Tema 8: Cuerpos geométricos Matemáticas Específicas para Maestros 1º Grado en Educación Primaria
Definiciones Cuerpos geométricos Poliedros. Elementos. Clasificaciones: o Poliedros cóncavos y convexos. o Poliedros regulares e irregulares. Prismas Elementos. Clasificaciones. Pirámides Elementos. Clasificaciones Cuerpos/sólidos de revolución Cilindro. Elementos. Clasificación. Cono. Elementos. Clasificación. Esfera. Elementos. ÍNDICE Teoremas y fórmulas para el cálculo de área y volumen Teorema de Euler Área total de poliedros regulares Área lateral y total y volumen de prismas Área lateral y total y volumen de pirámides Área total y volumen de cilindro, cono y esfera Relación entre el volumen de una esfera, un cilindro y un cono 2
Qué es un cuerpo geométrico? Definición: un cuerpo geométrico es una porción del espacio cerrada o limitada por superficies. En este tema nos centraremos en dos tipos: poliedros y cuerpos de revolución. 3
Poliedros 4
Poliedro: definición Definición: un poliedro es la región del espacio limitada por polígonos. De la definición se deduce que las caras de un poliedro son planas, luego ningún poliedro puede tener ninguna superficie curva 5
Poliedro: elementos Caras: son los polígonos que delimitan el poliedro. Aristas: son los segmentos intersección de cada dos caras. Es decir, los lados de las caras del poliedro. Vértices: son los puntos donde concurren tres o más aristas. Es decir, son los vértices de las caras del poliedro. 6
Poliedro: elementos Diagonales: son los segmentos que unen dos vértices no consecutivos. Ángulos diedros: los obtenidos al cortarse dos caras, tienen una arista en común. Ángulos poliédricos: los obtenidos al cortarse tres o más caras del poliedro, tienen un vértice común. 7
Poliedros: clasificación Hay varias formas de clasificar los poliedros: Según sean cóncavos o convexos Según la igualdad de sus caras: regulares o irregulares 8
Poliedros cóncavos y convexos Poliedro convexo: cuyas diagonales son internas. Equivalentemente: El poliedro en el que una recta solo puede cortar a su superficie en dos puntos. El poliedro en el que ninguna cara corta al poliedro al prolongarla. Poliedro cóncavo: es aquel no convexo. Es decir, que tiene al menos una diagonal externa. Equivalentemente: El poliedro en el que una recta puede cortar a su superficie en tres puntos o más. El poliedro que tiene al menos una cara que al prolongarla corta al poliedro. 9
Poliedros cóncavos y convexos Convexo Cóncavo 10
Teorema de Euler Fórmula de Euler para poliedros convexos: Nº de caras + Nº de vértices = Nº de aristas + 2 Cuáles de los siguientes poliedros son cóncavos y cuáles convexos? Cumplen todos la fórmula de Euler? 11
Poliedros regulares o irregulares Poliedro regular: es aquel cuyas caras son polígonos regulares y congruentes entre sí (es decir, de lados y ángulos iguales). Poliedro irregular: es aquel no regular. 12
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Poliedros regulares 14
Solo existen 5 poliedros regulares, también llamados sólidos platónicos: https://es.wikipedia.org/wiki/s%c3%b3lidos_plat%c3%b3nicos 15
Tetraedro Su superficie está formada por 4 triángulos equiláteros Tiene 4 vértices y 6 aristas Desarrollo plano: Área = 4 x Área triángulo 16
Hexaedro Su superficie está formada por 6 cuadrados Tiene 8 vértices y 12 aristas Desarrollo plano: Área = 6 x Área cuadrado 17
Octaedro Su superficie está formada por 8 triángulos equiláteros Tiene 6 vértices y 12 aristas Desarrollo plano: Área = 8 x Área triángulo 18
Dodecaedro Desarrollo plano Su superficie está formada por 12 pentágonos regulares Tiene 20 vértices y 30 aristas Área = 12 x Área pentágono 19
Icosaedro Su superficie está formada por 20 triángulos equiláteros Tiene 12 vértices y 30 aristas Desarrollo plano: Área = 20 x Área triángulo 20
Prismas (un tipo particular de poliedro) 21
Prisma: definición Un prisma es un poliedro que tiene dos caras paralelas e iguales (llamadas bases) y el resto de sus caras, (llamadas laterales) son paralelogramos. Elementos: Altura: distancia entre las bases Arista básica: arista de las bases Arista lateral: arista de las caras laterales 22
Prismas: clasificación Hay varias formas de clasificar los prismas: Según sus caras laterales sean rectángulos o no (rectos u oblicuos) Según sus bases sean: Polígonos regulares o no (regulares o irregulares) Triángulos, cuadrados, pentágonos (triangular, cuadrangular, pentagonal ) 23
Prismas: rectos u oblicuos Prisma recto: sus caras laterales son rectángulos Prisma oblicuo: sus caras laterales no son rectángulos 24
Prismas: regulares o irregulares Prisma regular: sus bases son polígonos regulares Prisma irregular: sus bases son polígonos irregulares 25
Prismas: triangulares, cuadrangulares, pentagonales Reciben su nombre del tipo de polígono que tienen de base. Prisma triangular Prisma cuadrangular Prisma pentagonal Los prismas cuyas bases son paralelogramos se llaman paralelepípedos 26
Prismas: área y volumen Área lateral de un prisma recto A L =perímetro de la base x h Área total de un prisma recto A T =A L +2A B Volumen de cualquier prisma V=A B x h 27
Pirámides (un tipo particular de poliedro) 28
Pirámide: definición Una pirámide es un poliedro con una sola base poligonal y caras laterales que son triángulos con un vértice común, el vértice de la pirámide. Elementos: Altura: distancia entre la base y el vértice Apotema: altura de una cara Arista básica: arista de la base Arista lateral: arista que concurre en el vértice 29
Pirámides: clasificación Al igual que pasaba con los prismas, hay varias formas de clasificar las pirámides: Según sus caras laterales sean triángulos isósceles o no (rectas u oblicuas) Según sus bases sean: Polígonos regulares o no (regulares o irregulares) Triángulos, cuadrados, pentágonos (triangular, cuadrangular, pentagonal ) 30
Pirámides: rectas u oblicuas Pirámide recta: sus caras laterales son triángulos isósceles, es decir, la línea que une el vértice con el centro del polígono de la base coincide con la altura de la pirámide Pirámide oblicua: no es recta 31
Pirámides: regulares o irregulares Pirámide regular: su base es un polígono regular Pirámide irregular: su base es un polígono irregular 32
Pirámides: triangulares, cuadrangulares, pentagonales Reciben su nombre del tipo de polígono que tienen de base. Pirámide triangular Pirámide cuadrangular Pirámide pentagonal 33
Pirámides: área y volumen Área lateral de una pirámide recta A L = 1 2 perímetro base x ap. cara lateral Área total de una pirámide recta A T =A L +A B Volumen de cualquier pirámide V(pirámide)= 1 3 V(prisma)=1 3 A B x h https://www.youtube.com/watch?v=qxc8uzy_hfw 34
Cuerpos/sólidos de revolución 35
Cuerpos/sólidos de revolución Llamamos cuerpo o sólido de revolución al cuerpo geométrico obtenido al rotar una región del plano alrededor de una recta ubicada en el mismo, las cuales pueden o no cruzarse. Dicha recta se denomina eje de revolución. 36
Cilindro recto Llamamos cilindro recto al cuerpo geométrico que se obtiene al girar un rectángulo alrededor de un eje paralelo a él. 37
Cilindros: área y volumen Área lateral A L = 2 πr h Área total A T = A L + 2A B = 2 πr h + 2πr 2 A T = 2 πr (r + h) Volumen V = πr 2 h 38
Cono recto Llamamos cono recto al cuerpo geométrico que se obtiene al girar un triángulo rectángulo alrededor de uno de sus catetos. Cumple: h 2 + r 2 = g 2 39
Conos: área y volumen Área lateral A L = 2π r 2 π g πg2 = πr g Área total A T = A L + A B = πrg + πr 2 A T = πr (g + r) Volumen V cono = 1 3 V(cilindro) = 1 3 πr2 h https://www.youtube.com/watch?v=rzkhnizbc_k (min 0-1:15) 40
Esfera Llamamos esfera de radio r al conjunto de los puntos del espacio que están a una distancia menor o igual que r de otro punto llamado centro. La esfera es también un cuerpo de revolución que se obtiene al girar medio círculo alrededor de uno de sus diámetros. 41
Esferas: volumen V = 4 3 πr3 Demostración : Arquímedes probó: V(esfera)= 2 3 V(cilindro) https://www.youtube.com/watch?v=rzkhnizbc_k (1:15-2:00) Por tanto, V(esfera)= 2 3 πr2 h = 2 3 πr2 2r = 4 3 πr3 42
Relación entre los volúmenes de cilindro, esfera y cono https://www.youtube.com/watch?v=rzkhnizbc_k (min 2-2:30) Comprobación usando las relaciones ya vistas: V(cono)+V(esfera)= 1 3 V(cilindro)+2 3 V(cilindro)=V(cilindro) Comprobación usando las fórmulas ya vistas: V(cono)+V(esfera) = 1 3 πr2 h + 4 3 πr3 = 1 3 πr2 2r + 4 3 πr3 = 2πr 3 V(cilindro)=πr 2 h = πr 2 (2r) = 2πr 3 43
Esferas: área A = 4πr 2 Demostración : V = 1 3 ra L https://www.youtube.com/watch?v=eg8vo2i_2gs 4 3 πr3 = 1 3 ra L A L = 4πr 2 44