Ejercicio 159 Para fabricar 2 tipos de cable, A y B, que se venderán a 1,50 y 1 el metro, respectivamente, se emplean 16Kg de plástico y 4Kg de cobre para cada hectómetro del tipo A y 6Kg de plástico y 12Kg de cobre para cada hectómetro del tipo B. Sabiendo que la longitud de cable fabricado del tipo B no puede ser mayor que el doble de la del tipo A y que, además, no pueden emplearse más de 252Kg de plástico ni más de 168Kg de cobre, determine la longitud, en hm, de cada tipo de cable que debe fabricarse para que la cantidad de dinero obtenida en su venta sea máxima. SOLUCIÓN: Sean = hm de cable A y = hm de cable B FUNCIÓN OBJETIVO (Beneficio (en euros) obtenido por la venta de los dos tipos de cable): = 150x + 100y El cable A se venderá a 1,50 el metro, es decir, a 150 el hectómetro. El cable B se venderá a 1 el metro, es decir, a 100 el hectómetro. Queremos maximizar la función objetivo sujeta a un conjunto de restricciones. Determinamos las RESTRICCIONES del problema: 0 La cantidad vendida de cada tipo de cable no puede ser un nº negativo y 0 Para la fabricación del cable A se emplean 16 Kg de plástico y 4 Kg de cobre por cada hectómetro y para la fabricación del cable B 6 Kg de plástico y 12 Kg de cobre por cada hectómetro. Además, no 16 x + 6y 252 pueden emplearse más de 252 Kg de plástico ni más de 168 Kg de cobre 4x + 12y 168 La longitud de cable fabricado del tipo B no puede ser mayor que el doble de la del tipo A y 2x Por tanto, las posibles formas de fabricar los dos tipos de cable son las soluciones del sistema de inecuaciones: x 0 y 0 16x + 6y 252 RESTRICCIONES 4x + 12y 168 y 2x Página 1
Representamos gráficamente el conjunto de posibles soluciones, es decir, determinamos la REGIÓN FACTIBLE x = 0 (recta vertical) y = 0 (recta horizontal) (:2) 16x + 6y = 252 8x + 3y = 126 x 0 63 = 15, 75 4 12 y 42 0 10 ( 0,0) 16x + 6y 252? Sí, ya que 16 (0) + 6 (0) = 0 < 252 (:4) 4x + 12y = 168 x + 3y = 42 x 0 42 y 14 0 ( 0,0) 4x + 12y 168? Sí, ya que 4 (0) + 12 (0) = 0 < 168 y = 2x x 0 10 y 0 20 ( 10,0) y 2x? Sí, ya que 0 < 20 Página 2
Por tanto, Región factible = {( x, al recinto de vértices A, B, C, D} Determinamos los VÉRTICES DE LA REGIÓN FACTIBLE: = 0 A A(0,0) y = 0 y = 2x B B(6,12) 4x + 12y = 168 4x + 12y = 168 C C(12,10 ) 16 x + 6y = 252 y = 0 63 D D,0 16 x + 6y = 252 4 Como la región factible es un recinto cerrado y acotado, la función objetivo alcanza el máximo en uno de sus vértices. Por tanto, evaluamos la función objetivo en cada uno de ellos y donde alcance el mayor valor está el máximo buscado. = 150x + 100y A ( f x y = + = 0,0) (, ) 150 (0) 100 (0) 0 B ( 6,12) = 150 (6) + 100 (12) = 2100 C ( 12,10) = 150 (12) + 100 (10) = 2800 MÁXIMO 63 63 D,0 = 150 + 100 (0) = 2362, 50 4 4 Por tanto, Se deben fabricar 12 hectómetros de cable A y 10 hectómetros de cable B, para qué verificándose las restricciones, el beneficio obtenido por su venta sea el mayor posible. En tal caso, el beneficio máximo sería de 2800. Página 3
