CAPÍULO RANSFORMACIONES LINEALES
ransformación Sean V W espacios vectoriales. La función : V W recibe el nombre de transformación, los espacios V W se llaman dominio codominio de la transformación, respectivamente. Esquemáticamente se tiene: V W Dominio Codominio ransformación lineal Sean V W espacios vectoriales definidos sobre un campo K. La función : V W se llama transformación lineal si se cumplen las siguientes dos propiedades: u, v V K ) u v u v ) u u 47
Recorrido núcleo de una transformación lineal Sean V W espacios vectoriales : V W una transformación lineal. ) Se llama recorrido de al conjunto de todas las imágenes de los vectores del dominio, el cual se denota como V es tal que: V v v V ) Se llama núcleo de al conjunto de vectores del dominio, cua imagen es el vector cero de W, el cual se denota como N es tal que: N v V v W eoremas Si : V W es una transformación lineal, entonces: ) V W ) V es un subespacio de W. ) N es un subespacio de V. 4) Si B v, v,, vn G v, v,, v n es una base V, entonces el conjunto es generador del recorrido de. 5) Si V es un espacio de dimensión finita, entonces se cumple que: Dim V Dim V Dim N 48
EJERCICIO. Determine si la transformación : P D, donde P a b a, b a D a, b b definida por f f ; f P f es lineal. SOLUCIÓN: Para que una transformación sea lineal se deben cumplir las dos propiedades que se señalan en la definición de este concepto. Dichas propiedades se conocen con los nombres de superposición homogeneidad, respectivamente, de acuerdo con el orden en que aparecen en la citada definición. Verifiquemos si se cumplen estas propiedades: ) Superposición: f a b, sustituendo f f, tenemos: f a b, se tiene que: P f f f f a b a b a b a b efectuando la suma del lado izquierdo de la igualdad aplicando del lado derecho, tenemos: b b a a b b a b a b 49
aplicando del lado izquierdo sumando del lado derecho, se tiene: b b b b a a b b a a b b cumple ) Homogeneidad: f ( ) a b f f de donde: a b a b b a b a b b b a b a b cumple entonces podemos concluir que la transformación es lineal. EJERCICIO. Dada la transformación cua regla de correspondencia es: : P, donde P a b a, b,,, ;,, a b c a b a c a b c a) Determine si es lineal. b) Obtenga el recorrido el núcleo de. c) Dé una base la dimensión del recorrido del núcleo. 5
SOLUCIÓN: a) Las dos propiedades de superposición homogeneidad que son necesarias demostrar para determinar si una transformación es o no lineal, se pueden juntar en una sola epresión, si ésta se cumple, se puede concluir sobre la linealidad de la misma, como a continuación se muestra.,,,,, v a b c v a b c v v v v,,,,,,,, a b c a b c a b c a b c de donde se tiene:,, a a b b c c a b a c a b a c aplicando la regla de correspondencia de del lado izquierdo efectuando operaciones factorizando del lado derecho, se tiene: a a b b a a c c a b a c a b a c a a b b a a c c a a b b a a c c como se cumple la igualdad, entonces podemos concluir que la transformación es lineal. b) Para obtener el recorrido se hará uso del teorema 4 enunciado anteriormente. omemos entonces la base canónica del dominio, esto es: B,,,,,,,, 5
de donde:,,,,,, con lo cual el conjunto G,, es generador del recorrido. Es evidente que G es un conjunto linealmente dependiente a que se puede obtener como una combinación lineal de los otros dos elementos del C, es conjunto. De acuerdo con esto, se puede llegar a que el conjunto una base del recorrido, por lo tanto, se tiene que: a b a b con lo cual se llega a que el recorrido es:, a b a b Por otro lado, el núcleo se obtiene a partir de la igualdad: a, b, c de donde: a b a c por igualdad de polinomios se llega al sistema: a b b a a c c a por lo tanto, el núcleo de la transformación es:,, N a a a a 5
