1 Ejercicios 1-1 (R = reales Q=racionales Z = enteros N = naturales) 1. Muestre que la relación D denida en R por adb a b Z es una relación de equivalencia. a. Describa los elementos en la clase de equivalencia de 0 b. Decida si es cierto o falso: (a) -2.73 [0.73] (b) -2.73 [0.27] c. Demuestre que [a] = [ a] para todo a R d. Demuestre que para cada a R existe b R, 0 b < 1, tal que [a] = [b] 2. Dena en R la relación M por amb a b 3. Decida si M es una relación de equivalencia en R 3. Dena en Z la relación S por asb ab 0. Decida si S es una relación de equivalencia 4. Sea A = { 5, 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3}. Dena en A la relación T por at b 3a + 6b = 9c, para algún c Z. a. Demuestre que T es una relación de equivalencia en A. b. Determine todas las distintas clases de equivalencia de T 5. Determine todos los elementos de los conjuntos: a. {m Z mn = 30, para algún n Z} b. {m Z m 2 m < 115} 6. Sea S = {n N 1 + 3 1 + 3 2 + + 3 n = 3n+1 1 }. Sea T = {n N n S}. 2 Justique. a. 1 T. b. Si T, entonces existe m T tal que m x, todo x T. Además m > 1 y m 1 S 7. Sea S = {n N n > 1, n divide a 1253}. Justique a. S b. Existe un natural r S tal que r s, todo s S. c. Demuestre que r debe ser un número primo. (Suponga que r no es primo, luego r = uv, con 1 < u < r, 1 < v < r.) 8. Sea h un número real, h > 0 y sea K = {n N (1 + h) n > 1 + nh}. a. Justique 1 K. b. Justique 2 K. c. Suponga que 10 K. Demuestre que 11 K. d. Demuestre que K = N
2 9. Sea a = 7227 y sea b = 2112 a. Halle el máximo común divisor entre a y b. b. Halle enteros u y v tales que mcd(a, b) = au + bv 10. Sea a = 12327 y sea b = 2409. a. Halle el máximo común divisor entre a y b. b. Halle enteros u y v tales que mcd(a, b) = au + bv 11. Sea a = 12564 y b = 5108. Claramente mcd(a, b) 1. Muestre que existe un entero u, 1 < u < a, tal que a ub 12. Halle un entero x, 1 < x < 31, tal que 71x 7 mód 31 13. Halle un entero x, 1 < x < 35, tal que 48x 16 mód 35 14. Sea n 2 un entero. Sea p un entero positivo. Suponga que p mód n = r (luego 0 r < n). Calcule p mód n. Justique su respuesta. 15. Si 9 19683 1 mód 23, halle un entero r, 1 < r < 23, tal que 9r 1 mód 23 16. Calcule a. 17 mód 5 b. 17 mód 5 c. 45 mód 18 d. 245 mód 71 e. 245 mód 71 f. 781 mód 245 g. 35 mód 11 h. 80 mód 11 i. (35 80) mód 11 j. (35 + 80) mód 11 k. (80 35) mód 11 l. (35 80) mód 11 17. La tabla indica los valores de 2 n mód 21: n 1 2 3 4 5 6 2 n mód 21 2 4 8 16 11 1 Calcule a. (2 3 + 2 5 ) mód 21 b. (2 5 2 4 ) mód 21 c. 2 34 mód 21 d. 8 9 mód 21 e. Muestre que para n 7, 2 n mód 21 es uno de los números 2, 4, 8, 16, 11, 1 18. La tabla indica los valortes de 3 n mód 21 n 1 2 3 4 5 6 7 3 n mód 21 3 9 6 18 12 15 3 Calcule a. (3 10 + 3 8 ) mód 21 b. (1 + 3 + 3 2 + 3 3 ) mód 21 c. 9 5 mód 21 19. Sea [11] 31 la clase de equivalencia de 11 módulo 31 y sea [11] 37 la clase de 11 módulo 37. Muestre que [11] 31 [11] 35 20. Sean n y m enteros, 2 n < m. Sea [1] n la clase de equivalencia de 1 módulo n y sea [1] m la clase de equivalencia de 1 módulo m. Muestre que [1] n [1] m.