Ejercicio 164 La encargada de una floristería ha de hacer el pedido semanal de plantas de interior y exterior. El precio que ha de pagar al proveedor por cada planta de interior es de 1 y de 2 por cada una de exterior. A día de hoy, sabe que por lo menos ha de poder atender la demanda que un cliente ya le ha hecho, de 20 unidades de interior y 30 de exterior. Además, el transporte del pedido semanal hasta la floristería lo realiza una empresa especializada y le supone unos costes que son de 0,60 por cada planta de interior y de 0,80 por cada planta de exterior, y la floristería tiene por norma que estos costes de transporte no sobrepasen las 48 por pedido semanal. Asimismo, la encargada obtiene una prima de 0,60 por cada planta de interior que venda y de 0,50 por cada una de exterior, y quiere que las primas que se puedan alcanzar vendiendo todo el pedido sean de al menos 30. a) Cuántas unidades de cada tipo puede pedir la encargada para cumplir todos los requerimientos anteriores? Plantea el problema y representa gráficamente el conjunto de soluciones. b) Si la floristería quiere además minimizar el precio que ha de pagar al proveedor por el pedido, cuántas unidades de cada tipo ha de adquirir? Cuánto deberá pagar al proveedor? Cuáles serán los costes de transporte? SOLUCIÓN: a) Cuántas unidades de cada tipo puede pedir la encargada para cumplir todos los requerimientos anteriores? Plantea el problema y representa gráficamente el conjunto de soluciones. Sean = y = nº de unidades de plantas de interior nº de unidades de plantas de exterior Determinamos las RESTRICCIONES del problema: El nº de plantas de cada tipo tiene que ser un nº natural. Además, por lo menos, se ha de poder atender la demanda que ha realizado un cliente de 20 unidades de interior y 30 de exterior. 20 con x, y Ν y 30 El transporte del pedido semanal hasta la floristería lo realiza una empresa especializada y supone unos costes de 60 céntimos por cada planta de interior y de 80 céntimos por cada planta de exterior. La floristería tiene por norma que estos costes de transporte no sobrepasen los 48 por pedido semanal 60x + 80y 4800 La encargada obtiene una prima de 60 céntimos por cada planta de interior que venda y de 50 céntimos por cada una de exterior y quiere que las primas que se puedan alcanzar vendiendo todo el pedido sean de al menos 30 60x + 50y 3000 Por tanto, las posibles formas de elaborar el pedido son las soluciones del sistema de inecuaciones: Página 4
x 20 y 30 60x + 80y 4800 60x + 50y 3000 x, y Ν RESTRICCIONES Representamos gráficamente el conjunto de posibles soluciones, es decir, determinamos la REGIÓN FACTIBLE x = 20 (recta vertical) y = 30 (recta horizontal) (:20) 60x + 80y = 4800 3x + 4y = 240 x 0 80 y 60 0 ( 0,0) 60x + 80y 4800? Sí, ya que 60 (0) + 80 (0) = 0 < 4800 (: 10) 60x + 50y = 3000 6x + 5y = 300 x 0 50 y 60 0 ( 0,0) 60x + 50y 3000? No, ya que 60 (0) + 50 (0) = 0 < 3000 Página 5
Por tanto, Conjunto de posibles soluciones = {( x, al recinto de vértices A, B, C, D con x, y Ν} b) Si la floristería quiere además minimizar el precio que ha de pagar al proveedor por el pedido, cuántas unidades de cada tipo ha de adquirir? Cuánto deberá pagar al proveedor? Cuáles serán los costes de transporte? FUNCIÓN OBJETIVO (Coste, en euros, de las plantas adquiridas): Sabemos que, el precio que se ha de pagar al proveedor por cada planta de interior es de 1 y de 2 por cada una de exterior, por tanto, = 1 x + 2 y = x + 2y Queremos minimizar la función objetivo sujeta al conjunto de restricciones anteriores. La función que proporciona el coste (en euros) del transporte