c) Una base del recorrido es: Una base del núcleo es: C, Dim D,, Dim N Obsérvese que el teorema 5 se cumple, a que: Dim Dim N que es igual a la dimensión del dominio. Nota: Cuando se traten los temas de transformaciones inectivas, supraectivas biectivas e inversa de una transformación, se retomarán los conceptos de recorrido núcleo. Matriz asociada a una transformación lineal Sean V W dos espacios vectoriales de dimensión n m, respectivamente, sean A v, v,, v n B w, w,, wm bases de dichos espacios. Si : V W A es una transformación lineal, eiste una matriz única orden m n, tal que: ; M v v v V A B A B A Las n columnas de la matriz B M, de M, llamada matriz asociada a, son los vectores de coordenadas en la base B, de las imágenes de los vectores de la base A, esto es: n A M B v v v B B B B 5
EJERCICIO. Sean los espacios vectoriales P a b c a, b, c a b M a, b, c b c Ambos definidos sobre el campo real, sea la transformación lineal : P M definida por: a c b a b c ; a, b, c b a c Obtenga la matriz asociada a la transformación. SOLUCIÓN: Para obtener la matriz asociada a la transformación se requiere una base del dominio una del codominio. Consideremos las bases: A,, B,, Las imágenes de los elementos de la base A son: 54
Obteniendo los vectores de coordenadas de estas imágenes referidas a la base B, tenemos: Al realizar las operaciones correspondientes por igualdad de matrices, fácilmente puede llegarse a:,, En forma análoga con las otras dos imágenes, se llega a: B B,,,, B Con lo cual, la matriz asociada a la transformación viene dada por la disposición en columna de dichos vectores de coordenadas, esto es: A MB EJERCICIO.4 Sea la transformación lineal H :, definida por:,,,, 4 ;,, H z z z z z Obtenga la matriz asociada a la transformación H referida a la base canónica de. 55
SOLUCIÓN: Como se sabe, la base canónica de es: B Las imágenes de sus elementos son:,,,,,,,,,,,, 4,,,,,,,, Los vectores de coordenadas de las imágenes vienen dadas por:,, 4,,,,,, Realizando las operaciones correspondientes mediante la igualdad de vectores, se llega a:,, 4,, 4 En forma similar, fácilmente se puede llegar a: B,,,, B,,,, Con lo cual, la matriz asociada a la transformación H es: B B MB H 4 Obsérvese que las columnas de la matriz asociada a la transformación H, son precisamente las imágenes de los vectores de los elementos de la base canónica. En general, cuando se obtenga la matriz asociada a una transformación lineal del tipo n n :, será suficiente con obtener las imágenes de los elementos de la base canónica del dominio, dichas imágenes disponerlas como columnas para llegar a definir la matriz asociada a la transformación. 56
Álgebra de transformaciones lineales Adición multiplicación por un escalar: Sean V : V W dos espacios vectoriales definidos sobre un campo K, sean W H : V W dos transformaciones lineales. ) La suma H de H es una transformación lineal de V en W definida por: H v v H v ; v V ) El producto de un escalar K por la transformación es una transformación lineal de V en W que se denota con se define como: Composición: ) Sean : U V H : V W v v ; v V dos transformaciones lineales. La operación H es una transformación lineal de U en W definida por: ; H u H u u U La operación composición puede representarse gráficamente de la siguiente forma: V U H W u u H u H 57
eoremas Sean V W dos espacios vectoriales definidos sobre un campo K, sean A B bases de V W respectivamente. Si H son dos transformaciones lineales cualesquiera de V en W, entonces. ) M A H M A M A H B B B M M K A A ) ; B B Sean U, V W tres espacios vectoriales definidos sobre un campo K, sean A, B C bases de U, V W respectivamente. Si : U V H : V W ) M A H M B H M A C C B son dos transformaciones lineales, entonces EJERCICIO.5 Dadas las transformaciones lineales: : donde,, S : donde S,, Obtenga el vector v, tal que: S v, SOLUCIÓN: Considerando a v,, entonces se tiene que: de donde S, S,,,, S 58
aplicando la regla de la transformación S, tenemos:,, simplificando se tiene:, 6 9, por igualdad de vectores se llega al sistema de ecuaciones: 6 9 cua solución es: con lo cual el vector v es: v, EJERCICIO.6 Sea el espacio vectorial M, las transformaciones lineales: H : M dada por H, ;, S : dada por S,, ;, Determine la regla de correspondencia de la transformación S H,, : M tal que: 59
