Microeconomía Avanzada I Apéndices Matemáticos - Tania Larrainci Extremos de una función: Máximo, mínimo, cotas, supremo e ínfimo Definiciones: APENDICE MATEMÁTICO Decimos que D R es un conjunto acotado superiormente З k, k Є R / para todo x Є D se cumple que x k. k se denomina cota superior del conjunto D. Decimos que D R es un conjunto acotado inferiormente З h, h Є R / para todo x Є D se cumple que h x. h se denomina cota inferior del conjunto D. Definiciones: Supremo e ínfimo Decimos que k es el supremo ( o extremo superior) del conjunto D conjunto D y para todo δ > 0, З x, x Є D / k δ < x k. Decimos que h es el ínfimo ( o extremo inferior) del conjunto D conjunto D y para todo δ > 0, З x, x Є D / h x < h + δ. Definiciones: (Máximo i mínimo de un conjunto) R k es cota superior del R h es cota inferior del Decimos que el conjunto D tiene un máximo (mínimo) З una cota superior (inferior) del conjunto D que pertenece al conjunto D Máximo y mínimo de una función en un conjunto que pertenece a R d Definiciones: (Máximo de una función en un conjunto) Sea ƒ : A = R d R / C A, diremos que el real M es el máximo de la función ƒ en el conjunto C, З un x M Є C / ƒ(x M ) = M y M f(x) para todo x Є C Esto significa que el conjunto de reales ƒ(c) = { ƒ(x) / x Є C } tiene un máximo. Definiciones: (mínimo de una función en un conjunto) Sea ƒ : A = R d R / C A, diremos que el real m es el mínimo de la función ƒ en el conjunto C, З un x m Є C / ƒ(x m ) = m y m f(x) para todo x Є C Esto significa que el conjunto de reales ƒ(c) = { ƒ(x) / x Є C } tiene un mínimo
Microeconomía Avanzada I Apéndices Matemáticos - Tania Larrainci Ejemplo: Sea: ƒ : A = R 2 R / ƒ(x, y) = x 2 + y 2. Hallar, si З máximo y mínimo de ƒ en R 2. 1º Observar que ƒ(x, y) = x 2 + y 2 0. Para todo (x,y) Є R 2, luego 0 = ƒ(0, 0) = mín. R 2 ƒ. 2º Observar que ƒ (R 2 ) = [0, ) por lo que el mín. R 2 ƒ = mín. ƒ (R 2 ) = 0 3º En esta función no existe máx.ƒ (R 2 ) pues el conjunto ƒ (R 2 ) no tiene máximo. Definiciones: Conjuntos de nivel Se considera la función ƒ: A R d R, llamamos conjunto de nivel α Є R de la función ƒ, al conjunto C ƒ, α = { x Є A: ƒ(x)= α } ; o sea, que C ƒ, α se compone de todos los puntos del dominio de ƒ donde la función ƒ alcanza el valor α. Ejemplo:Sea ƒ: R 2 R / ƒ(x, y) = x + y. Hallar el conjunto de nivel α de ƒ para cada α Є R. Primero, planteamos el conjunto: C ƒ, α = { (x,y) Є R 2 : ƒ(x,y) = α } = { (x,y) Є R 2 : x + y = α} Entonces, para cada α Є R, el conjunto de nivel α de ƒ es una recta de coeficiente angular 1 que corta al eje vertical en y = α Por ejemplo: C ƒ, 0 = { (x,y) Є R 2 : ƒ(x,y) = 0 } = { (x,y) Є R 2 : x + y = 0} conjunto de nivel 0 de ƒ C ƒ, 1 = { (x,y) Є R 2 : ƒ(x,y) = 1 } = { (x,y) Є R 2 : x + y = 1} conjunto de nivel 1 de ƒ z = 2 z = 1 Y-x=0 = z z = - 1