en función de las unidades adquiridas es: g( x, = 0,60x + 0, 80y Determinamos los VÉRTICES DE LA REGIÓN FACTIBLE: = 20 A A(20,45) 60x + 80y = 4800 y = 30 B B(40,30) 60x + 80y = 4800 y = 30 C C(25,30) 60x + 50y = 3000 = 20 D D(20,36) 60x + 50y = 3000 Como la región factible es un recinto cerrado y acotado, la función objetivo, = x + 2y, alcanza el mínimo en uno de sus vértices. Por tanto, evaluamos la función objetivo en cada uno de ellos y donde alcance el menor valor está el mínimo buscado. = x + 2y A ( 20,45) = 20 + 2 (45) = 110 B ( 40,30) = 40 + 2 (30) = 100 C ( 25,30) = 25 + 2 (30) = 85 MÍNIMO D ( 20,36) = 20 + 2 (36) = 92 Página 6
En el vértice C ( 25,30) la función g( x, = 0,60x + 0, 80y toma el valor: Por tanto, C ( 25,30) g( x, = 0,60 (25) + 0,80 (30) = 39 Se deben adquirir 25 plantas de interior y 30 de exterior para qué, verificándose las restricciones, los costes del proveedor sean mínimos. En tal caso, la cantidad que habrá que pagar al proveedor serán 85 y los costes del transporte serán de 39. (OPCIONAL) TAMBIÉN PODEMOS RESOLVER EL PROBLEMA GRÁFICAMENTE: Dada la función objetivo = x + 2y sean: r k x + 2 y = k las rectas de nivel k (= coste, en euros, de las plantas adquiridas) asociadas a ella. r (10) r v r = ( 2,1) v r = ( 20,10) el vector director de r k (indica la dirección de las rectas de nivel; todas ellas son paralelas a este vector) r (10) r n r = (1, 2) n r = (10, 20) el vector normal a r k (indica el sentido en que aumenta el nivel a medida que nos desplazamos en el plano paralelamente a v r r ) Representamos gráficamente r 0 (recta de nivel 0) y, desplazándonos paralelamente a ella, las rectas de nivel que pasan por los vértices de la región factible r A, r B, r C y r D. Página 7
Como el nivel aumenta en la dirección del vector n r r se observa que la recta de nivel mínimo es la que corresponde al vértice C. Es decir, la función objetivo = x + 2y (coste, en euros, de las plantas adquiridas) alcanza el mínimo en el punto C (25,30). C ( 25,30) = 25 + 2 (30) = 85 MÍNIMO La función que proporciona el coste (en euros) del transporte en función de las unidades adquiridas es g( x, = 0,60x + 0, 80y C ( 25,30) g( x, = 0,60 (25) + 0,80 (30) = 39 Por tanto, Se deben adquirir 25 plantas de interior y 30 de exterior para qué, verificándose las restricciones, los costes del proveedor sean mínimos. En tal caso, la cantidad que habrá que pagar al proveedor serán 85 y los costes del transporte serán de 39. Página 8
Ejercicio 165 En un depósito se almacenan bidones de petróleo y de gasolina. Para poder atender la demanda se han de tener almacenados un mínimo de 10 bidones de petróleo y 20 de gasolina. Siempre debe haber más bidones de gasolina que de petróleo, siendo la capacidad del depósito de 200 bidones. Por razones comerciales, deben mantenerse en inventario al menos 50 bidones. El gasto de almacenaje de un bidón de petróleo es de 60 céntimos y el de uno de gasolina es de 90 céntimos. Se desea saber cuántos bidones de cada clase han de almacenarse para que el gasto de almacenamiento sea mínimo. Sean = y = nº de bidones de petróleo nº de bidones de gasolina FUNCIÓN OBJETIVO (coste (en euros) del almacenamiento de los bidones): = 0,60x + 0, 90y Queremos minimizar la función objetivo sujeta a un conjunto de