la misma variable en ambas ecuaciones, pero uno con signo contrario del otro, de manera que al realizar la suma algebraica de estas variables se elimine, y se pueda despejar y encontrar el valor de la variable restante. Ejemplo 2.83 5x + 6y = 20 4x 3y = 23 30