Microeconomía Avanzada I Apéndices Matemáticos - Tania Larrainci Continuidad de una función: Definición: Función continua en un punto. Decimos que ƒ: R 2 R es continua en (a.b) Є Dom (ƒ) sii dado ε > 0, cualquiera, З δ > 0 / sii (x,y)є [B ((a,b),δ) Dom( ƒ )] ƒ(x,y) Є [ƒ (a,b) ε, ƒ (a,b) + ε ] B (ƒ(a,b),ε) Ejemplo: Sea ƒ: R 2 R / xy 2 (x,y) (0,0) ƒ(x, y) = x 2 +y 4 Estudiar si es continua en (0,0) 0 (x,y) = (0,0) Cuando hay un punto de discontinuidad, podemos intentar ver que pasa si nos acercamos a la función por diferentes caminos. R y=0 con x 0 + R x=0 con y 0 + R1:y = x Rm:y = mx R 1: y =x con x 0 R m: y = mx con x 0 Veamos que: ƒ R y=0 : ƒ(x, 0) = x0 2 = 0 = 0 0 = ƒ(0, 0) x 2 +0 4 x 2 ƒ R x=0 : ƒ(0, y) = 0y 2 = 0 = 0 0 = ƒ(0, 0) 0 2 +y 4 y 4 ƒ R 1 : ƒ(x, y) = ƒ(x, x) = xx 2 = x 3 = x = 0 0 = ƒ(0, 0) x 2 +x 4 x 2 (1+ x 2 ) (1+ x 2 ) (1+0) ƒ R m : ƒ(x, y) = ƒ(x,mx) = x(mx) 2 = m 2 x 3 = m 2 x = 0 = ƒ(0, 0) x 2 +(mx) 4 x 2 (1+ m 4 x 2 ) (1+ m 4 x 2 ) Deberíamos probar otro tipo de acercamiento al punto: Tomemos R 3: y = x 1/2 ; y 2 = x con x 0 ƒ R m : ƒ(x, y) = ƒ(x, x) = x( x) 2 = x 2 = 1 0 Con esto alcanza para decir que la x 2 +( x) 4 2x 2 2 función no es continua en el punto (0,0), porque existe al menos un camino, por el cual no tiende a 0.
Microeconomía Avanzada I Apéndices Matemáticos - Tania Larrainci Decimos que ƒ:a R, Dom (ƒ) = A R 2 : Extremos Absolutos:Teorema de Weierstrass i) tiene un máximo absoluto en (a,b) si se cumple que ƒ (x,y) ƒ (a,b), para todo (x,y) Є A. ii) tiene un mínimo absoluto en (c,d) si se cumple que ƒ (c,d) ƒ (x,y), para todo (x,y) Є A. Definiciones: (Conjuntos acotados en R d ) Diremos que C R d es un conjunto acotado k > 0 / cualquiera sea x Є C se cumple que x k También se puede afirmar que C R d es un conjunto acotado З B (0,δ) / C B (0,δ). Teorema de Wierstrass: Si ƒ: C entonces, R d, con D = Dom ( ƒ ) es cerrado, acotado (Compacto) y la función ƒ es contínua en C, Existen máximos y mínimos en el dominio C = Dom ( ƒ) ( ƒ en C tiene máximo y mínimo ) Lema: con igual Hipótesis concluimos que f acotada en C. Ejemplo: abstracto, en R 2. z=f(x,y) (a,b)
Microeconomía Avanzada I Apéndices Matemáticos - Tania Larrainci Ejemplo: Sea ƒ: R 2 R / ƒ(x, y) = x 2 + y 2. Hallar si existen máximo y mínimo de ƒ en C={ (x,y) Є R 2 : x 2 + y 2 1 } = B (0,1) Sup z=1 Entonces, aquí vemos que la función es continua en R 2, en particular es continua en C que es un conjunto compacto (cerrado y acotado). El teorema de Weierstrass nos asegura que, aquí, existen un máximo y un mínimo de ƒ en C. Observemos que: 0 ƒ(x, y) = x 2 + y 2 1 para todo (x,y) Є C. De aquí se concluye que 0 = ƒ(0, 0) = mín. C ƒ y 1 = máx. C ƒ. El valor máximo de ƒ se alcanza en todos los puntos de la frontera del conjunto C. Cuando una función es diferenciable: Definiciones: Una función ƒ (x,y) se dice diferenciable en (a,b) sii existen dos reales A,B Є R / ƒ (x,y) = ƒ (a,b) + A (x a) + B(y b) + R(x, y) y además lím R(x,y) = 0 (x,y) (a,b) (x-a),(y-b) Teorema: H) ƒ es diferenciable en (a,b) T) i) ƒ es continua en (a,b) ii) З las derivadas parciales y son: D 1 ƒ(a,b) = A D 2 ƒ(a,b) = B iii) З las derivadas direccionales y vale D μ ƒ(a,b) = D ƒ(a,b) μ Recordar que: Una función es diferenciable entonces es continua Si una función NO es continua entonces, no es diferenciable!!! Importante: que una función continua no implica la diferenciabilidad Es condicion suficiente de diferenciabilidad: Sea ƒ / З las Di ƒ (x,y) para todo (x,y) Є B ((a,b),δ) y además dichas derivadas parciales son continuas en (a,b) ƒ es diferenciable en (a,b) Esta condición, es suficiente, pero no es necesaria. Existen funciones derivables con derivadas parciales discontínuas.