restricciones. Determinamos las RESTRICCIONES del problema: El nº de bidones de cada tipo tiene que ser un nº natural. Además, para poder atender la demanda se han 10 de tener almacenados un mínimo de 10 bidones de petróleo y 20 de gasolina con x, y Ν y 20 Siempre debe haber más bidones de gasolina que de petróleo y > x La capacidad del depósito es de 200 bidones, es decir, el total de bidones almacenados debe ser menor o igual que 200 x + y 200 Por razones comerciales, deben mantenerse en inventario al menos 50 bidones, es decir, el total de bidones debe ser mayor o igual que 50 x + y 50 Por tanto, las posibles formas de almacenamiento son las soluciones del sistema de inecuaciones: x 10 y 20 y > x x + y 200 x + y 50 x, y Ν RESTRICCIONES x = 10 (recta vertical) y = 20 (recta horizontal) Página 9
y = x x 0 10 y 0 10 ( 0,10) y > x? Sí, ya que 10 > 0 x + y = 200 x 0 200 y 200 0 PROGRAMACIÓN LINEAL ( 0,0) x + y 200? Sí, ya que 0 + 0 = 0 < 200 x + y = 50 x 0 50 y 50 0 ( 0,0) x + y 50? NO, ya que 0 + 0 = 0 < 50 Por tanto, Conjunto de posibles soluciones = {( x, al recinto de vértices A, B, C, D con x, y Ν} Página 10
Determinamos los VÉRTICES DE LA REGIÓN FACTIBLE: = 0 A B(10,190 ) x + y = 200 y = x B B(100,100 ) x + y = 200 = y C C(25,25) x + y = 50 = 10 D C(10,40) x + y = 50 Como la región factible es un recinto cerrado y acotado, la función objetivo alcanza el mínimo en uno de sus vértices. Por tanto, evaluamos la función objetivo en cada uno de ellos y donde alcance el menor valor está el mínimo buscado. = 0,60x + 0, 90y A ( 10,190) = 0,60 (10) + 0,90 (190) = 177 B ( 100,100) = 0,60 (100) + 0,90 (100) = 150 C ( 25,25) = 0,60 (25) + 0,90 (25) = 37,50 MÍNIMO C ( 10,40) = 0,60 (10) + 0,90 (40) = 42 Aunque en el punto C (25,25) la función objetivo alcanza un mínimo tenemos que rechazar esta solución ya que hay una condición del problema que nos dice que siempre debe haber más bidones de gasolina que de petróleo. Tomamos como solución un punto de la región factible próximo a C: Por tanto, E ( 25,26) = 0,60 (25) + 0,90 (26) = 38,40 Se deben almacenar 25 bidones de petróleo y 26 bidones de gasolina para qué, verificándose todas las restricciones, el coste de almacenaje sea el menor posible. En tal caso, el coste mínimo sería de 38,40. Página 11
EJERCICIO 162 Una tienda de golosinas dispone de dos tipos de bolsas para cumpleaños con el siguiente contenido: TIPO I : 2 chicles, 3 piruletas, 8 caramelos y 1 bolsa de patatas fritas. TIPO II : 4 chicles, 4 piruletas, 5 caramelos y 2 bolsas de patatas fritas. En un determinado día, el número de chicles de que dispone la tienda para el envasado de las bolsas no puede ser superior a 240 unidades y el número de piruletas no puede superar las 300 unidades. Además, por problemas de envases, el número de bolsas del Tipo II no puede ser superior a 40. El beneficio por la venta es: 1,50 por cada bolsa del Tipo I y 2,25 por cada bolsa del Tipo II. Halla el número de bolsas de cada tipo que deberían vender ese día para que el beneficio obtenido sea el mayor posible. SOLUCIÓN: x = Bolsas de Tipo I Sean y = Bolsas de Tipo II FUNCIÓN OBJETIVO (Beneficio obtenido por la venta de las bolsas de golosinas): = 1,50 x + 2, 25y Queremos maximizar la función objetivo sujeta a un conjunto de restricciones. Determinamos las RESTRICCIONES