Funciones reales de variable real 1 Unidad 6: Funciones reales de variable real. 1.- Concepto de función. Expresión analítica de una función. Variables x e y Existe relación entre x e y No hay relación Función: a cada valor de x le corresponde un único valor de y Otro tipo de relación Por ejemplo: si un vehículo circuló a una velocidad constante de 110 km/h por una autovía durante cinco horas, las variables x: tiempo en horas, y: distancia recorrida en kilómetros están relacionadas, y su relación es de tipo funcional. Una función es una relación entre dos variables que asocia a cada valor de la primera variable (variable independiente x), un único valor de la segunda variable (variable dependiente y). Esta relación se representa. En el caso de que tanto los valores de la variable dependiente como los de la variable independiente sean números reales, la función se denomina función real de variable real. A se le llama imagen de x.
Funciones reales de variable real 2 Una función puede expresarse de distintas formas: Mediante una tabla de valores x: tiempo en horas 1 2 3 4 5 distancia en kilómetros recorrida 110 220 330 440 550 Mediante su expresión analítica (expresión matemática o fórmula con la que se establece la relación entre las dos variables, por ejemplo ). Las funciones pueden venir definidas en ocasiones por medio de varias fórmulas como, por ejemplo, las funciones definidas a trozos) Mediante su representación gráfica (conjunto de puntos del plano )
Funciones reales de variable real 3 No todas las curvas del plano se corresponden con la gráfica de una función. Para que esto se verifique, debe cumplirse que a cada valor de la variable independiente le corresponde un único valor de la variable dependiente. De esta forma la gráfica 1 corresponde a una función y la gráfica 2 no. Gráfica 1 Gráfica 2 Expresión analítica en forma implícita La variable dependiente no está definida en función de la variable independiente. Por ejemplo, la ecuación general de la recta 1.- A partir de los siguientes enunciados determina: a) Las variables que intervienen, considerando la unidad de su medida. b) Las variables dependientes e independientes y la función que establece dicha dependencia.
Funciones reales de variable real 4 El coste de consumo de electricidad que se factura con la siguiente regla: un coste fijo de 11,78 euros por la potencia contratada y 0,092834 euros por kwh. El importe a pagar en una gasolinera en la que cada litro de gasolina se cobra a 1,14 euros. El volumen de un cilindro de radio 3 cm y altura h. La hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 3cm y x cm respectivamente. El precio de un artículo y la rebaja de un 5% que realiza un determinado centro comercial sobre dicho artículo. 2.- Dominio y recorrido de una función. Dominio (o campo de existencia) Para obtener el dominio de una función que viene dada por su expresión analítica se tiene que tener en cuenta las operaciones que no se pueden realizar en el conjunto de los números reales, es decir: No se puede dividir ningún número real entre 0. Se pueden calcular los radicales de índice par sólo si el radicando es mayor o igual a 0. En ocasiones el dominio tiene restricciones por otros motivos. El contexto del problema del cual está extraída la función. Por voluntad o interés de quien propone la función. 2.- Calcula el dominio de las siguientes funciones.
Funciones reales de variable real 5 Recorrido o imagen El recorrido lo obtendremos, la mayoría de las veces, a partir de la gráfica de la función. x "Anchura" Dominio y "Altura" Recorrido 3.- Calcula el dominio y el recorrido de las funciones cuyas gráficas son: 4.- Calcula el dominio de las siguientes funciones: 5.- Dada la función, construye una tabla para los valores de x: -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 y representa dichos pares en los ejes de coordenadas. A partir de la representación, podrías perfilar la gráfica de la función? 6.- Dadas las funciones: Determina si las siguientes curvas son la gráfica de alguna de las funciones anteriores.
Funciones reales de variable real 6 7.- Las siguientes curvas son las gráficas de varias funciones. Determina para cada una su dominio y recorrido: 3.- Características generales de las funciones a partir de la gráfica. A partir de la gráfica de una función, es posible determinar ciertas características de la misma que nos ofrecen una amplia información sobre su comportamiento. Gráfica 1 Creciente: Decreciente: Máximo relativo en Máximo absoluto no tiene. Mínimo relativo en Mínimo absoluto en No está acotada superiormente. Está acotada inferiormente. No es simétrica par ni impar. es una cota inferior.