Microeconomía Avanzada I Apéndices Matemáticos - Tania Larrainci Extremos en funciones de Varias Variables: Definiciones: Decimos que ƒ: D R 2 : R, tiene: i) tiene un Máximo Absoluto (MA) en (a,b) sii ƒ (x,y) ƒ (a,b), para todo (x,y) Є D. ii) tiene un mínimo Absoluto (ma) en (a,b) sii ƒ (x,y) ƒ (a,b), para todo (x,y) Є D. iii) tiene un Máximo Relativo (MR) en (c,d) sii ƒ (x,y) ƒ (c,d), para todo (x,y) Є B ((c,d),δ) iii) tiene un mínimo Relativo (mr) en (c,d) sii ƒ (x,y) ƒ (c,d), para todo (x,y) Є B ((c,d),δ). Definición: Llamamos puntos estacionarios (P.E.) a aquellos puntos donde el gradiente es nulo. Definición: Si en un punto no existe alguna de las derivadas parciales y las que existen son nulas, ese punto se llama punto crítico (P.C) Definición: Decimos que (a,b) es un punto de silla, si Diƒ (a,b) = 0 para todo i Existen ƒ (x',y') ƒ (a,b) y ƒ (x'',y'') ƒ (a,b) con (x',y'),(x'',y'') Є B ((a,b),δ) Ejemplo: ƒ (x,y) = x 2 y (8 x y ) Estudiar extremos 1º - buscamos puntos de no existencia, en este caso, no existen puntos críticos, porque la función es pólinómica, por lo que existen infinitas derivadas parciales. La función es contínua. 2º - buscamos puntos estacionarios de la función: Esto es Jƒ (x,y) = σ D x ƒ (x,y) = [ 8x 2 y x 3 y x 2 y 2 ]' x = 16xy 3x 2 y 2xy 2 = 0 (1) D y ƒ (x,y) = [ 8x 2 y x 3 y x 2 y 2 ]' y = 8x 2 x 3 2 x 2 y = 0 (2) En (1), xy( 16 3x 2y) = 0 : Posibles sol: x = 0; y = 0 ; 3x+2y = 16 En (2), x 2 ( 8 x 2 y) = 0 : Posibles sol: x = 0; x + 2y = 8 Nuestros puntos estacionarios serán: x = 0, x = 0 Eje Oy x = 0, x + 2y = 8 (0,4) Є eje Oy y = 0, x = 0 (0,0) Є eje Oy y = 0, x + 2 y = 8 (8,0) 3x+2y = 16 ; x= 0 (0,8) 3x+2y = 16 ; x + 2 y = 8 (4,2) Todos estos puntos, son candidatos a extremos: todos los (0,y) Є eje Oy ( 8, 0 ) ( 4, 2 ) Ahora planteamos el signo de la función: ƒ (x,y) = x 2 y (8 x y )
Microeconomía Avanzada I Apéndices Matemáticos - Tania Larrainci T De los candidatos, vemos pto (8,0) es un punto silla, por lo que no será no máximo ni minimo. El punto (4,2) queda en el interior del área triangular positiva Llamemos T a este triángulo, es un conjunto cerrado y acotado y f es polinómica y contínua, por lo cual por Weierstrass, existe un máximo o un mínimo absoluto en T. Como el área es positiva, por lo tanto, los valores al interior de T son mayores que en su frontera, donde los valores son 0, en el punto (4,2) encontramos un máximo absoluto en T. Si observamos detenidamente el dibujo del signo de f, podremos ver que, para los puntos estacionarios que teníamos, obtenemos la siguiente información: Ptos. Estacionarios (8,0); (0,0) ; (0,8) = punto silla (4,2) = Máximo Relativo, Máximo absoluto en T (0,y) = con y < 0, y > 8 tenémos Máximos relativos con y Є ( 0, 8 ) obtenemos mínimos relativos.