del problema: El nº de bolsas de cada tipo que se pueden elaborar tiene que ser un nº natural. Además, el nº de bolsas 0 de Tipo II no puede ser superior a 40 con x, y Ν 0 y 40 El número de chicles para el envasado de las bolsas no puede ser superior a 240 unidades 2x + 4y 240 x + 2y 120 El número de piruletas no puede superar las 300 unidades 3x + 4y 300 Por tanto, las posibles formas de elaborar las bolsas de golosinas son las soluciones del sistema: x 0 0 y 40 x + 2y 120 RESTRICCIONES 3x + 4y 300 x, y Ν Página 12
Representamos gráficamente el conjunto de posibles soluciones, es decir, determinamos la REGIÓN FACTIBLE x = 0 (recta vertical) y = 0 (recta horizontal) y = 40 (recta horizontal) x + 2 y = 120 x 0 120 y 60 0 ( 0,0) x + 2y 120? Sí, ya que 0 + 2 (0) = 0 < 120 3 x + 4y = 300 x 100 0 20 y 0 300 4 60 ( 0,0) 3x + 4y 300? Sí, ya que 3 (0) + 4 (0) = 0 < 300 Por tanto, Región factible = {( x, al recinto de vértices A, B, C, D, E, con x, y Ν} Página 13
Determinamos los VÉRTICES DE LA REGIÓN FACTIBLE: = 0 A A(0,0) y = 0 x = 0 B B(0,40) y = 40 x + 2y = 120 C C(40,40) y = 40 x + 2y = 120 D D(60,30) 3x + 4y = 300 y = 0 E E(100,0) 3x + 4y = 300 Como la región factible es un recinto cerrado y acotado, la función objetivo alcanza el máximo en uno de sus vértices. Por tanto, evaluamos la función objetivo en cada uno de ellos y donde alcance el mayor valor está el máximo buscado. = 1,50 x + 2, 25y A ( 0,0) = 1,50 (0) + 2,50 (0) = 0 B ( 0,40) = 1,50 (0) + 2,50 (40) = 100 C ( 0,40) = 1,50 (40) + 2,50 (40) = 60 + 100 = 160 D ( 60,30) = 1,50 (60) + 2,50 (30) = 90 + 75 = 165 MÁXIMO E ( 100,0) = 1,50 (100) + 2,50 (0) = 150 Por tanto, Se deben vender 60 bolsas de Tipo I y 30 bolsas de Tipo II para que verificándose las restricciones el beneficio obtenido sea el mayor posible. En tal caso, el beneficio máximo sería de 165. Página 14
EJERCICIO 166 Un colegio prepara una excursión a la montaña para 114 alumnos. Para ello, dispone de 8 vehículos de 6 plazas cada uno y otros 8 de 15 plazas, pero para el día de la excursión sólo dispone de 10 conductores. El viaje de ida y vuelta con un vehículo de 6 plazas cuesta 160 y con uno de 15 plazas 420. Calcula cuántos vehículos de cada tipo debe utilizar el colegio para que el coste del transporte sea mínimo. Explica los pasos seguidos para obtener la solución. Solución: x = vehículos de 6 plazas Sean y = vehículos de15 plazas FUNCIÓN OBJETIVO (Coste del transporte): = 160x + 420y Queremos minimizar la función objetivo sujeta a un conjunto de restricciones. Determinamos las RESTRICCIONES del problema: Los vehículos disponibles de cada tipo son 8 el número de vehículos de cada tipo que se utilizan para 0 x 8 realizar la excursión tiene que ser un nº natural comprendido entre 0 y 8 con x, y Ν 0 y 8 Hay 10 conductores disponibles, por tanto, el número total de vehículos utilizados para realizar la excursión tiene que ser como máximo de 10 x + y 10 La excursión es para 114 alumnos, por tanto, el total de plazas (entre todos los vehículos utilizados) debe ser al menos de 114 6x + 15y 114 Por tanto, las posibles formas de realizar la excursión son las soluciones del sistema: 0 x 8 0 y 8 6x + 15y 114 RESTRICCIONES x + y 10 x, y Ν Página 15