SOLUCIÓN: Partiendo de la epresión dada, tenemos: S H,, de donde se tiene: S, H,, despejando: H,, S, aplicando S, tenemos: H,,, H,, () Por otro lado, en términos de matrices asociadas sabemos que: M M H M H Siempre que las matrices asociadas estén referidas a bases canónicas o bases naturales. Esta ecuación resulta ser una ecuación matricial, de la cual podemos despejar M, esto es: de donde se tiene: M M H M H M H M H M M H M H Para obtener M, necesitamos obtener las matrices asociadas de H de H. Si aplicamos isomorfismo, podemos epresar a la transformación H como: (),, ; aplicando f a, b H a b 6
Considerando la base canónica, tenemos: H H,,,, M H () Por otro lado, considerando la epresión (), tenemos: H,, H,, M H (4) de () se obtiene que: M H (5) sustituendo (4) (5) en (), tenemos: M de donde: M Como la transformación lograr que : M, entonces mediante el isomorfismo podemos :, con lo cual se puede epresar: esto es:,,, Finalmente, aplicando el isomorfismo inverso, tenemos:, 6
ransformaciones lineales inectivas, supraectivas biectivas ) ransformación inectiva: Una transformación lineal es inectiva, si sólo si, el núcleo de dicha transformación es de dimensión cero. ) ransformación supraectiva: Una transformación lineal es supraectiva, si sólo si, la dimensión del recorrido es igual a la dimensión del codominio, o bien, si la dimensión del núcleo es igual a cero, entonces la transformación será supraectiva, si la dimensión del dominio es igual a la dimensión del codominio. ) ransformación biectiva: Una transformación lineal es biectiva, si sólo si, es inectiva supraectiva, es decir, si la dimensión del núcleo es igual a cero la dimensión del recorrido es igual a la dimensión del codominio. Inversa de una transformación lineal Sea : V W lineal : W V una transformación lineal. La inversa de es una transformación, para la cual se cumple que: ) ) I V I W Donde I V e I W son transformaciones identidad en V W, respectivamente. Gráficamente: V W v v 6
eorema Sean V W dos espacios vectoriales de dimensión finita, : V W una transformación lineal A, B bases de V W, respectivamente: ) ) Si A eiste, si sólo si, B M es no singular. A eiste, entonces B M B M A. EJERCICIO.7 Sea la transformación lineal : M P definida por: a b a b a b a b ; M b a b a donde: M a b b a a, b P a b a, b a) Determine si es biectiva. b) De ser posible, obtenga la transformación inversa. SOLUCIÓN: a) Obteniendo el núcleo de. Al igualar a cero el recorrido, se genera el sistema de ecuaciones: ab a b 6
cua única solución es: a b de donde el núcleo de es: N Dim N con lo cual podemos concluir que es inectiva. Por otro lado, se puede apreciar que el dominio el codominio de son espacios de dimensión dos, como el núcleo es de dimensión cero, entonces es supraectiva. Al ser inectiva supraectiva, entonces es biectiva. b) Como resultó ser biectiva, entonces eiste. Para obtener M P a espacios del tipo, primeramente transformaremos los espacios vectoriales n, mediante dos isomorfismos. Como M P son espacios vectoriales de dimensión dos, entonces son isomorfos a. De acuerdo con esto, podemos plantear los isomorfismos: a b f a, b b a, g a b a b Con lo cual, la regla de correspondencia de quedaría como:,, a b a b a b Obteniendo la matriz asociada a con la base canónica, tenemos:,,,, M 64
de donde se tiene que: M M a partir de esto tenemos que: a b a a, b a b b esto es: a b b a a, b, aplicando los isomorfismos inversos tomando en cuenta que tenemos: a b ba a b b a a b : P M, EJERCICIO.8 Sea : P P transformación lineal tal que:, donde P a b a, b A MB es su matriz asociada referida a las bases. 4, una A, B, del dominio codominio respectivamente. a) Determine si la transformación es biectiva. b) Obtenga, si eiste,. 65