3 21. Sea A = {x Z 0 x < 18}. Complete las tablas de valores de las funciones F : A A, F (x) = (3x) mód 18 y G(x) = (13x) mód 18 x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 F (x) 0 9 3 15 6 G(x) 0 13 8 a. Muestre que F No es inyectiva (1-1) b. Muestre que G Es inyectiva (luego epiyectiva) c. Como G es inyectiva y epiyectiva, tiene una función inversa G 1. La función inversa es de la forma G 1 (x) = (bx) mód 18. Determine el valor de b. 22. Sea B = {x Z 0 x < 100}. a. Muestre que existe un entero k, 1 < k < 100 tal que (44k) mód 100 = 0. b. Halle un entero m, 1 < m < 100, tal que 51m 1 mód 100 c. Muestre que la función F : B B, F (x) = (44x) mód 100 No es inyectiva 23. Sea B = {x Z 0 x < 100}. a. Muestre que mcd(51, 100) = 1. b. Muestre que la función G : B B, G(x) = (51x) mód 100 es inyectiva 24. Efectúe las operaciones y exprese el resultado como un entero positivo menor que el módulo, o cero. a. 23 57 mód 7 b. 467 ( 236) mód 5 c. ( 76) ( 96) mód 15 d. 23 57 mód 7 e. 467 ( 236) mód 5 f. ( 76) ( 96) mód 15 g. 5 23 mód 6 h. 7 47 mód 5 i. 45 29 mód 7 25. Construya la tabla de adición módulo 4. 26. Construya la tabla de multiplicación módulo 5 excluyendo la clase de 0. 27. Construya la tabla de multiplicación de (U 12, ) 28. El conjunto U 20 es un grupo con la operación de multipliación en Z 20. El elemento identidad es 1. Halle el inverso de 3, 7, 9, 11, 13, 17, 19. 29. Sea Y = {(a, b) R R a 0}. Dados (a, b), (c, d) Y, dena (a, b) (c, d) = (ac, ad + b). a. Demuestre que es una operación en Y. b. Demuestre que existe un elemento e Y tal que e z = z e = z, todo z Y. c. Demuestre que para cada x Y existe x Y tal que x x = x x = e. d. Demuestre que Y es un grupo con la operación.
4 30. Decida si la expresión dada dene una operación en el conjunto C. Justique a. C = { a b a, b Z, a > 0, b > 0}. Dados a b C, c d C, dena a b c d = a + c b + d (Dos fracciones a b y c d son iguales si ad = bc.) b. C = { a b a, b Z, a > 0, b > 0}. Dados a b C, c d C, dena a b c d = a + c bd c. x, y R, x > 0, y > 0, x y = x y d. n, m N. n m = n m e. a, b Z. a b = (ab + a + b) mód 11 f. x, y R, x 0, y 0, x y = x y 31. Dados a, b Z, sea a b = ab + a + b. a. Halle e Z tal que a e = e a = a, todo a Z. Justique b. Muestre que (a b) c = a (b c), todo a, b, c Z c. Muestre que existe a Z tal que a b e, todo b Z (e como en a.) d. ¾Es (Z, ) un grupo? 32. Dados a, b Z, sea a b = (ab+a+b) mód 11. ¾Existe e Z tal que a e = e a = a, todo a Z? Justique 33. Sean a b, c d Q. Muestre que a b c d = ad + bc bd es una operación 34. Sea D = R { 2}. para x, y D dena x y = xy + 2x + 2y + 2. Esta es una operación en D a. Muestre que x y 2 todo x, y D. b. Muestre que existe e D tal que a e = e a = e, todo a D. c. Halle a D tal que a 0 = e d. Dado a D halle b D tal que a b = e e. Muestre que la función f : D D, f(a) = 10 a es uno a uno. ( ) ( ) 1 + ı 1 ı ı 2 ı 35. Sean A = y B = 2 3 + 2ı 2 3ı ı Calcule a. AB = b. BA =, c. Halle M M(C) tal que MA = ( ) 1 0 0 1 ( ) 1 2 36. Sea M = donde a R. Halle un número a para el cual MN = 0, para 3 a alguna matriz N 0
{( ) } a b 37. Sea T = a, b R. Muestre que si t b a 1 T y t 2 T, entonces t 1 t 2 T [t 1 t 2 es el producto de matrices] 38. Dé ejemplo de matrices A y B con coecientes en {0, 1} tales que AB BA 39. Sean z 1, z 2 C. Demuestre que z 1 z 2 = z 1 z 2 y z 1 z 2 = z 1 z 2 (Mire z 2 ) {( ) } a b 40. Sea T = a, b R. 0 0 a. Halle A T tal que AB = B, todo B T. b. Escoja una matriz E T tal que BE E, todo B T c. ¾Es T un grupo con la operación de multiplicación de matrices? Justique. 41. Sea F = {z C z 8 = 1}. (No trate de hallar los elementos de F ) a. Justique F b. Justique: Si a, b F, entonces ab F. (Use que z 1 z 2 = z 2 z 1, todo z 1, z 2 C) c. Muestre que si z F, entonces z 1 F 42. Sea A = N {1}. Muestre que la función f : N A, f(n) = n + 1 es biyectiva 43. Sea B = R {1}. Determine una función g de R en B que sea biyectiva 44. Dena en A = Z 14 la operación a b = a + b + 13, donde + es la adición mód 14. a. Muestre que la operación es asociativa b. Halle e A tal que a e = e a = a, todo a A c. Muestre que (A, ) es un grupo. 45. Halle un entero x, 0 x < 172, tal que 33x 5 mód 172 46. Halle un entero x, 0 x < 35, tal que 421x 8 mód 35 47. Para x Z, sea [x] 4 la clase de equivalencia de x mód 4 y [x] 8 la clase de equivalencia de x mód 8. ¾Cuál de las siguientes relaciones es una función? a. {[x] 4, [x] 8 ) Z 4 Z 8 x Z} b. {[2x] 4, [x] 8 ) Z 4 Z 8 x Z} c. {[x] 8, [x] 4 ) Z 8 Z 4 x Z} 5