Representamos gráficamente el conjunto de posibles soluciones, es decir, determinamos la REGIÓN FACTIBLE x = 0 (recta vertical) x = 8 (recta vertical) y = 0 (recta horizontal) y = 8 (recta horizontal) 6 x + 15y = 114 x 0 19 4 38 6 y 0 5 ( 0,0) 6x + 15y 114? No, ya que 6 (0) + 15 (0) = 0 < 114 x + y = 10 x 10 0 y 0 10 ( 0,0) x + y 10? Sí, ya que 0 + 0 = 0 < 10 Página 16
Los VÉRTICES DE LA REGIÓN FACTIBLE son: x = 0 A A(0,8) y = 8 + y = 10 B B(2,8) y = 8 x + y = 10 C C(4,6) 6x + 15y = 114 6x + 15y = 114 38 D D 0, x = 0 5 Como la región factible es un recinto cerrado y acotado, la función objetivo alcanza el mínimo en uno de sus vértices. Por tanto, evaluamos la función objetivo en cada uno de ellos y donde alcance el menor valor está el máximo buscado. = 160x + 420y A ( 0,8) = 160 (0) + 420 (8) = 3360 B ( 2,8) = 160 (2) + 420 (8) = 320 + 3360 = 3680 C ( 4,6) = 160 (4) + 420 (6) = 640 + 2520 = 3160 MÍNIMO 38 38 D 0, = 160 (0) + 420 = 3192 5 5 Por tanto, El colegio debe utilizar 4 vehículos de 6 plazas y 6 vehículos de 15 plazas para que el coste del transporte sea mínimo. En tal caso, el coste mínimo sería de 3160 Página 17
EJERCICIO 167 Una fábrica de madera produce dos líneas de muebles: el clásico (C) y el funcional (F). Para su fabricación, los muebles requieren tiempo de proceso de construcción y pintura. El mueble clásico precisa una unidad de tiempo de construcción y tres de pintura, mientras que el funcional requiere dos unidades de tiempo de construcción y una de pintura. La situación actual de la empresa no permite utilizar más de diez unidades de tiempo de construcción y quince de pintura. a) Plantea el problema y representa gráficamente el conjunto de soluciones. b) Qué combinaciones de muebles puede fabricar? c) Si el beneficio empresarial es función del número de unidades fabricadas de acuerdo con la relación B = 3 C + 2F, cuántas unidades de cada línea deben fabricarse para maximizar el beneficio? Cuál es el beneficio máximo? SOLUCIÓN: a) Plantea el problema y representa gráficamente el conjunto de soluciones. x = muebles clásicos Sean y = muebles funcionales Determinamos las RESTRICCIONES del problema: 0 El nº de cada tipo de muebles tiene que ser un nº natural. con x, y Ν y 0 El mueble clásico precisa una unidad de tiempo de construcción y tres de pintura, mientras que el funcional requiere dos unidades de tiempo de construcción y una de pintura. Recogemos esta información en la siguiente tabla: Unidades de tiempo de construcción Unidades de tiempo de pintura Mueble clásico (x) 1 3 Mueble funcional ( 2 1 Total x + 2y 3 x + y La situación actual de la empresa no permite utilizar más de diez unidades de tiempo de construcción y quince de pintura. + 2y 10 3x + y 15 Por tanto, las posibles combinaciones de muebles que se pueden fabricar son las soluciones del sistema de inecuaciones: Página 18
x 0 y 0 x + 2y 10 RESTRICCIONES 3x + y 15 x, y Ν Representamos gráficamente el conjunto de posibles soluciones, es decir, determinamos la REGIÓN FACTIBLE x = 0 (recta vertical) y = 0 (recta horizontal) x + 2 y = 10 x 0 10 y 5 0 ( 0,0) x + 2y 10? Sí, ya que 0 + 2 (0) = 0 < 10 3 x + y = 15 x 5 0 y 0 15 ( 0,0) 3x + y 15? Sí, ya que 3 (0) + 0 = 0 < 15 Página 19