SOLUCIÓN: B A a) Dado que Det M, entonces podemos garantizar que: A MB eiste B A Como M M A asegurar que es biectiva. B, entonces eiste, por lo que podemos 4 4 A B b) Como M B M A Para obtener la regla de correspondencia de forma: se procede de la siguiente Obtengamos primero el vector de coordenadas de un vector cualquiera a b de P, referido a la base B. a b a b por igualdad de polinomios: a b b 66
sustituendo en la primera ecuación, se tiene: b b a a a b a B b b, B al multiplicar este vector de coordenadas por la matriz A M, lo que se obtiene es a b A, entonces: 4 4 b b b a a a b A b b entonces: de donde: a b a b A b a b b a b, A con este vector de coordenadas la base A, se tiene: a b b a b a b a b b 67
Efectos geométricos de las transformaciones lineales de en ransformación Matriz de transformación Efecto geométrico Dominio Codominio Refleión Sobre el eje Sobre el eje Con respecto al origen - - - - Contracción Epansión Horizontal Vertical Horizontal Vertical 68
ransformación Matriz de transformación Efecto geométrico Dominio Codominio Sobre el eje Proección Sobre el eje A lo largo del eje con Deformación o Deslizamiento A lo largo del eje con A lo largo del eje con A lo largo del eje con Rotación cos sen sen cos 69
EJERCICIO.9 Determine el efecto geométrico que produce: a) El realizar un giro de 9 posteriormente efectuar una epansión horizontal considerando. b) El realizar primero la epansión horizontal con posteriormente realizar el giro de 9. Realice, para cada caso, la representación geométrica considerando la región que se define con los puntos,,,,,,. SOLUCIÓN: a) De acuerdo con la tabla anterior, la matriz de giro es: cos sen sen cos Como 9, entonces: Matriz de giro G La matriz de epansión horizontal es: como, entonces: Matriz de epansión E como se nos pide realizar primero el giro después la epansión, esto equivale a realizar la composición de ambas transformaciones, esto es: E G u E G u 7
obsérvese que en el lado derecho de la igualdad se aplica primero el giro al vector u posteriormente se aplica la transformación de epansión E. Sabemos que: de donde: M E G M E M G M E G Aplicando esta transformación a los puntos dados, tenemos:,,,,,,,,,,,, Gráficamente: (, ) (, ) ( -, ) (, ) (, ) ( -, ) 7
b) Si se aplica primero la epansión horizontal posteriormente el giro de 9, entonces se tiene: M G E H Aplicando esta transformación a los puntos, tenemos: H H H H, H,,, H,,, H,,, H,, Gráficamente: ( -, ) (, ) (, ) (, ) H (, ) ( -, ) Como podemos darnos cuenta, el orden en que se aplican las transformaciones sí modifica el resultado que se obtiene, lo cual era de esperarse pues la composición de transformaciones lineales, en general no es conmutativa. 7
Valores vectores característicos (valores vectores propios) A las transformaciones lineales que se aplican de un espacio vectorial V al mismo espacio V, se les conoce como operadores lineales : V V Para este tipo de transformaciones pueden eistir vectores diferentes de cero que tienen la siguiente característica: v v Donde v V es un escalar perteneciente al campo de definición del espacio V. El concepto anterior se puede definir formalmente de la siguiente manera. Definición Sea V un espacio vectorial de dimensión finita definido sobre un campo : V V un operador lineal para el cual: K sea v v con v donde es un escalar perteneciente a K. Al escalar se le llama valor característico de al vector v, diferente de cero, se le conoce como vector característico de correspondiente al valor. El vector característico tiene que ser diferente de cero, pero el valor característico sí puede tomar el valor de cero. Algunos autores llaman al valor característico valor propio al vector característico le llaman vector propio. 7