Funciones reales de variable real 7 No es periódica. Crecimiento y decrecimiento (monotonía) es estrictamente creciente (decreciente) en un intervalo si del intervalo con se verifica que ( es creciente (decreciente) en un intervalo si del intervalo con se verifica que ( Máximos y mínimos relativos (o locales) y absolutos (o global) (extremos de la función) Una función tiene un máximo (mínimo) relativo en si existe un entorno tal que de dicho intervalo se verifica que Una función tiene un máximo (mínimo) absoluto en si se verifica que. Funciones acotadas Superiormente: si existe un número K tal que. A K se le llama cota superior. Inferiormente: si existe un número K tal que. A K se le llama cota inferior. Funciones periódicas de periodo T (T > 0) Una función es periódica de periodo T si se verifica Funciones simétricas pares e impares Simetría par: Si se verifica (simétrica respecto del eje OY) Simetría impar: Si se verifica (simétrica respecto del eje origen de coordenadas O(0,0))
8.- Estudia las características de las siguientes funciones. Funciones reales de variable real 8
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Funciones reales de variable real 10 9.- Analiza si las siguientes funciones son pares o impares: 10.- Las siguientes curvas son las gráficas de tres funciones: Determina en cada una de ellas los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los máximos y mínimos, y si están acotadas. 11.- Estudia si las siguientes funciones son pares o impares e indica el tipo de simetría: 12.- Construye la gráfica de dos funciones periódicas, la primera de periodo 3 y la segunda de periodo 5.
Funciones reales de variable real 11 4.- Clasificación de las funciones A partir de la expresión analítica de las funciones podemos efectuar la siguiente clasificación: Funciones algebraicas: son las funciones cuya expresión analítica está construida a partir de las operaciones algebraicas: suma, resta, producto, división, potenciación y radicación. Las funciones algebraicas se clasifican a su vez en: Polinómicas Racionales: cociente de polinomios Irracionales: raíz n - ésima de una función Funciones transcendentes: aquellas que no son algebraicas. 5.- Funciones polinómicas Su dominio es todo R 5.1.- Polinómincas de grado cero: funciones constantes Su gráfica es una recta horizontal que pasa por el punto (0, k) (paralela al eje X) 5.2.- Polinómicas de primer grado: funciones afines y lineales Función lineal: Función afín: Su gráfica es una recta oblicua de pendiente m. 13.- Calcula la expresión analítica de una función afín que pasa por el punto y tienen pendiente m =3. 14.- Determina el dominio y el recorrido de las siguientes funciones: 5.3.- Polinómicas de segundo grado: funciones cuadráticas Función cuadrática: Su gráfica es una parábola. Para realizar su representación debemos tener en cuenta: Si a>0, la parábola es abierta hacia arriba: convexa Si a<0, la parábola es abierta hacia abajo: cóncava
Funciones reales de variable real 12 El vértice de la parábola tiene por abscisa. La ordenada se calcula sustituyendo en la función. Los puntos de corte con el eje X se obtienen resolviendo la ecuación El punto de corte con el eje Y es (0,c) El eje de la parábola es paralelo al eje Y, y pasa por el vértice. El máximo o mínimo global de la función se alcanza en. 15.- Representa la siguiente función cuadrática y determina su vértice, puntos de corte con los ejes, dominio y recorrido: 16.- Determina la expresión analítica de una función afín f que verifica y cuyo dominio de definición es [-1,3]. Representa gráficamente dicha función. 17.- Determina la expresión analítica de una función afín que verifica y cuya pendiente es -2, definida en [0,5). 18.- Representa las funciones cuadráticas siguientes y determina su recorrido: 19.- Representa las funciones: 6.- Funciones definidas a trozos El dominio de definición de estas funciones se obtiene analizando el dominio de cada una de las funciones que la definen. La gráfica resulta de la representación parcial de cada una de las funciones definidas. El recorrido se puede obtener fácilmente una vez realizada la representación gráfica de la función. 20.- Representa gráficamente la función y determina su dominio y recorrido
Funciones reales de variable real 13 21.- Representa gráficamente las funciones y determina en cada una de ellas su dominio y recorrido: b) c) 7.- Función valor absoluto El valor absoluto de una función se denota por y se define de la siguiente forma. Para efectuar la representación gráfica de la función representamos en primer lugar la función. Los situados debajo del eje Y, se transforman en otros tramos simétricos respecto del eje OX. 22.- Representa y define como funciones definidas a trozos: 8.- Operaciones con funciones Las funciones reales de variable real pueden operarse entre sí utilizando las principales operaciones algebraicas: suma, resta, producto, cociente, Por ejemplo:
Funciones reales de variable real 14 Si, entonces Si, entonces Si, entonces 22.- Dadas las funciones calcula las funciones 23.- Lo mismo que en el ejercicio anterior para: así como sus dominios de definición. 9.- Composición de funciones A cada valor de x primero se le aplica la función f, y al resultado obtenido le aplicamos la función g. Siempre se nombra, en primer lugar, la función que está más a la derecha ya que es la que primero se aplica sobre la variable independiente. Por ejemplo, si, se tiene
Funciones reales de variable real 15 La composición de funciones no es conmutativa: no se obtiene, en general, el mismo resultado si cambiamos el orden de la composición. Siguiendo con el ejemplo anterior se tiene Luego 24.- Dadas las funciones. Calcula y determina el dominio de definición de ambas funciones. 25.- Dadas las funciones. Calcula el dominio de definición de la función. 26.- Sean las funciones. Calcula y determina el domino de definición de cada una de ellas. 27.- Dadas las funciones calcula: y determina el dominio de cada una de ellas. 28.- Sean las funciones. Calcula: Comprueba que.