Microeconomía Avanzada I Tania Larrainci Apendices Matemáticos (Parte II) Consideramos: Extremos condicionados (restricciones de igualdad) ƒ : A = R d R y el conjunto S A, donde se quieren determinar los máximos i mínimos relativos de la restricción ƒ s Sean las funciones g: A = R d R m con m<d siendo g i las funciones componentes. El conjunto S = {x Є A/ g i (x) = 0 } que se puede expresar también como: S = { x Є A / g i = 0} S = { x Є A / g i = 0 } siendo g i las funciones de restricción. Busquemos los extremos relativos de la restricción de ƒ en el conjunto S. Teorema: Sean las funciones ƒ: A = R 2 R, g : A = R 2 R de clase C1 en una bola B (a,b),r / g(a,b)=0, D 2 g(a,b) = 0. Se sabe que la restricción de ƒ al conjunto S = {(x,y) Є A / g(x,y)=0} tiene un extremo relativo en (a,b) (diremos que ƒ tiene en (a,b) un extremo relativo condicionado por S ), entonces, З λ Є R / F:F(x,y) = ƒ(x,y) + g(x,y) tiene un punto estacionario en (a,b) OBSERVACIONES: El λ! (es único) y se denomina multiplicador de Lagrange. La función F λ se le llama Función Lagrangiana. Este teorema, nos plantea una condición necesaria, para la existencia de puntos ó conjuntos candidatos a extremos relativos. Los candidatos a extremos son, los puntos que verifican: Jƒ (x,y) + λ Jg(x,y) = (0,0) g(x,y) = 0 Ejemplo: Sea ƒ: ƒ(x,y) = x 2 + (y-1) 2 con S = {(x,y) Є R 2 / 4 y -x 2 = 0} Lo primero es visualizar que es: x 2 + (y-1) 2 = z.= r 2 Es una circunferencia, de centro (0,1) y radio z. Lo que también puede interpretarse como la distancia (z), del puto (0,1) al conjunto S. Gráficamente: g(x,y) = 4 y -x 2 = 0 que es: y = x 2 /4 parábola con vertice en (0,0) Entonces, si lo que intentamos es hallar el mínimo de la distancia del punto (0,1) a S, buscamos los candidatos a extremo, utilizando el teorema anterior: D x ƒ(x,y) + λ g x (x,y) = 2 x + λ (-2x) = 0 (1) D y ƒ(x,y) + λ g y (x,y) = 2( y 1) + λ (4) = 0 (2) g(x,y) = 4 y -x 2 = 0 (3) De (1) despejando: 2 x = 2x λ 2x / 2x = 1 = λ De (2) sustituyo λ= 1 2( y 1) + 1 (4) = 2y 2 +4= 2 y +2 = 0 y = - 1 De (3), sustituyo y = -1-4 x 2 = 0-4 = x 2 imposible x 2 > 0 para todo x
Microeconomía Avanzada I Tania Larrainci Apendices Matemáticos (Parte II) Nos queda ver que pasa cuando la función g(x,y)=0, esto es en (0,0), vemos que el valor de ƒ(x,y)=1. Entonces verificamos que 1, es la distancia mínima de ƒ(x,y) a S. Existe otra manera de visualizar el mismo resultado, que consiste en extraer una relación entre x e y del conjunto S. De manera tal que a través del teorema de la función implicita se susttuyen los valores y se realiza el estudio de una función φ(x) de manera tal, que cuando φ(x) = 0, se encuentra la distancia mínima. Extremos condicionados: (Con restricciones de desigualdad) Sea ƒ : A = R d R, g: A = R d R m siendo g i las funciones componentes de g y el conjunto S A, S = {x Є A/ g