Propiedades de los valores vectores característicos. Los vectores característicos asociados a valores característicos distintos son linealmente independientes.. Si v es un vector característico asociado a un valor característico, entonces v es también un vector característico asociado a, K.. Si u v son dos vectores característicos asociados a u v, entonces u v es un vector característico asociado. Espacio característico Al conjunto formado por todos los vectores característicos asociados a un valor característico, al cual se le agrega el vector cero, se le llama espacio característico se representa con E. EJERCICIO. Sea P el espacio de polinomios de grado menor o igual a dos sobre el campo real sea : P P el operador lineal definido por: " ' ; f f f f f P a) Obtenga los valores vectores característicos de. b) Determine los espacios característicos asociados a cada valor característico. 74
SOLUCIÓN: a) Epresemos primero la regla de correspondencia de de la siguiente manera: Sea f a b c un polinomio cualquiera del espacio P. Se tiene que: Si f a b c f ' a b f " a sustituendo en la definición de la regla de correspondencia dada, tenemos: a b c a b c a a b simplificando: a b c a b c a a b a b c a b a c Con la finalidad de simplificar el procedimiento aplicaremos el concepto de isomorfismo. Como el espacio vectorial P es de dimensión tres, entonces es isomorfo con con lo cual se aplicarán los siguientes isomorfismos:,,, h a b c a b c h a, b, c a b c de acuerdo con esto, la regla de correspondencia del operador queda:,,,, a b c a b a c 75
Obteniendo la matriz asociada a referida a las bases canónicas, tenemos:,,,,,,,,,,,, de donde la matriz asociada a es: M A Obteniendo el polinomio característico, se tiene: Det A I con lo cual el polinomio característico en forma factorizada es: P los valores característicos son: Obteniendo los vectores característicos haciendo uso de la epresión A u, tenemos: () z 76
Para, sustituendo en () por igualdad de matrices, se tiene: z z Si hacemos z, entonces: con lo cual se tiene: v,, B siendo B la base con la cual se obtuvo la matriz asociada a la transformación pero del espacio P. Aplicando h a los elementos de la base canónica, tenemos: h h h,,,, La base B es: B,,,, Con la base B el vector de coordenadas de v, se tiene: v con vectores característicos asociados a 77
Para se tiene: z z Como no figura en el sistema de ecuaciones, entonces puede tomar cualquier valor, esto es: si entonces: v,, B Con lo cual los vectores característicos asociados a v con son: Para se tiene: z entonces: v,, B de donde los vectores característicos asociados a son: v con 78
b) De acuerdo con los resultados obtenidos en el inciso anterior, se tiene que los espacios característicos son: E E E EJERCICIO. Para el operador lineal : M M donde: a b M a, b, c b c cua regla de correspondencia es: 5z 5z ; z 5z z z M obtenga los valores, vectores espacios característicos de. SOLUCIÓN: Como el espacio vectorial siguientes isomorfismos: M es de dimensión tres, entonces se emplearán los a b f a, b, c b c a b b c f a, b, c Con lo cual la regla de correspondencia de queda:,, 5, 5, ;,, z z z z z 79
Obteniendo la matriz asociada a referida a las bases canónicas, tenemos:,,,,,,,,,, 5, 5, entonces la matriz asociada a es: 5 M 5 A con lo cual el polinomio característico se obtiene a partir de: Det 5 A I 5 Det A I 6 8 factorizando se tiene: Det A I 4 entonces los valores característicos son: 4 8
como A u es: 5 5 () z los vectores característicos se obtienen a partir del siguiente procedimiento: Para, sustituendo en () tenemos: 5 5 z con lo cual se llega al sistema de ecuaciones: 5z 5z al escalonarlo se obtiene: 5 z Se trata de un sistema de ecuaciones compatible indeterminado con dos grados de libertad, entonces: Si z 5 8
de donde se obtiene que: v 5,, B como la base B es: B,, Esta base se obtiene al aplicar f base con la cual se obtuvo M. a los elementos de la base canónica, que es la Conocido el vector de coordenadas de v característicos asociados a son: la base B, entonces los vectores v 5 con /o Para 4 se tiene que: 5 5 z de donde se llega a: 5z 5z z 8
al escalonarlo se obtiene: 5z z z Como z, entonces de la primera ecuación se obtiene: si con lo cual: v,, entonces, de la misma forma como se procedió en el caso anterior, se llega a: v con vectores característicos asociados a 4. Finalmente, se tiene que los espacios característicos son: E 5 E Obsérvese que el espacio característico asociado a es de dimensión dos. 8
Matrices similares Se tiene que dos matrices A B de orden n n no singular C, tal que: eorema: B C AC son similares, si eiste una matriz Dos matrices representan al mismo operador lineal, si sólo si, son similares. Propiedades de las matrices similares. Si A B son matrices similares, entonces Det A Det B.. Dos matrices similares tienen el mismo polinomio característico, por lo tanto, los mismos valores característicos. Diagonalización Si V es un espacio vectorial de dimensión n : V V es un operador lineal, entonces eiste una matriz diagonal asociada a, cuando se puede definir una base de V formada por vectores característicos de. La matriz asociada a referida a esta base, es una matriz diagonal D cuos elementos característicos de. d ii son los valores eorema Sea A de n n una matriz asociada a un operador lineal. La matriz A será similar a una matriz diagonal D, si sólo si, eiste un conjunto linealmente independiente formado por n vectores característicos de. Para este caso, eiste una matriz no singular P, para la cual se cumple que D P AP, donde P tiene como columnas a los n vectores característicos de correspondientes a los valores característicos d que definen a la matriz diagonal D. ii 84
EJERCICIO. Para el operador lineal : definido por:,,, 5, ;,, z z z z a) Obtenga los valores vectores característicos de. b) Determine los espacios característicos de. c) Defina una matriz diagonalizadora P. d) Compruebe que D P AP. SOLUCIÓN: a) Obtengamos primero la matriz asociada al operador referida a la base canónica de.,,, 5,,,,, M 5 A,,,, de donde el polinomio característico se obtiene con: Det A I 5 por lo tanto, los valores característicos son: 85
Obteniendo los vectores característicos, tenemos: Para se tiene: 5 z 5 z z z si z v,, con vectores característicos asociados a λ Para se tiene: 5 5 z z z de donde se obtiene que: v,, con z vectores característicos asociados a λ Para se tiene: 5 5 z z z de donde se obtiene que: v,, con z vectores característicos asociados a λ 86
b) Los espacios característicos son:,,,,,, c) En forma general la matriz P es: P si se hace que: entonces una matriz diagonalizadora sería: P cua inversa es: P 7 87
d) Sustituendo tenemos que: D 7 5 desarrollando los productos se tiene: D 7 4 6 D 4 6 de donde: D 88
EJERCICIO. Para el operador lineal : P P donde: P a b c a b c,, definido por: a b c a c a 4 c ; a b c P a) Determine si la matriz que representa al operador es diagonalizable, b) en caso afirmativo, obtener una matriz diagonal D asociada a, c) determine una base a la cual está referida la matriz diagonal D del inciso anterior. SOLUCIÓN: Con el fin de simplificar el procedimiento se emplearán los siguientes isomorfismos:,, f a b c a b c f a, b, c a b c De esta forma, la regla de correspondencia del operador es:,,,, 4 ;,, a b c a c a c a b c a) Obteniendo los valores vectores característicos, tenemos:,,,,,,,, M 4 A,,,, 4 89
El polinomio característico viene dado por: Det I 4 4 4 A P P P 4 4 4 5 4 4 5 Por lo que los valores característicos son: 5 Obteniendo los vectores característicos, tenemos: Para se tiene: z 4 z 4 z al escalonar el sistema se reduce a: z z Se trata de un sistema compatible indeterminado con dos grados de libertad, con lo cual se tiene que su solución general es: si con z 9
con lo cual los vectores característicos asociados a son: v,, con / o Para 5 se tiene: 4 4 z 5 5 z z al escalonar el sistema se llega a: z z Obteniendo la solución general tenemos: z con Si por lo que los vectores característicos asociados a son: v,, con Obsérvese que el espacio característico asociado a por lo que una base de dicho espacio sería: es de dimensión dos, B,,,,, 9
Los elementos de esta base son vectores característicos asociados a. Para el caso de v un vector característico es:,, Como la matriz diagonalizadora P está formada con los vectores característicos dispuestos en forma de columna, entonces tenemos que: P Si P es no singular, esto es, si eiste P, entonces la matriz A es diagonalizable. Dado que: Det P 5 entonces: eiste Det P P con lo cual podemos asegurar que A es diagonalizable. enemos que los valores vectores característicos del operador original, aplicando f, son: v Para con / o Para v con 5 9
b) Con esta matriz P empleando la epresión D P AP se llega a que la matriz D es: D 5 c) Una base a la cual está referida la matriz D es la formada por los vectores característicos obtenidos, esto es: f,, f,, f,, La base solicitada es B,, 9
EJERCICIOS PROPUESOS. Sea la transformación : definida por:,,,, ;,, z z z z z a) Determine si es lineal. b) Obtenga el recorrido el núcleo de la dimensión de ambos. c) Verifique que se cumple que la dimensión del dominio es igual a la dimensión del recorrido más la dimensión del núcleo. d) Obtenga,, z.. Sea la transformación : M, donde M es el espacio de matrices cuadradas de orden dos con elementos reales, tal que: a b a b a b c, a d, b c d ; M c d c d a) Determine si es lineal. b) Obtenga el núcleo de su dimensión. c) Determine el recorrido de su dimensión.. Sean V W los espacios vectoriales, W a b c a, b, c V a b a b Si la transformación lineal : V W se define por: ; P P P V 94
obtenga la matriz asociada a referida a las bases: A, del dominio. B, 9, 4 del codominio. 4. Dadas las transformaciones lineales : definida por,, 6 S : definida por S, 7, 9 H : definida por H,, determine las componentes del vector u tal que: 8, S H u 5. Sean las transformaciones lineales S :, : H : M definidas por:,, ;, S,, ;, H, ;, donde M, Determine la regla de correspondencia de la transformación Q, tal que: S Q H 95
6. Sean los espacios vectoriales a b P a b c a, b, c M a, b, c b c ambos definidos sobre el campo real, sea la transformación lineal : P M definida por: a c b a b c ; a b c P b a c Obtenga la regla de correspondencia de. 7. Sea la región definida por los puntos,,,,,, Determine el efecto geométrico que produce: a) El realizar primero una refleión con respecto al origen después una contracción vertical con. b) El realizar primero una deformación a lo largo del eje con después una refleión sobre el eje.,. 8. Sean A u, u B v, v u u dos bases de, v,, v,, donde: sea : una transformación lineal, tal que: u v v u v v Determine: a) Los valores vectores característicos de. b) Los espacios característicos asociados a cada valor característico. 96
9. Sea la matriz: M la representación matricial del operador lineal canónica. :, referida a la base a) Obtenga los espacios característicos asociados a los valores característicos del operador. b) Determine si es diagonalizable. c) En caso de resultar afirmativo el inciso anterior, obtenga la matriz diagonal asociada a una base a la cual esté referida.. Sea : un operador lineal definido por:,, 4,, 4 ;,, z z z z z a) Obtenga los espacios característicos asociados a los valores característicos del operador. b) Determine si es diagonalizable. c) En caso de resultar afirmativo el inciso anterior, obtenga una matriz diagonalizadora P. d) Compruebe que se cumple la epresión P obtenida en el inciso anterior. D P AP con la matriz e) Dé una base de para la cual la matriz asociada a es diagonal. 97
RESPUESAS A LOS EJERCICIOS PROPUESOS. a) es lineal. b) Como la Dim R, esto implica que el recorrido de es. c) Si se cumple. N,, Dim N d),, z,, z.. a) es lineal. d c d c d b) N Dim N c) c, d R a, a b, b a, b Dim R. M 8 5 4. u 4, 5. Q 6, 4 6. a b a c b a c b c 98
7. a),,,,,, b),,,,,, 99
8. a) v,, con b), E, 9. a) E,,, E,, b) sí es diagonalizable. c) D B,,,,,,,,. a) E,,, E,, b) sí es diagonalizable. c) P e),,,,,,,, B base formada por vectores característicos.