b) Qué combinaciones de muebles puede fabricar? Hay 25 posibles combinaciones: PROGRAMACIÓN LINEAL Punto Muebles clásicos Muebles funcionales A 1(0,0) 0 0 A 2(0,1) 0 1 A 3(0,2) 0 2 A 4(0,3) 0 3 A 5(0,4) 0 4 A (0,5) 6 0 5 A (1,0) 7 1 0 A 8(1,1) 1 1 A 9(1,2) 1 2 A (1,3) 10 1 3 A 11(1,4) 1 4 A 12(2,0) 2 0 A (2,1) 13 2 1 A 14(2,2) 2 2 A (2,3) 15 2 3 A (2,4) 16 2 4 A (3,0) 17 3 0 A (3,1) 18 3 1 A 19(3,2) 3 2 A (3,3) 20 3 3 A 21(4,0) 4 0 A 22(4,1) 4 1 A (4,2) 23 4 2 A 24(4,3) 4 3 A 25(5,0) 5 0 c) Si el beneficio empresarial es función del número de unidades fabricadas de acuerdo con la relación B = 3 C + 2F, cuántas unidades de cada línea deben fabricarse para maximizar el beneficio? Cuál es el beneficio máximo. La función que nos da el beneficio en función del número de muebles clásicos y muebles funcionales fabricados (función objetivo) es: B( x, = 3x + 2y Página 20
Como la región factible es un recinto cerrado y acotado, la función objetivo alcanza el máximo en uno de sus vértices. Por tanto, evaluamos la función objetivo en cada uno de ellos y donde alcance el mayor valor está el máximo buscado. A1(0,0) B ( 0,0) = 3(0) + 2(0) = 0 A6 (0,5) B ( 0,1) = 3(0) + 2(5) = 10 A24(4,3) B ( 4,3) = 3(4) + 2(3) = 18 MÁXIMO A (5,0) 25 B ( 5,0) = 3(5) + 2(0) = 15 Por tanto, Deben fabricarse 4 muebles clásicos y 3 muebles funcionales para maximizar el beneficio. En tal caso, el beneficio máximo es de 18 (unidades en la que se mida el beneficio) Página 21
EJEMPLO DE OPTIMIZACIÓN EN RECINTO NO ACOTADO Calcule los valores máximo y mínimo que alcanza la función determinado por las inecuaciones: x 20 2x + y 40 x y 15 SOLUCIÓN = 3x + 5y, en el recinto del plano Determinamos la REGIÓN FACTIBLE x = 20 (recta vertical) ( 0,0) x 20? Sí, ya que 0 > 20 x 0 20 y 40 0 2 x + y = 40 ( 0,0) 2x + y 40? Sí, ya que 2 (0) + (0) = 0 < 40 x 0 15 y 15 0 x y = 15 ( 0,0) x y 15? Sí, ya que (0) (0) = 0 > 15 Por tanto, Conjunto de posibles soluciones = {( x, al recinto abierto de vértices A, B} Página 22
Los VÉRTICES DE LA REGIÓN FACTIBLE son: 2x + y = 40 25 70 A A, x y = 15 3 3 = 20 B B( 20, 5) x y = 15 COMO LA REGIÓN FACTIBLE ES UN RECINTO NO ACOTADO RESOLVEMOS EL PROBLEMA GRÁFICAMENTE: Dada la función objetivo = 3x + 5y sean: r k 3 x + 5y = k las rectas de nivel k asociadas a ella. v r = ( 5, 3) el vector director de r k (indica la dirección de las rectas de nivel; todas ellas son paralelas a r este vector) n r = (3, 5) el vector normal a r k (indica el sentido en que aumenta el nivel a medida que nos r desplazamos en el plano paralelamente a v r r ) Representamos gráficamente r 0 (recta de nivel 0) y, desplazándonos paralelamente a ella, las rectas de nivel que pasan por los vértices de la región factible r A y r B. Página 23
Como el nivel aumenta en la dirección del vector n r r se observa que la recta de nivel máximo es la que corresponde al vértice A, es decir, la función objetivo alcanza el máximo en el punto 25 70 A, 3 3 = 3 25 3 + 5 70 3 = 425 MÁXIMO 3 25 70 A, 3 3 Como la región factible no está acotada inferiormente y el nivel aumenta en la dirección del vector n r r o lo que es lo mismo disminuye en sentido contrario a n r r la función objetivo NO alcanza el mínimo. Página 24
EJERCICIO 163 El tratamiento de cierta enfermedad requiere la administración de dos complejos vitamínicos, C 1 y C 2. Cada semana es preciso consumir al menos 450 mg de C 1 y 200 mg de C 2. Estos complejos se presentan en dos comprimidos diferentes: el comprimido de color rojo que cuesta 0,25 la unidad y que contiene 15 mg de C 1 y 25 mg de C 2, y el comprimido de color azul que también cuesta 0,25 la unidad y que contiene 28 mg de C 1 y 10 mg de C 2. Cuántos comprimidos de cada color debe tomar un individuo en una semana para que el coste del tratamiento sea mínimo? Explicar los pasos seguidos para obtener la respuesta. Sean = comprimidos y = comprimidos de de color color rojo azul FUNCIÓN OBJETIVO (Coste semanal (en euros) del tratamiento): = 0,25x + 0, 25y Queremos minimizar la función objetivo sujeta a un conjunto de restricciones. Determinamos las RESTRICCIONES del problema: 0 El nº de comprimidos de cada tipo tiene que ser un nº natural. con x, y Ν y 0 El tratamiento de la enfermedad requiere la administración de dos complejos vitamínicos, C 1 y C 2. Cada uno de los comprimidos contiene unas cantidades determinadas de los complejos vitamínicos: el comprimido de color rojo contiene 15 mg de C 1 y 25 mg de C 2, y el comprimido de color azul contiene 28 mg de C 1 y 10 mg de C 2. Recogemos esta información en la siguiente tabla: C 1 C 2 Comprimido rojo (x) 15 25 Comprimido azul ( 28 10 Total 15 x + 28y 25 x + 10 y 15 x + 28y 450 Cada semana es preciso consumir al menos 450 mg de C 1 y 200 mg de C 2 25x + 10y 200 Por tanto, las posibles formas de elaborar el tratamiento son las soluciones del sistema: x 0 y 0 15x + 28y 450 25x + 10y 200 x, y Ν RESTRICCIONES Página 25
x = 0 (recta vertical) y = 0 (recta horizontal) 15 x + 28y = 450 x 0 30 2 y 450 225 = 16, 1 28 14 0 15 ( 0,0) 15x + 28y 450? No, ya que 15 (0) + 28 (0) = 0 < 450 (:5) 25x + 10y = 200 5x + 2y = 40 x 8 0 y 0 20 ( 0,0) 25x + 10y 200? No, ya que 25 (0) + 10 (0) = 0 < 200 Por tanto, Conjunto de posibles soluciones = {( x, al recinto abierto de vértices A, B, C, con x, y Ν} Los VÉRTICES DE LA REGIÓN FACTIBLE son: = 0 A A(0,20) 25x + 10y = 200 15 x + 28y = 450 C C(30,0) y = 0 25x + 10y = 200 B B(2,15) 15 x + 28y = 450 Página 26
COMO LA REGIÓN FACTIBLE ES UN RECINTO NO ACOTADO RESOLVEMOS EL PROBLEMA GRÁFICAMENTE: Dada la función objetivo = 0,25x + 0, 25y sean: r k 0,25x + 0, 25y = k las rectas de nivel k asociadas a ella (en este caso el nivel representa el coste semanal del tratamiento) r 20 r v r = ( 0 25, 0 25) v r = ( 5,5) el vector director de r k (indica la dirección de las rectas de nivel; todas ellas son paralelas a este vector) r 20 r n r = (0 25, 0 25) n r = (5,5) el vector normal a r k (indica el sentido en que aumenta el nivel a medida que nos desplazamos en el plano paralelamente a v r r ) Representamos gráficamente r 0 (recta de nivel 0) y, desplazándonos paralelamente a ella, las rectas de nivel que pasan por los vértices de la región factible r A, r B y r C. Como el nivel aumenta en la dirección del vector n r r se observa que la recta de nivel mínimo es la que corresponde al vértice B, es decir, la función objetivo alcanza el mínimo en el punto B (2,15) = 0,25x + 0, 25y A ( 0,20) = 0,25 (0) + 0,25 (20) = 5 B ( 2,15) = 0,25 (2) + 0,25 (15) = 4,25 MÍNIMO C ( 30,0) = 0,25 (30) + 0,25 (0) = 7, 5 Por tanto, SE DEBEN TOMAR 2 COMPRIMIDOS DE COLOR ROJO Y 15 COMPRIMIDOS DE COLOR AZUL A LA SEMANA PARA QUE EL COSTE DEL TRATAMIENTO SEA MÍNIMO. EN TAL CASO, EL COSTE MÍNIMO DEL MISMO SERÍA DE 4,25 Página 27