i (x) 0 }; pudiéndose expresar S de diferentes maneras. Notación: i=m S = i=1 {x Є A/ g i (x) 0 } o S = {x Є A/ g 1 (x) 0, g 2 (x) 0,..., g m (x) 0 } El Problema se plantea como, encontrar el mínimo (absoluto) de la función ƒ en S. Que puede existir o no. Sii existe, será xˆ Є S, óptimo / ƒ(xˆ) ƒ(x), para todo x Є S. El Problema se plantea: (P) mín ƒ(x) ó (P) mín ƒ(x) x Є S. g(x) 0, para todo x Є A Si quisiéramos hallar un máximo, tan sólo basta con dar vuelta el signo de la función. Cómo se procede: Se construye una familia de funciones que se llaman funciones de Lagrange / (F λ ) 0 λ con λ Є R m y F λ :F λ (x) = ƒ(x) + λ tr g(x) entonces, 0 λ, con λ Є R m decimos que las componentes de dicho vector son no negativas. Plantemos: F λ :F λ (x) = ƒ(x) + 1 m λ i g i (x) Entonces, es condición suficiente para la existencia de óptimo: Teorema: H) З λ 0 / x λ es óptimo de P λ g i (x) 0 ; λ i g i (x λ ) = 0 x λ Є C con i = 1,2,..., m. T) x λ es óptimo de P λ. Sabremos que P será convexo, si f, gi son convexas. En este caso, sabemos que si x λ es óptimo de P λ Entonces, x λ es un punto estacionario y por lo tanto J Fλ (x λ ) = 0 Ejemplo: Se ve en el ejemplo siguiente.
Microeconomía Avanzada I Tania Larrainci Apendices Matemáticos (Parte II) Condiciones de Kuhn-Tucker Asociadas al problema (P) Sean ƒ : A = R d R, diferenciable en el abierto A. Las condiciones de K-T asociadas a P son: K-T = Jƒ(x) + 1 m λ i Jg i (x) = 0 λ i g i (x) = 0 para i = 1,2,...,m ; x Є A g i (x) 0 con i = 1,2,..., m. 0 λ i Si se agrega la hipótesis de que las funciones son convexas, para todo (x,λ) que verifica K-T, x λ es óptimo de P. En el caso convexo, las condiciones de K-T son suficientes para la existencia de un óptimo: Ejemplo: P mín ƒ(x 2 + y 2 ) s.a. 2 x y 0 Veamos que minimizar ƒ, equivale a hallar la mínima distancia de ƒ(x,y) restringida al conjunto S. Aquí, S tiene una restricción, que es 2 x y 0 Si planteamos el problema según K T, nos quedaría: mín x 2 + y 2 P 2 x y 0 - x 0 y 0 x + y > 2 La primera restricción nos ubica sobre la recta. Las tercera y cuarta restricción, nos ubican en el 1er cuadrante. Hora planteamos las condiciones de K T: F λ : F λ = (x 2 + y 2 ) + λ 1 (2 x y ) + λ 2 ( x ) + λ 3 ( y) Planteamos: δ F λ = 0 2 x λ 1 - λ 2 = 0 δ x δ F λ = 0 2 y λ 1 - λ 3 = 0 δ y δ F λ = 0 2 x y = 0 δ λ
Microeconomía Avanzada I Tania Larrainci Apendices Matemáticos (Parte II) Ahora plantemos todas las condiciones: Veamos: 2 x λ 1 λ 2 = 0 2 x λ 2 = λ 1 de aquí, 2 x λ 2 = 2 y λ 3? 2 y λ 1 λ 3 = 0 2 y λ 3 = λ 1 λ 1 (2 x y ) = 0 2 x y = 0 x = 1 λ 2 ( x ) = 0 x = 0 y = 1 Ahora se prueba si (1,1) λ 3 ( y) = 0 y = 0 verifica K-T, en las condiciones con λ i > 0 para todo i antes planteadas. (x,y) Є S Entonces: 2.1 λ 1 0 = 0 λ 1 = 2 2 1 λ 1 0 = 0 0 ( - 1) = 0 y cumple con λ i > 0 para todo i ; (x,y) Є S 0 ( -1 ) = 0 2 ( 2 1 1 ) = 0 Entonces, (1,1) es el punto que optimiza la distancia mínima a S. En un punto regular, K T es necesario. Definiciones: Se llama restricción activa o saturada en a Є S, a c/u de las restricciones de S que cumple g i (a) = 0. Se llama restricción inactiva o insaturada en a Є S, a c/u de las restricciones de S que cumple g i (a) 0. Si Ia = {conjunto de los índices de restricciones saturadas}, entonces, decimos que a es un punto regular de S sii Jg i (a) / i Є Ia es L.I. Ejemplo: Si tomamos un conjunto S = { (x,y) Є R 2 / 0 y, x 3 y 0, x y 2 0} Si observamos el dibujo, podemos ver, que en el punto (0,0) hay dos restricciones activas y una que no lo es. En los puntos donde las dos restriciones son activas los Jacobianos o gradientes de la función, son L.D. De ahí, se concluye que el punto no es un punto regular de las restricciones. 0 < y Ahora, si tomamos el punto (-1,0), vemos que hay una única restricción activa, de donde se concluye que es punto regular de la restricciones de S. Ahora tomamoes el punto (-2,0) por donde pasan dos restricciones, pero al calcular los gradientes y evaluarlos en dicho punto, descubrimos que son linealmente independientes, por lo que el punto es un punto reglar de las restricciones de S.
Microeconomía Avanzada I Tania Larrainci Apendices Matemáticos (Parte II) Teorema: Sea ƒ : A = R d R, g: A = R d R m diferenciables, con S = {x Є A/ g i (x) 0 } y x^ es óptimo de (P) { mín ƒ(x) con x Є S, un punto regular de las restricciones de S, entonces, x^ verifica las condiciones de K-T asociadas al problema P.
Microecnomía Avanzada I Apendices Matemáticos - Tania Larrainci MATRICES. PROPIEDADES OPERACIONES CON MATRICES. NOTACION MATRICIAL. Definición: Sea A mxn / A= (a ij ) mn y se escribe como: Y A mxn cumple las propiedades : 1) asociativa respecto a la suma y la multiplicación. 2) Conmutativa respecto a la suma y la multiplicación. 3) Distributiva respecto a la suma por la derecha (o por la izquierda) 1) nos dice que si existen dos matrices A y B, del mismo orden, sus miembros se suman uno a uno: a11 K a1 n b11 K b1 n a11 + b11 K a 1n + b1 n M O M + M O M = M O M a L a b L b a + b L a + b m1 mn m1 mn m1 m1 mn mn la multiplicación se da con A mxn y B nxp : b11 K b 1p M O M bn 1 b L np a K a M O M am 1 L a 11 1n mn = C m x p = ( a i1 b 1j ) mxp 2) A + B = B + A A B B A 3) (A + B) C = AC + AB CA + BA AB + AC A ( B + C) = AB + AC ( ABC) = (AB) C = A (BC)
Microecnomía Avanzada I Apendices Matemáticos - Tania Larrainci Ahora con esta notación, se puede escribir un sistema de ecuaciones de forma matricial. Si partimos del siguiente sistema: Recordando que al sumar una componente escalar ( que es como tener una matriz 1 x 1), obtenemos el siguiente resultado: Aplicando álgebra de matrices a nuestro anterior sistema, obtenemos: nos queda el sistema resumido a la siguiente expresión: